《机械优化设计（第7版）》习题参考答案汇 孙靖民 第4-7章

第1题答案：当取初始点时，，。第2题答案：取时，，。第3题答案：，。第4题答案：取时，，。第5题答案：可参考表4-1。第1题答案：时，。第2题答案：。第3题提示：求解方法可参考第四节中的应用实例。第4题提示：如果设分别以Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ五种下料方式所用钢材的件数，则此问题的数学模型是：求一组的值，满足下列限制条件使总的尾料达到最小。第1题答案：第2题答案：，。第3题答案：第4题答案：第5题答案：当时，，该问题的最优解为：。第六章习题解答已知约束优化问题：试从第k次的迭代点出发，沿由（-11）区间的随机数0.562和-0.254所确定的方向进行搜索，完成一次迭代，获取一个新的迭代点。并作图画出目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线。[解]1）确定本次迭代的随机方向：用公式：计算新的迭代点。步长α取为搜索到约束边界上的最大步长。到第二个约束边界上的步长可取为2，则：该约束优化问题的目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线如下图所示。已知约束优化问题：试以为复合形的初始顶点，用复合形法进行两次迭代计算。[解]1）计算初始复合形顶点的目标函数值，并判断各顶点是否为可行点：经判断，各顶点均为可行点，其中，2）计算去掉最坏点后的复合形的中心点：3）计算反射点（取反射系数）4）去掉最坏点构成新的复合形，在新的复合形中，进行新的一轮迭代。5）计算新的复合形中，去掉最坏点后的中心点得：6）计算新一轮迭代的反射点得：设已知在二维空间中的点，并已知该点的适时约束的梯度，目标函数的梯度，试用简化方法确定一个适用的可行方向。[解]按公式6-32点的目标函数梯度为：点处起作用约束的梯度G为一个阶的矩阵，题中：n=2，J=1：梯度投影矩阵P为：则：适用可行方向为：已知约束优化问题：试求在点的梯度投影方向。[解]按公式6-32点的目标函数梯度为：点处起作用约束的梯度G为一个阶的矩阵，题中：n=3，J=1：梯度投影矩阵P为：则：适用可行方向为：5．用内点法求下列问题的最优解：（提示：可构造惩罚函数，然后用解析法求解。）[解]构造内点惩罚函数：令惩罚函数对x的极值等于零：得：舍去负根后，得当。用外点法求下列问题的最优解：[解]将上述问题按规定写成如下的数学模型：subroutineffx(n,x,fx)dimensionx(n)fx=x(1)+x(2)endsubroutineggx(n,kg,x,gx)dimensionx(n),gx(kg)gx(1)=x(1)*x(1)-x(2)gx(2)=-x(1)endsubroutinehhx(n,kh,x,hx)domensionx(n),hx(kh)hx(1)=0.0end然后，利用惩罚函数法计算，即可得到如下的最优解：==============PRIMARYDATA==============N=2KG=2KH=0X:.1000000E+01.2000000E+01FX:.3000000E+01GX:-.1000000E+01-.1000000E+01X:.1000000E+01.2000000E+01FX:.3000000E+01GX:-.1000000E+01-.1000000E+01PEN=.5000000E+01R=.1000000E+01C=.2000000E+00T0=.1000000E-01EPS1=.1000000E-05EPS2=.1000000E-05===============OPTIMUMSOLUTION==============IRC=21ITE=54ILI=117NPE=3759NFX=0NGR=0R=.1048577E-13PEN=.4229850E-06X:.9493056E-07.7203758E-07FX:.1669681E-06GX:-.7203757E-07-.9493056E-077．用混合惩罚函数法求下列问题的最优解：[解]将上述问题按规定写成如下的数学模型：subroutineffx(n,x,fx)dimensionx(n)fx=x(2)-x(1)endsubroutineggx(n,kg,x,gx)dimensionx(n),gx(kg)gx(1)=-log(x(1))]gx(2)=-x(1)gx(3)=-x(2)endsubroutinehhx(n,kh,x,hx)domensionx(n),hx(kh)hx(1)=x(1)+x(2)-1end然后，利用惩罚函数法计算，即可得到如下的最优解：==============PRIMARYDATA==============N=2KG=3KH=1X:.2000000E+01.1000000E+01FX:-.1000000E+01GX:-.6931472E+00-.2000000E+01-.1000000E+01X:.2000000E+01.1000000E+01FX:-.1000