人教版高中数学必修第一册全册A教学课件

人教版高中数学必修第一册全册A全册教学课件第1章

集合与常用逻辑用语1.1集合的概念人教A版高中数学必修第一册N*NZQR什么是集合？什么是元素？

2，4，6，8，10全部正方形，无数个点构成了直线

太平洋、大西洋、印度洋以及北冰洋。全部新生一般地，我们把研究对象统称为元素，如(1)中的几个偶数2，4等；把由元素组成的总体叫做集合(简称为集)，如上面左侧的6个集合。什么是集合？什么是元素？

“对象”集合中的“对象”所指的范围非常广泛，现实生活中我看到的、听到的、想到的、触摸到的事物和抽象的符号等等，都可以看做对象。比如数、点、图形、多项式、方程、函数、人等等、

“总体”集合是一个整体，已暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成集合，那么这个集合就是全体，而非个别对象了。集合当中的元素有哪几种性质？确定性对于一个给定的集合，它的元素必须是确定的。也就是说，对于一个已知的集合来说，某个元素在不在这个集合里，是确定的，要么在，要么不在，不能含糊其辞。比如“较小的数”就不能构成集合，因为组成它的元素是不缺定的。互异性一个给定的集合当中的元素是互不相同的，即集合中的元素不会重复出现无序性集合中的元素排列没有顺序之分，只要某两个集合当中的元素相同，那么它们就是相等的集合。｛1，2，3｝和｛3，2，1｝是同样的集合集合和元素怎么表示？它们之间有什么关系？一般来说：用大写拉丁字母A、B、C…等表示集合

元素与集合的关系：

比如，3∈自然数集；4∉奇数集常用的数集比如自然数集怎么表示？【自然数集】全体自然数组成的集合，包括0，1，2…等，记作N，也叫非负整数集【正整数集】全体正整数组成的集合，记作N*或N+；【整数集】全体整数组成的集合，记作Z；【有理数集】全体有理数组成的集合，记作Q；【实数集】全体实数组成的集合，记作R；以上数集之间的关系如图所示：N*NZQR注意写法从上面的例子可以看出：我们可以用自然语言来描述集合，还可以用什么方法呢？集合的3种表示方法之列举法

【注意】（1）花括号表示的是“所有”“整体”的含义，如实数集可以写成

｛实数｝，但不能写成｛实数集｝｛全体实数｝｛R｝（2）列举法表示集合时要注意：

①元素之间用逗号隔开；

②一个集合中的元素书写一般不考虑顺序集合的3种表示方法之列举法【问题】哪些集合适合用列举法表示呢？（1）含有有限个元素且元素个数较少的集合（2）元素较多，但是元素的排列呈现一定的规律，在不至于发生误解的情况

下，也可以列出几个元素作代表，其他元素用省略号表示，如自然数集N可以表示为｛0，1，2，…，n…｝

集合的分类【有限集】含有有限个元素的集合【无限集】含有无限个元素的集合

【解】（1）｛0，1，2，3，4，5，6，7，8,9｝（2）B=｛0，1｝注意：由于集合具有无序性，所以第(1)题的答案可以有多种呈现方式，如｛1，2，4，5，6，0，7，3｝等集合的3种表示方法之描述法

集合的3种表示方法之描述法问题：用描述法表示集合需要注意什么问题？

（2）竖线后面写清元素满足的条件，一般是方程或者不等式.

表示集合的三种方法各有什么特点？

自然语言是最基本的语言形式，使用范围广，但是具有多义性，有时难于表达。

列举法直观地体现了元素的个体，但是有局限性，多适用于元素个数较少的有限集。

描述法具有抽象概括、普遍性的特点，适用于元素共同特征明显的集合，有些集合元素没有明显的共同特征，则不能用描述法。

｛1｝

表示集合的三种方法各有什么特点？列举法和描述法的转化列举法表示的集合描述法表示的集合明确集合中元素的共同特征找准代表元素，满足什么条件描述法表示的集合列举法表示的集合分析集合中的元素及其特征逐一列出集合中的元素表示集合的三种方法各有什么特点？几何语言及其他语言的关系及构成形象化具体化自然语言(通俗、易懂)图形语言(形象、直观)集合语言简介、抽象文字化抽象化抽象化形象化文字语言符号语言图形语言【①元素与集合关系的判断】

D【②已知元素与集合的关系求参数】

【③由集合相等求参数】

同学们，通过这节课的学习，你有什么收获呢？谢谢大家爱心.诚心.细心.耐心，让家长放心.孩子安心。第1章

集合与常用逻辑用语1.2集合间的基本关系人教A版高中数学必修第一册集合A包含集合B是什么意思？什么是子集？观察下面的例子，你能发现集合之间有什么关系吗？（1）A={1，2，3，4}，B={1，2，3，4,5}（2）C为立德中学高一（2）班全体女生组成的集合，D为这个班全体学生组成的集合；（3）E={x|x是两条边相等的三角形}，F={x|x是等腰三角形}。集合A包含集合B是什么意思？什么是子集？可以发现，在（1）中的集合A的任何一个元素都是集合B的元素，这时我们说集合A包含于集合B，或者说集合B包含集合A。（2）中的集合C与集合D也有这种关系。一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，

