2024年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（新教材新高考） 第01讲 导数的概念及运算 高频精讲（原卷版+解析版）

第01讲导数的概念及运算（精讲）

目录

第一部分：知识点必背..............................................................1

第二部分:高考真题回归............................................................4

第三部分：高频考点一遍过..........................................................5

高频考点一：导数的概念........................................................5

高频考点二：导数的运算........................................................6

高频考点三：导数的几何意义....................................................7

角度1：求切线方程（在型）................................................7

角度2：求切线方程（过型）................................................7

角度3：已知切线方程（或斜率）求参数......................................8

角度4：导数与函数图象....................................................9

角度5：共切点的公切线问题...............................................11

角度6：不同切点的公切线问题.............................................12

角度7：与切线有关的转化问题.............................................13

第四部分：数学文化（高观点）题...................................................13

第五部分：高考新题型.............................................................14

①开放性试题..............................................................14

②探究性试题..............................................................15

第六部分：数学思想方法...........................................................16

①函数与方程的思想........................................................16

②数形结合得思想..........................................................16

③转化与化归思想..........................................................16

第一部分：知识点必背

1、平均变化率

（1）变化率

事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨张率是半径的增量与体积

增量的比值.

（2）平均变化率

/（-2）-/（斗）

一般地，函数/（刈在区间上了』上的平均变化率为：/一%.

（3）如何求函数的平均变化率

求函数的平均变化率通常用“两步”法：

①作差：求出Ay=）一/（X）和Ax=々-X

②作商：对所求得的差作商，即/=J~

2、导数的概念

（1）定义：函数/（幻在x=用处瞬时变化率是lim"=lim/（/+=）一,我们

Ar->0AtAr->0Av

称它为函数y=/（x）在x=/处的导数,记作了'（%）或可门&即

尸卜尸lim竺=lim:fet山⑷.

-0M-->。Ar

（2）定义法求导数步骤：

①求函数的增员::△），=/（%+Ax）-/（%）；

②求平均变化丞：包

ArAv

③求极限，得导数:/（.）=Hm包=1加八工。+二）-/（/）

Ar->o©ztoAt

3、导数的几何意义

函数》=/'"）在点工=与处的导数的几何意义，就是曲线>=/*）在点2%,%）处的切线

的斜率上，即左=r&o）.

4、基本初等函数的导数公式

基本初等函数导数

/*）=C（C为常数）r«=o

f(x)=xnineR)f\x)=nx"T

f(x)=sinx/'(x)=cosx

f(x)=COSX/z(x)=-sinx

/U)=erffM=eK

/3)="：〃>0)f\x)=ax\na

/W=lnA-rw=-

X

八幻=；

/(A)=log：(a>0,awl)

x\na

f(X)=y/x

/w=-fM=~

JT

5、导数的运算法则

若/'（幻，，（幻存在，则有

（1）"（x）±g（x）r=r（x）±g'（x）

（2）[/（%）•g（x）y=/'（X）•g（X）+/（X）•g'（X）

小[/（x）1'=/'（x）•g（x）一/（x）•g'（x）

6、复合函数求导

复合函数y=/（g（x））的导数和函数y=/（〃），〃二gW的导数间的关系为y；=）”4，即

）'对x的导数等于）'对〃的导数与〃对x的导数的乘积.

7、曲线的切线问题

（1）在型求切线方程

已知：函数/a）的解析式.计算：函数/（X）在X=X0或者（/,/（七））处的切线方程.

步骤：第一步：计算切点的纵坐标/（毛）（方法：把人=%代入原函数/（力中），切点

（%"（七））.

第二步：计算切线斜率左=/（幻.

第三步：计算切线方程.切线过切点（天,/（/））,切线斜率攵=/'（人）。

根据直线的点斜式方程得到切线方程：y-f（x0）=/'（.Vo）（x-xo）.

（2）过型求切线方程

已知：函数/（X）的解析式.计算：过点《区，yj（无论该点是否在y=/（外上）的切线方

程.