000E+01GX:-.6931472E+00-.2000000E+01-.1000000E+01HX:.2000000E+01PEN=.5942695E+01R=.1000000E+01C=.4000000E+00T0=.1000000E-01EPS1=.1000000E-05EPS2=.1000000E-05===============OPTIMUMSOLUTION==============IRC=29ITE=143ILI=143NPE=1190NFX=0NGR=172R=.7205765E-11PEN=-.9999720E+00X:.1000006E+01.3777877E-05FX:-.1000012E+01GX:-.5960447E-05-.1000006E+01.6222123E-05HX:-.2616589E-06有一汽门用弹簧，已知安装高度H1=50.8mm,安装（初始）载荷F1=272N，最大工作载荷F2=680N，工作行程h=10.16mm弹簧丝用油淬火的50CrVA钢丝，进行喷丸处理；工作温度126°C；要求弹簧中径为20mm≤D2≤50mm，弹簧总圈数4≤n1≤50，支承圈数n2=1.75，旋绕比C≥6；安全系数为1.2；设计一个具有重量最轻的结构方案。[解]1．设计变量：影响弹簧的重量的参数有弹簧钢丝直径：d，弹簧中径D1和弹簧总圈数n1，可取这三个参数作为设计变量：即：2．目标函数：弹簧的重量为式中ρ――钢丝材料的容重，目标函数的表达式为３．约束条件：１）弹簧的疲劳强度应满足式中S――弹簧的疲劳安全系数，由下式计算：式中初选弹簧钢丝直径：4mm≤d≤8mm，其抗拉强度，取弹簧的循环工作次数大于，则材料的脉动循环疲劳极限为设可靠度为90％，可靠性系数；工作温度为126°C，温度修正系数再考虑到材料经喷丸处理，可提高疲劳强度10％，则弹簧实际的脉动循环疲劳极限为弹簧材料的剪切屈服极限，计算公式为弹簧的剪应力幅，计算公式为式中k――曲度系数，弹簧承受变应力时，计算公式为――载荷幅，其值为――弹簧的平均剪应力，计算公式为式中――应力修正系数，计算公式为――平均载荷，其值为由此，得到弹簧疲劳强度的约束条件为计算剪应力幅：计算平均应力幅：计算弹簧的实际疲劳安全系数：从而得到弹簧的疲劳强度约束条件为２）根据旋绕比的要求，得到约束条件３）根据对弹簧中径的要求，得到约束条件４）根据压缩弹簧的稳定性条件，要求：式中――压缩弹簧稳定性的临界载荷，可按下式计算：式中K――要求弹簧具有的刚度，按下式计算：――弹簧的自由高度，按下式计算：当时，――长度折算系数，当弹簧一端固定，一端铰支时，取；则：于是得5）为了保证弹簧在最大载荷作用下不发生并圈现象，要求弹簧在最大载荷时的高度应大于压并高度，由于于是得到６）为了保证弹簧具有足够的刚度，要求弹簧的刚度与设计要求的刚度的误差小于1/100，其误差值用下式计算：式中G――弹簧材料的剪切弹性模量，取G=80000Mpa。于是得到７）为了限制设计变量的取值范围，得到４．从上面的分析，以重量最轻为目标的汽门弹簧的优化设计问题共有3个设计变量，９个约束条件。按优化方法程序的规定，编写数学模型的程序如下：subroutineffx(n,x,fx)dimensionx(n)fx=0.1925e-4*x(1)*x(1)*x(2)*x(3)endsubroutineggx(n,kg,x,gx)dimensionx(n),gx(kg)taoa=830.3*x(2)**0.86/x(1)**2.86taom=1212.12*x(2)/x(1)**3+745.46/x(1)**2s=365.4/(1.506*taoa+0.494*taom)gx(1)=1.2/s-1.0gx(2)=6.0*x(1)/x(2)-1.0gx(3)=20.0/x(2)-1.0gx(4)=x(2)/50.0-1.0p=1.0-13.98*(x(2)/((x(3)-0.5)*x(1)+20.304))**2if(p.lt.0.0)goto10fc=3.268*((x(3)-0.5)*x(1)+20.304)*(1.0-sqrt(p))gx(5)=68.0/fc-1.0goto2010gx(5)=-1.020gx(6)=0.0246*x(1)*x(3)-0.0123*x(1)-1.0gx(7)=-x(1)gx(8)=6.0-x(3)sit=(8.0*x(2)**3*(x(3)-1.75))if(sit.le.0.0)thengx(9)=-1.0elsesita=abs(80000.0*x(1)**4/sit-40.2)-0.402gx(9)=sitaendifendsubroutinehhx(n,kh,x,hx)dimensionx(n),hx(kh)hx(1)=0.0end５．