2024高考数学二轮复习重难点专题《函数的奇偶性、周期性、对称性》题型突破及解析

重难点专题01函数的奇偶性、周期性、对称性

一、重难点题型归纳......................................错误!未定义书签。

题型1利用函数性质解不等式..........................................17

题型3构造奇偶函数求函数值.............................错误味定义书签。

题型4对称性、奇偶性的运用.............................错误味定义书签。

♦类型1对称轴....................................错误!未定义书签。

♦类型2中心对称+轴对称构造周期性................错误!未定义书签。

♦类型3“类”周期函数...............................错误!未定义书签。

♦类型4对称性解决恒成立..........................错误!未定义书签。

题型5三角函数中的对称性问题...........................错误!未定义书签。

题型6复杂奇函数问题...................................错误味定义书签。

题型7函数的旋转问题...................................错误!未定义书签.

题型8两个函数的对称问题...............................错误味定义书签。

二、最新真题、模考题组练...............................错误!未定义书签。

题型1利用函数性质解不等式

1、对于任意必'与6（-8,。]（必均有n-R成立，注意功能用来判断函数的

单调性（有具体函数时，直接求导可求单调性）；

2、解不等式常涉及到奇偶性，注意配图解不等式

3、涉及到偶函数时：如果口朝上：谁离对称轴（X=°）远，谁的函数值就大；如果口朝

下：谁离对称轴（”=°）远，谁的函数值就小.

【例题1】（2023•江西宜春•校联考模拟预测）已知函数八"+2）=【。83（3"+3-1

若&T）"3+1）成立，则实数a的取值范围为（）

（-00,-2]卜2,』

A.D•

(-a>,-2]u[0,+⑼(-00,-2IU18)

C.D.

【变式1-1]1.(2023・湖南常德•常德市一中校考模拟预测)定义在氏上的可导函

数仆)满足小)-八7)=ML+广)，且在(O，+8)上，(X)+宏<0若实

数a满足〃2a)-f(a+2)-23"+碇3+2e7>C,则a的取值范围为

()

A卜利RIX+00)(-8,一||52,+8)(-00,21

【变式1-112.(2023・全国•高三专题练习)设函数

/(x)=sin(x-l)+尸】一表-x+4则满足/(%)+f(3-2x)<6的方的取值

范围是()

A(3,+8)(1，+8)(-00,3)(-00,1)

【变式1-113.(2023.湖北武汉・统考模拟预测)已知函数

f(x)=(-->+e-+i-2x,若不等式/"(2-ax)<f^+3)对任意x6R恒成

立，则实数0的取值可能是()

-4~：V23夜

A.B.4C.vzD.

【变式1-114.(2021.广西.广西师范大学附属外国语学校校考模拟预测)设〃口

是定义在R上的偶函数，且当"2°时，若对任意的

x€[0^+l]均有f(x+b)N尸㈤则实数%最大值是()

A.§B.7C.0D.1

【变式1-1]5.(2020,湖南邵阳•统考三模)已知函数〃幻是定义在*的偶函数,

且在区间[°，+8)上单调递减，若实数嗨足'"g”)+"1号)>2/(1；则实

数°的取值范围是

题型2利用奇偶性、周期性对称性求值

函数周期性的常用结论与技巧

设函数丫=佝，

①若〃X+。）=f（L可，则函数的周期7=2%

②若""十0）=一八"则函数的周期丁=2。；

③若'"+a）_瓯则函数的周期丁=2。；

④若f（x+a）一画则函数的周期7=2。；

⑤〃x+a）=f（x+b）,则函数的周期T=|a—|

【例题2】（2022・全国•高三阶段练习）已知函数,⑸收⑺是定义在R上的偶函数,

g（3）=2,若对任意“£R,都有f（x+6）=f（%）+f（3）,对任意m-R且

m+n=4,都有。（呵=g（n：,则f（"）+g（"）=

【变式2-111.（2023•全国•高三专题练习）已知定义域为R的函数"乃存在导函

数3旦满足f（-%）="x），f（4-x）=f（-Q则曲线y=f（w在点

（2022/（2022））处的切线方程可能是（）

ABy=oc.yf+iD.y=—”+i

【变式2・112.（多选）（2022•山东・潍坊七中高三阶段练习）设函数'=/（"）的定

义域为£且满足f（l+x）=〃lr）,米-2）+〃-％）=0,当工门-1」时,

“幻=一忱|+1,则下列说法正确的是（）

A.y="”+i）是偶函数B.y=""+3）为奇函数

2023F/。、_1

c.函数y=f⑺一电⑶有ic个不同的零点D.一=/=

【变式2-113.（2023•浙江温州•模拟预测）定义在R上的函数,（幻满足

Z(x+1)+/(x-l)=f(2022：/(-2x+1)=f(2x+5)若f0=:

