2024-2025学年陕西省西安市碑林区西北工大附中九年级（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年陕西省西安市碑林区西北工大附中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）1．（3分）下列函数中，y是x的二次函数的是（）A．y＝6x2+1 B．y＝6x+1 C． D．2．（3分）如图，七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，是轴对称图形的为（）A． B． C． D．3．（3分）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，则此时火箭距海平面的高度AL为（）A．asinθ千米 B．千米 C．acosθ千米 D．千米4．（3分）如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点P表示的数是（）A． B．2 C． D．55．（3分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，则OC：OF＝（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：96．（3分）若正比例函数y＝mx（m≠0），y随x的增大而减小，则二次函数y＝mx2+m的图象大致是（）A． B． C． D．7．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，CD＝10，AE⊥BC于点E，则AE的长是（）A． B．6 C． D．128．（3分）已知二次函数y＝x2﹣4x（t﹣3≤x≤6），当x＝6时，函数取得最大值，函数取得最小值，则t的取值范围是（）A．0＜t≤1 B．0＜t≤5 C．1≤t≤5 D．t≥1二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9．（3分）若线段a、b、c、d是成比例线段，且a＝1cm，b＝2cm，则d＝．10．（3分）已知二次函数y＝x2+1的图象上有三点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3），则y1，y2，y3的大小关系为．11．（3分）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，点B落在点B处，AB′交CD于点E，则的值为．12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB为菱形，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上．13．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝2，连接BP、CP，Q为PC上一动点，使∠BQC＝∠CBP，在点P运动过程中．三、解答题（共12小题，计81分．解答要写出过程）14．（5分）计算：﹣+2cos30°﹣|﹣2|+2﹣1．15．（5分）解方程：x（2x+1）＝8x﹣3．16．（5分）化简：．17．（5分）尺规作图，如图所示，在Rt△ABC中，，，请用尺规在AB边上求作一点D，使得CD＝2BD．（不写作法，保留作图痕迹）18．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，AE＝AB＝15，BE＝2EC19．（7分）物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在课外活动中制作了A，B，C，D四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，现放置于暗箱中摇匀．（1）小物从四张卡片中随机抽取一张，抽中B卡片的概率是；（2）小化从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小化抽取两张卡片内容均为化学变化的概率．20．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x+2m﹣8＝0．（1）求证：无论m为何值，该方程总有两个实数根；（2）当Rt△ABC的斜边，且两直角边a和b恰好是该方程的两个根，求m的值．21．（7分）图①中的陕西广播电视塔，又称“西安电视塔”．某直升飞机于空中A处探测到西安电视塔，此时飞行高度AB＝980m，从直升飞机上看塔尖C的俯角∠EAC＝37°，看塔底D的俯角∠EAD＝45°（参考数据：sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，tan37°＝0.75）22．（8分）如图，直线y＝kx与双曲线交于A，已知A点坐标为（a，3）．（1）求a，k的值；（2）将直线y＝kx向上平移m（m＞0）个单位长度，与双曲线，与x轴交于点E，与y轴交于点P，求m的值．23．（8分）某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1440元，购买乙种用了2430元，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵6元．（1）求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元；（2）该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5000元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？24．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），D是抛物线第四象限上一点．（1）求线段AB的长；（2）当a＝1时，若△ABD的面积是△ABC的面积的倍，求∠BAD．25．（10分）（1）如图1，正方形ABCD和正方形BHGF，其中D，G，延长BG交CD于E，连结AH．若CE＝2，则tan∠DBE＝；（2）在（1）的条件下，如图1，求；（3）如图2，正方形ABCD和正方形BHGF，P是AB中点，F恰在CP上，连结DG、AG，当AG最小时，求正方形BHGF的边长．

