2024年高考数学二轮复习高频考点2-3 导数的应用（专题分层练）解析版

专题验收评价

专题2-3导数的应用

内容概览

A­常考题不丢分

一,导数的运算（共1小题）

二.利用导数研究函数的单调性（共1小题）

三.利用导数研究函数的极值（共2小题）

四.利用导数研究函数的最值（共4小题）

五,利用导数研究曲线上某点切线方程（共7小题）

六.用定积分求简单几何体的体积（共1小题）

B•拓展培优拿高分（压轴题）（24题）

C•挑战真题争满分（3题）

A•常考题不丢分、

7

一,导数的运算（共1小题）

I.（2023•松江区校级模拟）在同一坐标系中作出三次函数/（A）=ad+bx2+ex+d（a工0）及其导函数的图

【分析】结合导数的几何意义，以及函数的图象，即可求解.

【解答】解:当/‘@）＞0时，y=/a）递增,当ra）〈o时,了=/（外递减,

故①②中函数图象的增减趋势与导函数的正负区间是吻合的，故①@正确，

③中导函数为负的区间内相应的函数不减少.故③错误.

④卜导函数为负的区间内相应的函数不减少，故④错误.

故选：A.

【点评】本题主要考查导数的几何意义，以及函数图象的应用，属于基础题.

二,利用导数研究函数的单调性（共1小题）

2.（2023•宝山区校级三模）函数y=/（x）的导函数），=/'"）的图像如图所示，则函数），=/*）的图像可能

【分析】分析导函数的图像可判断函数的大致单调区间从而决定原函数的图像.

【解答】解：由导函数图像可知原函数在（—,〃）单调递减，3方）单调递增，（Ac）单调递减，（c,y）单调

递增，

其中a<0<b<c，

由图可知A,C选项/*）先递增，故不满足题意，

其选项，/*）的增区间为（ab），（c,+oo）,且a<0<0vci故不满足题意，

故选：D.

【点评】本题主要考杳了利用导函数图像判断原函数图像，属干基础撅.

三.利用导数研究函数的极值（共2小题）

3.（2023♦徐汇区校级三模）已知函数/（幻=4-/小-2.

（I）求曲线y=/（幻在x=l处的切线方程；

（2）函数人劝在区间（2,Z+lX&eN）上有零点，求2的值;

I1

（3）记函数且（幻=5/一6一2-/（用，设用,匕（大<工2）是函数g（x）的两个极值点，若〃…5，且

8(玉)虫七)..々恒成立，求实数£的取值范围.

【分析】(1)求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再求出切点坐标，即可求出切线方程;

(2)求出/(幻的导数，判断/(外的单调性，利用零点存在性定理判断即可；

(3)求函数的导函数，令/(幻=0,依题意方程/一(〃+1口+1=。有两不相等的正实根占、与，利用韦达

定理，结合匕的取值方程，即可求出N的取值范围，则g(斗)-且(工2)=2/叼-Lx；-士)，构造函数

2<

nA)-2/,Lv-1(A2—Ae(O,l],利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而得解.

【解答】解：(1)因为/*)=4-/心一2,所以尸(外=1一,，.•・切线斜率为/'(1)=0,

x

又/(1)=-1,切点为所以切线方程为y=-l；

X—1

(2),/f\x)=------,XG(0,+OO),

X

当Ovxvl时，f\x)<0,函数/(x)单调递减：

当时，Ax)>0,函数/(x)单调递增，

所以f3的极小值为/(1)=-1<0,/(e-2)=e-2-Ine-2-2=e-2>0,

.♦J(x)在区间(0,1)上存在一个零点%,此时A=0：

又/(3)=3—/〃3—2=1—历3v0,f(4)二4一切4-2=2-2加2=2(1-加2)>0,

A/W在区间(3,4)上存在一个零点再，此时&=3.

综上，A的值为0或3；

(3)函数g(x)=；]2_/次_2_/1)=/心+；12,XG(O,-KC),

所以《(")=3+4—(〃+1)=3_。+1*+1,

XX

由g'(x)=O得/-(/?+l)x+l=0,依题意方程/-S+l)x+l=0有两不相等的正实根内、七，

Xy+X2=b+\txyx2=1,/.x,=—>

・X

又b..—,%H—=/>+1...—>0<X|<X-,=—»解得0<X]”一，

2芭22

x1,,1,1

=+

g(M)—g(，q)+l)(x1-x2)=lltiXy--(xf—7),

x222x；

构造函数/(幻=2阮¥-,(/一4),Xe(0,i],

2x22

所以尸，(x)=2_x_4=TV：1)」<0,

XXr

F(x)(0,-J卜单调递减：

(3)g(x)=-e"在［0,e］递减,可得百时,g(x,)-g(w)<0,

If\xx)-f(x,)IVg(x)-g(x2)|，即为I)-f(x2)|<g(.q)-g(4)，

即g(X1)-g(w)</U1)-f(x2)<g(%2)-g(x)，

即为腐葭黑篇域;对阳

x2G［0»e］且X］>x2时恒成立.