，，则

7（2022）=Sk=i%f（k-3=

____________________________，_______________________________________•

题型3构造奇偶函数求函数值

对于外幻本身不具有奇偶性，通过构造（通常将尾巴常数变为0）,构造奇函数，利用奇

函数的对称性，求函数值.

f（x）=ln（x+V1+x2）+三+4

【例题3】（2023•全国•高三专题练习）已知函数,x在

1一8,司上的最大值和最小值分别为“、T则*+捞=（）

A.8B.6C.4D.2

【变式3-111.（2023・全国•高三专题练习）已知函数fG）=a”3+bsin”+3,若

f（m）=\则/_小）=（）

A.TB.2C.5D.7

【变式3-112.（2022・河南•高三阶段练习（理））已知函数

fG）=aln£+bsinx+3,若f（m）=1,则，（一m）=（）

A.-1B.2C.5D.7

【变式3-113.（2022•河南省淮阳中学高三阶段练习（文））己知函数

（^-1）SU1（X+^）-3,则询在［一词上的最大值与最小值之和

为.

【变式3-114.（2022・江西・贵溪市实验中学高三阶段练习（文））已知函数

/(x)=aln(V?+T-x)+bsinx-2(afeiO)f(m)=2f(-m)=

，右，则

tx2+2x+e2+sinx

/（%）

【变式3-115.若函数八t>0）的最大值为M,最小值为N,

且M+N=4,则实数'的值为—

题型4对称性、奇偶性的运用

函数对称性(异号对称)

(1)轴对称：函数八')对于定义域内任意实数x满足八口+口则函数八、)关

0+J

于直线”’丁对称，特别地当八幻=八2a一出时，函数外幻关于直线对称;

2.如果函数)'=八五幅足f9+幻=-x),则函数y=’(幻的图象关于直线”=°对称.

_a+i

3/=A。一幻与丫=(X一b)关于直线'=丁对称.

(2)点对称：若函数f")关于直线(a°)对称，则

①f(a+x)=_f(Q_x)

②"幻=-/(2a-x)

③f(一x)=-/(2a+x)

(2)点对称：若函数"X)关于直线9力)对称，则

①+X)=-/(a-x)+2h

②〃x)=-f(2a-x)+2A

(§)/,(-x)=-f(2a+r)+2h

♦类型1对称轴

【例题4-1](2022.宁夏・银川一中高三阶段练习(文))已知函数y=f(©的定义

域为(-8,l)U(l,+8),且f(*+l)为奇函数，当％VI时，，(%)=-/-4之，则

f(x)=-

2的所有根之和等于()

A.4B.2C.ID.~6

f(x)=2e|x-21--a(2x~2+22-x)—a2

【变式4-1】1.已知函数八2有唯一零点，则负

实数0=（）

A.-2B.2C.-1D.2或

【变式44】2.己知函数满足尸若函数丫=

与y=〃幻的图像的交点为（卬％）,（如%，…，（3%）,日2m贝产=

A.1B.2C.3D.4

/（X）=,呼____

【变式4-1】3.已知函数①+1）（—2"2）,下面是关于此函数的有关命题，

其中正确的有

①函数f（幻是周期函数；

②函数f（幻既有最大值又有最小值；

③函数“幻的定义域为£且其图象有对称轴；

④对于任意的?‘（一1'°）,人"）<°（""）是函数的导函数）

A.②③B.①③C.②④D.①@③

♦类型2中心对称+轴对称构造周期性

关于对称中心与对称轴构造周期的经验结论

1.若函数有两个对称中心（a,0）与（b,0））,则函数具有周期性，周期T=2|a-b|.

2.若函数有两条对称轴*=@与*=>则函数具有周期性，周期T=2|a-b|.

3.若函数有一个对称中心（a,0）与一条对称轴x=b,,则函数具有周期性，周期T=4|a-b|.

【例题4-2】已知函数”乃为定义域为*的偶函数，且满足‘6+"）=’6一"）,

XE[-1,01开支）=_工尸（x）=f（%）+与1-9,10]

当।।时，/㈤”若函数I,在区间I兀的

所有零点之和为.