步骤：第一步：设切点弓（为，）’0）

第二步：计算切线斜率2=/'（%）；计算切线斜率左二2二血；

士一天）

第三步：令：%=,解出代入&=7'(%)求斜率

X一入0

第三步：计算切线方程.根据宜线的点斜式方程得到切线方程：)」为=/'(%)。-%).

第二部分：高考真题回归

1.(2022•全国(甲卷理，文)•高考真题)当x=l时，函数f*)=alnx+2取得最大值_2,

x

则7(2)=()

A.TB.-1C.1D.1

2.(2022・全国(新高考I卷)•高考真题)若曲线)，=("〃£有两条过坐标原点的切线,

则a的取值范围是.

3.(2021•全国(甲卷理)•高考真题)曲线丫=空］在点(-―3)处的切线方程为.

4.(2022•天津•高考真题)已知abeR,函数C(x)=丘一asin%,g(x)=b&

⑴求函数y=/(A)在(0,/(0))处的切线方程；

5.(2022•北京•高考真题)已知函数/(x)=e'ln(l+x).

⑴求曲线＞'=fM在点(0J(。))处的切线方程；

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：导数的概念

典型例题

例题1.（2023秋・辽宁锦州-高一统考期末）降低室为微生物密度的有效方法是定时给

室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度化）随开窗通风换气时

间⑴的关系如图所示，则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是

()

MC(mg/m3)

A.[5,10]B.[15,20]C.[25,30]D.[30,35]

例题2.（2023秋•陕西•高二校联考期末）设lim型网也匕网=-6,则/'（3）=

Ar-*OAv

（）

A.-12B.-3C.3D.12

例题3.（2023•全国•高二专题练习）函数），=/（"的图象如图所示，/'（X）是函数f（x）

的导函数，则下列数值排序正确的是（）

A.2/(3)</(5)-/(3)<2/(5)B.2/（3）＜2/（5）＜/（5）-/（3）

C./⑸―〃3)<27⑶<2门5)D.2/（5）＜2/\3）＜/（5）-/（3）

练透核心考点

1.(2023・全国•高二专题练习)已知函数〃6=寸+2,则该函数在区间。,3］上的平均变化

率为()

A.4B.3C.2D.1

2.(2023春♦浙江嘉兴•高二平湖市当湖高级中学校考阶段练习)设函数/("在x=l处的导

数为九则./0+词一/0)=()

Ar

A.2B.1C.-1D.-2

3.(2023春•湖北武汉•高二校联考阶段练习)设函数ja)=2+l,则1加4^二/匕他=

XA3AX

()

11

A.3B.——C.-D.0

33

高频考点二：导数的运算

典型例题

例题1.(2023春天津和平南二校考阶段练习汨知函数/'(x)=13-8x+夜/，且/'5)=4,

则/=()

A.35/2B.2V2C.5/2D.

2

例题2.(2023秋"黑龙江双鸭山-高二双鸭山一中校考期末)已知函数

/")=+"⑴f+3x+10,则/(3)=()

A.-1B.0C.-8D.1

例题3.(2023春浙江温州信一校考阶段练习汜知函数/(x)=x'+/'(2)(lnx-x),则以4)=

练透核心考点

1.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(力=一；/+20，(2023)+20231114-2,则

厂(2023)=()

A.2022B.2021C.2020D.2019

2.（多选）（2023春・安徽宿州•高二安徽省泗县第一中学校考阶段练习）下列函数求导运

算正确的是（）

x2cosx)=-2xsin.v

3.（2023春•上海浦东新,高二华师大二附中校考阶段练习）若函数了（力满足

=则呜:=

高频考点三：导数的几何意义

角度L求切线方程（在型）

典型例题

例题1.（2023・陕西咸阳-武功县普集高级中学统考二模）已知函数〃力=丁-21nx,

那么在点处的切线方程为.

例题2.（2023•贵州贵阳・统考一模）函数/（x）=ln（＜+l）+2x-1在点（0,-1）处的切线方

程为.

