山东省潍坊市2023-2024学年六年级（上）期末数学试卷

2023-2024学年山东省潍坊市高密市六年级（上）期末数学试卷一、填空。1．（2019•青岛）2÷＝0.4＝＝＝＝%2．（2019•宿迁模拟）最小的合数的倒数是，是最小质数的倒数．3．（2021•红寺堡区）1.2千克：250克化成最简整数比是，比值是．4．（2023秋•高密市期末）2小时45分＝小时40吨50千克＝吨5.05平方分米＝平方分米平方厘米65000平方米＝公顷5．（2023秋•高密市期末）把一米长的铁丝平均截成5段，每段长，每段占全长的%。6．（2023秋•高密市期末）a的与b相等（a≠0，b≠0），则a与b的比是。7．（2023秋•高密市期末）15米增加是米，15米是米的。8．（2022秋•准格尔旗期末）一桶啤酒倒出，刚好倒出12千克．这桶啤酒原来重千克．9．（2023•寒亭区）如果m和n互为倒数，那么＝；如果m+n＝150，那么＝。10．（2023秋•高密市期末）同学们用花生种子做实验，发芽的有20粒，没有发芽的种子占这批种子的，这批种子一共有粒，种子的发芽率是。二、选择题。11．（2023•城阳区）从下面的口袋里任意摸一个球，摸到黑球的可能性与白球的可能性相等的是（）A．2个黑球，3个白球 B．4个黑球，4个白球 C．4个黑球，3个白球12．（2023秋•高密市期末）从滩坊到北京，甲车要行10小时，乙车要行8小时，甲车的速度比乙车慢（）A．125% B．50% C．20%13．（2023秋•高密市期末）如果a×＝b÷＝c×，且a、b、c都不为0，则a、b、c中最大的数是（）A．a B．b C．c14．（2023秋•高密市期末）一种长方形屏幕长与宽的比是16：9，下面几种规格的屏幕，合格的是（）A．长3.2米，宽2米 B．长米，宽米 C．长120厘米，宽80厘米 D．以上都不对15．（2023秋•高密市期末）一位同学把（a+）×4写成了a+×4，这样算出的结果与正确结果相差（）A．4a B．3a C．4 D．16．（2022•潍城区）如图，从起点到终点有三条路线，三条路线相比，（）A．路线①最近 B．路线②最近 C．路线③最近 D．一样近17．（2023•同安区模拟）一个半圆，半径为r，它的周长是（）A．（π+2）r B．2πr C．πr D．πr218．（2023秋•高密市期末）利群超市进行中秋大促销活动，一种商品先提价10%后又降价10%，现价与原价相比（）A．提高了 B．降低了 C．不变19．（2023秋•永年区期末）一个三角形的三个内角度数比是1：1：2，则这个三角形是（）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形20．（2023秋•高密市期末）用3张长3分米、宽2分米的长方形纸分别剪出一个最大的圆、一个最大的正方形和一个最大的三角形，面积最大的是（）A．圆 B．正方形 C．三角形 D．无法确定三、计算题。21．（2023秋•高密市期末）直接写得数。÷＝0.12×4＝÷6＝÷＝0÷＝0.3×＝12÷＝1÷＝2﹣＝×÷×＝22．（2023秋•高密市期末）化简比，求比值。：0.5时：15分2.45：1.4：2.4分米：0.3米23．（2023秋•高密市期末）解方程。x﹣x＝x÷＝50%x+x＝3524．（2023秋•高密市期末）计算下列各题，能简算的要简算。÷+××+×﹣×[1﹣（+）]÷四、按要求完成以下各题。25．（2023秋•高密市期末）在图中表示的，并列式计算．．26．（2020秋•潍坊期末）画一个周长是12.56厘米的圆，标注圆心、半径和直径，并画出一条对称轴。27．（2023秋•高密市期末）列式计算。（1）（2）五、解决问题。28．（2023秋•高密市期末）国家启动“汽车下乡”工程以来，我市汽车销量明显增加。第一季度我市“汽车销售城”卖出120辆小汽车，是第二季度的，第三季度汽车销量是第二季度的，第三季度卖出多少辆汽车？29．（2023秋•高密市期末）一本书300页，第一天看了全书的，第二天看的页数是第一天的，第二天看了多少页？30．（2023秋•高密市期末）冬天防治感冒，我国民间常常用生姜、红糖和水按照1：3：24的质量比熬制“姜汤”。要熬制56千克姜汤，需要生姜、红糖和水各多少千克？31．（2023秋•高密市期末）两地相距550千米，快慢两车同时分别从甲、乙两地相对开出，5小时相遇．已知快车和慢车的速度比是6：5．两车速度各是多少？32．（2022秋•崂山区期末）广场中央的圆形水池的直径是20米，在水池的周围是一条宽10米的环形水泥路。（1）这条水泥路的面积是多少平方米？（2）如果在水泥路的外沿上每隔31.4米设置一把休息椅，需要几把椅子？

2023-2024学年山东省潍坊市高密市六年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空。1．（2019•青岛）2÷5＝0.4＝＝＝四折＝40%【考点】比与分数、除法的关系．【专题】数感．【答案】5，2，20，四折（答案不唯一），40。【分析】把0.4化成分数并化简是；根据分数的基本性质，分子、分母都乘4就是；根据分数与除法的关系，＝2÷5；把0.4的小数点向右移动两位添上百分号就是40%，根据折扣的意义，40%就是四折（此步答案不唯一）。【解答】解：2÷5＝0.4＝＝＝四折＝40%故答案为：5，2，20，四折（答案不唯一），40。【点评】此题主要是考查除法、小数、分数、百分数、折扣之间的关系及转化。利用它们之间的关系和性质进行转化即可。2．（2019•宿迁模拟）最小的合数的倒数是，是最小质数的倒数．【考点】倒数的认识；合数与质数的初步认识．【专题】数的认识．【答案】见试题解答内容【分析】根据倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数，最小的合数是4，最小的质数是2，求一个数的倒数，就是用1除以这个数．据此解答．【解答】解：最小的合数是4，1÷＝，所以最小的合数的倒数是；最小的质数是2，1÷2＝，所以是最小质数的倒数．故答案为：，．【点评】此题考查的目的是理解倒数、质数、和尚的意义，掌握求一个数的倒数的方法．3．（2021•红寺堡区）1.2千克：250克化成最简整数比是24：5，比值是4.8．【考点】求比值和化简比．【答案】见试题解答内容【分析】本题是两个质量的比，要先把这两个数化成统一的单位，再根据求比值和化简比的方法计算．【解答】解：1.2千克＝1200克；1200克：250克＝1200：250＝24：5；1200克：250克＝1200÷250＝4.8；故答案为24：5，4.8．【点评】本题要注意化简比和求比值的区别，化简比是把把比的前项和后项化简成两个互质数的比；求比值是用比的前项除以后项的值．4．（2023秋•高密市期末）2小时45分＝2.75小时40吨50千克＝40.05吨5.05平方分米＝5平方分米5平方厘米65000平方米＝6.5公顷【考点】大面积单位间的进率及单位换算；质量的单位换算；时、分、秒及其关系、单位换算与计算；小面积单位间的进率及单位换算．【专题】综合填空题；应用意识．【答案】2.75；40.05；5；5；6.5。