辽宁省鞍山市重点高中协作校2025届高三上学期期中考试数学答案

高三数学试卷(A)第1页共6页2024年期中考试高三数学试题(A)参考答案一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。题号1234567891011答案CABDBCDABCCDBD三．填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。12.6;13.；14.5x-y+2=0四．解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（本小题满分13分）注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．解：选条件①：；（Ⅰ），所以的最小正周期是．………………7分（Ⅱ）因为，所以≤≤，所以≤≤，所以≤≤，当，即时，有最小值．………………13分选条件②：．（Ⅰ），所以最小正周期是．………………7分（Ⅱ）因为，所以≤≤，所以≤≤，当，即时，有最小值．………………13分16.（本小题满分15分）解析：(1)证明：由PE⊥EB，PE⊥ED，EB∩ED＝E，所以PE⊥平面EBCD，又BC⊂平面EBCD，故PE⊥BC，又BC⊥BE，PE∩BE＝E，故BC⊥平面PEB，EM⊂平面PEB，故EM⊥BC，又等腰三角形PEB，EM⊥PB，BC∩PB＝B，故EM⊥平面PBC，EM⊂平面EMN，故平面EMN⊥平面PBC；………………7分(2)以E为原点，EB，ED，EP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PE＝EB＝2，设N(2，m,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，M(1,0,1)，eq\o(EM,\s\up6(→))＝(1,0,1)，eq\o(EB,\s\up6(→))＝(2,0,0)，eq\o(EN,\s\up6(→))＝(2，m,0)，设平面EMN的法向量为＝(x，y，z)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o(EM,\s\up6(→))＝x＋z＝0,m·\o(EN,\s\up6(→))＝2x＋my＝0))，得＝(m，－2，－m)，平面BEN的法向量为＝(0,0,1)，故|cos〈，〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(－m,\r(2m2＋4))))＝eq\f(\r(6),6)，得m＝1，故存在N为BC的中点．………………15分17.（本小题满分15分）解析：（1）由已知及正弦定理得eq\o\ac(○,1)又eq\o\ac(○,2)由eq\o\ac(○,1)，eq\o\ac(○,2)可得又………………6分（2）的面积．由已知及余弦定理得又，故，当且仅当时，等号成立．因此的面积的最大值为………………15分18.（本小题满分17分）解：（Ⅰ）因为，所以曲线在点处的切线方程为.………...….….…...5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，（）因为，令，所以或，当时，，则的变化情况如下表：极大值极小值当时，，则恒成立，在内恒增；当时，，则的变化情况如下表：极大值极小值综上，当时，单调递增区间是和，单调递减区间是；当时，单调递增区间是，无单调递减区间；当时，单调递增区间是和，单调递减是.………...….…………...….…11分（Ⅲ）当时，令，得或，易知则的变化情况如下表：极小值极大值所以当时，取得极小值由于，则，，，所以由极小值定义及的单调性可知：当时，.接下来，研究在的变化情况.因为恒成立，设对称轴，，所以由二次函数的性质可知：当时，恒成立所以在时恒成立.综上所述：当时，.………...….…………...….…...17分19.（本小题满分17分）（Ⅰ）（或）………...….…………...….…...5分（Ⅱ）必要性：因为QUOTE数列QUOTE是递减数列，所以，所以是首项为，公差为的等差数列，所以………...….…………...….…...…8分充分性：由于，，…，所以，即，因为，所以，，所以数列是递减数列.综上，结论得证．..…...….……………...…11分（Ⅲ）令，则．因为，，，所以