练透核心考点

1.（2023•黑龙江大庆•统考一模）函数〃刈=丁-4式+1的图象在点（0,〃0））处的切线方程

为•

2.（2023秋•黑龙江齐齐哈尔・高三校联考期末）函数“力二父+31的图像在点（-2"（-2））

处的切线方程为.

角度2:求切线方程（过型）

典型例题

例题1.（2023•全国•高三专题练习）已知直线］为函数/（x）=V+x-16的切线，且经

过原点，则直线/的方程为.

例题2.（2023春•上海浦东新南三上海市实验学校校考开学考试）已知曲线/（x）=2V-3x,

过点M（0,32）作曲线的切线，则切线的方程为.

练透核心考点

1.（2023•山东•潍坊一中校联考模拟预测）写出曲线），=丁-3、过点（2,2）的一条切线方程

2.（2023春•上海杨浦•高二复旦附中校考阶段练习）已知函数/（力=｛，过点户作

曲线/（力的切线，则其切线方程为.

角度3：已知切线方程（或斜率）求参数

典型例题

例题1.（2023春-上海浦东新-高二华师大二附中校考阶段练习）函数g（x）=Enx有一

条斜率为2的切线，则切点的坐标为

例题2.（2023春•天津河东•高二校考阶段练习）已知函数〃x）=xlnx在（1J⑴）处的

切线与直线x-股+2=0垂直，则实数/〃=.

例题3.（2023•全国•高三专题练习）己知a〉0,»＞。，直线y=x-力与曲线），=ln（x+a）

相切，则1+旁的最小值是

2a2b+\----

练透核心考点

1.（2023春•湖北武汉•高二武汉市第四十九中学校考阶段练习）已知函数/（司=。1度+/的

图象在x=l处的切线方程为*-），+8=0,则a+/x.

2.（2023・全国•高二专题练习）直线y="是曲线y=x+hr的切线，则攵=.

3.（2023•全国•高二专题练习）若直线）=丘+1-1112是曲线），=lnx+2的切线，则人

角度4：导数与函数图象

典型例题

例题1.(2023春•山东•高二校联考阶段练习)如图，三知函数/⑸的图象在点P(2J(2))

处的切线为/,则/(2)+八2)=()

例题2.(2022•高二课时练习)已知了'(X)是/(x)的导函数，的图象如图所示，则

例题3.（2022秋•湖南湘潭•高三湘潭一中校考期中）如图，直线/是曲线），=/（x）在x=5

处的切线，则，（5）+/'（5）=.

练透核心考点

1.（2022•江苏•高二专题练习）已知函数），=/*）的部分图象如图所示，其中

小事/（5））,8（“/（毛）），0（七,〃工3））为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（）

A-小）＞/'（$）＞/（工）B.r⑸＞小2）〉/'（$）

c.r«）＞ra）＞r（七）D.r（x）＞r（力广㈤

2.(2023春•安徽宿州•亶二安徽省泗县第一中学校考阶段练习)已知函数)=/("的图象

如图所示，/'(X)是函数AM的导函数，=2/(2),/.，=2r(4),c=/(4)—/(2),则关

于排序正确的是.

3.(2022秋•湖北武汉•高二武汉市第六中学校考阶段练习)如图，直线/是曲线)，=/(“在

点(4,7(4))处的切线，则“4)+/(4)的值等于.

角度5:共切点的公切线问题

典型例题

例题1.(2023•江苏•高三校联考阶段练习)已知点P是曲线y=x,与曲线y=e/的公

共切点，则两曲线在点P处的公共切线方程是()

A.y=OB.2ex-y-e=Q

C.y=0或2cr—y—e=0D.y=0或"-y—l=0

例题2.(2023・重庆・统考二模〉已知〃9-&(。＞())的图象在人=1处的切线与与函

数g(x)=e'的图象也相切，则该切线的斜率攵=.

例题3.(2022•全国♦高三专题练习)已知函数/("=；/+依，g(x)=(a+l)lnMa〈O).