所以/(x)+g(x)在［0,e］递减;/*)-g(x)在［0，e］递增.

当r(x)+g'(x),,。在［0，弓恒成立时，可得2工-4-乙,0，即a.2x-e'在［0，e］恒成立.

由y=2x—，的导数为-可得y=2x—，在［0,加2)递增，在(/〃2,e］递减，

则)，=2x-ex的最大值为2m2-2,则a..2/〃2-2；

当J'(x)-g'(x)..O在［0,e］恒成立时,可得2i+e*..0,即a,2.v+/在［0，e］恒成立.

由y=2x+V的导数为y=2+》>0,可得y=2x+e"在［0,e］递增,则最小值为1,则6L

综上可得。的取值范围是［2加2-2,1］.

【点评】本题考查函数的导数的运用：求单调性和极值、最值，以及函数奇偶性的判断，考查分类讨论思

想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题.

四,利用导数研究函数的最值(共4小题)

5.(2023•徐汇区校级一模)设函数/(x)=(x-l)(e*-e),g(x)=e'-ar-1,其中awR.若对\/与曰0，+a)，

都肛eR,使得不等式/(%),,g(.)成立，则a的最大值为()

A.0B.-C.1D.e

e

【分析】先利用导数求出/(刈在R上的最小值，再解存在性问题去掉内，接着再分类讨论，解关于超的恒

成立问题，从而得解.

【解答】解:v/(x)=(.r-l)(^-e),xwR,

/.f\x)=xex-e,,又/'(1)=0,

又当x>l时，ex>e,/.xe^>e,.,.x^-e>0>ff(x)>0,

当0vx<l时，\<ex<e,0<xex<e,:.xex-e<0,/.f\x\<0,

当X,0时，0ve\,1,/.xe\,0,xex-<?<0»f\x)<0,

.•..(¥)在(YC,1)上单调递减，在[1,+8)上单调递增,

⑴=0，

Vx2e[0»-HO),都肛e/?,使得不等式g(.马)成立,

网G[0,-KO),fQJmin，，冢/)恒成立，

VAje[0,-KO),以工2)..。恒成立，

即Vxe[0,+8）,g（K）=e*-依-I..O恒成立,

又g，(X—,(A-..0),且/⑶在[0,+8)上单调递增，

g'(x).-g'(0)=l-a，

①当l-a.O,即怎1时，<(x)..O,「.g。)在[0,+oo)上单调递增,

/.g(x)最小值为g(0)=0,

厂.冬,1时，g(x)..O恒成立，

②当1-〃<0时，即a>l时，令g'(x)=e'-。，=0，得x=/〃a，

/..Ve(01〃a)时，g")<0；xe(Ina,心)时，g\x)>0,

.•.g(x)在(OJM单调递减,在(Zna,E)单调递增,而g(0)=0,

g(x)的最小值g(lna)<0,

Vxe[O,+ao),g(x)="不恒成立，

」.”>1不满足题意，

综合①②可得”的范围为(-co,I],

〃的最大值为1.

故选：C.

【点评】本题考查存在性问题与恒成立问题，利用导数研究函数的单调性与最值，分类讨论思想，属中档

题,

6.(2023•静安区二模)已知函数-(〃+l)x+a加:.(其中。为常数).

(I)若。=一2,求曲线y=/(x)在点(2,f(2))处的切线方程；

(2)当avO时，求函数)，=7。)的最小值；

(3)当时，试讨论函数y=/(x)的零点个数，并说明理由.

【分析】(1)当。=一2时，求得广(x)=x+l-3得到r(2)=2且/(2)=4-2//z2,进而求得切线方

x

程;

(2)求得八x)=(.")(一0,利用导数求得困数/(x)的单调性和极值，即可求解；

x

(3)当.=0时，求得y=/'(x)在(0,"K»)上有一个零点；当Ovavl时，利用导数求得函数。x)的单调性

和极值，进而得出函数零点的个数.