2024-2025学年陕西省西安市碑林区西北工大附中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）1．（3分）下列函数中，y是x的二次函数的是（）A．y＝6x2+1 B．y＝6x+1 C． D．【解答】解：A、y＝6x2+6是二次函数，符合题意；B、y＝6x+1不符合二次函数的形式，不符合题意；C、y＝，不是二次函数；D、y＝，不是二次函数，故选：A．2．（3分）如图，七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，是轴对称图形的为（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是轴对称图形，B、不是轴对称图形，C、是轴对称图形，D、不是轴对称图形，故选：C．3．（3分）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，则此时火箭距海平面的高度AL为（）A．asinθ千米 B．千米 C．acosθ千米 D．千米【解答】解：由题意得：，∴AL＝asinθ千米，故选：A．4．（3分）如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点P表示的数是（）A． B．2 C． D．5【解答】解：设P点表示的数为x，则根据平行线分线段成比例可得：解，解得，经检验，是分式方程的解且符合实际意义，即P点表示的数为．故选：C．5．（3分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，则OC：OF＝（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，∴△ABC与△DEF的位似比为1：3，∴OC：OF＝7：3．故答案为：B．6．（3分）若正比例函数y＝mx（m≠0），y随x的增大而减小，则二次函数y＝mx2+m的图象大致是（）A． B． C． D．【解答】解：∵正比例函数y＝mx（m≠0），y随x的增大而减小，∴m＜0，∴抛物线y＝mx3+m的开口向下，与y轴交于负半轴上，故选：D．7．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，CD＝10，AE⊥BC于点E，则AE的长是（）A． B．6 C． D．12【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，CD＝10，∴BC＝CD＝10，BO＝DO＝8，AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，在Rt△OBC中，由勾股定理得：OC＝＝，∴AC＝2OC＝6，∵菱形ABCD的面积＝AE•BC＝BD•AC＝OB•AC，∴AE＝＝＝，故选：C．8．（3分）已知二次函数y＝x2﹣4x（t﹣3≤x≤6），当x＝6时，函数取得最大值，函数取得最小值，则t的取值范围是（）A．0＜t≤1 B．0＜t≤5 C．1≤t≤5 D．t≥1【解答】解：∵y＝x2﹣4x＝（x﹣4）2﹣4，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，﹣4），当x＝6时，y＝12，∴（7，12）关于对称轴对称的点坐标为（﹣2，∴﹣2≤t﹣7≤2，∴1≤t≤4．故选：C．二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9．（3分）若线段a、b、c、d是成比例线段，且a＝1cm，b＝2cm，则d＝8cm．【解答】解：∵线段a、b、c、d是成比例线段，∴a：b＝c：d，即1：2＝6：d，∴d＝8（cm），故答案为：8cm．10．（3分）已知二次函数y＝x2+1的图象上有三点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3），则y1，y2，y3的大小关系为y1＜y2＜y3．【解答】解：当x＝1时，y1＝32+1＝5；当x＝2时，y2＝72+1＝7；当x＝﹣3时，y3＝（﹣5）2+1＝10．∵7＜5＜10，∴y1＜y6＜y3．故答案为：y1＜y5＜y3．11．（3分）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，点B落在点B处，AB′交CD于点E，则的值为．【解答】解：∵四边形ABCD是黄金矩形，且AB＝2，∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝，∴∠DCA＝∠BAC．由翻折可知，∠BAC＝∠EAC，∴∠EAC＝∠DCA，∴EA＝EC＝2﹣DE．在Rt△ADE中，AD7+DE2＝AE2，∴（）2+DE2＝（2﹣DE）2，∴DE＝，∴．故答案为：．12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB为菱形，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上32．【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，∵sin，∴设AD＝5x，则OA＝5x，∴OD＝＝4x，∵点A落在反比例函数上，∴4x•3x＝12，解得x＝5（负值舍去），∴4x＝4，5x＝3，∴A（3，3），∴OA＝5x＝5，∵四边形AOCB为菱形，∴AB＝OA，∴B（3，4），∵点B落在反比例函数上，∴k＝7×4＝32，故答案为：32．13．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝2，连接BP、CP，Q为PC上一动点，使∠BQC＝∠CBP，在点P运动过程中﹣1．【解答】解：连接DQ，取CD中点E，BE，∵∠BQC＝∠CBP，∠BCQ＝∠PCB，∴△BCQ∽△PCB．∴＝．∵正方形ABCD中，AB＝2，∴BC＝AD＝AB＝2，∠D＝∠BCD＝90°．∴＝．又∵∠DCQ＝∠PCD，∴△CDQ∽△CPD，∴∠CQD＝∠CDP＝90°．∴点Q在以CD为直径的圆上运动．∴当B、Q、E三点共线，BQ最小．∵E为CD中点，∴CE＝CD＝1＝QE．∵∠BCD＝90°，BC＝3，∴BE＝＝．∴BE﹣EQ＝﹣1﹣1．故答案为：﹣6．三、解答题（共12小题，计81分．解答要写出过程）14．（5分）计算：﹣+2cos30°﹣|﹣2|+2﹣1．【解答】解：﹣+2cos30°﹣|﹣8＝﹣2+6×）+＝﹣5+﹣6++＝﹣．15．（5分）解方程：x（2x+1）＝8x﹣3．