【分析】1小时＝60分；1吨＝1000千克；1平方分米＝100平方厘米；1公顷＝10000平方米；高级单位换算成低级单位，乘进率；低级单位换算成高级单位，除以进率；据此解答。【解答】解：2小时45分＝2.75小时40吨50千克＝40.05吨5.05平方分米＝5平方分米5平方厘米65000平方米＝6.5公顷故答案为：2.75；40.05；5；5；6.5。【点评】熟记进率是解答本题的关键。5．（2023秋•高密市期末）把一米长的铁丝平均截成5段，每段长米，每段占全长的20%。【考点】百分数的实际应用．【专题】应用意识．【答案】米；20。【分析】求每段长多少，用铁丝的总长度除以段数5即可；求每段占全长的百分之几，就是把1米长的铁丝看作单位“1”，平均分成5份，求其中的一份，用1÷5解答。【解答】解：1÷5＝（米）1÷5＝＝20%答：每段长米，每段占全长的20%。故答案为：米；20。【点评】本题主要考查分数的意义，注意掌握求每段占全长的几分之几和求每段长多少米的区别。6．（2023秋•高密市期末）a的与b相等（a≠0，b≠0），则a与b的比是7：5。【考点】比的意义．【专题】比和比例；应用意识．【答案】7：5。【分析】由题意可知，a×＝b，假设a＝1，则b＝，然后求出a与b的比。【解答】解：假设a＝11×＝1：＝（1×7）：（×7）＝7：5答：a与b的比是7：5。故答案为：7：5。【点评】本题考查比的意义，理解比的意义，掌握化简比的方法是解题的关键。7．（2023秋•高密市期末）15米增加是25米，15米是米的。【考点】分数除法；分数乘法．【专题】综合填空题；应用意识．【答案】25；。【分析】把15米看作单位“1”，第一个空的数据＝15×（1+）；把要求的米数看作单位“1”，第二个空的数据＝15÷，由此解答本题即可。【解答】解：15×（1+）＝15×＝25（米）15÷＝（米）答：15米增加是25米，15米是米的。故答案为：25；。【点评】解决本题的关键是找出题中数量关系。8．（2022秋•准格尔旗期末）一桶啤酒倒出，刚好倒出12千克．这桶啤酒原来重18千克．【考点】分数除法应用题．【专题】分数百分数应用题．【答案】见试题解答内容【分析】一桶啤酒倒出，刚好倒出12千克，根据分数除法的意义可知，这桶啤酒原重：12÷千克．【解答】解：12÷＝18（千克）．答：这桶啤酒原来重18千克．故答案为：18．【点评】已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法．9．（2023•寒亭区）如果m和n互为倒数，那么＝；如果m+n＝150，那么＝90。【考点】倒数的认识；用字母表示数．【专题】分数和百分数；数据分析观念．【答案】，90。【分析】若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，据此计算解答。【解答】解：因为m和n互为倒数，所以mn＝1，因此＝mn×＝1×＝；因为m+n＝150，所以＝（m+n）＝×150＝90故答案为：，90。【点评】本题考查了倒数的意义的应用及字母表示数的解答方法。10．（2023秋•高密市期末）同学们用花生种子做实验，发芽的有20粒，没有发芽的种子占这批种子的，这批种子一共有25粒，种子的发芽率是80%。【考点】百分率应用题．【专题】运算能力．【答案】25；80%。【分析】由题意可知，把这批种子的总数看作单位“1”，发芽的有20粒，没有发芽的种子占这批种子的，发芽种子数是这批种子的1﹣，运用除法求出种子总数；把1﹣＝化成百分数即可。【解答】解：20÷（1﹣）＝25（粒）1﹣＝＝80%故答案为：25；80%。【点评】本题考查了百分率的应用，关键找准单位“1”。二、选择题。11．（2023•城阳区）从下面的口袋里任意摸一个球，摸到黑球的可能性与白球的可能性相等的是（）A．2个黑球，3个白球 B．4个黑球，4个白球 C．4个黑球，3个白球【考点】可能性的大小．【专题】推理能力．【答案】B【分析】不确定事件发生的可能性的大小与事物的数量有关，数量越多，可能性越大，反之则越小，数量相同，可能性也相同。【解答】解：三个选项中，只有B选项，黑球的个数与白球的个数相等，所以摸到黑球的可能性与白球的可能性相等的。故选：B。【点评】本题考查可能性大小的判断，理解不确定事件发生的可能性的大小与事物的数量有关，数量越多，可能性越大，反之则越小，数量相同，可能性也相同。12．（2023秋•高密市期末）从滩坊到北京，甲车要行10小时，乙车要行8小时，甲车的速度比乙车慢（）A．125% B．50% C．20%【考点】百分数的实际应用．【专题】应用意识．【答案】C【分析】把路程看作单位“1”，路程÷时间＝速度，据此将甲车、乙车的速度表示出来，再将速度差除以乙车的速度，求出甲车比乙车慢百分之几。【解答】解：（﹣）÷＝÷＝＝20%答：甲车的速度比乙车慢20%。故选：C。【点评】本题考查了分数除法、分数化百分数，有一定计算能力是解题的关键。13．（2023秋•高密市期末）如果a×＝b÷＝c×，且a、b、c都不为0，则a、b、c中最大的数是（）A．a B．b C．c【考点】分数大小的比较．【专题】综合判断题；应用意识．【答案】A【分析】令a×＝b÷＝c×＝1，然后根据乘除法各部分之间的关系，分别求出a、b、c的值，再进行对比即可。【解答】解：令a×＝b÷＝c×＝1a＝1÷＝1×2＝2b＝1×＝c＝1÷＝1×＝因为2＞＞，所以a＞c＞b。则a、b、c中最大的数是a。故选：A。【点评】本题考查分数乘除法，明确分数乘除法的计算方法是解题的关键。14．（2023秋•高密市期末）一种长方形屏幕长与宽的比是16：9，下面几种规格的屏幕，合格的是（）A．长3.2米，宽2米 B．长米，宽米 C．长120厘米，宽80厘米 D．以上都不对【考点】比的应用．【专题】应用意识．【答案】B【分析】根据比的意义，分别写出四个选项中长方形屏幕长与宽的比并化成最简整数比，再看哪个选项中长与宽的比是16：9即合格。【解答】解：A、3.2米：2米＝8：5，不符合题意；B、米：米＝16：9，符合题意；C、120厘米：80厘米＝3：2，不符合题意；D、由以上可知，选项B符合题意，因此，以上都不对的说法不符合题意。故选：B。【点评】此题主要考查了比的意义及化简。15．（2023秋•高密市期末）一位同学把（a+）×4写成了a+×4，这样算出的结果与正确结果相差（）A．4a B．3a C．4 D．【考点】用字母表示数．【专题】数的运算．【答案】B【分析】把两个算式相减即可。【解答】解：（a+）×4﹣a﹣×4＝4a+×4﹣a﹣×4＝3a答：这样算出的结果与正确结果相差3a。故选：B。【点评】熟练掌握乘法分配律，是解答此题的关键。16．（2022•潍城区）如图，从起点到终点有三条路线，三条路线相比，（）A．路线①最近 B．路线②最近 C．路线③最近 D．一样近【考点】长度比较．【专题】几何直观．【答案】D【分析】利用圆的周长公式：C＝πd，比较各线路的长度即可得出结论。据此解答。【解答】解：假设起点到终点的距离为d。三条线路中圆弧的直径（或直径的和）都相等，所以圆弧的长也相等。故选：D。【点评】本题主要考查长度的比较，关键是利用圆的周长公式做题。17．（2023•同安区模拟）一个半圆，半径为r，它的周长是（）A．（π+2）r B．2πr C．πr D．