集合A包含集合B是什么意思？什么是子集？【对子集的理解】

（3）集合中的专业术语只有子集，没有母集或父集举例说明，若A={1,2,3}，B={1,2,3,4}，C={1,2,5},则有

B={0，1，2，3，4}，所以A⊆B什么是Venn图？

AB【注意】①表示集合的Venn图的便捷是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆、

也可以是其他封闭曲线②Venn图的优点是形象直观，缺点是公共特征不明显，画图时要注意

区分大小关系。什么是Venn图？在(3)中，由于“两条边相等的三角形”是等腰三角形，因此，集合E，F都是由所有等腰三角形组成的集合即集合E中任何一个元素都是集合F中的元素，同时，集合F中任何一个元素也都是集合E中的元素。这样，集合E的元素与集合F的元素是一样的。观察下面的例子，你能发现集合之间有什么关系吗？（3）E={x|x是两条边相等的三角形}，F={x|x是等腰三角形}。

ABD两个集合相等是什么意思？

【举例说明】

①若集合A：0~10之间的质数；集合B={2，3，5，7}，则A=B②若集合A：中国的直辖市组成的集合；B={北京，上海，重庆，天津}

则A=B两个集合相等是什么意思？【问题】怎样证明或判定两个集合相等？(2)判定两个集合相等，可把握两个原则：

①设两个集合A，B均为有限集，若两个集合中元素个数相同，

且对应元素分别相同，则两个集合相等

②设两个集合A，B均为无限集，只需看两个集合的代表元素

及其特征是否相同，若相同，则两个集合相等，即A=B

【解】由题意B中的元素也是1和-1，

什么是真子集？难道还有假子集？

【对真子集的理解】

③没有“假子集”这个概念1.写出集合{a,b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集【解】子集有∅，{a}，{b}，{a，b}其中真子集有∅，{a}，{b}【分析】可把子集分为三类：

①不含元素的：∅

②含有一个元素的

③含有两个元素的

④含有三个元素的【注意】书写子集的时候千万不要漏掉空集∅

什么是空集?

都表示没有的意思都是集合都是集合∅是集合，0是实数∅不含任何元素，{0}含有一个元素0∅不含任何元素，{∅}是一个集合，它是由集合组成的一个集合，含有一个元素，这个元素是∅0∉∅∅⫋{0}∅⫋{∅}或∅∈{∅}一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅，并规定：

空集是任何集合的子集，并且：空集是任何非空集合的真子集

由上述集合间的基本关系，我们可以得到如下结论：

=∈∈⫋⫋=如何求某个集合子集的个数？【答】以集合{1,2,3}为例，它的子集可以这么来分析：对于集合{1，2，3}中的每一

个元素1，2，3，在它的子集中都有两种情况：①在子集中②不在子集中，

如下表：✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✔✔✔✔✔✔✔✔✔✔✔✔∅{1}{2}{3}{1,2}{1,3}{2,3}{1,2,3}

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集合与常用逻辑用语1.3集合的基本运算人教A版高中数学必修第一册ABABBBAAA(B)什么是并集？它有什么特点？

上述两个问题中，集合A、B与集合C之间都具有这样一种关系：集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的。A∪B，读作“A并B”一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的并集，记作：什么是并集？它有什么特点？【符号语言表示】

【图形语言表示】ABA∪B【注意】

集合A∪B中的元素个数不一定等于集合A和集合B中的元素个数之和，如果集合A和集合B有公共部分的元素，那么这部分元素只出现一次，如：A={1,2}，B={2,3}，则A∪B={1,2,3}，元素个数并不是2+2=4个，而是3个

1.设集合A={4，5，6，8}，集合B={3，5，7,8},求A∪B。【解】由题意易知A∪B={3，4，5，6，7，8}

【解】利用数轴可以直观地分析本题两个集合的关系。-10123

公共元素在并集里只出现一次并集有什么性质？【性质①】A∪A=A

任何集合与其本身的并集都等于自身【拓展】A，B，A∪B这三者的关系有如下5种情况：【性质②】A∪∅=A

任何集合与空集的并集都等于这个集合本身ABABBBAAA(B)①A和B没有公共元素

③B⫋A，则

A∪B=A④A⫋B，则A∪B=B④A=B，则

A∪B=A=B

什么是交集？在上述两个问题中，集合C是由所有既属于集合A又属于集合B的元素组成的。

一般地，由所有属于A集合且属于B集合的元素组成的集合，称为集合A与集合B的交集。记作：A∩B，读作“A交B”

什么是交集？【符号语言表示】

【图形语言表示】ABA∩B【注意】

如果集合A和集合B没有公共元素，那么也不能说两个集合没有交集，而是它们的交集是空集，即A∩B=∅.例如A={1,2,3},B={(1,1),(2,2),(3,3)},则A∩B=∅，原因是A是数集，B是点集，它们不会有公共元素，所以A∩B=∅。

【解】A∩B就是立德中学高一年级中那些既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学组成的集合。所以，