利用惩罚函数法（SUMT法）或约束方向法（RANDIR法）计算，得到的计算结果如下：==============PRIMARYDATA==============N=3KG=9KH=0X:.6000000E+01.4000000E+02.6787000E+01FX:.1881356E+00GX:-.1916168E-01-.1000000E+00-.5000000E+00-.2000000E+00.1000000E+01-.7203881E-01-.6000000E+01-.7870002E+00-.3994993E+00PEN=.3762713E+00R=.2137678E-02C=.4000000E+00T0=.1000000E-01EPS1=.1000000E-05EPS2=.1000000E-05===============OPTIMUMSOLUTION==============IRC=22ITE=87ILI=320NPE=2179NFX=0NGR=0R=.9401609E-11PEN=.1774523E+00X:.5847336E+01.3758407E+02.7173420E+01FX:.1774504E+00GX:-.1420557E-04-.6651906E-01-.4678597E+00-2483186E+00.1000000E+01-.4006547E-01-.5847336E+01-.1173420E+01-.7406271E-05９．图6-39所示为一对称的两杆支架，在支架的顶点承受一个载荷为2F=300000N，支架之间的水平距离2B=1520mm，若已选定壁厚T=2.5mm钢管，密度，屈服极限Mpa，要求在满足强度与稳定性条件下设计最轻的支架尺寸。[解]1．建立数学模型设计变量：目标函数：约束条件：圆管杆件中的压应力应小于或等于，即于是得圆管杆件中的压应力应小于或等于压杆稳定的临界应力，由欧拉公式得钢管的压杆温度应力式中A――圆管的截面积；L――圆管的长度。于是得设计变量的值不得小于或等于0于是得2．从以上分析可知，该优化设计问题具有2个设计变量，4个约束条件，按优化方法程序的规定编写数学模型的程序如下：subroutineffx(n,x,fx)

dimensionx(n)

fx=1.225e-4*x(1)*sqrt(577600.0+x(2)*x(2))endsubroutineggx(n,kg,x,gx)dimensionx(n),gx(kg)gx(1)=19098.59*sqrt(577600.0+x(2)*x(2))/(x(1)*x(2))-700.0gx(2)=19098.59*sqrt(577600.0+x(2)*x(2))/(x(1)*x(2))-12.6e5*(x(1)*x(1)+6.25)/(577600.0+x(2)*x(2))gx(3)=-x(1)gx(4)=-x(2)end3．利用惩罚函数法（SUMT法）计算，得到的最优解为：==============PRIMARYDATA==============N=2KG=4KH=0X:.7200000E+02.7000000E+03FX:.9113241E+01GX:-.3084610E+03-.8724784E+03-.7200000E+02-.7000000E+03PEN=.9132947E+01R=.1000000E+01C=.4000000E+00T0=.1000000E-01EPS1=.1000000E-05EPS2=.1000000E-05===============OPTIMUMSOLUTION==============IRC=18ITE=39ILI=39NPE=229NFX=0NGR=57R=.1717988E-06PEN=.6157225E+01X:.4868305E+02.6988214E+03FX:.6157187E+01GX:-.1204029E+03-.1266042E-01-.4868305E+02-.6988207E+0310．图6-40所示为一箱形盖板，已知长度L=6000mm，宽度b=600mm，厚度承受最大单位载荷q=0.01Mpa，设箱形盖板的材料为铝合金，其弹性模量，泊松比，许用弯曲应力，许用剪应力，要求在满足强度、刚度和稳定性条件下，设计重量最轻的结构方案。［解］1．建立数学模型设计变量：取结构的翼板厚度和高度为设计变量，即目标函数：取结构的总重量最轻为目标函数，计算公式为不计材料密度和常数，不会影响目标函数的极小化，于是得约束条件：设计变量不得小于或等于0，于是得结构的剪应力不得大于许用剪应力：结构的最大剪应力用下式计算：式中Q――最大剪力，许用剪应力：于是得结构的弯曲应力不得大于许用弯曲应力：结构的最大弯曲应力用下式计算：式中M――最大弯矩，I――截面惯性矩，于是得翼板中的屈曲临界稳定应力不得大于或等于最大应力：结构的屈曲临界稳定应力用下式计算：于是得结构的最大挠度不得大于或等于许用挠度：结构的最大挠度用下式计算：材料的许用挠度：于是得2．从以上分析可知，该优化设计问题具有２个设计变量，６个约束条件，按优化方法程序的规定编写数学模型的程序如下：subroutineffx(n,x,fx)dimensionx(n)fx=120.0*x(1)+x(2)endsubroutineggx(n,kg,x,gx)dimensionx(n),gx(kg)gx(1)=-x(1)gx(2)=-x(2)gx(3)=1.0-x(2)/40.0gx(4)=1.0-