2025届福建省泉州市高三第一次模拟考试数学试卷含解析

2025届福建省泉州市高三第一次模拟考试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数则函数的图象的对称轴方程为（）A． B．C． D．2．已知函数是上的偶函数，是的奇函数，且，则的值为（）A． B． C． D．3．平行四边形中，已知，，点、分别满足，，且，则向量在上的投影为（）A．2 B． C． D．4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．3 C． D．45．已知，，若，则实数的值是（）A．-1 B．7 C．1 D．1或76．已知定义在上的函数满足，且当时，，则方程的最小实根的值为（）A． B． C． D．7．已知三棱柱()A． B． C． D．8．下列与函数定义域和单调性都相同的函数是（）A． B． C． D．9．已知，则的大小关系是（）A． B． C． D．10．设等比数列的前项和为，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件11．函数在内有且只有一个零点，则a的值为（）A．3 B．－3 C．2 D．－212．已知向量与的夹角为，定义为与的“向量积”，且是一个向量，它的长度，若，，则（）A． B．C．6 D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列的前项和且，设，则的值等于_______________.14．设常数，如果的二项展开式中项的系数为-80，那么______.15．某市公租房源位于、、三个小区，每位申请人只能申请其中一个小区的房子，申请其中任意一个小区的房子是等可能的，则该市的任意位申请人中，恰好有人申请小区房源的概率是______.（用数字作答）16．已知是夹角为的两个单位向量，若，，则与的夹角为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）（1）求曲线和曲线围成图形的面积；（2）化简求值：．18．（12分）如图，湖中有一个半径为千米的圆形小岛，岸边点与小岛圆心相距千米，为方便游人到小岛观光，从点向小岛建三段栈道，，，湖面上的点在线段上，且，均与圆相切，切点分别为，，其中栈道，，和小岛在同一个平面上.沿圆的优弧（圆上实线部分）上再修建栈道.记为.用表示栈道的总长度，并确定的取值范围；求当为何值时，栈道总长度最短.19．（12分）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线为参数）与圆的位置关系．20．（12分）已知函数．（1）若在处取得极值，求的值；（2）求在区间上的最小值；（3）在（1）的条件下，若，求证：当时，恒有成立．21．（12分）已知函数（1）求单调区间和极值；（2）若存在实数，使得，求证：22．（10分）如图，直三棱柱中，分别是的中点，.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

，将看成一个整体，结合的对称性即可得到答案.【详解】由已知，，令，得.故选：C.【点睛】本题考查余弦型函数的对称性的问题，在处理余弦型函数的性质时，一般采用整体法，结合三角函数的性质，是一道容易题.2、B【解析】

根据函数的奇偶性及题设中关于与关系，转换成关于的关系式，通过变形求解出的周期，进而算出.【详解】为上的奇函数，，而函数是上的偶函数，，，故为周期函数，且周期为故选：B【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，函数的周期性的应用，属于基础题.3、C【解析】

将用向量和表示，代入可求出，再利用投影公式可得答案.【详解】解：，得，则向量在上的投影为.故选：C.【点睛】本题考查向量的几何意义，考查向量的线性运算，将用向量和表示是关键，是基础题.4、C【解析】

首先把三视图转换为几何体，该几何体为由一个三棱柱体，切去一个三棱锥体，由柱体、椎体的体积公式进一步求出几何体的体积.【详解】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为由一个三棱柱体，切去一个三棱锥体，如图所示：故：.故选：C.【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积、需熟记柱体、椎体的体积公式，考查了空间想象能力，属于基础题.5、C【解析】

根据平面向量数量积的坐标运算，化简即可求得的值.【详解】由平面向量数量积的坐标运算，代入化简可得.∴解得.故选：C.【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题.6、C【解析】

先确定解析式求出的函数值，然后判断出方程的最小实根的范围结合此时的，通过计算即可得到答案.【详解】当时，，所以，故当时，，所以，而，所以，又当时，的极大值为1，所以当时，的极大值为，设方程的最小实根为，，则，即，此时令，得，所以最小实根为411.故选：C.【点睛】本题考查函数与方程的根的最小值问题，涉及函数极大值、函数解析式的求法等知识，本题有一定的难度及高度，是一道有较好区分度的压轴选这题.7、C【解析】因为直三棱柱中，AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径．取BC中点D，则OD⊥底面ABC，则O在侧面BCC1B1内，矩形BCC1B1的对角线长即为球直径，所以2R＝＝13，即R＝8、C【解析】

分析函数的定义域和单调性，然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性，由此确定正确选项.【详解】函数的定义域为，在上为减函数.A选项，的定义域为，在上为增函数，不符合.B选项，的定义域为，不符合.C选项，的定义域为，在上为减函数，符合.D选项，的定义域为，不符合.故选：C【点睛】本小题主要考查函数的定义域和单调性，属于基础题.9、B【解析】

利用函数与函数互为反函数，可得，再利用对数运算性质比较a,c进而可得结论.【详解】依题意，函数与函数关于直线对称，则，即，又，所以，.故选：B.【点睛】本题主要考查对数、指数的大小比较，属于基础题.10、C【解析】