【解】平面内的两条直线有三种位置关系：①平行；②相交；③重合

交集有哪些运算性质？【拓展】A，B，A∩B这三者的关系有如下5种情况：【性质②】A∩∅=∅

任何集合与空集的交集都等于空集ABABBBAAA(B)①A和B没有公共元素，

则A∩B=空

③B⫋A，则

A∩B=B④A⫋B，则

A∩B=A④A=B，则

A∩B=A=B

【性质①】A∩A=A

任何集合与其本身的交集都等于自身1.设A={3,5,6,8}，B={4,5,7,8}，求A∪B，A∩B【解】A∪B={3，4，5，6，7，8}，A∩B={5，8}

【解】由题意易得A={-1,5},B={-1，1}，则A∪B={-1,1,5},A∩B={-1}

什么是补集?

【全集】一般地，如果一个集合中含有我们所研究的问题中涉及的所有元素，

那么就称这个集合为全集。也就是我们讨论的范围。一般记作“U”什么是补集?【符号语言表示】

【图形语言表示】UA【注意】(1)全集不是固定不变的，研究不同的问题，涉

及到的全集一般不一样。

(2)补集是相对于全集而言的，如果没有定义全

集，那么就不存在补集的说法；并且，补集

的元素不能超出全集的范围。(3)补集既是集合间的一种关系，也是集合间的

一种运算，在给定全集U的情况下，求集合A

的补集的前提是A为全集U的子集。

【解】根据三角形的分类可知：

A∩B=∅

补集有哪些性质？

【Venn图】UAB

补集有哪些性质？【拓展】德·摩根定律(反演律)：设U为全集，A，B为其子集，则有：

==我是图①我是图②

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集合与常用逻辑用语1.4充分条件与必要条件人教A版高中数学必修第一册BA

什么是充分条件？什么是必要条件？

可以发现，在（1）（2）中，如果元素属于集合A，那么一定也属于B。

pq我是你的充分条件我是你的必要条件

什么是充分条件？什么是必要条件？【对充分与必要条件的理解】

【2】

p是q的充分条件【3】

q的充分条件是p【4】

q是p的必要条件【5】

p的必要条件是q

什么是充要条件？【逆命题】将命题“若p，则q”中的条件和结论互换，就得到一个新的命题：

“若q，则p”，这个就是原命题的逆命题。

什么是充要条件？【注意】p是q的充要条件也可以说成：

p是q的充分不必要条件p是q的必要不充分条件p是q的充要条件p是q的既不充分也不必要条件①p和q是等价的②p成立当且仅当q成立③q成立当且仅当p成立1.指出下列各组中p是q的什么条件。①p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；

②

p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；

A怎么判断充要条件？有哪些方法？【2】等价法【1】定义法：

将命题转化成为另一个与之等价的且便于判断真假的命题【3】赋值法对于选择题，可以取一些特殊值或者特殊情况，用来说明结论或者推导不成立，但不可用于证明题。怎么判断充要条件？有哪些方法？【3】集合法：

ABABBBAAA(B)A⫋Bp是q的充分不必要条件B⫋Ap是q的必要不充分条件A=Bp是q的充要条件

②p:四边形的对角线相等；q:四边形是矩形

充分条件与必要条件的传递性

（1）充分条件与必要条件都有传递性，具体如下：

（2）给定命题“若p，则q”，对于p是q的什么条件的证明：

充分条件与必要条件的传递性【问题】已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么：

①s是q的什么条件？②r是q的什么条件？③p是q的什么条件？【解】利用图示，表示出p，q，s，r之间的关系如下：

1.下列各组题中，哪些p是q的充要条件？为什么？

①p:三角形为等腰三角形，q:三角形存在两角相等；

②p:圆O内两条弦相等，q:圆O内两条弦所对的圆周角相等；

本节考试常考什么？【充分条件，必要条件，充要条件的判断】

②p:两个三角形相似，q:两个三角形全等；

本节考试常考什么？【充分条件，必要条件，充要条件的判断】【题2·集合法】判断下列各图中A是B的什么条件？

①【解】因为B⫋A，所以A是B的充分不必要条件②③BAA(B)AB【解】因为A=B，所以A是B的充要条件

本节考试常考什么？【充分条件，必要条件，充要条件的判断】【题3·传递法】已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s

的必要条件，则p是q的什么条件？

【注意】本题也可以用图形法，列出p，q，r，s的关系图：

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集合与常用逻辑用语1.5全称量词与存在量词人教A版高中数学必修第一册

全称量词与全称量词命题

全称量词与全称量词命题

常见的全称量词有“一切”“每一个”“任给”“所有的”“全部的”“只要是”“任意的”“凡是”等等我不能判断真假，不是命题

我能判断真假，而且是假命题！

全称量词与全称量词命题【1】从集合的观点来看，全称量词命题是陈述某个集合中的所有元素都具

有某种相同的性质。因此，全称量词表示的数量可以是无限的，也可

以是有限的。这取决于所描述的这个集合中的元素的个数。

【3】全称量词命题中一般含有全称量词，但是有些全称量词命题中的全称

量词是省略的，理解时需要把它补充出来，例如“平行四边形的对角

线互相平分”应理解为“所有的平行四边形对角线都互相平分”