【变式4-2】1.定义在区上的奇函数"乃满足"2一切=了（无）,且在【°」）上单调递

减,若方程"幻=T在1°,）上有实数根，则方程，出=1在区间1一1’判上所有

实根之和是()

A.30B.14C.12D.6

【变式4-212.已知定义域为口的函数"幻的图像关于原点对称，且

/(3-x)+/(-%)=0若曲线'在(6，，(6))处切线的斜率为％则曲线

y=fG)在(-2022/(-2022))处的切线方程为()

=1x1011

Ay=-4x-8088y=4x4-8088厂y~~i~~

A.BD•C.

【变式4-213.若函数)‘=f(乃是氏上的奇函数，又y=f(”+i)为偶函数，且

-14X]<%2<1时，[f(&)-f-5)>0,比较f(201〃f(201%

〃2。19)的大小为()

/(2017)</(201S)</(2019)/(2018)</(2017)</(2019)

r\•D•

/(2018)</(2019)</(2017)/(2019)</(2018)</(2017)

V-z♦L/♦

【变式4-2】4.(多选)(2023•福建福州•福建省福州第一中学校考二模)定义在氏上

的函数"幻"⑴，其导函数分别为‘⑶，若八幻二八一外，

g(-l)=l/(x)+^(x-1)=x2-1,/(x)+p(x+l)=x-sin；x

2,则()

A.外幻是奇函数

B.M幻关于Ji'Z寸称

C.,幻周期为4

9(1)+以3)+以5)+...+。(99)=-1225

♦类型3“类”周期函数

“似周期函数”或者“类周期函数”，俗称放大镜函数，要注意以下几点辨析：

1.是从左往右放大，还是从右往左放大.

2.放大（缩小）时，要注意是否函数值有0.

3.放大（缩小）时，是否发生了上下平移.

【例题4-3]设函数丫=,（为的定义域为°,如果存在非零常数7，对于任意大6°,

都有f（%+T）=T'/（%）,则称函数y=f（幻是“似周期函数，，，非零常数7为函数

y=f（幻的，，似周期，，.现有下面四个关于，，似周期函数，，的命题：

①如果“似周期函数少二,（幻的"似周期''为一1,那么它是周期为2的周期函数；

②函数”乃=2”是“似周期函数，，；

③如果函数”乃=853又是“似周期函数，，，那么M=2如r,4E2或

3=（24+l»,"6Z,,.以上正确结论的个数是（）

A.OB.1C.2D.3

【变式4-3】1.已知函数“幻满足当时，2/（"-2）=/3,且当"C（一2,0]

时,f（x）=l%+l|T；当时，f（x）=bgM（a>°且”1）.若函数不）的

图象上关于原点对称的点恰好有3对，则°的取值范围是（）

A.（625,+8）B.（*64）c（9,6255D（9,64）

【变式4-312.设函数"句的定义域为£满足f（"+l）=2/（力,且当“E（°用时，

/（x）=x（%-l^若对任意方”-8,涧,都有f⑶-~2,则〃,的取值范围是[）

【变式4-3】3.定义在夫上函数满足'"+1）=云“2且当”'[°」）时,

f(x)=1-|2欠-1|则使得f(x)〈i在[m+8)上恒成立的m的最小值是()

791315

A.2B.2C.4D.4

♦类型4对称性解决恒成立

常见不等式恒成立转最值问题：

VxGD,f(x)>mof(x)z>m

3xGD,f(x)>m=f(x)2>m

(2);

VxGD,/(x)>g(x)=(/(x)-g(x))2>0

(3)?

3xGD.f[x)>g(x)=(7(x)-^(x))>0

(4)M;

VxeD,XGM,>。(孙)of(M).>。(必).

(5)x2;

BxjED^EM,/(x)>。(必)=—)>。(必).

(6)11Ml;

VMWD,3XeM,f(M)>g(M)=/(%!)»»>。(乂2)一

(7)2;

3xjGD,VXeM./(x)>g(必)=—)>。(必

(8)2l01al;

【例题4-4】已知函数/©=*+标D且对于任意的xel2】，

LT(i¥(xf恒成立，则小的取值范围为()

(-00,0)(一8,0]

•D•

[4,+oo）（12,+oo）

•L/•

rz\_2X-Hn

【变式4-4】1.已知函数/⑴一"（°-X-1）,函数g（%）=（mT”

（x-x-2）.若任意的石G[0,1],存在历G【I，©,使得fd）=9（&）,则实数小

的取值范围为（）

A.（琮B.2司c.MD.居

【变式4-4】2.已知,（”）是定义在R上的函数，且‘（”+1）关于直线”=一1对称.