πr2【考点】圆、圆环的周长；用字母表示数．【专题】平面图形的认识与计算．【答案】A【分析】根据题意：一个半圆面，半径是r，可先求出这个半圆所在的整个圆的周长，再除以2加上它的直径即可．【解答】解：已知半径是r所在圆的周长＝2πr半圆的周长＝2πr÷2+2r＝（π+2）r答：它的周长是（π+2）r．故选：A．【点评】此题主要考查的是已知半圆的半径求半圆的周长的知识．18．（2023秋•高密市期末）利群超市进行中秋大促销活动，一种商品先提价10%后又降价10%，现价与原价相比（）A．提高了 B．降低了 C．不变【考点】百分数的实际应用．【专题】应用意识．【答案】B【分析】先把原价看作单位“1”，提价后的价钱为原价的（1+10%）；进而把提价后的价钱看作单位“1”，现价即提价后价钱的（1﹣10%），即原价的（1+10%）的（1﹣10%），根据一个数乘分数的意义，求出现价为原价的百分之几。【解答】解：（1+10%）×（1﹣10%）＝1.1×0.9＝99%99%＜1所以现价小于原价。故选：B。【点评】解答此题的关键：判断出前后两个单位“1”的不同，进而根据分数乘法的意义求解。19．（2023秋•永年区期末）一个三角形的三个内角度数比是1：1：2，则这个三角形是（）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形【考点】按比例分配应用题；三角形的分类；三角形的内角和．【专题】比和比例；平面图形的认识与计算；空间观念；应用意识．【答案】D【分析】三角形的内角和是180度，已知三个内角的度数比是1：1：2，那么这个三角形中最大的角的度数占内角和的，根据一个数乘分数的意义，用乘法即可求出最大角的度数，再根据三角形按照角的大小分类的标准即可确定属于哪一种三角形．据此解答。【解答】解：180°×＝180°×＝90°因为最大角是90度，其它两个角小于90度，所以是直角三角形，又因为三个内角度数的比是1：1：2，度数有两个角相等，故是等腰直角三角形。答：这个三角形是等腰直角三角形。故选：D。【点评】此题考查的目的是理解掌握三角形的内角和，以及三角形按照角的大小分类的标准。20．（2023秋•高密市期末）用3张长3分米、宽2分米的长方形纸分别剪出一个最大的圆、一个最大的正方形和一个最大的三角形，面积最大的是（）A．圆 B．正方形 C．三角形 D．无法确定【考点】组合图形的面积．【专题】平面图形的认识与计算；应用意识．【答案】B【分析】根据题意，最大圆的直径应为2分米则半径为1分米，最大正方形的边长为2分米，最大三角形的底为3分米，高为2分米，然后根据圆的面积公式、正方形的面积公式和三角形的面积公式进行计算后再比较即可得到答案，【解答】解：最大圆的面积为：3.14×12＝3.14（平方分米）最大正方形的面积为：2×2＝4（平方分米）最大三角形的面积为：3×2÷2＝3（平方分米）4＞3.14＞3所以最大正方形的面积＞最大圆的面积＞最大三角形的面积．故选：B．【点评】此题主要考查的是圆的面积公式、正方形的面积公式和三角形的面积公式的应用．三、计算题。21．（2023秋•高密市期末）直接写得数。÷＝0.12×4＝÷6＝÷＝0÷＝0.3×＝12÷＝1÷＝2﹣＝×÷×＝【考点】分数除法；分数的四则混合运算；小数乘法；分数乘法．【专题】计算题；运算能力．【答案】；0.48；；；0；；20；；1；。【分析】利用分数除法，分数乘法，小数乘法，分数减法的计算方法，结合题中各个算式分别计算即可。【解答】解：÷＝0.12×4＝0.48÷6＝÷＝0÷＝00.3×＝12÷＝201÷＝2﹣＝1×÷×＝【点评】本题考查的是分数除法，分数乘法，小数乘法，分数减法的计算方法。22．（2023秋•高密市期末）化简比，求比值。：0.5时：15分2.45：1.4：2.4分米：0.3米【考点】求比值和化简比．【专题】运算能力．【答案】1：2，0.5；2：1，2；7：4，1.75；15：4，3.75；4：5，0.8。【分析】根据比的基本性质，即比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外）比值不变，进而把比化成最简比；用比的前项除以后项，所得的商即为比值。注意单位要统一。【解答】解：：0.5＝0.25：0.5＝（0.25÷0.25）：（0.5÷0.25）＝1：2＝0.5时：15分＝30分：15分＝（30÷15）：（15÷15）＝2：1＝22.45：1.4＝（2.45×100）：（1.4×100）＝245：140＝（245÷35）：（140÷35）＝7：4＝1.75：＝（×20）：（×20）＝15：4＝3.752.4分米：0.3米＝24厘米：30厘米＝（24÷6）：（30÷6）＝4：5＝0.8【点评】此题主要考查了化简比和求比值的方法，另外还要注意化简比的结果是一个比，它的前项和后项都是整数，并且是互质数；而求比值的结果是一个商，可以是整数、小数或分数。23．（2023秋•高密市期末）解方程。x﹣x＝x÷＝50%x+x＝35【考点】百分数方程求解；分数方程求解．【专题】运算能力．【答案】x＝4.5；x＝；x＝42。【分析】先化简，再再根据等式的性质，方程两边同时除以。根据等式的性质，方程两边同时除以6，再同时除以。先化简，再根据等式的性质，方程两边同时除以。【解答】解：x﹣x＝x＝x÷＝÷x＝4.5x÷＝x÷÷6＝÷6x＝x÷＝÷x＝50%x+x＝35x＝35x÷x＝35÷x＝42【点评】解方程的依据是等式的性质。解答过程要注意书写格式：上、下行等号对齐；不能连等。24．（2023秋•高密市期末）计算下列各题，能简算的要简算。÷+××+×﹣×[1﹣（+）]÷【考点】分数的四则混合运算；运算定律与简便运算．【专题】计算题；运算能力．【答案】；；。【分析】前两道应用乘法分配律；后一道按分数四则混合运算的运算顺序：先算中括号里面小括号里面的加法，再算中括号里面的减法，最后算括号外面的除法。【解答】解：＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝【点评】熟练掌握乘法分配律以及分数四则混合运算的运算顺序。四、按要求完成以下各题。25．（2023秋•高密市期末）在图中表示的，并列式计算．×＝．．【考点】分数乘法．【专题】运算顺序及法则．【答案】见试题解答内容【分析】本题根据分数的意义及分数乘法的意义分析填充即可．【解答】解：如图斜线部分占整个图形的即，网格部分占斜线部分的即．所以网格部分占整个图形的×＝．故答案为：×＝．【点评】完成本题要注意题目中两个分数的单位“1”是不同的．26．（2020秋•潍坊期末）画一个周长是12.56厘米的圆，标注圆心、半径和直径，并画出一条对称轴。【考点】画圆．【专题】常规题型；能力层次．【答案】【分析】根据圆的周长C＝2πr推出r＝C÷π÷2，算出半径后，根据画圆的步骤画圆；根据连接圆心到圆上的任意一点的距离是半径，画出一条半径；根据通过圆心并且两个端点都在圆上的圆周上的线段叫做直径，画出一条直径；圆有无数条对称轴，它的对称轴是经过直径的一条直线。【解答】解：经分析得：r＝12.56÷3.14÷2＝4÷2＝2（厘米）【点评】本题主要通过作图考查了圆的圆心、半径、直径和圆的对称轴。27．