全称量词命题怎么判断真假？

★要判断全称量词命题是真命

题，需要从左往右地推导；也就是说，★要判断全称量词命题是假命

题，只需找一个反例即可.全称量词命题它为真，我要好好说明下；它为假，我一个反例就说明了！怎么判断它的真假呢？全称量词命题怎么判断真假？【例题1】判断下列全称量词命题的真假【解】2是素数，但是2不是奇数，所以命题为假.（1）所有的素数都是奇数；

素数，即质数，一个正整数，除了1和自身之外没有其他整数的因数，则成为素数(质数).判断下列全称量词命题的真假：①每个四边形的对角线都互相垂直【解】右图所示的四边形对角线就不垂直，所以命题为假.

③任何实数都有算术平方根【解】-4是实数，但是-4没有算术平方根，

所以命题为假；非负数才有平方根和算术平方根；负数没有平方根，更没有算术平方根.存在量词与存在量词命题

常见的存在量词有“存在”“某一个”“任给”“对部分”“对某个”“对某些”“有一个”“有的”等等我不能判断真假，不是命题

我能判断真假，而且是真命题！

存在量词与存在量词命题存在量词与存在量词命题【1】从集合的观点来看，存在量词命题是陈述某个集合中的某些(个)元素

所具有的某种性质。

【3】含有存在量词“存在”“有一个”等的命题，或虽没有写出存在量

词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在性命题.

也就是说，★要判断全称量词命题是假命

题，需要推导证明.存在量词命题它为真，我只要找出一个例子就可以；它为假，我得证明！怎么判断它的真假呢？存在量词命题怎么判断真假？【例题2】判断下列存在量词命题的真假：

【解】由于△=2²-4×3-8<0，因此一元二次方程x²+2x+3=0无实根.所以，存在量词命题“有一个实数x，使x²+2x+3=0”是假命题.②平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线；【解】由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线.所以，存在量词命题“平面内存在两条相交直线垂直于同-条直线”是假命题。存在量词命题怎么判断真假？【例题2】判断下列存在量词命题的真假：③有些平行四边形是菱形【解】由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题.平面内两条直线的位置关系有三种：①平行，没有交点；②相交，有一个交点；③重合，有无数个交点.存在量词命题怎么判断真假？判断下列存在量词命题的真假【解】所有四边形内角和为360°，所以命题为假.（1）每个四边形的内角和都是180°；

本节考试常考什么？【含有一个量词的命题求参数问题】

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一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质人教A版高中数学必修第一册

不等关系及其表示在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过和不少于等。类似于这样的问题反映在数量关系上就是相等和不相等，相等用等式表示不等用不等式表示。【等式】指的是用等号“=”连接起来的式子【不等式】指的是用不等号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”

连接起来的式子不等关系及其表示【问题1】你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？

（3）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.

设P是直线AB外任意一点，PQ是P到AB的垂线段，C是直线AB上任意一点，则PC≥PQABCPQ不等关系及其表示【问题2】某种杂志原本以每本2.5元的价格出售，可以售出8万本.据市场调查

发现，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本.如何定价

才能使涨价后的总收入不低于20万元?

所以用不等式表示为：单价涨了多少元单价涨了多少个0.1元销量少了多少个2000元实数大小的比较

实际上，在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质，那么这些不等式的性质为什么是正确的呢？还有其他不等式的性质吗？回答这些问题要用到关于两个实数大小关系的基本事实.不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变不等式的两边同乘(或除以)一个正数，不等号的方向不变不等式的两边同乘(或除以)一个负数，不等号的方向改变实数大小的比较

AB

BA

A(B)

实数大小比较的基本事实①【作差法】

实数大小的比较

实数大小比较的基本事实②【作商法】

【解】运用作差法：

0是正数与负数的分界线，它为比较实数的大小提供了标杆.

实数大小的比较

【解】运用作商法：

1是相等与不等的分界线，它也为比较实数的大小提供了标杆.

一个重要不等式如图是根据第24届国际数学家大会的会标设计的，会标灵感来源于中国古代数学家赵爽的弦图，图中有什么不等关系？很显然赵爽弦图是我们在初中研究勾股定理时的模型，我们把它抽象成如图所示的图形.

一个重要不等式

事实上，利用完全平方公式也可以得到这个不等式：

因此，由两个实数大小关系的基本事实，我们得到：

等式有什么性质？★【对称性】★【传递性】★【加减性】★【同乘性】★【同除性】

我成立，你不一定成立！为什么啊？c≠0时，你成立；c=0时，你不一定成立！

那可不一定，你是不是成立，得问问c，c=0时，你就不成立！

不等式有什么性质？★【对称性】★【传递性】

证明：

不等式有什么性质？★【可加性】★【可乘性】★【同向可加性】

不等式两边同时加上一个数，不变号不等式两边同时乘上一个正数，不变号；

不等式两边同时乘上一个负数，要变号.