【解答】(1)解：当。=一2时，可得/(幻」/+工_2加r,

可得/(幻=x+]_2=*+2)(Jl),所以/(2)=2且/(2;=4-27/22,

XX

所以切线方程为y-(4一2/〃2)=2(x-2),即2x-y-2ln2=0,

所以曲线y=/(x)在点(2,f(2))处的切线方程为2x-y-2/nx=0.

(2)解：由函数/(x)=gx2-(a+l)x+H〃x,可得函数/a)的定义域为(0,位)，

又由r(x)=S-aS——>令r(%)=o,解得.距=〃，芭=i,

X

当a<0时，f(x)与r。)在区间(0,内)的情况如下表:

X(0,1)1(1,+co)

/3——0+

/(X)极小值

所以函数的极小值为/(1)=-«-1,也是函数/(幻的最小值,

2

所以当。<0时，函数/3)的最小值为-a-；;

(3)解：当a=0时，f(x)=^x2-x,令/(x)=0,解得内=2,9=0(舍去)所以函数y=/(x)在(0,+oo)

上有一个零点；

当Ovavl时，/(外与尸(x)在区间(0,+oo)的情况如下表：

X(0,4)a3J)1(1,+00)

八幻+0—0+

/(X)T极大值极小值?

所以函数/(x)在(0M)单调递增，在(41)上单调递减，

此时函数f(x)的极大值为/(〃)=-ga?-〃+alna<0,

所以函数y=/⑴在(0,1)上没有零点；

又由/⑴=—1一。<0且函数/(X〕在(1,+co)上单调递增,

口当x->+8时，f(x)>+QO,

所以函数/(X)在(1,+8)上只有一个零点，

综上可得，当0,,4<1时，/。)在(0,e)上有一个零点.

【点评】本题考查了导数的几何意义以及利用导数研究函数的最值和零点问题，属于中档题.

7.(2023•虹口区校级模拟)已知=f+x

⑴求函数y=/*)的极小值；

(2)当xw|-2,4］时,求证：工-6颂(x)x；

(3)设厂(x)=|f(x)-a+a)|(aeR)),记函数y=尸(4在区间［-2,4］上的最大值为M(a),当M(a)

最小时，求。的值.

【分析】(I)由题意，对/*)进行求导，利用导数得到/(x)的单调性，进而可得极小值；

(2)设g(x)=/(x)-x,此时将求证工-6期(x)x,转化成求证-6领卜(犬)()，对g(x)进行求导，利用导数

得到gW的单调性和极值，进而即可得证；

(3)结合(2)中所得结论,对…|。+6|和|a|<|a+6］进行讨论即可求解.

【解答】解：(1)已知=—V+x,函数定义域为农，

可得fXx)=—x2-2x+\»

4

令尸(x)=0，

7

解得凳或x=2,

当时，r(x)>o,/(X)单调递增：

当;<x<2时，r(x)<0,/(X)单调递减；

当x>2时，/Xx)>0,/(幻单调递增，

所以当x=2时，函数/1)取极小值，极小值为/(2)=0；

<2)证明；不妨设g(x)=〃％)-4='丁一Y,函数定义域为［2,4J,

4

可得/(幻=2%2一2工，

4

令g'*)=。，

解得x=0或1=巴

3

当一2,xv0时，gf(x)>0,g(x)单调递增；

Q

当时，g，(x)vO,g(x)单调递减；

当4时，g，(x)>0,g(x)单调递增，

因为#(0)=g(4)=0，^(-2)=-x(-8)-4=-6,

4

,8,I51264-64/

e(—)=—x-------=>—6,

3427927

所以当xe［—2,4］时，-6效卜(幻0,

故当xe［-2,4］时，x-6^/(x)x；

(3)由(2)知-6颁(x)-x0,

所以-6-°阖T(x)-x-a-a»

因为F(x)=|f(x)-(x+a)Hf(x)-x-a\,

不妨设f{x)-x=t,

此时0,

此时函数y=Rx)在区间［-2,4］上最大值为y=p-a|在-6领10时的最大值，

所以M(a)是|。+6|中的较大者，

若|。|」a+61,即4,-3时，M(a)=|«|=.3；

若|。|<|。+6|,即〃>一3时，M(a)=|。+6|=。+6>3,

所以当M(a)最小时，M(a)=3,此时〃=-3.

【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了转化思想和运算能力.

8.(2023•杨浦区校级三模)已知函数g(x)=ad-(〃+2)x,h(x)=Inx,令/(x)=g(x)+/z(x).