（2023秋•高密市期末）列式计算。（1）（2）【考点】分数乘法应用题．【专题】应用题；应用意识．【答案】（1）180吨；（2）2500万元。【分析】（1）要求吨数＝总吨数×，由此列式计算；（2）二月份钱数＝一月份钱数×（1+），由此列式计算。【解答】解：（1）300×＝180（吨）答：要求的是180吨。（2）2000×（1+）＝2000×＝2500（万元）答：二月份是2500万元。【点评】解决本题的关键是找出题中数量关系。五、解决问题。28．（2023秋•高密市期末）国家启动“汽车下乡”工程以来，我市汽车销量明显增加。第一季度我市“汽车销售城”卖出120辆小汽车，是第二季度的，第三季度汽车销量是第二季度的，第三季度卖出多少辆汽车？【考点】分数四则复合应用题．【专题】应用题；应用意识．【答案】300辆。【分析】第一季度卖出汽车数量＝第二季度卖出汽车数量×，用除法列式计算第二季度卖出汽车数量，第三季度汽车销量＝第二季度汽车销量×，用乘法列式计算第三季度卖出多少辆汽车。【解答】解：120÷×＝180×＝300（辆）答：第三季度卖出300辆汽车。【点评】解决本题的关键是找出题中数量关系。29．（2023秋•高密市期末）一本书300页，第一天看了全书的，第二天看的页数是第一天的，第二天看了多少页？【考点】分数四则复合应用题．【专题】应用题；应用意识．【答案】80页。【分析】第一天看的页数＝全书页数×，第二天看的页数＝第一天看的页数×，由此列式计算第二天看了多少页。【解答】解：300××＝100×＝80（页）答：第二天看了80页。【点评】解决本题的关键是找出题中数量关系。30．（2023秋•高密市期末）冬天防治感冒，我国民间常常用生姜、红糖和水按照1：3：24的质量比熬制“姜汤”。要熬制56千克姜汤，需要生姜、红糖和水各多少千克？【考点】比的应用．【专题】应用意识．【答案】姜2千克，红糖6千克，水48千克。【分析】把56千克平均分成（1+3+24）份，先用除法求出1份的质量，即生姜的质量，再用乘法分别求出3份（红糖）、24份（水）的质量。【解答】解：56÷（1+3+24）＝56÷28＝2（千克）2×1＝2（千克）2×3＝6（千克）2×24＝48（千克）答：需要生姜2千克，红糖6千克，水48千克。【点评】此题考查了比的应用。也可把比转化成分数，再根据分数乘法的意义解答。31．（2023秋•高密市期末）两地相距550千米，快慢两车同时分别从甲、乙两地相对开出，5小时相遇．已知快车和慢车的速度比是6：5．两车速度各是多少？【考点】比的应用．【专题】比和比例．【答案】见试题解答内容【分析】根据相遇问题中的基本数量关系：路程＝速度和×相遇时间，由快慢两车的速度之比是6：5，设慢车的速度为x，则快车的速度为x；列出方程解答即可．【解答】解：设慢车的速度为每小时x千米，根据题意列方程得，（x+x）×5＝55011x＝550x＝50快车的速度为：50×＝60（千米）答：快车每小时行60千米，慢车每小时行50千米．【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握，解答此题的关键是求出两车的速度之和是多少．32．（2022秋•崂山区期末）广场中央的圆形水池的直径是20米，在水池的周围是一条宽10米的环形水泥路。（1）这条水泥路的面积是多少平方米？（2）如果在水泥路的外沿上每隔31.4米设置一把休息椅，需要几把椅子？【考点】有关圆的应用题．【专题】应用题；应用意识．【答案】（1）942平方米；（2）4把。【分析】（1）求水泥路的面积就是求圆环的面积，根据圆环的面积公式：S＝π（R2﹣r2），据此代入数值进行计算即可；（2）根据圆的周长公式：C＝πd，据此求出水泥路外沿的长度，则根据植树问题，椅子的把数＝水泥路外沿的长度÷间隔长度，据此解答即可。【解答】解：（1）3.14×[（20÷2+10）2﹣（20÷2）2]＝3.14×[400﹣100]＝3.14×300＝942（平方米）答：这条水泥路的面积是942平方米。（2）3.14×（20+10×2）÷31.4＝3.14×40÷31.4＝125.6÷31.4＝4（把）答：需要4把椅子。【点评】本题考查圆环的面积和圆的周长，熟记公式是解题的关键。

考点卡片1．合数与质数的初步认识【知识点解释】合数：指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数．“0”“1”既不是质数也不是合数．质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数（素数）【命题方向】常考题型：例1：所有的质数都是奇数．×．分析：只有1和它本身两个因数的自然数为质数．不能被2整除的数为奇数，也就是说，奇数除了没有因数2外，可以有其他因数，如9、15等．解：根据质数和奇数的定义，“所有的质数都是奇数”的说法是错误的．故答案为：×．点评：本题混淆了质数和奇数的定义．例2：已知a×b+3＝x，其中a、b均为小于1000的质数，x是奇数，那么x的最大值是1997．分析：x是奇数，因为偶数+奇数＝奇数，3为奇数，所以，a×b定为偶数，则a、b必有一个为最小的质数2，小于1000的最大的质数为997，所以x的最大值为2×997+3＝1997．解：x是奇数，a×b一定为偶数，则a、b必有一个为最小的质数2，小于1000的最大的质数为997，所以x的最大值为2×997+3＝1997．故答案为：1997．点评：在自然数中，注意特殊的数2既为偶数，同时也为质数．2．分数大小的比较【知识点归纳】分数比较大小的方法：（1）真、假分数或整数部分相同的带分数；分母相同，分子大则分数大；分子相同，则分母小的分数大；分子和分母都不相同，通分后化成同分母或者同分子的分数再进行比较大小．（2）整数部分不同的带分数，整数部分大的带分数就比较大．【命题方向】常考题型：例1：小于而大于的分数只有一个分数．×分析：依据分数的基本性质，将两个分数的分子和分母同时扩大若干倍，介于它们中间的真分数就会有无数个，据此即可进行判断．解：分别将和的分子和分母扩大若干个相同的倍数，在和间会出现无数个真分数，所以，大于而小于的真分数只有一个是错误的．故答案为：×．点评：解答此题的关键是依据分数的基本性质将两个的分子和分母扩大若干倍，即可找到无数个介于它们中间的真分数，从而能推翻题干的说法．3．倒数的认识【知识点解释】＜BR＞若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．＜BR＞＜BR＞【解题思路点拨】＜BR＞求倒数的方法：求一个分数的倒数，例如，我们只需把这个分数的分子和分母交换位置，即得的倒数为．＜BR＞求一个整数的倒数，只需把这个整数看成是分母为1的分数，然后再按求分数倒数的方法即可得到，如3的倒数为．＜BR＞求一个小数的倒数，可以先把小数化成分数，然后分子和分母调换位置．＜BR＞＜BR＞【注意事项】＜BR＞0没有倒数．＜BR＞＜BR＞【命题方向】＜BR＞常考题型：＜BR＞例1：0.3的倒数是＜DIVclass＝quizPutTagcontentEditable＝true＞＜/DIV＞．＜BR＞分析：根据倒数的定义求解．＜BR＞解：0.3＝的倒数是．＜BR＞故答案为：．