只有一个等式有等号也是传递不过去的.不等式有什么性质？★【同向同正可乘性】★【同正可乘方性】

我只有同向可加性，同向可乘还必须保证是正数！

我的等号左右能对应加减乘除(除数不为0)，你行吗？等式不等式

不等式有什么性质？同学们，通过这节课的学习，你有什么收获呢？谢谢大家爱心.诚心.细心.耐心，让家长放心.孩子安心。第2章

一元二次函数、方程和不等式2.2基本不等式人教A版高中数学必修第一册

基本不等式及其推导

基本不等式及其推导【问题】上述均值不等式是如何推导的？

【证法二】当然我们也可以利用倒推法：

基本不等式及其推导

基本不等式链

高中数学需要掌握的几个公式

完全立方公式完全立方公式立方和公式立方差公式基本不等式的推广①三元不等式：

②n元基本不等式：

基本不等式的几何意义

ABDCE

利用基本不等式求最值例题1

利用基本不等式求最值

利用基本不等式求最值【1】利用基本不等式解决最值问题要牢记三个关键词：一正二定三相等.一正：各项必须为正二定：各项之和或各项之积为定值三相等：必须验证取等号时的条件十分具备【2】利用基本不等式求最值的关键：根据定值求最值，配凑变换不可少.

什么是最值定理？

基本不等式的实际应用例题3（1）用篱笆围成一个面积为100平方米的矩形菜园，当这个矩形的边长

为多少时，所用的篱笆最少，最短长度是多少？

基本不等式的实际应用例题3（2）用一段长为36米的铁丝网围成一个矩形菜园，当这个矩形的长和

宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？

基本不等式的实际应用例题4某工厂要建造一个长方体形状的无盖蓄水池，其容积为4800立

方米，深为3米.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方

米的造价为120元，那么怎样设计水池才能使总造价最低？最低

造价是多少？

练习④：已知直角三角形的面积为50，当两条直角边的长度各为多少时，

两条直角边的和最小？最小值是多少？.

同学们，通过这节课的学习，你有什么收获呢？谢谢大家爱心.诚心.细心.耐心，让家长放心.孩子安心。第2章

一元二次函数、方程和不等式2.3二次函数与一元二次方程、不等式人教A版高中数学必修第一册函数、方程、不等式知识回顾在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程，一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以让我们更简便的解决问题：

对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，他们的联系又是怎样的呢？

一元二次不等式的概念【问题】园艺师傅打算在绿地上用栅栏围成一个矩形区域种

植花卉，若栅栏的长度是24m，围成的矩形区域的面积要大

于20m2，则这个矩形的长和宽应该是多少？

一元二次不等式的概念

二次函数的零点

在初中，我们学习了从一次函数的观点看一元一次次方程、一元一次不等式的思想方法.类似的，能否从二次函数的观点来看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？

【注意】零点不是点，是交点的横坐标，是数一元二次不等式的解法

一元二次不等式的解法

没有实数根

R

∅∅一元二次不等式的解法

【解含参数的一元二次不等式】

【解含参数的一元二次不等式】

所以原不等式的解集为R

【三个“二次”的关系】

【不等式恒成立的问题】

解一元二次不等式的过程

原不等式的解集为R同学们，通过这节课的学习，你有什么收获呢？谢谢大家爱心.诚心.细心.耐心，让家长放心.孩子安心。第3章

函数的概念与性质3.1.1函数的概念人教A版高中数学必修第一册函数知识回顾与更新

函数的传统定义：

本节我们将在集合的基础上，用新的观点进一步学习函数的概念.函数知识回顾与更新[例题观察①]高铁加速到350km/h之后保持匀速运行半小时，这段时间内，列车行进的路程S(km)与运行时间t(h)之间的关系可以表示成S=350t.这里S是t的函数。

其中，t的变化范围是数集A={t|0≤t≤0.5},S的变化范围是数集B={Sl0≤S≤175).对于数集A中的任何一个时刻t，按照对应关系S=350t,在数集B中都有唯一确定的S与之对应.函数知识回顾与更新【例题观察②】某电器维修公司要求工人每周至少工作1天，至多不超过6天.如果工资确定的工资标准是每人每天300元，而且每周付一次工资，那么一个工人每周的工资W和他每周工作的天数d就是函数关系：W=300d.

其中，d的变化范围是数集A={1,2,3,4,5,6},W的变化范围是数集B={300,600,900,1200,1500,1800}.对于数集A中的任何一个天数d，按照对应关系W=300d，在数集B中都有唯一确定的W与之对应.函数知识回顾与更新上述两个问题中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数概念的本质特征吗？上述问题的共同特征有：①都包含两个非空数集A和B②都有一个对应关系(S=350t;W=300d)

函数的概念

显然，值域是集合B的子集.在例题①和例题②中，定义域就是A，值域就是B.函数的概念

【说明】通常一个函数的定义域和对应关系确定后，值域就确定了.所以有

时候也称定义域和对应关系为函数的二要素.

