2025届高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第4讲随机事件的概率创新教学案含解析新人教版

PAGE第4讲随机事务的概率[考纲解读]1.了解随机事务发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区分．2．会用频率估计概率，驾驭概率的基本性质．(重点)3．了解两个互斥事务的概率加法公式．(难点)[考向预料]从近三年高考状况来看，本讲内容一般不作独立考查，预料2024年将会考查：①对立、互斥与古典概型结合考查随机事务概率的计算；②随机事务与统计图表相结合考查用频率估计概率．试题难度不大，属中、低档题型.1.事务的分类2．频率和概率(1)在相同的条件S下重复n次试验，视察某一事务A是否出现，称n次试验中事务A出现的eq\o(□,\s\up1(01))次数nA为事务A出现的频数，称事务A出现的比例fn(A)＝eq\o(□,\s\up1(02))eq\f(nA,n)为事务A出现的频率．(2)对于给定的随机事务A，假如随着试验次数的增加，事务A发生的eq\o(□,\s\up1(03))频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事务A的概率，简称为A的概率．3．事务的关系与运算定义符号表示包含关系假如事务A发生，则事务Beq\o(□,\s\up1(01))肯定发生，这时称事务B包含事务A(或称事务A包含于事务B)eq\o(□,\s\up1(02))B⊇A(或A⊆B)相等关系若B⊇A且A⊇B，那么称事务A与事务B相等A＝B并事务(和事务)若某事务发生当且仅当eq\o(□,\s\up1(03))事务A发生或事务B发生，称此事务为事务A与事务B的并事务(或和事务)A∪B(或A＋B)交事务(积事务)若某事务发生当且仅当eq\o(□,\s\up1(04))事务A发生且事务B发生，则称此事务为事务A与事务B的交事务(或积事务)eq\o(□,\s\up1(05))A∩B(或AB)互斥事务若A∩B为eq\o(□,\s\up1(06))不行能事务，那么称事务A与事务B互斥A∩B＝∅对立事务若A∩B为eq\o(□,\s\up1(07))不行能事务，A∪B为eq\o(□,\s\up1(08))必定事务，那么称事务A与事务B互为对立事务A∩B＝∅且A∪B＝U4．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：eq\o(□,\s\up1(01))0≤P(A)≤1.(2)必定事务的概率P(E)＝eq\o(□,\s\up1(02))1.(3)不行能事务的概率P(F)＝eq\o(□,\s\up1(03))0.(4)概率的加法公式假如事务A与事务B互斥，则P(A∪B)＝eq\o(□,\s\up1(04))P(A)＋P(B)．(5)对立事务的概率若事务A与事务B互为对立事务，则P(A)＝eq\o(□,\s\up1(05))1－P(B)．1．概念辨析(1)“方程x2＋x＋1＝0有两个实根”是不行能事务．()(2)频率随着试验次数改变而改变，而概率是一个常数．()(3)两个事务的和事务发生是指两个事务同时发生．()(4)对于随意事务A，B，总有公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．()(5)对立事务肯定是互斥事务，互斥事务不肯定是对立事务．()答案(1)√(2)√(3)×(4)×(5)√2．小题热身(1)某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参与演讲竞赛，事务“至少有一名女生”与事务“全是男生”()A．是互斥事务，不是对立事务B．是对立事务，不是互斥事务C．既是互斥事务，也是对立事务D．既不是互斥事务也不是对立事务答案C解析3名男生和2名女生，从中任选2名有以下可能：①全是男生；②恰有1名女生；③全是女生，所以“至少有一名女生”与“全是男生”既是互斥事务，也是对立事务．(2)给出下列三个命题，其中正确的命题有________个．①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是eq\f(3,7)；③随机事务发生的频率就是这个随机事务发生的概率．答案0解析由概率的概念，知从中任取100件，可能有10件次品，并不是必有10件次品，则①是假命题；抛硬币时出现正面的概率是eq\f(1,2)，不是eq\f(3,7)，则②是假命题；频率和概率不是同一个概念，则③是假命题．综上可知，正确的命题有0个．(3)从一箱产品中随机抽取一件，设事务A＝{抽到一等品}，事务B＝{抽到二等品}，事务C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事务“抽到的不是一等品”的概率为________．答案0.35解析“抽到的不是一等品”与“抽到一等品”是对立事务，所以抽到的不是一等品的概率P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.(4)刘老师在某高校连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是刘老师这门课3年来学生的考试成果分布：成果人数90分以上4280～89分17270～79分24060～69分8650～59分5250分以下8经济学院一年级的学生王小明下学期将选修刘老师的高等数学课，用已有的信息估计他得以下分数的概率：①90分以上的概率是________；②不及格(60分及以上为及格)的概率是________．答案①0.07②0.1解析用已有的信息估计王小明得90分以上的概率为eq\f(42,600)＝0.07，不及格的概率为eq\f(52＋8,600)＝0.1.题型一互斥、对立事务的推断1．有一个嬉戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事务“甲向南”与事务“乙向南”是()A．互斥但非对立事务 B．对立事务C．相互独立事务 D．以上都不对答案A解析“甲向南”与“乙向南”不会同时发生，但有可能都不发生，所以这两个事务互斥但不对立．2．从1,2,3,4,5中有放回地依次取出两个数，则下列各对事务是互斥而不是对立事务的是()A．恰有1个是奇数和全是奇数B．