【解答】解：去括号，得：2x2+x＝7x﹣3，移项，得：2x5+x﹣8x+3＝6合并同类项，得：2x2﹣3x+3＝0，∴（7x﹣1）（x﹣3）＝2，∴2x﹣1＝4或 x﹣3＝0，∴，x2＝3．16．（5分）化简：．【解答】解：＝[﹣]•＝•＝•＝•＝．17．（5分）尺规作图，如图所示，在Rt△ABC中，，，请用尺规在AB边上求作一点D，使得CD＝2BD．（不写作法，保留作图痕迹）【解答】解：如图，点D即为所求．理由：∵∠B＝∠B，∠CDB＝∠ACB＝90°，∴△CDB∽△ACB，∴＝＝2，∴CD＝2BD，即点D即为所求．18．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，AE＝AB＝15，BE＝2EC【解答】解：设EC＝x，则BE＝2x，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC＝3x，∵AD∥BE，∴△ADF∽△EBF，∴＝＝＝，∴＝，∴EF＝AE＝．19．（7分）物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在课外活动中制作了A，B，C，D四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，现放置于暗箱中摇匀．（1）小物从四张卡片中随机抽取一张，抽中B卡片的概率是；（2）小化从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小化抽取两张卡片内容均为化学变化的概率．【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，∴抽中B卡片的概率是．故答案为：；（2）四张卡片内容中是化学变化的有：A，D，画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中小化抽取两张卡片内容均为化学变化的结果有：AD，共8种，∴小化抽取两张卡片内容均为化学变化的概率为．20．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x+2m﹣8＝0．（1）求证：无论m为何值，该方程总有两个实数根；（2）当Rt△ABC的斜边，且两直角边a和b恰好是该方程的两个根，求m的值．【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（m﹣2）]2﹣5（2m﹣8）＝m2﹣12m+36＝（m﹣6）2≥7，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵两直角边a和b恰好是该方程的两个根，∴a+b＝m﹣2，ab＝2m﹣8，∵Rt△ABC的斜边，∴a2+b7＝c2＝40，∴（a+b）2﹣5ab＝40，∴（m﹣2）2﹣2×（2m﹣8）＝40，解得m＝10或﹣7．21．（7分）图①中的陕西广播电视塔，又称“西安电视塔”．某直升飞机于空中A处探测到西安电视塔，此时飞行高度AB＝980m，从直升飞机上看塔尖C的俯角∠EAC＝37°，看塔底D的俯角∠EAD＝45°（参考数据：sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，tan37°＝0.75）【解答】解：过点C作CF⊥AB，垂足为F．∵AB⊥BD，CF⊥AB，∴∠CDB＝∠B＝∠CFB＝90°．∴四边形CDBF是矩形．∴BF＝CD，CF＝BD＝980m．∵CF∥BD∥AE，∴∠EAC＝∠ACF＝37°，∠EAD＝∠ADB＝45°．在Rt△ACF中，∵tan∠ACF＝，∴AF＝tan∠ACF•CF＝tan37°×980≈0.75×980≈735（m）．∴CD＝FB＝AB﹣AF＝980﹣735＝245（m）．答：西安电视塔的高度CD为245m．22．（8分）如图，直线y＝kx与双曲线交于A，已知A点坐标为（a，3）．（1）求a，k的值；（2）将直线y＝kx向上平移m（m＞0）个单位长度，与双曲线，与x轴交于点E，与y轴交于点P，求m的值．【解答】解：（1）∵点A在反比例函数图象上，所以3＝﹣，解得a＝﹣7，将A（﹣3，3）代入y＝kx，∴k＝﹣5；（2）∵如图，过点C作CF⊥y轴于点F，∴CF∥OE，∴∠FCP＝∠OEP，∠CFP＝∠EOP，∵PE＝PC，∴△CFP≌△EOP（AAS），∴CF＝OE，OP＝PF，∵直线y＝﹣x向上平移m个单位长度得到y＝﹣x+m，令x＝0，得y＝m，得x＝m，∴E（m，0），m），∴CF＝OE＝m，OP＝PF＝m，∴C（﹣m，5m），∵双曲线y＝﹣过点C，∴﹣m•2m＝﹣7，解得m＝或﹣，∴m＝．23．（8分）某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1440元，购买乙种用了2430元，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵6元．（1）求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元；（2）该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5000元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？【解答】解：（1）设甲种滑动变阻器的单价为x元，则乙种滑动变阻器的单价为（x+6）元，根据题意得：＝×5.5，解得：x＝48，经检验，x＝48是所列方程的根．∴x+6＝54，答：甲种滑动变阻器的单价是48元，乙种滑动变阻器的单价是54元；（2）设该校购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器（100﹣m）个，根据题意得：48m+54（100﹣m）≤5000，解得：m≥66，答：该校最少可以购买67个甲种滑动变阻器．24．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），D是抛物线第四象限上一点．（1）求线段AB的长；（2）当a＝1时，若△ABD的面积是△ABC的面积的倍，求∠BAD．【解答】解：（1）当y＝0时，ax2﹣4ax﹣3a＝0，解得x4＝﹣1，x2＝7，∴A（﹣1，0），8），∴AB＝3﹣（﹣1）＝8；（2）当a＝1时，抛物线解析式为y＝x2﹣7x﹣3，∵y＝x2﹣3x﹣3＝（x﹣1）6﹣4，∴C（1，﹣2），设D点坐标为（t，t2﹣2t﹣8）（0＜t＜3），∵△ABD的面积是△AB