“乃={2一#叱。＜“＜2

当时，2-log2r之2,若对任意的Wm+1],不等式

f（2—2%）Zfa+m）恒成立，则实数馆的取值范围是（）

A[一泄B4"C口+8）口生+8）

2

【变式4.4】3.已知"”）=丽—sEgI,g（x）=|向一仿n,若对于

V%13%2

十"一H"3使得/m）＞g（M）,则实数,n的取值范围

是.

题型5三角函数中的对称性问题

1.三角函数的对称性，周期性，奇偶性，单调性，考查时可能单独考，也可能以多选的形

式综合在一个题目中考查.

2.三角函数的奇偶性

（1）函数＞'=-Eg+⑺是奇函数=卬="（kWZ）,是偶函数。夕="+；（及W2）；

⑵函数丫=48s触+⑼是奇函数=夕="+；汽J）,是偶函数=k'k£Z）；

（3）函数丫=乂匕M皿+⑼是奇函数=A（kWZ）.

3.三角函数的对称性

（1）函数y=4sin（s+0的图象的对称轴由3""一"七（门2）解得，对称中心

的横坐标由3、+夕=H（AWZ）解得；

（2）函数V=4c0S（5+W：的图象的对称轴由+*=（k€Z）解得，对称中心的

3义+/="笈+1U7

横坐标由？^1^r工）解得；

（3）函数>'=43“3*+@）的图象的对称中心由3'+"-G"W2）解得.

4.基本规律

1.三角函数的对称中心（对称轴）有数个，适当结合条件确定合适.

2.要注意一个隐含性质：一次函数是直线，它上边任何一个点都可以作为对称中心.一般情

况下，选择它与坐标轴交点，或则别的合适的点

【例题5】（2022.湖南.长沙一中高三阶段练习）已知函数

f（乃=8S（3X+@）（3>0,0V0V"）的图象的一条对称轴与其相邻的一个对

nn

称中心的距离为彳，将“为的图象向右平移忆个单位长度得到函数仪为的图象.若函

pr3?rl

数仪幻的图象在区间

上是增函数，则/的取值范围为（)

匕21fl蚂fl汨fl机|

A上司B.61C.卜'3）D."门

【变式5-1】1.（2023.天津.统考二模）设函数‘3="二9（外=11当

'£1-2023,2025］时，八幻与g（%）的图象所有交点的横坐标之和为（）

A.4051B.4049C.2025D.2023

_x+2

【变式5.1】2.已知函数丫=,加+1与丫-T■在I,a］（aWZ,且a>2017）

上有m个交点&'，"(&，乃)，，(3%),则

(xi+%)+(3+力)+•,•+(5+ym)=

2017

A.°B.小C.25D.

【变式5.1】3.已知函数f3=2（"】）+sinx+lM4^+”），若不等式

f（3'-9^+了（巾・3”-3）＜4对任意“^区均成立，则小的取值范围为（

(-00,273-1)(-00,-273+1)

A•B.

（-2百+1,2百-1）

C*•

D（-273+1,4-00）

题型6复杂奇函数问题

1.若八”）满足fm+幻+fQ_x）=2。，则，（幻关于（亨Q中心对称

特殊的奇函数：（考试难点）：

讨数与反比例复合，月。心言，月。心言，如岫三，g关，

②指数与反比例复告丫=会.盘"芸,y=M

③对数与无理式复合，月（J（kx）±kx）,如ty=log.（J（x）

物口■对称中心为（。，-j-）

3.

［例题6］已知函数""）=RiT+"e:若不等式‘（叱）+”］_2*?］对

VxER恒成立，则实数0的取值范围是（）

A（0©R[0月（0，耳[。，11

A・D.JrLn）.

【变式6-111.对于定义在0上的函数"幻，点'（叫封是"功图像的一个对称中心

的充要条件是：对任意都有"幻+’（2小一%）=2英，判断函数

/⑺=/+2炉+3%+4的对称中心

【变式6-1】2.设函数/⑶=皿"+1T）,若以满足不等式

f（a2-2a）+/（2b-b2）<0则当l<a<4时2a-b

的最大值为

A.1B.1CC.5D.8

/（%）=%--+In—

【变式6-1】3.已知函数2LX,若

2019/,,.