＜BR＞点评：此题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．＜BR＞例2：一个数除以等于的倒数，求这个数．＜BR＞分析：根据题意，的倒数是1÷，再乘上即可．＜BR＞解：1÷×，＜BR＞＝×，＜BR＞＝；＜BR＞答：这个数是．＜BR＞点评：根据题意，先求出的倒数，再根据被除数＝商×除数，列式解答．4．运算定律与简便运算【知识点归纳】1、加法运算：①加法交换律：两个加数交换位置，和不变．如a+b＝b+a②加法结合律：先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变．如：a+b+c＝a+（b+c）2、乘法运算：①乘法交换律：两个因数交换位置，积不变．如a×b＝b×a．②乘法结合律：先乘前两个数，或先乘后两个数，积不变．如a×b×c＝a×（b×c）③乘法分配律：两个数的和，乘以一个数，可以拆开来算，积不变．如a×（b+c）＝ab+ac④乘法分配律的逆运算：一个数乘另一个数的积加它本身乘另一个数的积，可以把另外两个数加起来再乘这个数．如ac+bc＝（a+b）×c3、除法运算：①除法性质：一个数连续除以两个数，可以先把后两个数相乘，再相除．如a÷b÷c＝a÷（b×c）②商不变规律：被除数和除数同时乘上或除以相同的数（0除外）它们的商不变．如a÷b＝（an）÷（bn）＝（a÷n）÷（b÷n）（n≠0b≠0）4、减法运算：减法性质：一个数连续减去两个数，可以用这个数减去两个数的和．如a﹣b﹣c＝a﹣（b+c）【命题方向】常考题型：例1：0.65×201＝0.65×（200+1）＝0.65×200+0.65运用了乘法的（）A、交换律B、结合律C、分配律分析：乘法分配律的概念为：两个数的和乘另一个数，等于把这个数分别同两个加数相乘，再把两个积相加，得数不变，用字母表示：（a+b）c＝ac+ac．据此可知，0.65×201＝0.65×（200+1）＝0.65×200+0.65运用了乘法分配律．解：根据乘法分配律的概念可知，0.65×201＝0.65×（200+1）＝0.65×200+0.65运用了乘法分配律．故选：C．点评：本题利用具体的算式考查了学生对于乘法分配律的理解．例2：125×25×32＝（125×8）×（25×4），这里运用了（）A、乘法交换律B、乘法结合律C、乘法交换律和乘法结合律分析：在125×25×32＝（125×8）×（25×4）中，是把32看作8×4，然后用乘法交换律变成125×8×25×4，再运用乘法结合律计算，即（125×8）×（25×4）．解：125×25×32＝（125×8）×（25×4），运用了乘法交换律和乘法结合律．故选：C．点评：此题重点考查了学生对乘法交换律和结合律的掌握与运用情况．5．小数乘法【知识点归纳】小数乘法的意义和整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的就简便运算；一个数乘纯小数的意义是，求这个数的十分之几、百分之几、千分之几…是多少．小数乘法法则：先把被乘数和乘数都看做整数，按照整数的乘法法则进行计算，求出整数乘法的积，然后，再看被乘数和乘数一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点．如果小数的末尾出现0时，根据小数的基本性质，要把它去掉．【命题方向】常考题型：例1：40.5×0.56＝（）×56．A、40.5B、4.05C、0.405D、0.0405分析：两个小数相乘，其中一个的小数点向左移动几位，要使积不变，则另一个小数的小数点要向右移动相同的数位．解：40.5×0.56＝0.405×56故选：C．点评：此题主要考查在小数乘法中小数点位置的变化与积的变化规律．例2：昙花的寿命最少保持能4小时，小麦开花的时间是昙花寿命的0.02倍，约（）左右．分析：根据题意，小麦开花的时间是昙花寿命的0.02倍，也就是4小时的0.02倍，可以先求出小麦开花的时间，再进行估算即可．解：根据题意可得：小麦开花的时间是：4×0.02＝0.08（小时），0.08小时＝4.8分钟≈5分钟．故选：B．点评：本题主要考查小数乘法的估算，根据题意求解后，要根据求近似数的方法进行估算，要注意单位不同时，化成相同的单位．6．分数乘法【知识点归纳】分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算．乘积是1的两个数叫做互为倒数．分数乘法法则：（1）分数乘以整数或整数乘以分数：由于任何整数（0除外）都可以化成分母是1的假分数，分数乘以整数或整数乘以分数，都可以转化成分数乘以分数的形式．因此，在计算中，是用分数的分子和整数相乘的积作为分子，分母不变．在乘的过程中，如果有可以约分的数，可以先约分，这样，可以使计算的数字缩小，从而使计算变得简便．（2）分数乘以分数：用分子相乘的积作为分子，用分母相乘的积作为分母．为了使计算简便，在计算的过程中，能够约分的，要约分．（3）带分数乘法：先把带分数化成假分数，然后再乘．结果是假分数时，要把假分数化成带分数或整数．分数乘法的运算定律：（1）交换律：两个分数相乘，交换分数的位置，它们的积不变．（2）结合律：三个分数相乘，先把前两个分数相乘，再乘以第三个分数，或者先把后两个分数相乘，再乘以第一个分数，它们的积不变．（3）乘法分配律：两个分数的和与一个分数相乘所得的积，等于每一个加数分别与这个分数相乘所得的积的和．【命题方向】常考题型：例1：甲数的等于乙数的，那么甲数（）乙数．（甲数乙数不为0）A、大于B、小于C、等于分析：甲数的等于乙数的．首先把甲数看作‘单位1’乙数是甲数的．解：把甲数看作‘单位1’，平均分成5份乙数就相当于甲数的．故选：A．点评：此题主要考查分数大小的比较．例2：一个数乘分数的积一定比原来这个数小．×．分析：本题的说法是错误的：（1）当这个数为零时，积总为零．（2）假分数≥1，当分数为假分数时，积≥这个数．真分数＜1，只有当个分数为真分数时，且是一个不为零的数乘以这个真分数，积才一定比原来这个数小．解答：解：只有当个分数为真分数时，且是一个不为零的数乘以这个真分数，积才一定比原来这个数小．故答案为：×．点评：本题从这个数是否为零、真分数、假分数三个方面进行分析．7．分数除法【知识点归纳】分数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算．分数除法法则：（1）分数除以整数：分数除以整数（0除外），等于分数乘以这个整数的倒数．（2）一个数除以分数：一个数除以分数，等于这个数乘以分数的倒数．（3）带分数除法：在分数除法中，如果出现带分数时，不论这个带分数是被除数还是除数，都要先把带分数化成假分数，然后，按照分数除以分数的法则计算．分数除法的运算性质：与整数除法的运算性质相同（1）一个数除以几个数的积，等于这个数依次除以积的每个因数．（2）两个数的积除以一个数，等于用除数先除积的任意一个因数，再与另一个因数相乘．（3）一个数除以两个数的商，等于这个数先乘以商中的除数，再除以商中的被除数；或者用这个数先除以商中的被除数，再乘以商中的除数．（4）两个数的商除以一个数，等于商中的被除数先除以这个数，再除以原来商中的除数．