函数的四个特性

②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.③唯一性：每一个自变量都有唯一的函数值与之对应.④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系.但是，从值域到定义域的话，新的对应关系就不一定是函数关系.一次函数、二次函数、反比例函数的定义域、对应关系和值域

函数的应用应用题出题的过程就是构建出一个情景，使它和我们已知的数学模型和数学规律对应上.函数的解析式是舍弃问题的实际背景抽象而来的，它所反映的是两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律例如，正比例函数y=kx（k≠0）可以用来刻画速直线运动中的路程和时间之间的规律、某个均匀物体的质量与体积之间的规律，圆的周长与直径之间的关系等.函数的应用

如果对x的取值范围作出限制，例如x∈{x|0﹤x﹤10},那么可以构建如下情景：[解]把y

=x(10-x)看成二次函数，那么它的定义域是R，值域是B={yly≤25}对应关系f把R中的任意一个实数x，对应到B中唯一确定的数x(10-x)[例题]试着构建一个问题情景，使其中的变量关系可以用解析式y=x(10-x)描述【练习】一枚炮弹发射后，经过26秒落到地面击中目标.炮弹的射高为845米，

且炮弹距地面的高度h(米)与发射时间t(秒)的关系为：

求上式所表示的函数的定义域和值域，并用函数的定义

描述这个函数.

什么是区间？

③和④都可以称作半开半闭区间各个区间的含义及表示方法如下表所示：

闭区间开区间左开右闭区间左闭右开区间

常见区间的含义及表示方法如下表所示：

求函数的定义域和函数值

（1）求函数的定义域

由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域.因为值域是由定义域和对应关系决定的，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么这两个函数就是同一个函数.什么是相同函数？如果两个函数仅仅是对应关系相同，但定义域不同，那么它们肯定不是同一个函数.

两个函数只要定义域和对应关系任何一个不同，那么它们都不是相同函数.

同学们，通过这节课的学习，你有什么收获呢？谢谢大家爱心.诚心.细心.耐心，让家长放心.孩子安心。第3章

函数的概念与性质3.1.2函数的表示法人教A版高中数学必修第一册函数的表示法在初中我们已经接触过函数的三种表示法：解析法、列表法和图像法.【1】解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如y=2x+3【2】列表法，就是列出表格表示两个变量之间的对应关系.【3】图像法，就是画出函数图像来表示两个变量之间的对应关系.用什么方法来表示函数呢？用列表法，不用计算，看表就知道函数值用解析法，便于研究函数性质用图像法，容易表示出函数的变化情况函数的表示法【例题4】某种笔记本的单价是5元，买m(m∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元.试用函数的三种表示法来表示函数y=f(m).【解析法】y=5m,m∈{1,2,3,4,5}【列表法】函数可以表示如下表：笔记本数m12345钱数y510152025【图像法】函数图像可以表示如图：252015105012345my【1】解析法必须标明函数的定义域函数的表示法在用三种方法表示函数时要注意：【2】列表法必须罗列出所有的自变量与函数值之间的对应关系【3】图像法必须搞清楚函数图像是“点”还是“线”

并不是所有函数都能用解析法表示，如某地一年中每天的最高气温是日期的函数，该函数就不能用解析法表示；也不是所有函数都可以用列表法表示，如函数f(x)=x.分段函数【例题5】画出函数y=|x|的图像【解】由绝对值的概念，有y=-x，x＜0，x，x≥0.画出图像如图：

像这样的函数，叫做分段函数.分段函数一般在实际问题中出现的比较多，例如出租车的计费，个人所得税的计算等等.在自变量的不同取值区间，有不同对应关系的函数叫做分段函数.（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数，处理分段函数的问题时，首

先要明确自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系.（2）分段函数在书写的时候左边用大括号把几个对应关系括在一起，在每

段对应关系表达式的后面用小括号写上相应的取值范围.（3）分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集，只能写成一个集合

的形式；值域是各段函数在对应自变量取值范围内值域的并集.分段函数分段函数几种常见的分段函数：（1）符号函数：

（2）含绝对值符号的函数：

（3）自定义函数：

（3）取整函数：

如图，把直截面半径为25的圆柱形木头锯成直截面为矩形的木料，如果矩形的一边长为t，面积为W，把W表示成t的函数.【解】因为圆的直径是25×2=50，矩形的一边长是t，25t所以与它相邻的另一边长就是

矩形的面积

又因为矩形的边长小于圆的直径，所以0＜t＜50

画出函数【解法一】由绝对值的概念可知，所以函数的图像如图所示：

的图像.

【解法二】(翻折法)先画出函数

的图像，然后把图像中位于横轴下方的部分翻转到上方即可.