f（短）+f岛）+…+f（舞）+f（器）=-°I其中则

」_+例

2问》的最小值为

35V2

A.4B.4C.衣D.T

题型7函数的旋转问题

【例题7】（2021•青岛开学）将函数'=I""?-2（%W[-3,3]）的图象绕点

（一3，。）逆时针旋转。（04。工,），得到曲线£龙于每一个旋转角巴曲线C都是

一个函数的图象，则6最大时的正切值为（）

32

A.2B.3C.1D.百

【变式7-11L（2021春•池州期末）设。是含数1的有限实数集，〃:是定义在"

上的函数，若幻的图象绕原点逆时针旋转石后与原图象重合，则在以下各项中

fa:的取值只可能是

C里

A.aB.1C.3D.0

【变式7-112.（2017春•新华区校级期末）将函数丫=一d+“（“6[°闵】图像绕

n（o<e<-）

点（1,0）顺时针旋转”角2条到曲线C,若曲线C仍是一个函数的图像,

则6的最大值为

nnnSn

A.6B.4C.3D.12

【变式7-1】3.（2021•沈河区校级四模）将函数八（乃=屋（欠-°）的图像绕坐标原

点逆时针方向旋转角取6c（0"D,得到曲线£若曲线c仍然是一个函数的图像,

则’的可能取值为（）

nn3n

A.4R.2C.4D.71

7rA

【变式7-1】4.（多选M2021•雨花区校级模拟）已知函数'=/（幻,"E4且'f

nn

函数y=f（幻，"G'的图象绕坐标原点顺时针旋转彳所得新的函数图象与原函数

图象重合，其中71可以双任意正整数，则"外的值不可能为（）

A.0B.~C.71D.v3zr

题型8两个函数的对称问题

【例题8】（2021•武侯区校级模拟）已知函数""）=°"一”与函数

g（x）=%lnx+1的图像上恰有两对关于x轴对称的点，则实数0的取值范围为

)

（e—1,+8）（芋,+8）仁,+8）（-co,e-l）

/B••\.z••

【变式8-l1l.（2021春♦海淀区校级期末）若函数丫二"一"一1一%（（“']；,«

£为自然对数的底数）与、=二一310的图象上存在两组关于又轴对称的点，则实

数0的取值范围是

A（°昌+2]|0>e3-4]

G+2,/_4]G+2,+8）

•JLx•

f（x）=~x3—mx+3

【变式8-112.（2021•云南模拟）已知函数6,

p（x）=—5x—41n-f1（rxg（x）（xE|-,411

，，若函数,（%）与I%"的图象上至少存在一对关于x

轴对称的点，则实数，〃的取值范围是.

【变式8-113.（2021春•大同期中）已知函数f"）=ln（一幻与函数

gQ）=亡-（e-l汝-a的图象上存在关于稀对称的点，则实数。的取值范围

为.

【变式8-114.（2021•景德镇模拟）对于定义域为丑的函数，（幻，若满足（1）

，（。）=0；⑵当％",且“工°时，都有"（幻>°；（3）当石且

㈤=131时，都有f（M）<f（%2）,则称f（乃为，，偏对称函数，，.现给出四个函数：

①/\a）=%sig；②/（%）=/“/+i-X）；③，3（%）=/+|幻；④

rZX_（ex-l,x>0

’"可一1一%，“<0,贝上偏对称函数”有一个.