（5）两个数的和除以一个数，等于用除数分别去除这两个数，再把所得的商加起来．【命题方向】常考题型：例1：甲数的是18，乙数的是18，甲数（）乙数．分析：甲数的是18用除法求出甲数，乙数的是18用除法求出乙数；然后比较大小．解：18÷，＝18×，＝27；18÷，＝18×，＝24；27＞24；所以甲数＞乙数；故选：A．点评：此题考查了基本的分数除法的运用：已知一个数的几分之几是多少求这个数用除法解答．例2：一个数（0除外）除以，这个数就（）A、扩大6倍B、增加6倍C、缩小6倍分析：除以一个数等于乘这个数的倒数，由此解决．解：设这个数为a，则：a＝6a，a不为0，6a就相当于把a扩大了6倍．故选：A．点评：本题运用了分数除法的计算方法来求解，注意扩大6倍和增加6倍的区别．8．分数的四则混合运算【知识点归纳】1、整数的运算定律同样适用于分数乘法中的简便计算，需要关注的是，根据数的特征正确运用运算定律，切勿随心所欲进行所谓的“简便计算”。2、分数乘法简便计算的本质，是利用运算定律创造条件“约分”，使计算简便。【方法总结】1、分数混合运算的运算顺序与整数混合运算的运算顺序完全相同，都是先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里的。①如果是同一级运算，按照从左到右的顺序依次计算。②如果是分数连乘，可先进行约分，再进行计算；③如果是分数乘除混合运算时，要先把除法转换成乘法，然后按乘法运算。【常考题型】妈妈买来一袋大米，吃了，还剩35千克，这袋大米重多少千克？答案：35÷（1﹣）＝50（千克）水果店今天共卖出香蕉48千克，下午卖出的香蕉是上午的，上午卖出香蕉多少千克？答案：48×＝27（千克）9．质量的单位换算【知识点归纳】1吨＝1000千克＝1000000克，1千克＝1000克，1公斤＝1000克＝2斤，1斤＝500克．单位换算：大单位换小单位乘以它们之间的进制，小单位换大单位除以它们之间的进制．【命题方向】常考题型：例1：1千克的沙子与1000克的棉花相比（）A、一样重B、沙子重C、棉花重分析：把1千克换算成用克作单位的数，要乘它们之间的进率1000，然后再进一步解答即可．解：根据题意可得：1×1000＝1000；1千克＝1000克；所以，1千克的沙子与1000克的棉花一样重．故选：A．点评：单位不同，先换成统一单位，再比较大小，然后进一步解答即可．例2：2.05千克＝2千克50克＝2050克．分析：把2.05千克化成复名数，整数部分2就是千克数，再把0.05千克化成克数，用0.05乘进率1000；把2.05千克化成克数，用2.05乘进率1000，即可得解．解：0.05×1000＝50（克），2.05千克＝2千克50克；2.05×1000＝2050（克），2.05千克＝2050克；故答案为：2，50，2050．点评：此题考查名数的换算，把高级单位的名数换算成低级单位的名数，就乘单位间的进率，反之则除以进率．10．时、分、秒及其关系、单位换算与计算【知识点归纳】两个日期或时刻之间的间隔叫时间．时、分、秒相邻两个单位进率是60，1小时＝60分＝3600秒，1分＝60秒．单位换算：大单位换小单位乘以它们之间的进制，小单位换大单位除以它们之间的进制．【命题方向】常考题型：例1：3.3小时是（）A、3小时30分B、3小时18分C、3小时3分分析：1小时＝60分，据此即可求解．解：3.3小时＝3+0.3小时，0.3×60＝18（分），所以3.3小时＝3小时18分；故选：B．点评：此题主要考查时间单位间的换算．例2：三个人在同一段路上赛跑，甲用0.2分，乙用分，丙用13秒．（）的速度最快．A、甲B、乙C、丙分析：先把时间都换算成秒数，再比较谁最快，因为路程相等，谁用的时间最少谁就最快．解：甲的时间是：0.2分＝12秒，乙的时间是：分＝14秒，丙的时间是：13秒，在12秒、14秒、13秒三个时间中，12秒最少，即甲的速度最快．故选：A．点评：此题关键是把时间统一单位，明确同样的路程，用的时间最少的是速度最快的．11．用字母表示数【知识点归纳】字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某一个数，甚至可以表示具有某些规律的数，总之字母可以简明地将数量关系表示出来．比如：t可以表示时间．用字母表示数的意义：有助于概念的本质特征，能使数量的关系变得更加简明，更具有普遍意义．使思维过程简化，易于形成概念系统．注意：1．用字母表示数时，数字与字母，字母与字母相乘，中间的乘号可以省略不写；或用“•”（点）表示．2．字母和数字相乘时，省略乘号，并把数字放到字母前；“1”与任何字母相乘时，“1”省略不写．3．出现除式时，用分数表示．4．结果含加减运算的，单位前加“（）”．5．系数是带分数时，带分数要化成假分数．例如：乘法分配律：（a+b）×c＝a×c+b×c乘法结合律：（a×b）×c＝a×（b×c）乘法交换律：a×b＝b×a．【命题方向】命题方向：例：甲数为x，乙数是甲数的3倍多6，求乙数的算式是（）A、x÷3+6B、（x+6）÷3C、（x﹣6）÷3D、3x+6分析：由题意得：乙数＝甲数×3+6，代数计算即可．解：乙数为：3x+6．故选：D．点评：做这类用字母表示数的题目时，解题关键是根据已知条件，把未知的数用字母正确的表示出来，然后根据题意列式计算即可得解．12．分数方程求解【知识点归纳】解方程的步骤（1）去分母。当方程中存在分数，对方程中的两侧都乘以分数的分母，使分式化为整式，便于计算。（2）去括号。在去方程中的括号时，若括号前面是“+”，括号内不变符号；若括号前是“﹣”，去掉括号后，括号内变号。（3）移项。通过移项，将方程中的含未知数的项都移动到一侧，将整数移动到另一侧。（4）合并同类项。对含有相同未知数的次数相同的项的系数相加，合并同类项。（5）系数化为1.合并同类项后，将等式两侧都除以含有未知数的次数最高的项的系数。当方程为一元一次方程时，系数化为1后即可得到方程的解。【命题方向】常考题型解方程。①x−4/5x+6＝16②64x＝2.4/0.9答案：①x＝50；②x＝24。13．百分数方程求解【知识点归纳】把百分数转化成小数即可，其他步骤与小数方程求解相同一般利用等式性质把小数转化为整数之后，其他步骤与整数方程求解相同。解方程的步骤（1）去分母。当方程中存在分数，对方程中的两侧都乘以分数的分母，使分式化为整式，便于计算。（2）去括号。在去方程中的括号时，若括号前面是“+”，括号内不变符号；若括号前是“﹣”，去掉括号后，括号内变号。（3）移项。通过移项，将方程中的含未知数的项都移动到一侧，将整数移动到另一侧。（4）合并同类项。对含有相同未知数的次数相同的项的系数相加，合并同类项。（5）系数化为1.合并同类项后，将等式两侧都除以含有未知数的次数最高的项的系数。当方程为一元一次方程时，系数化为1后即可得到方程的解。【命题方向】常考题型：解方程。5x×30%＝153.6x+120%x＝96100%x+2/3＝7/6130%x﹣0.8×4＝3.3答案：x＝10；x＝20；x＝1/2；x＝5。14．比的意义【知识点归纳】两个数相除，也叫两个数的比．