(1)若点尸(%,汽)为函数/(x)与g(x)图象的唯一公共点，且两曲线存在以点尸为切点的

公共切线，求。的值：

练透核心考点

I3

1.（2023春•重庆沙坪坝•高三重庆八中校考阶段练习）已知函数/（幻二耳--],

g（x）=21nx-ov,若曲线y="x）与曲线），=g（x）在公共点处的切线相同，则实数〃=

2.（2023•全国•高二专题练习）若曲线G：/（力和曲线6：&（耳=41旧-2%存在有公

共切点的公切线，则该公切线的方程为.

角度6：不同切点的公切线问题

典型例题

例题1.（多选）（2023春•安徽亳州•高二安徽省亳州市第一中学校考阶段练习）若存

在过点。（0,0）的直线/与曲线〃x）=V—3d+2x和＞，=/+〃都相切，则。的值可以是

（）

A.1B.——C.—•D.———

643264

例题2.（2023•湖南邵阳•统考二模）已知直线/是曲线y=ln（x-2）+2与y=ln（x-1）的

公切线，则直线/与x轴的交点坐标为.

例题3.（2023•全国・高三专题练习）已知曲线/（x）=lnx+l与g（x）=f-x+”有公共

切线，求实数。的取值范围.

练透核心考点

1.（2023・全国•高二专题练习）已知函数/（x）=e'与函数g（x）=lnx+。存在一条过原点的

公共切线，则〃=.

2.（2023秋•江苏扬州•高三校联考期末）若曲线＞=丁-2/+机与曲线）,=4丁+1有一条过

原点的公切线，则，〃的值为.

角度7：与切线有关的转化问题

典型例题

例题L（2023•四川成都•川大附中校考二模）若点尸是曲线），=lnx-/上任意一点，则

点尸到直线，：x+）」4=。距离的最小值为（）

A.—B.x/2C.2>/2D.4x/2

2

例题2.（2023春・湖北武汉-高二武汉市第四十九中学校考阶段练习）已知

y=（x-a）2（awR）,则丁的最小值为（）

2）

A.—B.拒C.|D.立

22e

练透核心考点

1.（2023春•山东•高二校联考阶段练习）己知），=*-a）2+（xe，-a+l）2（aeR）,则），的最

小值为（）

A.—B.72C.JD.—

22e

2.（2023・全国•高二专题练习）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线f=4y上的一个动点，

则点P到直线x+），+4=（）的距离的最小值是.

第四部分：数学文化（高观点）题

1.（2023•江苏南京•高二南京市秦淮中学校联考）牛顿送代法又称牛顿一拉夫逊方法，它是

牛顿在”世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法.具体步骤如下：设，•是

函数y=/（x）的一个零点，任意选取工。作为，•的初始近似值，作曲线y=/（x）在点（xo,/仇0））

处的切线人设"与x轴交点的横坐标为并称r为/■的1次近似值：作曲线），=/（»在点

Nf（M）处的切线/2,设〃与X轴交点的横坐标为X2,并称X2为「的2次近似值.一般的,

作曲线y=f（彳）在点（x〃,川〃WN）处的切线In内，记与x轴交点的横坐标为xn并

称m仪为，•的〃+1次近似值.设/3=2+3一1的零点为r,取xo=0,则广的2次近似值

为.

2.（2023・全国•高三专题练习）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿

（1643-1727）给出了牛顿法一一用“作切线〃的方法求方程的近似解如图，方程/。）=。的根

就是函数AM的零点取初始值小处的切线与4轴的交点为人/（外在/处的切线与x轴的

交点为乙，一直这样下去，得到与，不当一乙，它们越来越接近匚若/3=/7+1"。=一1，

则用牛顿法得到的，•的近似值公约为（结果保留两位小数）.