(1)当〃=l时，求函数y=g(x)在x=l处的切线方程；

(2)当〃为正数且掇*e时，/*)*=-2,求〃的最小值；

(3)若‘⑶)一."0)>_2对一切0<%<七都成立,求。的取值范围.

内r

【分析】(1)杷〃=i代入，对函数求导，结合导数几何意义求出切线斜率，进而可求切线方程：

(2)结合导数与单调性及最值关系分析函数的最小值的取得条件，即可求解；

(3)已知不等式可转化为人与)+2与</(占)+2七对一切〈玉〈占都成立，结合已知不等式考虑构造函数

V)=f(A)+2x=ax2-ax+Inx,x>0,从而有F(x)在(0，*»)上单调递增，结合导数与单调性关系可求.

【解答】解:(1)a=l时，g(x)=d-3x,g,(x)=2x-3,

故g(1)=-2,g1(1)=-1,

所以)，=g(x)在x=1处的切线方程为)，+2=-(^―1),即K+y+1=0；

(2)f(x)=g(x)+h(x)=ax2~(a+2)x+lux,1领ke，

mil"/\12ar~~(a+2)x—1(2x-\)(ax-\)

则fW=-(a+2)+-=---------------=------------,

XXX

因为a>0,

当a.l时，易得/(x)在［1,上单调递增，/(©*=/(1)=-2,

当时，f(x)在［1,&上单调递减，在e，可上单调递增，

eaa

故/。)哂=/(3<-2,不合题意；

a

当0<%!时，/(幻在［1，e］上单调递减，/。)在［1，上的最小值/(e)<f(1)=-2,不符合题意，

e

故a的最小值为1;

X

(3)若―"?)>一2对一切0<内<x,都成立，则f(xi)-)<2x,-2%对一切0v$<看都成立，

芯一七

所以/(X］)+2玉<f(x2)+2X2对■一切<玉<修都成立，

令F(x)=f(x)+2x=ax2-cix+Im,x>0»

则F(x)在(0,-FOO)上单调递增，

所以Fr(x)-2ax-«+—=——竺里..0在x>0时恒成立，即20r2-ar+L.O在x>0时恒成立，

XX

当4=0时，k(x)=L.O在x>0时恒成立，符合题意，

X

当〃工0时，因为y=2a/-av+l过定点(0,1),对称轴x=2，则只要△="一前,。，

4

所以啖力8,

故〃的取值范围为［0,8］.

【点评】本题主要考查了导数几何意义的应用，还考查了导数与单调性及最值关系的应用，体现了分类讨

论思想及转化思想的应用，属于中档题.

五.利用导数研究曲线上某点切线方程(共7小题)

9.(2023•徐汇区校级一模)若直线)，=6+/，是曲线/*)二《一2与8*)=#+2022—2022的公切线，贝必=(

10111012

A.B.1D.2022

K)12Ion

【分析】设出公切线与两曲线的切点坐标，分别求出在切点处的切线方程，利用斜率相等及切线在)，轴上

的截距相等即可求解左值.

【解答】解：设直线丁=公I匕与/（%）的图象相切于点,3[）,与g（x）的图象相切于点2（巧，y2）,

2022

又广。）=j2,g，（x）=e"M2,且y2=e^-2022.

曲线y=/（x）在点片区，x）处的切线方程为），一,「2=--2（工一内），

J>2022>2O22XX

曲线y=g（x）在点P2（x2,/）处的切线方程为y-^+2022=^（-2）.

fXj-2=*+2022

故《「2t42022，解得内一x,=2024,

HIy,-ye'T_*+2O22+202220221011

故&=2=------------------=-----=----.

X]-x2xy-x220241012

故选：A.

【点评】本题考查利用导数求切线方程，考查学生的运算能力，属于中档题.

10.（2023•徐汇区校级一模）己知函数y=/（x）,其中"t）=e'sinx,则曲线），=/*）在点（0,/⑼）处的

切线方程为_y=x_.

【分析】根据导数的几何意义，求出r（o）,即可得出切线方程.

【解答】解：因为/（x）=e'sinx,所以7（xQe'sin.r+e'cosx,

则/（0）=0，/\0）=e0sinO+e°cosO=l,

所以所求切线的方程为），=工.

故答案为：y—x.

【点评】本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于基础题.

11.（2023•徐汇区校级三模）设P是曲线y=-F+x+；上任意一点，则曲线在点尸处的切线的倾斜角a

的双值范围是—[0一夕55一乃）_.