【命题方向】常考题型：例1：男生人数比女生人数多，男生人数与女生人数的比是（）A、1：4B、5：7C、5：4D、4：5分析：男生人数比女生人数多，把女生人数看作单位“1”，则男生人数是女生人数的（1+），由此即可求出男生与女生的人数的比，据此选择即可．解：（1+）：1，＝：1，＝5：4；故选：C．点评：解答本题关键是：判断出单位“1”，求出男生人数是女生人数的几分之几，进而根据比的意义解答即可．例1：甲数是乙数的，乙数是丙数的，甲、乙、丙三数的比是（）A、4：5：8B、4：5：6C、8：12：15D、12：8：15分析：根据题干分析可得，设甲数是2x，乙数是3x，则丙数就是3x÷＝x，由此即可写出甲乙丙三个数的比是2x：3x：x，根据比的性质，即可得出最简比．解：设甲数是2x，乙数是3x，则丙数就是3x÷＝x，所以甲乙丙三个数的比是2x：3x：x＝8：12：15，故选：C．点评：此题考查比的意义，关键是根据甲乙丙的关系，分别用含有x的式子表示出这三个数，再利用比的性质化简比．15．比与分数、除法的关系【知识点归纳】1．联系：比的前项相当于分数的分子、除法中的被除数；比号相当于分数的分数线、除法中的除号；比的后项相当于分数的分母、除法中的除数；比值相当于分数的分数值、除法中的商．2．区别：比是一种关系，分数是一种数，除法是一种运算．【命题方向】常考题型：例：＝16÷20＝8：10＝80%＝八成．分析：根据比与分数、除法之间的关系，并利用商不变的规律、比的基本性质等知识即可得答案．解：＝4÷5＝16÷20，＝4：5＝8：10，＝0.8＝80%＝八成，故答案为：＝16÷20＝8：10＝80%＝八成点评：此题主要考查商不变的规律、比的基本性质等知识．16．求比值和化简比【知识点归纳】1．求两个数的比值，就是用比的前项除以比的后项，它的结果是一个数值，这个数值可以是整数，也可以是小数或分数．2．求比值和化简比的方法：把两个数的比化成最简单的整数比．（1）整数比化简方法：把比的前项和后项同时除以它们的最大公因数．（2）分数比化简方法：把比的前项和后项同时乘它们的分母的最小公倍数，变成整数比，再进行化简；利用求比值的方法也可化简分数比，但结果必须写成比的形式．（3）小数比化简方法：先把比的前项和后项的小数点同时向右移动相同位数，完成整数比，再进行化简．【命题方向】常考题型：例：甲数除以乙数的商是3.2，乙数与甲数的最简整数比是（）A、16：5B、5：16C、3：2D、2：3分析：根据甲数除以乙数的商是3.2，可以认为乙数是1份的数，甲数是3.2份的数，进一步写出比并化简比．解：乙数：甲数＝1：3.2＝10：32＝5：16．故选：B．点评：解决此题关键是根据题意先写出比，再进一步化简比．17．比的应用【知识点归纳】1．按比例分配问题的解题方法：（1）把比看作分得的份数，用先求出每一份的方法来解答．解题步骤：a．求出总份数；b．求出每一份是多少；c．求出各部分相应的具体数量．（2）转化成份数乘法来解答．解题步骤：a．先根据比求出总份数；b．再求出各部分量占总量的几分之几；c．求出各部分的数量．2．按比例分配问题常用解题方法的应用：（1）已知一个数量的各部分的比和其中某一部分的量，求另外几个部分量；（2）已知两个量或几个量的比和其中两个量的差，求总量．【命题方向】常考题型：例1：一个三角形与一个平行四边形的面积和底部都相等，这个三角形与平行四边形高的比是（）A、2：1B、1：2C、1：1D、3：1分析：根据三角形和平行四边形的面积公式可得：三角形的高＝面积×2÷底；平行四边形的高＝面积÷底，由此即可进行比较，解答问题．解：三角形的高＝面积×2÷底，平行四边形的高＝面积÷底，当三角形和平行四边形的面积和底分别相等时，三角形的高是平行四边形的高的2倍．所以这个三角形与平行四边形高的比是2：1．故选：A．点评：考查了平行四边形的面积和三角形的面积公式，解题的关键是知道底相等、面积也相等的三角形和平行四边形中三角形的高是平行四边形的高的2倍．例2：甲、乙两人各走一段路，他们的速度比是3：4，路程比是8：3，那么他们所需时间比是（）A、2：1B、32：9C、1：2D、4：3分析：根据题意，把乙的速度看作1，那么甲的速度就为；把甲的路程看作1，那么乙的路程就为；根据时间＝路程÷速度，可得甲用的时间为1÷＝，乙用的时间为÷1＝；进而写出甲和乙所需的时间比，再把比化成最简比即可．解：把乙的速度看作1，那么甲的速度就为，把甲的路程看做1，那么乙的路程就为，甲用的时间为：1÷＝，乙用的时间为：÷1＝，甲乙用的时间比：：＝（×24）：（×24）＝32：9；答：甲乙所需的时间比是32：9．故选：B．点评：关键是把速度和路程设出来，然后根据时间＝路程÷速度，先求得各自用的时间，再写出所用的时间比并化简比．18．分数乘法应用题【知识点归纳】是指已知一个数，求它的几分之几是多少的应用题．特征：已知单位“1”的量和分率，求与分率所对应的实际数量解题关键：准确判断单位“1”的量，找准要求问题所对应的分率，然后，根据一个数乘分数的意义正确列式．【命题方向】常考题型：例1：一根钢材长4米，用去后，又用去米，还剩（）米．A、B、C、2分析：根据题意，用去后，把4米看作单位“1”，剩下的占4米的（1﹣），根据一个数乘分数的意义，用乘法解答，又用去米，米是一个具体长度，根据求剩余问题直接用减法解答．解：4×（1﹣）﹣，＝4×﹣，＝3﹣，＝2（米）；答：还剩2米．故选：B．点评：此题解答关键是理解和米的意义，是分率，米是一个具体数量．例2：某体操队的人数增加了后，又减了，现在的人数和原来相比（）A、增加了B、减少了C、不变D、不能确定分析：此题没有具体数量，就把体操队的原有人数看做“1”，当做具体数量1，第一个是把体操队的原有人数看做单位“1”，第二个是把体操队的增加人数后的人数看做单位“1”，由此分清单位“1”，列式解答，算出的数据比“1”大，就比原来人数多；反之，就比原来人数和少．解：设操队的原有人数看做“1”，1×（1+）×（1﹣），＝1××，＝，因为＜1，所以现在的人数比原来的人数减少了．故选：B．点评：解答此题的关键是分清两个单位“1”的区别，找清各自以谁为标准，再把数据设出，问题容易解决．19．分数除法应用题【知识点归纳】求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）是多少．特征：已知一个数和另一个数，求一个数是另一个数的几分之几或百分之几．“一个数”是比较量，“另一个数”是标准量．求分率或百分率，也就是求它们的倍数关系．解题关键：从问题入手，搞清是把谁看做标准的数也就是把谁看做了单位“1”，谁知单位“1”的量比较，谁就作为被除数．甲是乙的几分之几（或百分之几）：甲是比较量，乙是标准量，用甲除以乙．甲比乙多（或少）几分之几（或百分之几）：甲减乙比乙多（或少）几分之几（或百分之几）．关系式：（甲数﹣乙数）÷乙数，或（甲数﹣乙数）÷甲数．特征：已知一个实际数量和它相对应的分率，求单位“1”的量．解题关键：准确判断单位“1”的量，把单位“1”的量看成x，根据分数乘法的意义列方程，或者根据分数除法的意义列算式，但必须找准和分率相对应的已知实际数量．【命题方向】常考题型：例1：一个长方形长5厘米，宽3厘米，表示（）几分之几．A、长比宽多B、长比宽少C、宽比长少D，宽比长多分析：据题意5﹣3表示宽比长少的数量，除以5表示宽比长少的数量占长的几分之几．