恰有1个是偶数和至少有1个是偶数C．至少有1个是奇数和全是奇数D．至少有1个是偶数和全是偶数答案A解析从1,2,3,4,5中有放回地依次取出两个数，共有三种状况：A＝{两个奇数}，B＝{一个奇数，一个偶数}，C＝{两个偶数}，且两两互斥，A中两个事务是互斥事务而不是对立事务；B，C，D中两个事务不互斥．推断互斥、对立事务的两种方法(1)定义法推断互斥事务、对立事务一般用定义推断，不行能同时发生的两个事务为互斥事务；两个事务，在任何一次试验中，若有且仅有一个发生，则这两个事务为对立事务，对立事务肯定是互斥事务．(2)集合法①由各个事务所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事务互斥．②事务A的对立事务eq\o(A,\s\up6(－))所含的结果组成的集合，是全集中由事务A所含的结果组成的集合的补集．某小组有3名男生和2名女生，从中选2名同学去参与演讲竞赛，下列有4个事务：①恰有1名男生和恰有2名男生；②至少有1名男生和至少有1名女生；③至少有1名男生和全是男生；④至少有1名男生和全是女生，其中是互斥事务的是________(填序号)．答案①④解析对于事务①，恰有1名男生是1男1女和恰有2名男生互斥；对于事务②，至少有1名男生和至少有1名女生两者有可能同时发生，所以不是互斥事务；对于③，至少有1名男生和全是男生也有可能同时发生，所以不是互斥事务；对于事务④，至少有1名男生和全是女生不行能同时发生，是互斥事务．题型二随机事务的频率与概率1．(2024·石家庄模拟)袋中有大小、形态完全相同的四个小球，分别写有“和”“谐”“校”“园”四个字，有放回地从中随意摸出一个小球，直到“和”“谐”两个字都摸到就停止摸球，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率．利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，分别用1,2,3,4代表“和”“谐”“校”“园”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：343432341342234142243331112342241244431233214344142134由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为()A.eq\f(1,9) B.eq\f(1,6)C.eq\f(2,9) D.eq\f(5,18)答案C解析由题意，得随机数的前两位只能出现1或2中的一个，第三位出现另外一个，所以满意条件的随机数为142,112,241,142，故恰好第三次就停止摸球的概率为eq\f(4,18)＝eq\f(2,9).故选C.2．某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了10道智力题，每道题10分，然后作了统计，结果如表．贫困地区参与测试的人数3050100200500800得60分以上的人数162752104256402得60分以上的频率发达地区参与测试的人数3050100200500800得60分以上的人数172956111276440得60分以上的频率(1)计算两地区参与测试的儿童得60分以上的频率(保留两位小数)；(2)依据频率估计两地区参与测试的儿童得60分以上的概率．解(1)贫困地区表格从左到右分别为0.53,0.54,0.52,0.52,0.51,0.50；发达地区表格从左到右分别为0.57,0.58,0.56,0.56,0.55,0.55.(2)依据频率估计贫困地区参与测试的儿童得60分以上的概率为0.52，发达地区参与测试的儿童得60分以上的概率为0.56.1．概率与频率的关系2．随机事务概率的求法对一批衬衣进行抽样检查，结果如表：抽取件数n50100200500600700800次品件数m021227273540次品率eq\f(m,n)(1)求次品出现的频率(次品率)；(2)记“任取一件衬衣是次品”为事务A，求P(A)；(3)为了保证买到次品的顾客能够刚好更换，销售1000件衬衣，至少需进货多少件？解(1)次品率依次为0,0.02,0.06,0.054,0.045,0.05,0.05.(2)由(1)，知出现次品的频率eq\f(m,n)在0.05旁边摇摆，故P(A)＝0.05.(3)设需进货x件，则x(1－0.05)≥1000，解得x≥1053，故至少需进货1053件．题型三互斥事务与对立事务的概率角度1互斥事务概率公式的应用1．(2024·全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为()A．0.3 B．0.4C．0.6 D．0.7答案B解析设事务A为只用现金支付，事务B为只用非现金支付，事务C为既用现金支付也用非现金支付，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，因为P(A)＝0.45，P(C)＝0.15，所以P(B)＝0.4.故选B.角度2对立事务概率公式的应用2．某班选派5人参与学校实行的数学竞赛，获奖的人数及其概率如下：获奖人数/人012345概率0.10.16xy0.2z(1)若获奖人数不超过2人的概率为0.56，求x的值；(2)若获奖人数最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y，z的值．解记事务“在数学竞赛中，有k人获奖”为Ak(k∈N，k≤5)，则事务Ak彼此互斥．(1)∵获奖人数不超过2人的概率为0.56，∴P(A0)＋P(A1)＋P(A2)＝0.1＋0.16＋x＝0.56.解得x＝0.3.(2)由获奖人数最多4人的概率为0.96，得P(A5)＝1－0.96＝0.04，即z＝0.04.由获奖人数最少3人的概率为0.44，得P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝0.44，即y＋0.2＋0.04＝0.44，解得y＝0.2.求困难的互斥事务概率的方法(1)干脆法(2)间接法(正难则反)1．(2024·天津红桥一模)经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下表：排队人数01234≥5概率0.10.160.30.30.10.04则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是________．