新高考数学一轮复习 圆锥曲线专项重难点突破专题12 双曲线中的离心率问题(解析版)

专题12双曲线中的离心率问题限时：120分钟满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴的垂线与SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0为正三角形，则SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0轴，则点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称，则SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，

因为SKIPIF1<0为等边三角形，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因此，该双曲线SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0.故选：D.2．若双曲线SKIPIF1<0的一条渐近线被圆SKIPIF1<0所截得的弦长为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】双曲线SKIPIF1<0的渐近线方程为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0被圆SKIPIF1<0所得截得的弦长为SKIPIF1<0，

则圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，由点到直线的距离公式可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因此，双曲线SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0.故选：B.3．已知双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）的右焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点在双曲线的左、右两支上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且点SKIPIF1<0在双曲线上，则双曲线的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】设双曲线的左焦点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0为矩形，设SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以离心率SKIPIF1<0，故选：B4．如图，双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0与双曲线的两条渐近线分别交于SKIPIF1<0两点．若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，且SKIPIF1<0，则此双曲线的离心率为（

）

A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是直角三角形，又因为SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0是直角SKIPIF1<0斜边中线，因此SKIPIF1<0，而点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0是等腰三角形，因此SKIPIF1<0，由双曲线渐近线的对称性可知中：SKIPIF1<0，于是有：SKIPIF1<0，因为双曲线渐近线的方程为：SKIPIF1<0，因此有：SKIPIF1<0，故选：B.5．已知双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若在SKIPIF1<0上存在点SKIPIF1<0不是顶点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的离心率的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】设SKIPIF1<0与y轴交于Q点，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，

因为SKIPIF1<0，故P点在双曲线右支上，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，且三角形内角和为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的离心率的取值范围为SKIPIF1<0，故选：A6．已知双曲线SKIPIF1<0的两个焦点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则双曲线SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，两边除以SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，故解得SKIPIF1<0.故选：B

7．已知双曲线SKIPIF1<0的上下焦点分别为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的下支上，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的一条渐近线的垂线，垂足为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0的离心率的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】如图，过点SKIPIF1<0作渐近线的垂线，垂足为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到渐近线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0.由双曲线的定义可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0恒成立，所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：A.

8．已知双曲线SKIPIF1<0的左顶点为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的右支交于点SKIPIF1<0，若线段SKIPIF1<0的中点在圆SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，则双曲线SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．3【解析】设线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，双曲线的右顶点为SKIPIF1<0，左右焦点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，因为线段SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0≌SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以离心率SKIPIF1<0，故选：A

二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9．双曲线SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，双曲线SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值不可能是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时取等号，所以SKIPIF1<0.故选：CD.10．双曲线SKIPIF1<0的离心率为e，若过点SKIPIF1<0能作该双曲线的两条切线，则e可能取值为（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【解析】斜率不存在时不合题意，所以直线切线斜率一定存在，设切线方程是SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0时，所得直线只有一条，不满足题意，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，整理为SKIPIF1<0，由题意此方程有两不等实根，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为双曲线的半焦距SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入方程SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，综上，e的范围是SKIPIF1<0故选：AC

11．已知双曲线SKIPIF1<0的左､右焦点分别为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切，且与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的离心率可能为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】当点SKIPIF1<0同时在双曲线SKIPIF1<0的左支上时，设切点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，

而O为SKIPIF1<0的中点，则P为SKIPIF1<0的中点，故SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为锐角，故SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故双曲线SKIPIF1<0的离心率SKIPIF1<0.当点SKIPIF1<0在双曲线的两支上时，仍有SKIPIF1<0，

因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为锐角，故SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故双曲线SKIPIF1<0的离心率SKIPIF1<0，故选：AD12．已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)的左、右焦点，过SKIPIF1<0作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点SKIPIF1<0，交另一条渐近线于点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则该双曲线的离心率为（

）.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】当SKIPIF1<0时，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，如图，

双曲线的渐近线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又双曲线中SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，A正确；当SKIPIF1<0时，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，如图，

则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又双曲线中SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，C正确.故选：AC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．双曲线SKIPIF1<0的一条渐近线方程为SKIPIF1<0，则其离心率是.【解析】由题意知SKIPIF1<0，又因为在双曲线中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0（负舍）14．已知双曲线方程为SKIPIF1<0，左焦点SKIPIF1<0关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则该双曲线的离心率为.【解析】如图：设SKIPIF1<0关于渐近线SKIPIF1<0对称的点SKIPIF1<0在渐近线SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0在渐近线SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.

15．已知双曲线SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，与双曲线SKIPIF1<0的渐近线交于SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0，则双曲线SKIPIF1<0的离心率是．【解析】由双曲线方程可得其渐近线方程为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0为双曲线的通径，则由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以离心率SKIPIF1<016．已知双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，双曲线的左顶点为A，以SKIPIF1<0为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，其中点Q在y轴右侧，若SKIPIF1<0，则该双曲线的离心率的取值范围是.【解析】依题意可得，以SKIPIF1<0为直径的圆的方程为SKIPIF1<0，不妨设双曲线的这条渐近线方程为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，双曲线的左顶点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当SKIPIF1<0取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范围．【解析】双曲线SKIPIF1<0的左右焦点分别为SKIPIF1<0为双曲线右支上的任意一点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取等号，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故双曲线的离心率e的取值范围为：SKIPIF1<0.

.18．已知椭圆SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0，有相同的左、右焦点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在第一象限内的交点，且SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的离心率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围.【解析】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由椭圆的定义可得SKIPIF1<0，由双曲线的定义可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由于函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.19．已知双曲线T：SKIPIF1<0离心率为e，圆O：SKIPIF1<0．(1)若e=2，双曲线T的右焦点为SKIPIF1<0，求双曲线方程；(2)若圆O过双曲线T的右焦点F，圆O与双曲线T的四个交点恰好四等分圆周，求SKIPIF1<0的值；(3)若R=1，不垂直于x轴的直线l：y=kx+m与圆O相切，且l与双曲线T交于点A，B时总有SKIPIF1<0，求离心率e的取值范围．【解析】（1）因SKIPIF1<0，双曲线T的右焦点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则双曲线方程为SKIPIF1<0.（2）如图所示，

因为圆O与双曲线T的四个交点恰好四等分圆周，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，代入双曲线方程SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.（3）由题知，作图如下，

因为直线l：y=kx+m与圆O相切，且SKIPIF1<0，则圆心到直线SKIPIF1<0距离为SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，①又SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，②联立SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，③联立①②③，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即离心率e的取值范围为SKIPIF1<0.20．已知点SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0右支上一点，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是双曲线的左、右焦点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求双曲线的离心率；(2)设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是△SKIPIF1<0的外接圆半径和内切圆半径，求SKIPIF1<0．【解析】（1）由SKIPIF1<0为双曲线的右支上一点，可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在△SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；（2）由SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；因为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．21．已知双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，A为双曲线C左支上一点，SKIPIF1<0．(1)求双曲线C的离心率；(2)设点A关于x轴的对称点为B，D为双曲线C右支上一点，直线SKIPIF1<0与x轴交点的横坐标分别为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求双曲线C的方程．【解析】（1）由于A为双曲线C左支上一点，由双曲线的定义可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．整理，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以双曲线C的离心率为SKIPIF1<0．（2）由（1）可设双曲线C的标准方程为SKIPIF1<0．

设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．直线AD的方程为SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．直线BD的方程为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足方程SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<