根据等比数列的前项和公式，判断出正确选项.【详解】由于数列是等比数列，所以，由于，所以，故“”是“”的充分必要条件.故选：C【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查等比数列前项和公式，属于基础题.11、A【解析】

求出，对分类讨论，求出单调区间和极值点，结合三次函数的图像特征，即可求解.【详解】，若，，在单调递增，且，在不存在零点；若，，在内有且只有一个零点，.故选:A.【点睛】本题考查函数的零点、导数的应用，考查分类讨论思想，熟练掌握函数图像和性质是解题的关键，属于中档题.12、D【解析】

先根据向量坐标运算求出和，进而求出，代入题中给的定义即可求解.【详解】由题意，则，，得，由定义知，故选:D.【点睛】此题考查向量的坐标运算，引入新定义，属于简单题目.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、7【解析】

根据题意，当时，，可得，进而得数列为等比数列，再计算可得，进而可得结论.【详解】由题意，当时，，又，解得，当时，由，所以，，即，故数列是以为首项，为公比的等比数列，故，又，，所以，.故答案为：.【点睛】本题考查了数列递推关系、函数求值，考查了推理能力与计算能力，计算得是解决本题的关键，属于中档题.14、【解析】

利用二项式定理的通项公式即可得出.【详解】的二项展开式的通项公式：，令，解得.∴，解得.故答案为：-2.【点睛】本小题主要考查根据二项式展开式的系数求参数，属于基础题.15、【解析】

基本事件总数，恰好有2人申请小区房源包含的基本事件个数，由此能求出该市的任意5位申请人中，恰好有2人申请小区房源的概率．【详解】解：某市公租房源位于、、三个小区，每位申请人只能申请其中一个小区的房子，申请其中任意一个小区的房子是等可能的，该市的任意5位申请人中，基本事件总数，该市的任意5位申请人中，恰好有2人申请小区房源包含的基本事件个数：，该市的任意5位申请人中，恰好有2人申请小区房源的概率是．故答案为：．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．16、【解析】

依题意可得，再根据求模，求数量积，最后根据夹角公式计算可得；【详解】解：因为是夹角为的两个单位向量所以，又，所以，，所以，因为所以；故答案为：【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算律，以及夹角的计算，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】

（1）求曲线和曲线围成的图形面积，首先求出两曲线交点的横坐标0、1，然后求在区间上的定积分．（2）首先利用二倍角公式及两角差的余弦公式计算出，然后再整体代入可得；【详解】解：（1）联立解得，，所以曲线和曲线围成的图形面积．（2）∴【点睛】本题考查定积分求曲边形的面积以及三角恒等变换的应用，属于中档题.18、，；当时，栈道总长度最短.【解析】

连，，由切线长定理知：，，，，即，，则，，进而确定的取值范围；根据求导得，利用增减性算出，进而求得取值.【详解】解：连，，由切线长定理知：，，，又，，故，则劣弧的长为，因此，优弧的长为，又，故，，即，，所以，，，则；，，其中，，-0+单调递减极小值单调递增故时，所以当时，栈道总长度最短.【点睛】本题主要考查导数在函数当中的应用，属于中档题.19、直线与圆C相切．【解析】

首先把直线和圆转换为直角坐标方程，进一步利用点到直线的距离的应用求出直线和圆的位置关系．【详解】直线为参数），转换为直角坐标方程为．圆转换为直角坐标方程为，转换为标准形式为，所以圆心到直线，的距离．直线与圆C相切．【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线与圆的位置关系式的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．20、（1）2；（2）；（3）证明见解析【解析】

（1）先求出函数的定义域和导数，由已知函数在处取得极值，得到，即可求解的值；（2）由（1）得，定义域为，分，和三种情况讨论，分别求得函数的最小值，即可得到结论；（3）由，得到，把，只需证，构造新函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】（1）由，定义域为，则，因为函数在处取得极值，所以，即，解得，经检验，满足题意，所以.(2)由（1）得，定义域为，当时，有，在区间上单调递增，最小值为，当时，由得，且，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以在区间上单调递增，最小值为，当时，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以在处取得最小值，综上可得：当时，在区间上的最小值为1，当时，在区间上的最小值为.（3）由得，当时，，则，欲证，只需证，即证，即，设，则，当时，，在区间上单调递增，当时，，即，故，即当时，恒有成立.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．21、（1）时，函数单调递增，，函数单调递减，；（2）见解析【解析】

（1）求出函数的定义域与导函数，利用导数求函数的单调区间，即可得到函数的极值；（2）易得且，要证明，即证，即证，即对恒成立，构造函数，，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得证；【详解】解：（1）因为定义域为，所以，时，，即在和上单调递增，当时，，即函数在单调递减，所以在处取得极小值，在处取得极大值；，；（2）易得，要证明，即证，即证即证对恒成立，令，，则令，解得，即在上单调递增；令，解得，即在上单调递减；则在取得极小值，也就是最小值，从而结论得证.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，利用导数证明不等式，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．22、(1)证明见解析(2)【解析】

（1）连接交于点，由三角形中位线定理得，由此能证明平面．（2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，的