答案0.74解析由已知条件可得，至少有2人排队的概率是0.3＋0.3＋0.1＋0.04＝0.74.2．某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，支配一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)．解(1)由已知，得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市全部顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简洁随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为eq\f(1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10,100)＝1.9(分钟)．(2)记A为事务“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事务“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”和事务“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率，得P(A1)＝eq\f(20,100)＝eq\f(1,5)，P(A2)＝eq\f(10,100)＝eq\f(1,10).P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－eq\f(1,5)－eq\f(1,10)＝eq\f(7,10).故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为eq\f(7,10).组基础关1．(2024·银川四校联考)下列结论正确的是()A．事务A的概率P(A)必满意0<P(A)<1B．事务A的概率P(A)＝0.999，则事务A是必定事务C．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显疗效，现有一名胃溃疡病人服用此药，则估计有明显疗效的可能性为76%D．某奖券中奖率为50%，则某人购买此奖券10张，肯定有5张中奖答案C解析A错误，应当有0≤P(A)≤1；由概率的意义可知，B，D错误，C正确．2．把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，则事务“甲分得红牌”与“乙分得红牌”()A．是对立事务B．是不行能事务C．是互斥事务但不是对立事务D．不是互斥事务答案C解析“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，但可能都不发生，所以这两个事务互斥但不对立．3．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是eq\f(1,7)，都是白子的概率是eq\f(12,35).则从中随意取出2粒恰好是同一色的概率是()A.eq\f(1,7) B.eq\f(12,35)C.eq\f(17,35) D．1答案C解析因为从中取出2粒都是黑子的概率为eq\f(1,7)，都是白子的概率是eq\f(12,35)，所以从中随意取出2粒恰好是同一色的概率为eq\f(1,7)＋eq\f(12,35)＝eq\f(17,35).4．(2024·石家庄模拟)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产状况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为()A．0.95 B．0.97C．0.92 D．0.08答案C解析记抽检的产品是甲级品为事务A，是乙级品为事务B，是丙级品为事务C，这三个事务彼此互斥，因而所求概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92.5．从某班学生中随意找出一人，假如该同学的身高小于160cm的概率为0.3，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身超群过175cm的概率为()A．0.2 B．0.3C．0.7 D．0.8答案A解析由题意，得身超群过175cm的概率为P＝1－0.3－0.5＝0.2.6．依据某医疗探讨所的调查，某地区居民血型的分布为O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%.现有一血液为A型的病人须要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为()A．15% B．20%C．45% D．65%答案D解析因为该地区居民血型的分布为：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%.现在能为A型病人输血的有O型和A型，故能为该病人输血的概率为50%＋15%＝65%.故选D.7．掷一个骰子的试验，事务A表示“出现小于5的偶数点”，事务B表示“出现小于5的点数”，若eq\o(B,\s\up6(－))表示B的对立事务，则一次试验中，事务A∪eq\o(B,\s\up6(－))发生的概率为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(5,6)答案C解析掷一个骰子的试验有6种可能结果．依题意P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，∴P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－P(B)＝1－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3).∵eq\o(B,\s\up6(－))表示“出现5点或6点”的事务，因此事务A与eq\o(B,\s\up6(－))互斥，从而P(A∪eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(A)＋P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).8．