2024-2025学年高中数学第一章常用逻辑用语1.3全称量词与存在量词课时作业含解析北师大版选修2-1

PAGEPAGE1课时作业3全称量词与存在量词时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．下列命题是特称命题的是(D)A．偶函数的图像关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体C．不相交的两条直线是平行直线D．存在实数大于或等于3解析：含有存在量词的命题叫作特称命题，故D“存在实数大于或等于3”是特称命题．2．若命题p：全部对数函数都是单调函数，则p的否定为(C)A．全部对数函数都不是单调函数B．全部单调函数都不是对数函数C．存在一个对数函数不是单调函数D．存在一个单调函数不是对数函数3．下列命题：(1)至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立；(2)对随意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立；(3)对随意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立；(4)存在x，使x2＋2x＋1＝0成立．其中是全称命题的有(B)A．1个 B．2个C．4个 D．0个解析：(1)中的量词“至少有一个”和(4)中的量词“存在”都不是全称量词，故这两个命题不是全称命题．(2)、(3)中的量词“随意的”是全称量词，所以这两个命题是全称命题．故选B.4．下列命题中的假命题是(C)A．存在x∈R，lgx＝0 B．存在x∈R，tanx＝1C．随意x∈R，x3＞0 D．随意x∈R,2x＞0解析：本题主要考查全称命题和特称命题真假的推断．对于选项C，当x<0时，x3<0，故C是假命题．5．命题“存在x0∈∁RQ，xeq\o\al(3,0)∈Q”的否定是(D)A．存在x0∉∁RQ，xeq\o\al(3,0)∈Q B．存在x0∈∁RQ，xeq\o\al(3,0)∉QC．随意x∉∁RQ，x3∈Q D．随意x∈∁RQ，x3∉Q解析：本题考查量词命题的否定改写．随意x∈∁RQ，x3∉Q，留意量词肯定要改写．6．“a≥0”是“存在x∈R，ax2＋x＋1≥0为真命题”的(C)A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：a≥0时，存在x∈R，ax2＋x＋1≥0；但存在x∈R，ax2＋x＋1≥0时，a<0也可以．7．已知命题p：对随意x∈R，存在m∈R，使4x＋2xm＋1＝0.若命题p是真命题，则实数m的取值范围是(C)A．[－2,2] B．[2，＋∞)C．(－∞，－2] D．[－2，＋∞)解析：由4x＋2xm＋1＝0，得－m＝eq\f(4x＋1,2x)＝2x＋eq\f(1,2x)≥2，解得m≤－2.8．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满意2ax0＋b＝0，则下列命题中为假命题的是(C)A．存在x∈R，f(x)≤f(x0)B．存在x∈R，f(x)≥f(x0)C．对随意x∈R，f(x)≤f(x0)D．对随意x∈R，f(x)≥f(x0)解析：由题意知，x＝－eq\f(b,2a)为函数f(x)图像的对称轴方程，且x0＝－eq\f(b,2a)，又a>0，所以f(x0)为函数f(x)的最小值，即对全部的实数x，都有f(x)≥f(x0)．因此，“对随意x∈R，f(x)≤f(x0)”是假命题，故选C.二、填空题9．下列语句：①能被7整除的数都是奇数；②|x－1|<2；③存在实数a使方程x2－ax＋1＝0成立；④等腰梯形对角线相等且不相互平分．其中是全称命题且为真命题的序号是④.解析：①是全称命题，但为假命题；②不是命题；③是特称命题．10．下列命题和命题“任给x∈R，x2>3”的表述意义相同的是②③.(填序号)①有一个x∈R，使得x2>3；②每一个实数x，x2>3都成立；③对全部的x∈R，x2>3；④至少有一个x∈R，使得x2>3.解析：考查全称命题的不同表述方法．11．若命题“存在x∈R，使得x2＋(1－a)x＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．解析：由题意知，不等式x2＋(1－a)x＋1<0有实数解，则对应方程x2＋(1－a)x＋1＝0的根的判别式Δ＝(1－a)2－4>0，解得a>3或a<－1.三、解答题12．推断下列命题是全称命题还是特称命题，并推断其真假．(1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；(3)随意x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；(4)存在x0∈Z，log2x0>0.解：(1)全称命题，真命题．(2)特称命题，真命题．(3)全称命题，假命题．例如，存在x＝eq\r(3)，但x2＝3是有理数．(4)特称命题，真命题．13．若命题“对随意x∈R，关于x的不等式(a2－1)x2＋(a－1)x－1<0都成立”为真命题，求a的取值范围．解：当a＝－1时，不等式不恒成立；当a＝1时，原不等式恒成立．当a2－1≠0时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－1<0，,Δ＝a－12－4a2－1－1<0，))所以－eq\f(3,5)<a<1.所以a的取值范围是(－eq\f(3,5)，1]．——实力提升类——14．下列函数中，对随意a∈R，都有f(a)＋f(－a)＝1成立的是(B)A．f(x)＝lneq\r(1＋x2) B．f(x)＝cos2(x－eq\f(π,4))C．f(x)＝eq\f(x－12,1＋x2) D．f(x)＝eq\f(2x,2x－1)解析：对于A,f(x)是偶函数，因此f(a)＋f(－a)＝2f(a)≠1，不满意题意．对于B,f(x)＝eq\f(1＋cos2x－\f(π,2),2)＝eq\f(1,2)(1＋sin2x)，对随意a∈R，都有f(a)＋f(－a)＝1成立，满意题意．对于C，f(a)＋f(－a)＝eq\f(a－12,1＋a2)＋eq\f(－a－12,1＋a2)＝2≠1，因此不满意题意．对于D，x＝0时，f(x)没有意义．15．已知f(x)＝ax2＋bx＋c的图像过点(－1,0)，是否存在常数a，b，c，使得不等式x≤f(x)≤eq\f(1＋x2,2)对于一切实数x均成立．解：假设存在常数a，b，c，使得不等式x≤f(x)≤eq\f(1＋x2,2)对于一切实数x均成立．∵f(x)的图像过点(－1,0)，∴a－b＋c＝0.①∵x≤f(x)≤eq\f(1＋x2,2)对一切x∈R均成立，∴当x＝1时，也成立，即1≤a＋b＋c≤1，故有a＋b＋c＝1，②∴由①②得b＝eq\f(1,2)，c＝eq\f(1,2)－a，∴f(x)＝ax2＋eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)－a.故由x≤ax2＋eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)－a≤eq\f(1＋x2,2)对一切x∈R均成立，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax2－\f(1,2)x＋\f(1,2)－a≥0，,1－2ax2－x＋2a≥0))恒成立⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ1≤0，,Δ2≤0，,a>0，,1－2a>0))⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－4a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2