【分析】求出导函数的值域，再结合正切函数的单调性求解.

【解答】解：由己知得tana=y=-3/+L,l=tan'，

4

由ae[0,乃）得ae[0,—]U（—>万）.

42

故答案为：[0,-]U（-,兀）.

42

【点评】本题考查导数的几何意义、正切函数的性质，属于中档题.

12.（2023•普陀区校级模拟）若曲线y=（x+。）。'有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是-

-4)kJ(0j_+<»)_.

【分析】设切点坐标为(为,(即+〃)/),利用导数求出切线的斜率，进而得到切线方程，再把原点代入可

得年+")-。=0,因为切线存在两条，所以方程有两个不等实根，由即可求出。的取值范围.

【解答】解：y'=e'+(x+a)e3设切点坐标为(曲，(*。+〃)*),

.••切线的斜率k=泮+(x0+0],

/.切线方程为y-(而+=(淖+(而+)(x-x0),

x

又,切线过原点，-(毛+a)*=(e°+(风+)(-x0),

整理得：与？+4/一a=0,

・切线存在两条，.•.方程有两个不等实根，

△=/+4a>0,解得a<T或a>0,

即〃的取值范围是(一8,-4)U(0,+00),

故答案为：(一8，-4)U(0,+OD).

【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于中档题.

13.(2023•上海模拟)若曲线y=式有两条过(l,a)的切线，则。的范围是—(-oo,0)—.

【分析】由题可将曲线)，=”心有两条过(l,a)的切线转化为函数f(x)=lnx-x+\图象与直线y=a有两个

交点,然后利用导数研究f(x)单调性，画出f(x)大致图象，即可得答案.

【蟀答】解：设切线切点为(小,%)，Xy=/ar+l,所以切线斜率为阮0+1,

因为%=人"/)，所以切线方程为：y-玉)〃/=(bix0+l)(x-x0).

又切线过(1,。)，则。一天/九％=(。/+1)(1-莅)，即一切+1,

则由题可知函数f(x)=lnx-x+\图象与直线y=a有两个交点，

11_'・

由f(X)=一一1=-->0得0vx<l,由r(x)v0得X>1,

XX

所以/(x)在(0.1)上单调递增，在(l,y)上单调递减.

又(1)=0,又xfO,/(x)f-OO，工->+00，•

据比可得/(幻大致图象如下.

/(x)=Iav-x+l

则由图可得，当ae(Yo,0)时，曲线y=力“有两条过(l,a)的切线.

故答案为：(-oo.O).

【点评】本题考查利用导数求函数的切线问题，化归转化思想，数形结合思想，属中档题.

14.(2023•黄浦区校级三模)已知函数/(x)=』sin(2x+马的图像在(N,/(、))处的切线与在(W，/(马))

3

处的切线相互垂直，那么|3-七|的最小值是

【分析】求出尸(刈，根据导数的几何意义得到cos(2x+§・co$(2&+令=-1,根据余弦函数的最值可得

cos(2X]+—)=1KCOS(2X2+-)=-1»或cos(2x1+-)=-!Hcos(2x2+—)=1»分两种情况求出|3-再|,然

3333

后求出其最小值即可.

【解答】解：因为/(x)='sin(2.x+马，

23

所以,广(X)=gcos(2x+/)X2=COS(2.X+y)>

,

依题意可得ra)•f(x2)=-\,

所以COS(2X1+3)•cos(2x,+-^)=-1,

所以COS(2Xj+])=1且COS(2X2+y)=-1,

或cos(2.「+马=-1且COS(2JT2+-)=1»

33

当cos(2X1+为=1且cosQx2+马=一1时，2\]+匹=2仁万，k、eZ,2x+—=+n,4eZ、

33323

所以“I_巧=g_&)/r_/,k、GZ,k2GZ,

所以|王一WR伏i一&)乃一，&eZ,k2eZ,

所以当4一&=()或K一&=1时，1%-占I取得最小值

当cos(2X]+?)=—1且cos(2x?+《)=I时，2芭+?=2公乃+乃，《eZ,2x2+y=2k27r,k2eZ,

所以X]—W=(4—42)乃+geZ,k2eZ,

所以|内一工21=1（K-攵2）%,1，ksZ、k2^Z,

所以当匕一22=（）或K一心=T时，1%一七I取得最小值1♦

综上所述：|西-占|的最小值是g.

/

故答案为：

2

【点评】本题考查导数的几何意义，考查三角函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题.

15.（2023•黄浦区校级模拟）曲线），=丁-4x在点（1,-3）处的切线倾斜角为_。不_.