3.（2023・全国•高三专题练习）在18世纪，法国著名数学家拉格日在他的《解析函数论》

中，第•次提到拉格朗日中值定理，其定理陈述如下，如果函数/（工）区间口，力上连续不

断，在开区间（a,b）内可导（存在导函数），在区间（a,b）内至少存在一个点Xo£（a,

b）,使得f（b）-f（«）=/'（毛）（/?-〃），则x=出称为函数），=/（x）在闭区间［a,b］

上的中值点，则关于x的/（x）="+〃。在区间［-1,1］上的中值点切的值为

4.（2023・高二课时练习）我国魏晋时期的科学家刘徽创立了"割圆术"，实施"以直代由”的

近似计算，用正〃边形进行“内外夹逼〃的办法求出了圆周率"的精度较高的近似值，这是我

国最优秀的传统科学文化之一一.借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函

数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算.设〃x）=lnx,则曲线y=/（x）在点

（1,0）处的切线方程为：用此结论近似计算他灰的值为.

第五部分：高考新题型

①开放性试题

1.（2022•广东佛山•统考模拟预测）写出一个同时满足下列条件①②的函数“X）

①/（%）的图象关于点（。，1）对称；②曲线）=/（"在点（1,〃功处的切线方程为y=4x-l

2.（2023•福建莆田•统考二模）直线/经过点倍,。］，且与曲线y=x"+D相切，写出/的

I。Z

一个方程.

3.（2022秋•广东佛山•高三统考期中）已知函数），=/（》）经过点A（l,3）,且/'（1）=5.请

写出一个符合条件的函数表达式：f（x）=.

②探究性试题

1.（多选）（2022•全国•高三专题练习）英国数学家牛顼在17世纪给出了一种求方程近似

根的方法一牛顿迭代法，做法如下：如图，设，-是的根，选取作为，•的初始近似

值，过点（不，/（七））作曲线＞=/（力的切线/：＞一/（%）=/'（%）（工一天）），则/与X轴的交点

的横坐标西二飞一坐^八引工。），称为是「的一次近似值；过点（%,/（%））作曲线

），=/（“的切线，则该切线与X轴的交点的横坐标为巧，称巧是，•的二次近似值；重复以上

过程，得「的近似值序列，其中不Z=a-务4（/'5）工0），称X向是，•的〃+1次近似值,

这种求方程/（竹二。近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程V=3的近似解，则

A.若取初始近似值为1,则过点（I"⑴）作曲线），=/（力的切线/：y=2x-4

B.若取初始近似值为1,则该方程解的三次近似值为u

56

rY-Y/（凡）+f（"J/（一）

0,…—RE闲

cX一fM/（$）fM

「EWEF

第六部分：数学思想方法

①函数与方程的思想

1.（2022秋•湖南长沙•高二长郡中学校考阶段练习）已知函数/（x）=2cob-r（g}iiu.

则陪卜（）

A.巫B.-童C.2D.-2

33

2.（2023春・河北邯郸•高二武安市第三中学校考阶段练习）函数/（x）的导函数/（X）满足

关系式〃力=2矿⑴一Inx,则“工）=.

3.（2022秋•重庆万州•高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）已知曲线

q：），=Ae、（x>（））和G：y=W，若直线/与C1,c?都相切，且与G的相切于点人则P的

e

横坐标为.

②数形结合得思想

1.（2023•河南郑州•高二校考）点。在函数,，=三的图象上.若满足到直线y=x+a的距离为

2五的点P有且仅有3个，则实数〃的值为.

2.（2023♦全国•高二专题练习）点P是曲线y=、-lnx上任意一点,且点尸到直线

的距离的最小值是灰，则实数4的值是.

