新高考数学一轮复习 专项分层精练第25课 正弦定理与余弦定理在实际中的应用（解析版）

第25课正弦定理与余弦定理在实际中的应用（分层专项精练）【一层练基础】一、单选题1．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）在平行四边形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则该平行四边形的面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】先运用余弦定理求出SKIPIF1<0，再求解出SKIPIF1<0，从而解出平行四边形ABCD的面积.【详解】解：设AC与BD交于点O，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故平行四边形ABCD的面积SKIPIF1<0．故选：A．

2．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）图1是南北方向、水平放置的圭表（一种度量日影长的天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成）示意图，其中表高为h，日影长为l.图2是地球轴截面的示意图，虚线表示点A处的水平面.已知某测绘兴趣小组在冬至日正午时刻（太阳直射点的纬度为南纬SKIPIF1<0）在某地利用一表高为SKIPIF1<0的圭表按图1方式放置后，测得日影长为SKIPIF1<0，则该地的纬度约为北纬（

）（参考数据：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由题意有SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，从而可得SKIPIF1<0【详解】由图1可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，该地的纬度约为北纬SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0．3．（2022·全国·高三专题练习）设M，N为某海边相邻的两座山峰，到海平面的距离分别为100米，50米．现欲在M，N之间架设高压电网，须计算M，N之间的距离．勘测人员在海平面上选取一点P，利用测角仪从P点测得的M，N点的仰角分别为30°，45°，并从P点观测到M，N点的视角为45°，则M，N之间的距离为（

）A．SKIPIF1<0米 B．SKIPIF1<0米 C．SKIPIF1<0米 D．SKIPIF1<0米【答案】A【分析】根据题意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，然后利用余弦定理即得.【详解】如图，由题可知SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（米）．故选：A.4．（2023春·全国·高一期中）如图，在SKIPIF1<0ABC中，∠BAC=SKIPIF1<0，点D在线段BC上，AD⊥AC，SKIPIF1<0，则sinC=（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】在SKIPIF1<0中利用正弦定理得SKIPIF1<0结合平方关系求解即可【详解】在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0又SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0故选：B.二、多选题5．（2023秋·吉林长春·高二长春外国语学校校考开学考试）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的对边分别是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．下面四个结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的外接圆半径是4B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0一定是钝角三角形D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】BC【解析】根据正弦定理可求出外接圆半径判断A，由条件及正弦定理可求出SKIPIF1<0，可判断B,由余弦定理可判断C，取特殊角可判断D.【详解】由正弦定理知SKIPIF1<0，所以外接圆半径是2，故A错误；由正弦定理及SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0，故B正确；因为SKIPIF1<0，所以C为钝角，SKIPIF1<0一定是钝角三角形，故C正确；若SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，故D错误.故选：BC6．（2023·重庆·统考三模）如图，为了测量障碍物两侧A，B之间的距离，一定能根据以下数据确定AB长度的是（

）A．a，b，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．a，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，b【答案】ACD【分析】由三角形全等的条件或者正、余弦定理即可判定.【详解】法一、根据三角形全等的条件SKIPIF1<0可以确定A、C、D三项正确，它们都可以唯一确定三角形；法二、对于A项，由余弦定理可知SKIPIF1<0，可求得SKIPIF1<0，即A正确；对于B项，知三个内角，此时三角形大小不唯一，故B错误；对于C项，由正弦定理可知SKIPIF1<0，即C正确；对于D项，同上由正弦定理得SKIPIF1<0，即D正确；故选：ACD.7．（2023春·四川眉山·高一校联考期中）下列命题中，正确的是（