4

【分析】先求出曲线方程的导函数，把x=l代入导函数中求出的函数值即为切线方程的斜率，根据直线斜

率与倾斜角的关系得到倾斜角的正切值等于切线方程的斜率，然后利用特殊角的三角函数值即可求出倾斜

角的度数.

【解答】解：由），=d—4x,得到了=3/-4,

所以切线的斜率A=Vz=3-4=7,设直线的倾斜角为a,

则tana=-l,又26（。,乃），

所以a=网.

4

故答案为：—

4

【点评】此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，掌握直线斜率与倾斜角间的关系，灵

活运用特殊角的三角函数值化简求值，是一•道综合题.

六.用定积分求简单几何体的体现（共1小题）

16.（2023•宝山区校级模拟）在平面直角坐标系内，直线/:2x+y-2=0,将/与两坐标轴围成的封闭图形

绕），轴旋转一周，所得几何体的体积为_|万

【分析】由题意此几何体的体积可以看作是：V=1了由，求出积分即得所求体积，方法二由题意

可得绕轴旋转，形成的是以1为半径，2为高的圆锥，根据圆锥的体积公式，即可求得所得几何体的

体积.

【解答】解：由题意可知：V=呜-1）讪，

・••，=W^）＞_g），2+y）I；，

2乃

=--•

3

方法二：由题意可知绕y轴旋转，形成的是以1为半径，2为高的圆锥,

则V=Lrx/x2=军，

33

故答案为24.

3

【点评】本题考查用定积分求简单几何体的体积，求解的关键是找出被积函数来及积分区间，属于基础题.

B•拓展培优拿高分X

一.选择题（共3小题）

I.（2022♦上海自主招生）limZ（5~V）-23=*S2./（3）=3,/（x）在（3,f（3））处切线方程为（）

Z2x-2

A.2x+y+9=0B.2x+y-9=0C.-2x+y+9=0D.-2x+y-9=0

【分析】根据已知条件，结合导数的几何意义，求出（（3）=-2,再结合直线的点斜式公式，即可求解.

【解答】解：1加"5-幻—3=2,〃3）=3,令△x=x-2,

12x-2

./（33）-/⑶二_］沁/（3-4―f（3）=⑶二］,解得r（3）=_2>

•r-*°AX-I-&x

.•J（x）在（3,f（3））处切线方程为「-3=-2（工-3）,BP2x+y-9=0.

故选：B.

【点评】本题主要考查导数的几何意义，考查转化能力，属于基础题.

2.（2022•上海自主招生）等比数列｛q｝吗=—3,&=2,limS.=（）

Sy8I，

22

A.不存在B.-C.--D.-2

33

【分析】运用等比数列前〃项和公式求S“，再求极限即可.

【蟀答】解：.•等比数列｛叫，q=-3,率=：,

SK8

(-3)[i-(-lyi

T，j二--------产一

与解得,

4q21-(-2)

二liniS”=-2.

»r—

故选：D.

【点评】本题考查了等比数列的基本运算，极限的计算，是基础题.

3.(2022•上海自主招生)/。)="-(1+2〃)丹2①x(a>0)在(』」)中有极大值，则。的取值范围为()

22

A.(1,2)B.(L+x)C.(2,田)D.(l,+oo)

e

【分析】对“刈求导，根据八处在d,i)中有极大值，可得方程ra)=o在区间d,i)内有解，然后求出〃

22

的取值范围即可.

2

【解答】解:由/(x)=-------(1+2a)x+21nx(a>0),得fr(x)=av-(l+2a)+一，

2x

✓7Y*I

函数f(x)=———(1+2a)x+21nx(a>0)在区间(一,1)内有极大值,

22

o1

・・•方程/(外=依一(1+2〃)+—=0在区间(一,1)内有解，

x2

71

即方程0¥-(1+2〃)+；=0在区间(5，1)内有解，

,《=，在区间d,i)内有解，

x2

故4」£(1,2),

X

则a的取值范围是(1,2).

故选：A.

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，考查了转化思想和方程思想，属中档题.

二,填空题(共1小题)

4.(2023•嘉定区二模)若关于x的函数)，-立且在A上存在极小值(e为自然对数的底数)，则实数，的取

e

值范围为_(0,4)_.

【分析】求出函数的导函数y=+3；一”,令人(幻=一父+3/一。，利用导数说明函数的单调性，求出

e

W),h(2),再分类讨论，分别求出函数的单调区间，即可得到函数的极值点，即可判断.

