新高考数学一轮复习 圆锥曲线专项重难点突破专题15 直线与抛物线的位置关系(解析版)

专题15直线与抛物线的位置关系限时：120分钟满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知抛物线SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线l与抛物线C交于A，B两点，若SKIPIF1<0，则直线l的斜率是（

）A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0 D．6【解析】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以点P是线段AB的中点，则SKIPIF1<0.因为A，B都是拋物线C上的点，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：A2．已知抛物线C的方程为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0的直线l与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0，与抛物线SKIPIF1<0有交点，所以SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立直线与抛物线方程，得SKIPIF1<0，消元整理，得SKIPIF1<0，由于直线与抛物线无公共点，即方程SKIPIF1<0无解，故有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故选：A3．过抛物线SKIPIF1<0上定点SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0的两条切线，分别交抛物线SKIPIF1<0于另外两点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0轴，所以，直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的斜率必然存在，设过点SKIPIF1<0且与圆SKIPIF1<0相切的直线的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由题意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，不妨设直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，易知点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，所以，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：B.4．已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为F，直线l过点F且与C交于M，N两点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】已知抛物线SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0焦点SKIPIF1<0由抛物线的定义可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选：C.5．已知点SKIPIF1<0为抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的焦点，过点F且倾斜角为60°的直线交抛物线SKIPIF1<0于A，B两点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．2【解析】由题意知SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0的方程，得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：C6．抛物线SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0距离的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】设直线SKIPIF1<0SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切，联立SKIPIF1<0与SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的距离即为SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0距离的最小值，由两平行线间距离公式得：SKIPIF1<0.故选：A7．已知点SKIPIF1<0和抛物线SKIPIF1<0，过抛物线SKIPIF1<0的焦点有斜率存在且不为0的直线与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点.若SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0得焦点坐标为SKIPIF1<0，设直线方程为SKIPIF1<0，与抛物线方程联立SKIPIF1<0，消去y得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以直线方程为：SKIPIF1<0，故选：A8．已知抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0点作直线SKIPIF1<0与上述两曲线自左而右依次交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．3 D．SKIPIF1<0【解析】由抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0可知焦点为SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由抛物线的定义可知SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号.故选：D二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9．若直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0只有一个公共点，则实数k的值可以为（）A．SKIPIF1<0 B．0 C．8 D．-8【解析】联立SKIPIF1<0与SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，直线与抛物线只有一个交点，满足要求，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，综上可知SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故选：AB10．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为F，直线l的倾斜角为60°且经过点F.若l与C相交于SKIPIF1<0两点，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．△AOB的面积为SKIPIF1<0【解析】抛物线SKIPIF1<0的焦点坐标为SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A错误，C正确；SKIPIF1<0，故B正确；又SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故D错误；故选：BC11．过抛物线SKIPIF1<0的焦点作一条直线与抛物线相交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，它们的横坐标之和等于SKIPIF1<0，则这样的直线方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．不存在【解析】抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意.设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由韦达定理可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：BC.12．在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0为抛物线SKIPIF1<0的焦点，点SKIPIF1<0在该抛物线上且位于SKIPIF1<0轴的两侧，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的面积最小值是SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0面积之和的最小值是SKIPIF1<0【解析】设SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，消SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故A错；SKIPIF1<0：SKIPIF1<0过SKIPIF1<0，故B对；设定点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，取等号，故C对；又SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，取等号，故D对.故选：BCD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．已知抛物线SKIPIF1<0的顶点为坐标原点，准线为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，若线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的方程为．【解析】因为抛物线SKIPIF1<0的顶点为坐标原点，准线为SKIPIF1<0，所以易得抛物线的方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，因为线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．

14．已知抛物线SKIPIF1<0上的两个不同的点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的横坐标恰好是方程SKIPIF1<0的根，则直线SKIPIF1<0的方程为．【解析】由题意，直线SKIPIF1<0的斜率存在，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，因为点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的横坐标恰好是方程SKIPIF1<0的根，所以SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，消SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，经检验，符合题意，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.15．已知O为坐标原点，A，B为抛物线SKIPIF1<0SKIPIF1<0上异于点O的两个动点，且SKIPIF1<0．若点O到直线AB的距离的最大值为8，则p的值为．【解析】由题意，直线SKIPIF1<0均有斜率且不为0.设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立方程SKIPIF1<0，解得点SKIPIF1<0，∵直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，∴直线SKIPIF1<0必过定点SKIPIF1<0，∴当直线SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0轴时，点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离的最大，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．16．已知抛物线C：SKIPIF1<0的焦点为F，过F点倾斜角为SKIPIF1<0的直线与曲线C交于A、B两点（A在B的右侧），则SKIPIF1<0．【解析】SKIPIF1<0抛物线C：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0焦点坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0的直线的倾斜角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直线的参数方程为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为参数），代入抛物线方程可得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．点SKIPIF1<0为抛物线SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0为其焦点，已知SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的值；(2)以SKIPIF1<0点为切点作抛物线的切线，交y轴于点N，求SKIPIF1<0的面积．【解析】（1）由抛物线的定义可知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，抛物线的方程为SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0在抛物线上，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）设过M点的方程为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以切线方程为SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.

18．已知直线SKIPIF1<0上有一个动点Q，过Q作直线l垂直于x轴，动点P在直线l上，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0，记点P的轨迹为C．

(1)求曲线C的方程．(2)设直线l与x轴交于点A，且SKIPIF1<0．试判断直线PB与曲线C的位置关系，并证明你的结论．【解析】（1）设P的坐标为SKIPIF1<0，则点Q的坐标为SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0．∴点P的轨迹方程为SKIPIF1<0SKIPIF1<0．（2）

直线PB与曲线C相切，设点P的坐标为SKIPIF1<0，点A的坐标为SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以点B的坐标为SKIPIF1<0．所以直线PB的斜率为SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0．所以直线PB的方程为SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以直线PB与曲线C相切．19．已知点SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上(1)求抛物线SKIPIF1<0的方程；(2)若直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0为坐标原点），求SKIPIF1<0的最小值【解析】（1）将点SKIPIF1<0代入抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0中，可得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴抛物线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.（2）由（1）知，抛物线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，显然直线SKIPIF1<0的斜率不为0，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号.∴SKIPIF1<0的最小值为8.20．已知抛物线SKIPIF1<0上的点SKIPIF1<0到其焦点的距离为SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的值；(2)若直线SKIPIF1<0交抛物线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，线段SKIPIF1<0的垂直平分线交抛物线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，求证：SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四点共圆．【解析】（1）抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，准线方程为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0到其焦点的距离为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，故抛物线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．将点SKIPIF1<0的坐标代入抛物线方程可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.（2）解：由中垂线的性质可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0并整理，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．设线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的纵坐标为SKIPIF1<0，所以，点SKIPIF1<0的横坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的垂直平分线，所以，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0并整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．设线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以，点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0都在以SKIPIF1<0为直径的圆上，故SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四点共圆．21．已知点A是抛物线x2＝2py（p＞0）上的动点，过点M（－1，2）的直线AM与抛物线交于另一点B．(1)当A的坐标为（－2，1）时，求点B的坐标；(2)已知点P（0，2），若M为线段AB的中点，求SKIPIF1<0面积的最大值．【解析】（1）当SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以抛物线的方程为：SKIPIF1<0，由题意可得直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，代入抛物线的方程可得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0（舍）或6，所以，SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0（2）法一：设直线SKIPIF1<0的方程：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴的交点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0则SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0代入上式，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面积的最大值为2．（2）法二：SKIPIF1<0。可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0