123412函数的实际应用【例题7】下表是某校高一（1）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩

及班级平均分表。【分析】从表中可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不太容易分析每位同学

的成绩变化情况.如果将每位同学的成绩和测试序号之间的函数关系分别用

图像表示出来，就可以直观的看到他们成绩变化的情况.函数的实际应用

【例题8】依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税(简称个税).2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为个税税额一应纳税所得额X税率一速算扣除数.①应纳税所得额的计算公式为应纳税所得额一综合所得收人额一基本减除费用一专项扣除一专项附加扣除一依法确定的其他扣除.②其中，“基本减除费用”(免征额)为每年60000元税率与速算扣除数见表3.1-5.函数的实际应用设全年应纳税所得额为t，应缴纳个税税额为y求y=f(t)，并画出图象;(2)小王全年综合所得收入额为189600元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%.1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税?函数的实际应用分析:根据个税产生办法，可按下列步骤计算应缴纳个税税额:第一步，根据②计算出应纳税所得额t;第二步，由t的值并根据表3.1-5得出相应的税率与速算扣除数;第三步，根据①计算出个税税额y的值.由于不同应纳税所得额t对应不同的税率与速算扣除数，所以y是t的分段函数.解(1)根据表3.1-5，可得函数y=f(t)的解析式为函数的实际应用函数图像如图3.1-7所示.函数的实际应用(2)根据②，小王全年应纳税所得额为T=189600-60000-189600(8%+2%+1%+9%)-52800-4560=0.8×189600-117360=34320.将:的值代人③，得

y=0.03×34320=1029.6所以，小王应缴纳的综合所得个税税额为1029.6元复合函数【概念】设函数的定义域为A，值域为B，函数的定义域为C，

值域为D.如果B∩C≠∅，那么对于B∩C内的任意一个经过，有唯一

确定的与之对应.则变量和之间通过变量形成一种函数关系，

这种函数成为复合函数.记为.其中为自变量，为中间

变量，为因变量(函数).例如，如果，，那么就有

即

【1】已知一次函数满足，求的解析式.

【解】由题意设

则

所以

解得

或

所以

或

【复合待定系数法】常考题型分析【1】已知，求【换元法】由题意令，则所以【换元法和配凑法】

即

【配凑法】因为

所以

常考题型分析【1】已知函数满足，求的解析式.【解】在已知等式中，将换成，得与已知方程联立，得【已知中含有,求】

，消去

常考题型分析

得

【2】已知，其中，求的解析式.【解】在原式中用替换，得与已知方程联立，得，【已知中含有,求】

常考题型分析

消去，得

同学们，通过这节课的学习，你有什么收获呢？谢谢大家爱心.诚心.细心.耐心，让家长放心.孩子安心。第3章

函数的概念与性质3.2.1单调性与最大(小)值人教A版高中数学必修第一册实例探究在初中我们利用函数图像探究过函数值随自变量的增大而增大(减小)的性质，这性质叫做函数的单调性.下面进一步刻画这种性质.

先研究二次函数的单调性.画出图像，可以看到，当x＜0时，y随x的增大而减小，也就是说，任意取，得到，有.这时我们就说函数在区间(-∞，0]上是单调递减的.

同理，函数在[0,+∞)上是单调递增的.

函数在(-∞，0]上为减函数，在[0,+∞)上为增函数，但在(-∞,+∞)上不具有单调性.因为，所以实例探究【问题】如何判断本题中的大小？

【1】观察图像法，从右侧图像中很容易得到函数在(-∞，0]上为减函数，在[0,+∞)上为增函数，但在(-∞,+∞)上不具有单调性.

【2】做差法：

所以

在区间(-∞，0]单调递减；在区间[0，+∞)单调递增.【思考】函数和函数各有怎样的单调性？【解】作出两个函数的图像，由图像可知：

函数在区间(-∞，0]单调递增；在区间[0，+∞)单调递减.单调性的定义一般地，设函数的定义域为S，区间，如果，当时，都有，那么就称函数在区间A上单调递增.特别地，若函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它为增函数.

如果，当时，都有，那么就称函数在区间A上单调递减.特别地，若函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它为减函数.函数具有单调性的的区间叫做单调区间.

单调性的定义【探究】在函数单调性的定义中，对区间A有什么要求？（1）区间A可以是整个定义域S.如函数y=x，他在定义域上单调，A=S.（2）区间A可以是定义域S的真子集，如函数y=|x|，S=(-∞，+∞)，当A=(-∞，0]时，函数单调递减.（3）区间A一定是连续的，如果中间有断裂，则无法称

作单调递增或者单调递减.如图示的函数.

单调性的定义函数单调性定义的等价形式(对于任意的)：

【1】

在D上为增函数；【2】

在D上为减函数；【3】

在D上为增函数；

【4】

在D上为减函数.

即自变量之差与函数值之差的乘积同号，函数为增函数；自变量之差与函数值之差的乘积同号，函数为减函数；单调性定义的应用【1】判断(证明)单调性：【2】比较函数值大小：【3】已知函数值大小比较自变量：并非所有函数都有单调性或者单调区间.如函数虽然它的定义域为R，但是它不具有单调性.

单调性定义的应用【问题】书写函数的单调区间端点有何要求？

函数在区间端点处有定义时，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减的变化，所以不存在单调性问题，因此在书写单调区间时，可以包括，也可以不包括.如函数y=t的单调增区间可以写(0，+∞)，也可以写成[0，+无穷大)

反之，函数在区间端点处无定义时，书写单调区间时就不能包括端点.单调性的应用【例题1】根据定义，研究函数的单调性.