1.（2022.全国.统考高考真题）已知函数"x）©（x）的定义域均为R,且

/3）+9（2-'）=50（乃一「（五一4）=7.若），=8（幻的图像关于直线、=2对

称，g（2）=4,则E"（k）=（）

A.-21B.~22C.-23口.-24

2.（2021•全国•统考高考真题）设函数外幻的定.义域为R,八五+1）为奇函数，

f（x+2）为偶函数，当Xe[1,2]时f（x）=2+b£（0）+/（3）=6则fG）=

（）

g37.s

A.4B.5C.4D.2

3.（多选）（2022•全国•统考高考真题）已知函数,5）=5必（2”+0（0〈"〈可的

（I。）

图像关于点'3）中心对称，则（）

小）在区间（常）

A.单调递减

在区间,五'三%

B.两个极值点

c.直线'=彳是曲线＞'=的对称轴

_V3

D.直线是由线＞'=/（"）的切线

4.（多选）（2022•全国•统考高考真题）已知函数〃为及其导函数,（X）的定义域均

为々记g（%）=fs）,若'（二"），8（2+幻均为偶函数，则（）

=O

Af（o）=oB^（■1）C./（-1）=/（4；口.g（一】）=g（2）

r（x）=（x-i）2+ax+sin1+：

5.（2023・全国•统考高考真题）若为偶函数,

则a=

6.（2023.黑龙江大庆.统考二模）已知函数外幻是定义域为R的奇函数，当

/（x）=lnz-mx+l若f（x）rcosg）=。有三个不同的根，则实数m的

取值范围为

7.（2023・四川・校联考模拟预测）已知函数门㈠及其导函数的定义域均为R,

若〃1一20，打一小+2）都为偶函数，则2：/（幻=

为偶函数，若对任意XwR有心）=心）且A2023)=3,则

啕+〃】）“削

参考答案与试题解析

重难点专题01函数的奇偶性、周期性、对称性

题型1利用函数性质解不等式................17

题型2利用奇偶性、周期性对称性求值...............................-24

题型3构造奇偶函数求函数值...........................................28

题型4对称性、奇偶性的运用..........................................32

♦类型1对称轴..................................................32

♦类型2中心对称+轴对称构造周期性..............................36

♦类型3“类”周期函数............................................42

♦类型4对称性解决恒成立........................................47

题型5三角函数中的对称性问题.................53

题型6复杂奇函数问题................................................57

题型7函数的旋转问题................................................62

题型8两个函数的对称问题............................................67

题型1利用函数性质解不等式

-f4<Q

1、对于任意卬町均有“LR成立，注意功能用来判断函数的

单调性（有具体函数时，直接求导可求单调性）;

2、解不等式常涉及到奇偶性，注意配图解不等式

3、涉及到偶函数时：如果口朝上：谁离对称轴（，二°）远，谁的函数值就大；如果口朝

下：谁离对称轴（“=°）远，谁的函数值就小.

【例题1】（2023•江西宜春•校联考模拟预测）已知函数,0+2）=bg3（3"+

若72f3+1）成立，则实数a的取值范围为（）

A（…2]B.F

（-oo,-2]u[0,+oo）（-oo,-2]u||,+a＞）

【答案】B

【分析】设以力=f（x+2）=log3（3«+3-，则可得0（幻为偶函数,且在◎+8）

单调递增，所以“外的图象关于直线”=2对称，在[2，+8）单调递增，则将

f（a-l）＞f（2a+1）转化为I。-1-2|＞|2a+1-2|；从而可求出实数a的取值

范围.

[详解]设9（T）=/（又+2）=1。83（3*+3-，

因为9（_x）=1。由（3."+3,=g（x]

所以9（幻为偶函数,

所以尼+2）的图象关于直线30对称，

所以八口的图象关于直线'=2对称，

设y=3"+3二则y=3«ln3-3Fn3=（3«-3-少吗

令八。,贝产一厂＞。，得x＞。，

所以y=3*+3T在（0,+8）上递增，

因为函数y=1°图”在定义域上单调递增，

所以以外在⑼+8）单调递增,

所“（外在口+8）单调递增，

因为f（…）Nf（2a+1）

所以1。一1一2|?|20+1-2|,

所以（a-3）223-1）;化简得（a+2）（3a-4）4。，解得々。今.

所以实数a的取值范围为卜2'A

故选：B

【点睛】关键点点睛：解题的关键是根据已知条件判断出外”）的图象关于直线

”=2对称，在［2，+8）单调递增，从而可求解不等式.

【变式1-111.（2023・湖南常德•常德市一中校考模拟预测）定义在氏上的可导函

数f（X）满足小）-f（7）7（/+广），且在9+8）上有八好十苗<°若实

数a满足f（2a）-&+2）-2aL“+ae—+2。—>C贝“a的取值范围为

（）

A卜阔R已+8）（_8,一即［2,+8）（-oo,2|

【答案】A

【分析】根据已知条件构造函数以幻，利用偶函数的定义及导数法的正负与函数

的单调性的关系，结合偶函数的性质及函数的单调性即可求解.

【详解】由向一fS）=«+C,得/㈤・；=/（・x）・.

令g（x）=f（x）-i则g（x）=g（7）,即g（x）为偶函数

又XW9+8）时g（X）=f（X）+3<0

所以。(幻在(°，+⑼上单调递减

山f(2。)-f(a+2)-2碇一"+碇-°T+2e-ft-2>C殂

田，伶

r(2a)-^>/(a+2)-^g(2a)Ng(a+2)

94口•

又g(”为偶函数，

所以9(|2a|)>9(|a+2|),

所以|2a|M|a+2|,即4a24a?+4a+4,解得一拉。42,

所以a的取值范围为卜滔.

故选：A.

【点睛】关键点睛：解决此题的关键是构造函数仪制，利用偶函数定义和导数法

求出函数的单调性，再利用偶函数和单调性即可解决抽象不等式.