某射击选手在同一条件下进行射击，结果如下：射击次数102050100200500击中靶心的次数8194492178455则这名射击选手射击一次，击中靶心的概率约为________(精确到0.1)．答案0.9解析依据已知条件列出下表：射击次数102050100200500击中靶心的次数8194492178455频率0.800.950.880.920.890.91由表中数据可估计这名射击选手射击一次，击中靶心的概率约为0.9.9．假如事务A与B是互斥事务，且事务A∪B发生的概率是0.64，事务B发生的概率是事务A发生的概率的3倍，则事务A发生的概率为________．答案0.16解析设P(A)＝x，则P(B)＝3x，又因为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝x＋3x＝0.64，所以x＝0.16，则P(A)＝0.16.10．一个不透亮的袋子中装有7个红球，3个绿球，这些球除颜色外完全相同，从中无放回地随意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为eq\f(7,15)，取得两个绿球的概率为eq\f(1,15)，则取得两个同颜色球的概率为________，至少取得一个红球的概率为________．答案eq\f(8,15)eq\f(14,15)解析由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事务，因此事务C：“取得两个同颜色球”，只需两互斥事务有一个发生即可，因而取得两个同颜色球的概率为P(C)＝eq\f(7,15)＋eq\f(1,15)＝eq\f(8,15).由于事务A：“至少取得一个红球”与事务B：“取得两个绿球”是对立事务，则至少取得一个红球的概率为P(A)＝1－P(B)＝1－eq\f(1,15)＝eq\f(14,15).组实力关1．在一次随机试验中，彼此互斥的事务A，B，C，D发生的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是()A．A∪B与C是互斥事务，也是对立事务B．B∪C与D是互斥事务，也是对立事务C．A∪C与B∪D是互斥事务，但不是对立事务D．A与B∪C∪D是互斥事务，也是对立事务答案D解析由于A，B，C，D彼此互斥，且A∪B∪C∪D是一个必定事务，故各事务的关系可由如图所示的Venn图表示，由图可知，任何一个事务与其余3个事务的和事务必定是对立事务，任何两个事务的和事务与其余两个事务的和事务也是对立事务．2．若随机事务A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数aA.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，2)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(3,2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(3,2))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(4,3)))答案D解析由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<PA<1，,0<PB<1，,PA＋PB≤1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<2－a<1，,0<4a－5<1，,3a－3≤1，))解得eq\f(5,4)<a≤eq\f(4,3).3．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采纳随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________．答案0.25解析20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的是191,271,932,812,393，其频率为eq\f(5,20)＝0.25，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0.25.4．某电子商务公司随机抽取1000名网络购物者进行调查．这1000名购物者2024年网上购物金额(单位：万元)均在区间[0.3,0.9]内，样本分组为：[0.3,0.4)，[0.4,0.5)，[0.5,0.6)，[0.6,0.7)，[0.7,0.8)，[0.8,0.9]，购物金额的频率分布直方图如下：电子商务公司确定给购物者发放实惠券，其金额(单位：元)与购物金额关系如下：购物金额分组[0.3,0.5)[0.5,0.6)[0.6,0.8)[0.8,0.9]发放金额50100150200(1)求这1000名购物者获得实惠券金额的平均数；(2)以这1000名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率，求一个购物者获得实惠券金额不少于150元的概率．解(1)购物者的购物金额x与获得实惠券金额y的频率分布如下表：x0.3≤x<0.50.5≤x＜0.60.6≤x＜0.80.8≤x≤0.9y50100150200频率0.40.30.280.02这1000名购物者获得实惠券金额的平均数为eq\f(1,1000)×(50×400＋100×300＋150×280＋200×20)＝96.(2)由获得实惠券金额y与购物金额x的对应关系及(1)，知P(y＝150)＝P(0.6≤x<0.8)＝0.28，P(y＝200)＝P(0.8≤x≤0.9)＝0.02，从而，获得实惠券金额不少于150元的概率为P(y≥150)＝P(y＝150)＋P(y＝200)＝0.28＋0.02＝0.3.组素养关1．如图，从A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间(分钟)10～2020～3030～4040～5050～60选择L1的人数612181212选择L2的人数041