【解】函数的定义域是R，对于任意的且

，

由知，所以：

①当时，，即，

这时，函数是增函数；

①当时，，即，

这时，函数是减函数；

且，有：单调性的应用【例题2】物理学中的玻意耳定律(为正常数)告诉我们，对于一定量的

气体，当其体积V减少时，压强P将增大.试对此用函数的单调性证明.【分析】根据题意，只要证明函数是减函数即可.

【证明】

由得；由得

又，所以即

所以函数是减函数.问题得证.

【观察】观察函数的图像可以发现，二次

函数的图像上有一个最低点(0，0)，即：函数的最值(最大值和最小值)

当一个函数有最低点时，我们就说这个函数有最小值.【定义】一般地，设函数的定义域为A，如果当自变量时，有：

，那么我们就称是函数的最小值；

反之，设函数的定义域为A，如果当自变量时，有：

，那么我们就称是函数的最大值.

【常用结论与表达方式】函数的最值(最大值和最小值)【1】若函数在区间

上单调递增，那么函数的最小值

，最大值

【2】若函数在区间

上单调递减，那么函数的最小值

，最大值

【3】函数的最大值和最小值可以有多个，如图：同学们，通过这节课的学习，你有什么收获呢？谢谢大家爱心.诚心.细心.耐心，让家长放心.孩子安心。第3章

函数的概念与性质3.2.2函数的奇偶性人教A版高中数学必修第一册

偶函数画出函数和函数的图像并观察，你能发现什么共同的特征？

可以发现，这两个函数都关于y轴对称.也就是说，当自变量取互为相反数的两个数时，函数值是相等的，即

对于，有

对于，有

常见的偶函数有，等等偶函数【定义】一般地，设函数的定义域为A，如果对于，都有，且，即的图像关于y轴对称，那么就称为偶函数.

【思考】对于定义在R上的函数，若，那么这个函数

是偶函数吗？

【答】不一定.因为并不能保证所有的，所

以不一定是偶函数.

要证明某个函数不是偶函数，只需要列举出一个反例x0，证明f(-x0)≠f(x0)即可【1】①该函数的定义域关于y轴对称，即任意x∈A(A为定义域)，-x∈A；

②任取一个自变量x，都满足f(-x)=f(x)偶函数【总结】一般地，一个函数是偶函数的两个判断方式：【2】几何法，函数的图像关于y轴对称，那么函数就是偶函数偶函数偶函数

图像关于y轴对称代数特征几何特征定义中，的常见变形有：

画出函数和函数的图像并观察，你能发现什么共同的特征？奇函数

可以发现，这两个函数都关于原点成中心对称.也就是说，当自变量取互为相反数的两个数时，函数值也互为相反数，即

对于，有对于，有

【定义】一般地，设函数的定义域为A，如果对于，都有，且，即的图像关于原点成中心对称，那么就称

为奇函数.

常见的偶函数有，,等等【思考】对于定义在R上的函数，若，那么这个

函数是奇函数吗？

【答】不一定.因为并不能保证所有的

，

所以不一定是奇函数.

奇函数要证明某个函数不是奇函数，只需要列举出一个反例x0，证明f(-x0)≠-f(x0)即可【1】①该函数的定义域关于y轴对称，即任意x∈A(A为定义域)，-x∈A；

②任取一个自变量x，都满足f(-x)=-f(x)【总结】一般地，一个函数是奇函数的两个判断方式：【2】几何法，函数的图像关于原点成中心对称，那么函数就是偶函数奇函数奇函数

图像关于原点对称代数特征几何特征定义中，的常见变形有：

如果奇函数在

处有定义，则：

如何证明这个结论？函数奇偶性的判断【例题6】判断下列函数的奇偶性.【解】(1)首先判断定义域为R，关于y轴对称，再判断：

所以此函数是偶函数；【解】(2)首先判断定义域为R，关于y轴对称，再判断：

所以此函数是奇函数；【解】(3)首先判断定义域为

，关于y轴对称，再判断：

所以此函数是奇函数；【解】(3)首先判断定义域为

，关于y轴对称，再判断：

所以此函数是偶函数.判断函数奇偶性，首先要看定义域.④既是奇函数，又是偶函数.函数奇偶性的判断利用定义判断函数奇偶性的方法：【1】一看定义域：奇函数和偶函数的定义域一定关于y轴对称，如果一个函数的定

义域关于y轴对称，那么它才有可能是奇函数或者偶函数，否则就没有探究下

去的必要.【2】二看等式：满足第一点之后，判断与的关系：函数既是奇函数，又是偶函数

①是偶函数；

②是奇函数；

③是非奇非偶函数；

奇(偶)函数的性质及应用【探究】（1）如何判断函数的奇偶性？【解】(1)利用函数奇偶性定义来判断，函数

的定义域为R，且有

所以此

函数是奇函数.

（2）已知函数图像的一部分，如何画出剩余部分？

(2)由奇函数的图像关于原点成中心对称可以画出函数在y轴左侧对的图像，将y轴右侧的图像沿着原点旋转180°即可，画出的图像如图所示.

奇(偶)函数的性质及应用【拓展】（1）奇偶函数的单调性：①奇函数：奇函数在y轴