【变式1-112.(2023・全国•高三专题练习)设函数

f(x)=sin(x-l)+尸】一日-x+4则满足f(%)+/(3-2x)<6的力的取值

范围是()

A.(3,+8)B.(…)c.(―8闭D.(-8，1)

【答案】B

［分析］构造g3»=sin“+eX_er_x,x€R,发现为奇函数，然后“均是

以外向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度，可得"幻的对称中心为

。'刃，能得到6='3+〃2-町通过求导可发现的在R上单调递增，继而

求解不等式

【详解】解：假设g(%)=sinx+eX_er_x,%WR,

所以9(一%)=sin(-x)4-e-x-ex+x,所以g(%)+g(—％)=0,

所以以幻为奇函数，

=sin（x-1）+尸】一厂-Q-1）+3是以乃向右平移1个单位长度,

向上平移3个单位长度，所以“外的对称中心为（1%所以6=f（幻+〃2-”）,

由f(x)=sin(x-1)+^-1一e】r—%+4求导得

/(x)=cos(x-1)+e*-1+e1-x-1=^-1+^FT+COS(X—1)—1

因为"."卜三"「当且仅当二餐打即“】，取等号,

所以f（X）>0所以“幻在R上单调递增,

因为f(%)+/(3-2x)<6=/(x)+f(2-欠)得f(3-2x)<f(2-x)

所以3-2%〈2-工，解得4>1

故选：B

【变式1-113.12023・湖北武汉•统考模拟预测）已知函数

f(x)=尸'+…+f-25若不等式f(2-s)V/(1+3)对任意X6A恒成

立，则实数0的取值可能是（）

-4一二y/23夜

A.B.-C.vzD.

【答案】BC

【分析】令1="一得到g«）=〃+广+/t,推得g⑴为偶函数，得到“幻

的图象关于”=1对称，再利用导数求得当">1时，"幻单调递增，当“<1时,

外口单调递减，把不等式转化为11一。.〈二+2恒成立，结合二次函数的性质,

即可求解.

［详解］由函数八乃=^7+°'7+炉.

令£=无一1,则、=t+L可得。©=/+小+/_1

可得9(-0=e-e+ef+(-t)2-1=0，+°一+百-1=g(t)

所以9"）为偶函数，即函数外口的图象关于、=1对称,

又由g«)=+2f令9。)=P(0=e'_Lf+2i

可得"⑴='+「+2>°,所以S©为单调递增函数，且W°)=°,

当时，9⑴°⑴单调递增，艮『>1时，”幻单调递增；

当时，g«)<°,9⑴单调递减，即又<1时，外幻单调递减，

由不等式"2-*<"X2+3),可得|2-。又一1|<|二+3-1|,即

|1-ax\<X2+2

所以不等式以一°幻<"2+2恒成立，即一炉一2<ax-l<炉+2恒成立，

(x2+ax+l>0,

所以小-0义+3>0的解集为R,所以a_4Vo且(_a)・_12<0.

解得-2<a<2,结合选项，可得BC适合.

故选：BC.

【点睛】关键点睛：本题的关键是利用换元法设「=文-1,从而得到

g(')=U+MT,证明其为偶函数，则得到向的图象关于X=1对称,

再结合其单调性即可得到不等式组，解出即可.

【变式1-114.(2021.广西.广西师范大学附属外国语学校校考模拟预测)设，(幻

是定义在R上的偶函数，且当无‘。时，"0=1缶>1).若对任意的

x€[0J>+l]均有"x+b)N.(x)则实数石的最大值是()

A.'B.'C.°D.】

【答案】B

【解析】利用指数的运算性质易得时尸(幻="2幻，进而根据偶函数的性

质和函数在"-°上的单调性，将不等式很成立问题转化.+引22》对任意的

”£1°力+叫亘成立，若"K°,易于得出矛盾，在时利用不等式恒

成立的意义不难求得”的最大值.

［详解］当文£［0力+1）时尸（幻=g"）2=口〃=八2》），

若对任意的*61°力+”,均有"x+"）N尸W即为〃”+「）Nf（2x）

由于0>L当'-°时，,⑴="为单调递增函数，

又・・,函数f（%）为偶函数，

.JQ+b）>〃2为等价于|x+b|>|2x|即比+b|22*（...xG［0J>+1］）

由区间的定义可知°>T，若、+打N0,于是'+bN2x,即b>",

由于”的最大值为°+L故°-x显然不可能恒成立；

・•・b+xV0,.・.x+b4-2x即又4一朗./+1«一如即b；

3

故"的最大值为-4

故选：B.