）A．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0B．在锐角SKIPIF1<0中，不等式SKIPIF1<0恒成立C．在SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0必是等腰直角三角形D．在SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0必是等边三角形【答案】ABD【解析】对于选项SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，由正弦定理可得SKIPIF1<0，即可判断出正误；对于选项SKIPIF1<0在锐角SKIPIF1<0中，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即可判断出正误；对于选项SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，由SKIPIF1<0，利用正弦定理可得：SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0或SKIPIF1<0即可判断出正误；对于选项SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，利用余弦定理可得：SKIPIF1<0，代入已知可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0的形状，即可判断出正误.【详解】对于SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0，利用正弦定理可得：SKIPIF1<0，正确；对于SKIPIF1<0，在锐角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此不等式SKIPIF1<0恒成立，正确；对于SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由SKIPIF1<0，利用正弦定理可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，SKIPIF1<0错误.对于SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理可得：SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，故正确.故选：SKIPIF1<0.【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理及三角形边角关系，主要涉及的考点是三角形内角的诱导公式的应用，同时考查正弦定理进行边角转化，属于中等题.三、填空题8．（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）某中学开展劳动实习，学生需测量某零件中圆弧的半径.如图，将三个半径为SKIPIF1<0的小球放在圆弧上，使它们与圆弧都相切，左､右两个小球与中间小球相切.利用“十”字尺测得小球的高度差SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，则圆弧的半径为SKIPIF1<0.【答案】120【详解】如图所示，设圆弧圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，三个小球的球心自左至右分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，由题意可知，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.9．（2023·全国·高三专题练习）2021年9月17日，搭载着3名英航天员的神舟十二号载人飞船返回舱成功着陆于东风着陆场，标志着神舟十二号返回任务取得圆满成功.假设返回舱D是垂直下落于点C，某时刻地面上点SKIPIF1<0观测点观测到点D的仰角分别为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0间距离为10千米（其中向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0同向），试估算该时刻返回舱距离地面的距离SKIPIF1<0约为千米（结果保留整数，参考数据：SKIPIF1<0）.【答案】SKIPIF1<0【分析】利用正弦定理求得SKIPIF1<0，由此求得SKIPIF1<0.【详解】在三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0千米.故答案为：SKIPIF1<0四、解答题10．（2023秋·山东菏泽·高三校考阶段练习）如图,在平面四边形SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.(1)试用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0的长;(2)求SKIPIF1<0的最大值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】(1)根据已知条件将SKIPIF1<0用SKIPIF1<0表示,再在SKIPIF1<0中利用余弦定理求解即可;(2)在SKIPIF1<0中先用余弦定理将SKIPIF1<0用SKIPIF1<0表示,再结合(1)的结论,利用二次函数的性质求解最大值即可.【详解】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0.（2）在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0则当SKIPIF1<0时,取到最大值SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0【二层练综合】一、单选题1．（2022秋·新疆塔城·高二塔城市第三中学校考期中）如图，一座垂直建于地面的信号发射塔SKIPIF1<0的高度为SKIPIF1<0，地面上一人在A点观察该信号塔顶部，仰角为SKIPIF1<0，沿直线步行SKIPIF1<0后在B点观察塔顶，仰角为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，此人的身高忽略不计，则他的步行速度为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据给定条件，利用直角三角形边角关系求出AD，BD，再利用余弦定理计算作答.【详解】依题意，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0m，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0m，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由余弦定理得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0m，即有SKIPIF1<0，所以他的步行速度为SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：D二、多选题2．（2023春·湖南长沙·高一长郡中学校考期末）如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔SKIPIF1<0(A为塔顶，B为塔底)的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，测得SKIPIF1<0.测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：SKIPIF1<0，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔SKIPIF1<0的高度的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ACD【分析】根据解三角形的原理：解一个三角形，需要知道三个条件，且至少一个为边长.分析每一个选项的条件看是否能求出塔SKIPIF1<0的高度.【详解】解一个三角形，需要知道三个条件，且至少一个为边长.A.在SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，可以解这个三角形得到SKIPIF1<0，再利用SKIPIF1<0、SKIPIF1<0解直角SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0的值；B.在SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0无法解出此三角形，在SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0无法解出此三角形，也无法通过其它三角形求出它的其它几何元素，所以它不能计算出塔SKIPIF1<0的高度；C.在SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，可以解SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0,再利用SKIPIF1<0、SKIPIF1<0解直角SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0的值；D.如图，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0,连接SKIPIF1<0.由于SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，所以可以求出SKIPIF1<0的大小，在SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0可以求出SKIPIF1<0再利用SKIPIF1<0、SKIPIF1<0解直角SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0的值.故选：ACD【点睛】方法点睛：解一个三角形，需要知道三个条件，且至少一个为边长.判断一个三角形能不能解出来常利用该原理.三、填空题3．（2023·四川眉山·校考三模）在锐角SKIPIF1<0中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是．【答案】SKIPIF1<0【分析】由正弦定理和正弦二倍角公式将已知化为SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0为锐角三角形可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0以及SKIPIF1<0，再由正弦定理可得SKIPIF1<0，利用两角和的正弦展开式和SKIPIF1<0的范围可得答案.【详解】由正弦定理和正弦二倍角公式可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.四、解答题4．（2023春·河北邯郸·高一校考阶段练习）在SKIPIF1<0中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且SKIPIF1<0．(1)求B；(2)如图，若D为SKIPIF1<0外一点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求AC．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）利用诱导公式、二倍角的余弦公式和正弦定理可得SKIPIF1<0，进而得SKIPIF1<0，从而得到SKIPIF1<0；（2）连接BD，由已知得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，利用正弦定理可得SKIPIF1<0，最后利用余弦定理求得SKIPIF1<0．【详解】（1）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由正弦定理，得SKIPIF1<0，整理，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）连接BD，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由正弦定理可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，由余弦定理可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．【三层练能力】一、多选题1．（2023·山西阳泉·统考三模）设SKIPIF1<0内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BCD【分析】由SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，推出SKIPIF1<0，判断AB；由SKIPIF1<0得到C正确；由三角函数的单调性结合导数得到D正确.【详解】因为SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0无意义，A错误；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，B正确；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由大角对大边，得SKIPIF1<0，C正确；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<