【解答】解：因为)，=二^,所以y=T'+3f—

ee

令h(x)=一炉+-。，贝IJ/f(x)=-3x2+6.r=-3x(x-2),

所以当xvO或x>2时"(x)vO,当0vxv2时"(幻>0,

所以〃(外在(-oo,0),(2,内)上单调递减，在(0,2)上单调递增，又〃(0)=-〃，h(2)=4-a，

当>0即4V。时人(工)与x轴有且只有一个交点，不妨设交点横坐标为,

则当x<x0时〃(x)>0,即y>o,当%>小时版x)vO,即y〈o,

即),二=£在(-0,与)上单调递增，在(%,+8)上单调递减，此时函数在x=x0处取得极大值，无极小值,

e

不符合题意；

当4-avO,即々>4时力(幻与x轴有且只有一个交点，不妨设交点横坐标为5,

则当xv%时〃(幻>0,即y>o,当时力(x)<o,即y〈o,

即),二±±£在(ro，Z)上单调递增，在(x4，y)上单调递减，

e

此时函数在K=Z处取得极大值，无极小值，不符合题意；

当〃=0时，当x,3时，力(x)..O,即y..O,当x>3时,h(x)<0spy<0,

所以)，=二^在(-00.3)上单调递增，在(3,400)上单调递减，

e

此时函数在x=3处取得极大值，无极小值，不符合题意；

当々=4时,当X…-1时h(x\y0BP/„0,当xv—1时h(x)>0Bp/>0,

所以y=立且在(f,_])上单调递增，在(T,+00)上单调递减，

eK

此时函数在x=-l处取得极大值，无极小值，不符合题意；

当一av0v4—。，即0v<v4时h(x)的图象如下所示:

即力(，6与x轴有3个交点，不妨依次设为王、A-2、&,

则当xv%或“2vxv当时力(外>0，即y'>0,当4>X3或内v八vM时皿x)<0,即y<0,

所以)，==£在x=W处取得极小值，符合题意，

e

综上可得实数”的取值范围为(0,4).

故答案为：(0.4).

【点评】本题考查了利用导数研究极值问题，属于中档题.

三,解答题(共20小题)

5.(2022•上海自主招生)/(x)=Inx-mx1+(1-2m)x+1,对Vx>0,f(x)„0,求整数m的最小值.

【分析】结合函数解析式的特征分别考查〃=20和〃2=1两种情况即可求得整数机的最小值.

【解答】解:当"7=0时，/(X)="LY+X+1,此时/(1)>0不合题意,

2

当〃2=I时，f(x)=bix-x-X+[f

.,12x2+x-\(J+1)(2X-1)

/(x)=——2x-l=--------=-----------,

x-x-x

当0<xv4时，/(x)单调递增，

2

当时，/'(x)v0，/(X)单调递减，

函数的最大值为y(―)=/w—————+1=bi\/e—bi\[\G<0»

即〃?.=I满足题意，

下面证明当机.1时，f(xX,0对x>0恒成立，

由于f(x)„(%-1)-侬2+(1-2ni)x+1=-mx2+(1-2m)x,

其对称轴为x--——=———1<0>

2m2m

故当x>0时，/(x)<0,

综上可得，整数，〃的最小值为1.

【点评】本题主要考查利用导数研究不等式恒成立问题，利用导数研究函数的单调性与函数的最值等知识,

属于中等题.

6.(2023•虹口区校级三模)已知函数/。)=〃--戾T-(4+1)K(〃、bsR).

(I)当。=2,〃=0时，求函数图像过点(0,f(0))的切线方程；

(2)当〃=1时，既存在极大值，又存在极小值，求实数。的取值范围；

(3)当ae(0,l),〃=1时，X、/分别为了(幻的极大值点和极小值点，且/(%)+的匕)>°，求实数左的

取值范围.