【点睛】本题考查不等式恒成立问题，涉及指数函数，函数的奇偶性，分类讨论

思想，关键是无2°时产（幻=八2幻，化归为"x+b）2f（2©,再利用偶函数和

单调性转化为以+引22x对任意的、6［。力+1］恒成立，注意对x+上的符号的分

类讨论.

【变式1-1］5.（2020・湖南邵阳•统考三模）已知函数是定义在*的偶函数，

且在区间回+◎上单调递减，若实数嗨足"'°830）+'（"8甘）'2〃4,则实

数°的取值范围是

【答案】K'S

【分析】先利用偶函数的性质将不等式化简为“gg33）Nf（l）,再利用函数在

1°'+8）上的单调性即可转化为Hog3al工1,然后求得。的范围.

【详解】因为f（X）为R上偶函数,则f（x）=f（7）=f（|x|）,

，（1。呼）=/（-log3a）=f（log3fl）=/（|log3a|）

所以1,

所以f（l°g⑺+/（logia）=2f（Rog3a|）>2/（1）即用呜。口>,⑴

因为"乃为［“+8）上的减函数，11083H>0,1>0所以Ilog划<1,

解得-1<log3a<1所以W3,。的范围为匕万］

【点睛】1.函数值不等式的求法：（1）利用函数的奇偶性、特殊点函数值等性质

将函数值不等式转化为与"打）大小比较的形式：“叼）>〃孙1

（2）利用函数单调性将“打）>/（叼）转化为自变量大小比较的形式，再求解不

等式即可.

2.偶函数的性质J（”）=〃T）=f（叫奇函数性质「左）=〃_6；

x

3.若f（）在D上为增函数，对于任意文"2W都有必<&=f（M）</（x2）.

若"X）在D上为减函数，对于任意卬MW0,都产<Mo,（M）>,（孙）

题型2利用奇偶性、周期性对称性求值

函数周期性的常用结论与技巧

设函数y=f（”、€跖a>°.

①若〃X+a）=f（X_a）,则函数的周期T=2a；

②若〃x+G=_f（x）,则函数的周期T=2a；

③若一网则函数的周期'=2a；

④若r（"+Q）一瓯则函数的周期7=2。；

⑤/白+可=/仁+%则函数的周期/二旧一川

【例题2］（2022・全国•高三阶段练习）已知函数,⑶也（幻是定义在R卜的偶函数,

。(3)=2,若对任意”6R,都有，a+6)=f(%)+f(3),对任意…WR且

m+n=4,都有g(他)=g(n；则f(99)+g(99)=

【答案】2

【分析】根据给定条件，探讨函数”灯国(约的周期性，再利用性质计算作答.

【详解】因函数"幻是K上的偶函数，旦任意“*上都有,(v+6)=f(箕)+f(3),

则当。=-3时，f(3)=f(-3)+f(3)=2f(3；即f(3)=0有f(%+6)=f。),

则是以6为周期的周期函数，=f(16X6+3)=f(3)=°,

又函数(幻是R上的偶函数，且任意叫n€R且^+九二匕都有g(m)=g(n；

G

则对V"R，g@)=g(4—Q=g(%—4),函数。(幻是以4为周期的周期函数，

g(99)=g(24X4+3)=g(3)=2,所以f(99)+g(99)=2

故答案为：2

【变式2-111.(2()23•全国•高三专题练习)己知定义域为区的函数"乃存在导函

数人盼，且满足八一％)=〃0次4一切="一。则曲线y=f&)在点

(2022/(2022))处的切线方程可能是()

Ay="B.y=°c.y』+iD.y=—”+i

【答案】B

【分析】利用“乃是偶函数、周期为4,得“乃关于”=2对称，”=2°22是〃%)

的对称轴，即”=202组f⑺的极值点，从而八2022)=0,可得答案

【详解】以幻的定义域为£由八一幻="乃可知，"盼是偶函数，

由f(4—)=f(7可知，川)周期为％

因为向=f(7=/(4-2故f⑺关于x=2轴对称，

又因为2°22=2+505X4“"=2°22也是向的对称轴，

因为,出在R上存在导函数,⑴，

所以x=2022是f（%）的极值点,

即"2022）=0曲线y=f&）在点（2°22,f（2022））处的切线斜率为0,

故切线方程可能为y=°

故选：B.

【变式2-1】2.（多选）（2022•