③转化与化归思想

1.（2023•全国•高三专题练习）若存在实数x使得关于x的不等式（er-«）2+x2-2ax+〃<|

成立，则实数。的取值范围是（）

A.出B./C.["）D.1

4，+°°

2.(2023・全国•高三专题练习)若实数。，b,c,d满足伯+/_3加“)2+9-/+2)2=0,则

y](a-c)2+(b-d)2的最小值为

第01讲导数的概念及运算（精讲）

目录

第一部分：知识点必背..............................................................1

第二部分:高考真题回归............................................................4

第三部分：高频考点一遍过..........................................................5

高频考点一：导数的概念........................................................5

高频考点二：导数的运算........................................................6

高频考点三：导数的几何意义....................................................7

角度1：求切线方程（在型）................................................7

角度2：求切线方程（过型）................................................7

角度3：已知切线方程（或斜率）求参数......................................8

角度4：导数与函数图象....................................................9

角度5：共切点的公切线问题...............................................11

角度6：不同切点的公切线问题.............................................12

角度7：与切线有关的转化问题.............................................13

第四部分：数学文化（高观点）题...................................................13

第五部分：高考新题型.............................................................14

①开放性试题..............................................................14

②探究性试题..............................................................15

第六部分：数学思想方法...........................................................16

①函数与方程的思想........................................................16

②数形结合得思想..........................................................16

③转化与化归思想..........................................................16

第一部分：知识点必背

1、平均变化率

(1)变化率

事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积

增量的比值.

(2)平均变化率

/。2)一/(七)

一般地，函数/(为在区间上的平均变化率为："2一百・

(3)如何求函数的平均变化率

求函数的平均变化率通常用“两步”法：

①作差：求出△)，=f(x2)-/(x,)和AT=工2-X

②作商：对所求得的差作商，即；―z—:一

Axx2-x]

2、导数的概念

(1)定义：函数在x="处瞬时变化率是lim电=lim,十=)T("),我们

1—Ax曲->0Ar

称它为函数y=/(x)在x=/处的导数,记作/'(%)或Nm”即

广卜户如竺=lim、小。十冬一/(%).

As。AxArTOA.¥

(2)定义法求导数步骤：

④求函数的增量：△)，=/(%+―/(%)；

⑤求平均变化座：包十―—(入0)：

MAx

⑥求极限，得导数：/'(%)=lim包=lim"/+加)一”/).

-Ax内->o\x

3、导数的几何意义

函数y=/(x)在点x=x0处的导数的几何意义，就是曲线y=/(x)在点P*o，%)处的切线

的斜率-即々=/'(/).

4、基本初等函数的导数公式

基本初等函数导数

/(x)=c(c为常数)r«=o

f(x)=xn(neR)f'M=nxn~x

f(x)=sinx/'(x)=cosx

/(X)=cosX/z(x)=-sinx

/«=erf\x)=/

f(x)=ax[a>0)f\x)=cixIna

f(x)=\nxr«=-

X

f(x)=log：(Q>0,awl)

xlna

/(x)=Vx

M嘉

/U)=i

/W-、

Xx~

5、导数的运算法则

若g'(x)存在，则有

(1)"(X)士g(x)r=r㈤士g'(x)

(2)"(M•g(x)]'=r(x).^(x)+/(x).g\x)

s、「/(x)V/'W,g(x)-/*),g'(x)

(3)W=

6、复合函数求导

复合函数y=/(g(x))的导数和函数y=/(〃)，〃=g。)的导数间的关系为乂=y：M，即

y对X的导数等于y对〃的导数与〃对X的导数的乘积.

7、曲线的切线问题

(1)在型求切线方程

已知：函数的解析式.计算：函数/(X)在x=x0或者(/,/(毛))处的切线方程.

步骤：第一步：计算切点的纵坐标/(七)(方法：把)=儿代入原函数/(此中)，切点

(公"(七)).

第二步：计算切线斜率攵=/'(X).

第三步：计算切线方程.切线过切点(七,/(.7)),切线斜率Z=/'(%)。

根据直线的点斜式方程得到切线方程：y-f(x0)=r(x(i)(x-xQ).

(2)过型求切线方程

已知：函数/(')的解析式.计算：过点4(%，X)(无论该点是否在》=/(幻上)的切线方

程.

步骤：第一步：设切点分(与,衣)

第二步：计算切线斜率％=/'(%);计算切线斜率z二2二b;

第三步：令：Z=/'(Xo)=2f^,解出/,代入&=/'(%)求斜率

X]一%

第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：y-y0=fWx-x0).