【分析】(1)由题意，将。=2,〃=。代入/(x)解析式中，对/。)进行求导,得到广(0)和-0)的值，代

入切线方程中即可求解；

(2)将。=1代入函数/。)解析式中，对进行求导，将户3)既存在极大值，又存在极小值，转化成

;⑶=0必有两个不等的实根，利用导数得到/0)的单调性和极值，进而即可求解：

(3)将〃代入函数/(x)解析式中，对/(X)进行求导，利用导数分析.f(x)的极值，将/(X。।@(出)>0

恒成立转化成/〃4<(1-■!").忙1,构造函数，利用导数分类讨论求解即可.

kx+\

【解答】解：(1)己知/。)=而一伙尸一(。+1»(。、此2，函数定义域为R,

当〃=2,。=0时，/(x)=2e'-3x,

可得八x)=2/-3,

此时((0)=-1,

易知/(0)=2,

所以函数/(幻过点(0,f(0))的切线方程为y-2=-(x-0),

即为x+y-2=0；

(2)当人=1时，f(x)=ael-e-x-(a+\)x,

xx

可得f\x)=ae+e--(a+\)=Q(一)""=,

exex

因为函数/(x)既存在极大值，又存在极小值，

所以ra)=o必有两个不等的实根，

此时。>0,

令ra)=o,

解得K=0或七=一/〃。，且一/〃.工0,

所以a>0且aw1；

不妨考虑当司<々的情况下，

当时，/«)>(),/(幻单调递增；当王〈4〈超时，/'(刘<0，/(幻单调递减；

当X〉看时，/&)>0，f(x)单调递增，

所以函数/0)分别在X=X，x=与取得极大值和极小值，满足条件，

当3的情况下，

当XVX2时，/'(1)>0，/(X)单调递增；当XjVXVX］时，/'(x)v0,/(x)单调递减；

当人>M时，r(x)>0,单调递增，

所以函数/。)分别在X=M，x=K取得极大值和极小值，满足条件，

综上，实数。的取值范围为(()，l)D(l,-K»)；

(3)当ac(0,l),"=1时，/(X)=aex-e~x-(«+l)x,

由(2)得，0»

当xvO时，r(A-)>0,/。)单调递增；当Ovxv-/〃。时，r(.v)<0,/*)单调递减；

当x>T〃〃时，/*)单调递增，

所以/(x)在内=0处取得极大值/(X))=a-\；在天=-Ina取得极小值/(x2)=I一。+(。+\)lna,

因为/(内)+£)>()恒成立，

所以a-1+%[1-a+(a+>0对任意的ae(0,1)恒成立，

此时/(七)</(%)<()，

则火<0,

所以k(a+1)/776/>(k-1)((7-1),

Ina<(1--)•――-»0<x<1>

kx+\

不妨设g(x)=函数定义域为(0,1),

kx+\

，2,

iioA+工'+1

可得•厂1=>上丁，

xk(x+1)x(x+l)-

2

令方程x2+—x+1=0,

k

4,4(1-公)

可得△二”7二，，，

k~k-

当△,,(),即鼠-i时,g，a)..o,以外单调递增；

所以g(x)vg<1>=0,

即勿〃<(1一人)•二」，符合条件；

kx+1

当△>(),即一lv&<0时，

设方程x2+±x+l=0的两个根分别为s，%，

k

,2

可得用+匕=——>0,x^x=1,

k4

不昉设0<丹<1<x4,

当当vxvl时，g，(x)vO,g(x)单调递减，

所以当fvxvl时，g(x)>g(1)=0,

即/,心>(1一!).七1,不符合条件；

kx+\

综上，实数k的取值范围为(-co,-1J.

【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、转化思想、分类讨论和运算能力.

7.(2023•闵行区二模)如果曲线)=/(x)存在相互垂直的两条切线，称函数y=/(")是“正交函数”.已

知/(x)=x2+ax+2/〃x,设曲线y=/(x)在点M(x0,/(与))处的切线为小

(I)当/'(1)=0时，求实数”的值；

(2)当〃=-8,%=8时，是否存在直线〃满足且(与曲线相切？请说明理由；

(3)当上..-5时，如果函数)，=/@)是“正交函数”，求满足要求的实数。的集合。：若对任意awD,曲

线)，=/(幻都不存在与人垂直的切线12,求质的取值范围.

【分析】(1)求导，根据导数值直接可得参数值；

(2)假设存在，根据导数的几何意义可得人，再利用垂直可得心，再根据./(%)=&是否有解确定假设是

否成立；

(3)根据二阶导判断导数的单调性，分别讨论导数的正负情况，进而可得。，再根据导数的正负情况分

别解不等式即可.

【解答】解：(1)由题设.函数定义域为(0,4on),且/(、)=2工+〃+士,

X

由r(1)=4+a=o,则々=^.

233

(2)当〃=一8时，f(.r)=2x+--8,则((8)=—,

x4

即的斜率4q，假设4存在，则4的斜率内=-4，

74

则f\x)=占有解，即2X+±-8=-*在(0,y)上有解，

x33

该方程化简为33/—130X+33=0,解得工=3或11,符合要求，