第二部分：高考真题回归

1.(2022•全国(甲卷理，文)•高考真题)当x=l时，函数/(.r)=〃lnx+2取得最大值—2,

X

则广⑵=()

A.TB.C.3D,1

【答案】B

【详解】因为函数/")定义域为(0,+8),所以依题可知，/(1)=-2,广。)=0,而

尸(力，-与，所以b=-2M-b=0,即。=一2,”一2,所以尸(力=-2+马，因此函数/(力

XX.1

在(0,1)上递增，在。,内)上递减，X=1时取最大值，满足题意，即有/'(2)=—l+g=-

故选：B.

2.(2022・全国(新高考I卷)•高考真题)若曲线)，=(》+〃)/有两条过坐标原点的切线，

则a的取值范围是.

【答案】(F,-4)U(O，H)

x

【详解】:y=(x+a)ety'=(x+l+a)e”,

设切点为(毛,%)，则为=(%+〃)e"，切线斜率*=(玉+1+a)e",

切线方程为：y-($+a)e&=(4)+l+a)e。(x-A))，

切线过原点，・••-(/+。)酉1=(%+l+a)e%(f),

整理得：片+(/-4=0,

;切线有两条，.二△=/+4a>0,解得〃v-4或a>0,

。的取值范围是(-2-4)(。,+8),

故答案为：(―,-4儿(0,7)

3.(2021•全国(甲卷理)•高考真题)曲线丫=包=在点(-1,-3)处的切线方程为_________.

x+2

【答案］5x-y+2=0

【详解】由题，当户-1时，尸-3,故点在曲线上.

2(x+2)-(2x-1)=5

求导得:所以)口=_尸5.

(x+2)2(x+2广

故切线方程为5X-)，+2=0.

故答案为：5x-y+2=0.

4.(2022•天津•高考真题)已知a,beR,®/(x)=ev-asinx,(x)=b\fx

⑴求函数>=/(>)在(0,/(()))处的切线方程；

【答案】⑴N=(l-a)x+l

【详解】(1)fXx)=ex-acosx,故尸(0)=1-〃，而/(0)=1,

曲线/*)在点(0J(0))处的切线方程为尸(l—a)(x—0)+1即)=(1—a)x+l.

5.(2022・北京•高考真题)已知函数/Q)=e'ln(l+x).

⑴求曲线y=/曲)在点(0J(。))处的切线方程；

【答案】(i)v=x

【详解】(1)解：因为/(x)=e1n(l+x),所以/(0)=0,

即切点坐标为(。，0)，

又尸(x)=e'(ln(l+x)+」)，

1+x

••・切线斜率8=r(o)=i

「•切线方程为：)'=、

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：导数的概念

典型例题

例题1.(2023秋・辽宁锦州・高一统考期末)降低室为微生物密度的有效方法是定时给

室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度(c)随开窗通风换气时

间⑴的关系如图所示，则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是

()

C.[25,30]D.[30,35]

【答案】B

【详解】如图分别令1=5、，=10、，=15、/=20、/=25、7=30、，=35所对应的点为

所以［15,20］内空气中微生物密度变化的平均速度最快；

故选：B

例题2.(2023秋•陕西•高二校联考期末)设lim型竺匕虫到=-6,贝!)/'(3)=

&->o©

()

A.-12B.-3C.3D.12

【答案】B

【详解】r(3)=-3.

A3bxw2A.vv7

故选；B

例题3.(2023•全国•高二专题练习)函数)，=/(x)的图象如图所示，/'(”是函数/■(“

的导函数，则下列数值排序正确的是()

A.2/(3)</(5)-/(3)<2/(5)B.2,⑶<2，(5)v〃5)-/(3)

C./(5)-/(3)<2/(3)<2/(5)D.27(5)<21(3)</(5)-/(3)

【答案】A

【详解】由图知:八3)/⑶一［⑶<八5),即2r(3)</(5)—/⑶<2八5).

5-3

故选：A

练透核心考点

1.(2023・全国•高二专题练习)已知函数/(力=/+2,则该函数在区间［1,3］上的平均变化

率为()

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【详解】因为函数/(工)=丁+2,

所以该函数在区间［1,3］上的平均变化率为

/(3)-/(1)_32+2-(12+