解：表示宽比长少的占长的几分之几．故选：C．点评：此题考查分数应用题的基本类型：一个数比另一个多（或）几分之几的数，多的（或少的）除以另一个数．例2：弟弟身高120厘米，比哥哥矮，计算哥哥身高的正确式子（）A、120×（1+）B、120÷（1+）C、120×（1﹣）D、120÷（1﹣）分析：根据题意“弟弟身高120厘米，比哥哥矮”把哥哥的身高看作单位“1”，哥哥的身高是未知的，用除法计算，数量120除以对应分率（1﹣），据此解答即可．解：哥哥的身高：120÷（1﹣）．故选：D．点评：此题考查分数除法应用题，关键找准单位“1”，单位“1”是未知的，用除法计算，数量除以对应分率．20．分数四则复合应用题【命题方向】常考题型：例：一瓶油千克，先倒出它的，然后再加千克．现在瓶内的油比原来（）A、增加B、减少C、不变分析：一瓶油千克，先倒出它的，还剩×（1﹣）＝（千克），再加千克，这时油重（+）千克，计算即可．解：现在油重：×（1﹣）+，＝×+，＝+，＝（千克）；原来油重：＝（千克）；因为＞．所以增多了．答：现在瓶内的油比原来增多．故选：A．点评：解答此题应分清两个“”的区别，第一个“”表示分率，第二个“”表示数量，在列式时不要混淆．21．百分数的实际应用【知识点归纳】①出勤率＝出勤人数÷总人数×100%发芽率＝发芽种子数÷试验种子数×100%小麦的出粉率＝面粉的重量÷小麦的重量×100%产品的合格率＝合格的产品数÷产品总数×100%职工的出勤率＝实际出勤人数÷应出勤人数×100%②纳税问题：缴纳的税款叫应纳税款应纳税额与各种收入的比率叫做税率税款＝应纳税金×税率③利息问题：存入银行的钱叫本金；取款时，银行多支付的钱叫做利息利息与本金的比值叫做利率利息＝本金×利率×时间【命题方向】常考题型：例1：某公司开会，有25人缺席，有100人出席，这个会议的出席率是（）A、80%B、75%C、100%分析：出席率是指出席的人数占总人数的百分之几，计算方法为：×100%＝出席率，由此列式解答即可．解：×100%＝80%，答：出席率是80%；故选：A．点评：此题属于百分率问题，计算的结果最大值为100%，都是用一部分数量（或全部数量）除以全部数量乘以百分之百．例2：某商店同时卖出两件商品，每件各得60元，但其中一件赚20%，另一件亏本20%，这个商店卖出这两件商品是赚钱还是亏本？分析：可以这样想，赚了20%，亏本20%是和谁比较呢？是与原价比较，因此原价是单位“1”，赚了20%就是说原价的（1+20%）是60元，求原价，用除法，60÷（1+20%）＝50（元），同理亏本20%就是说原价的（1﹣20%）是60元，求原价，用除法，60÷（1﹣20%）＝75（元）．解：[60÷（1+20%）+60÷（1﹣20%）]﹣60×2＝[50+75]﹣120；＝125﹣120；＝5（元）；答：这两件商品亏了5元．点评：解决这个问题的关键是正确确定单位“1”，找出对应关系．22．按比例分配应用题【知识点归纳】把一个数按一定的比（或连比）分成若干部分，叫做按比例分配．解答这类题的方法是：把一个总数A分成几部分，使顺次与几个已知数的连比成正比例关系，只要求出总份数，然后，把A分别乘以各部分量所占总量的几分之几，或者求出总份数后，再求平均每份是多少，然后，按照各个量所占的份数，求出几份是多少．【命题方向】常考题型：例1：一个三角形三个内角度数的比是3：2：1，这是一个（）三角形．A、锐角B、直角C、钝角D、无法确定分析：因为三角形的内角度数和是180°，三角形的最大的角的度数占内角度数和的，根据一个数乘分数的意义，求出最大角，进而判断即可．解：1+2+3＝6最大的角：180°×＝90°所以这个三角形是直角三角形故选：B．点评：解答此题应明确三角形的内角度数的和是180°，求出最大的角的度数，然后根据三角形的分类判定类型．例2：一个长方形周长是88cm，长与宽的比是7：4．长方形的长、宽各是多少厘米？面积是多少？分析：根据题意，长与宽的和为88÷2＝44（厘米），然后运用按比例分配的方法，求出长方形的长、宽各是多少厘米，再根据长方形面积公式，求出面积，解决问题．解：88÷2＝44（厘米），4+7＝11，44×＝16（厘米），44×＝28（厘米）；16×28＝448（平方厘米）；答：长方形的长是28厘米，是16厘米，面积是448平方厘米．点评：解答此题的关键是找准对应量，找出数量关系，根据数量关系，列式解答即可．23．百分率应用题【知识点归纳】出勤率：发芽率＝发芽种子数÷试验种子数×100%小麦的出粉率＝面粉的重量÷小麦的重量×100%产品的合格率＝合格的产品数÷产品总数×100%职工的出勤率＝实际出勤人数÷应出勤人数×100%【命题方向】常考题型：例1：一种树苗实验成活率是98%，为了保证成活380棵，至少要种多少棵树苗？分析：首先理解“成活率”的概念，成活率是指成活的棵数占总棵数的百分比，即成活率＝×100%．已知成活率是98%，成活380棵，求至少要种多少棵，根据成活棵数÷成活率，即380÷98%，计算即可．解：380÷98%，＝380÷0.98，≈388（棵）；答：至少要种388棵树苗．点评：此题考查了成活率的概念，同时应注意在处理结果时应该用“进一法”．例2：一个商场打折销售，规定购买200元以下（包括200元）商品不打折，200元以上500元以下（包括500元）全部打九折，如购买500元以上的商品，就把500元以内（包括500元）的打九折，超出的打八折，一个人买了两次，分别用了134元、466元，那么如果他一次购买这些商品的话，可节省多少元？分析：先分析销售的办法：（1）200元以下（包括200元）商品不打折，这种方法最多付款200元；（2）200元以上500元以下（包括500元）全部打九折，这一阶段最少付款200×90%＝180（元）；最多付款500×90%＝450（元）；（3）如购买500元以上的商品，就把500元以内（包括500元）的打九折，超出500元的部分打八折；这一阶段最少付款450元．134元＜180元，说明原价就是134元，没有打折；466元＞450元；它属于第（3）种情况，有500元打九折，付450元；剩下的打八折；所以加上134元后也属于此阶段优惠；把134元按照8折优惠的钱数就是可以节省的钱数．解：200×90%＝180（元）；134元＜180元，说明原价就是134元，没有打折；500×90%＝450（元）；466＞450；一次购买134元可以按照8折优惠；134×（1﹣80%），＝134×20%，＝26.8（元）；答：一次购买可节省26.8元．点评：本题考查了分类讨论的思想的运用：分析实际付款可按不同方式打折．也考查了实际生活中的折扣问题．24．三角形的分类【知识点归纳】1．按角分判定法一：锐角三角形：三个角都小于90°．直角三角形：可记作Rt△．其中一个角必须等于90°．钝角三角形：有一个角大于90°．判定法二：锐角三角形：最大角小于90°．直角三角形：最大角等于90°．钝角三角形：最大角大于90°．其中锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形．2．按边分不等边三角形；等腰三角形；等边三角形．【命题方向】常考题型：例：一个三角形，三个内角的度数比是2：3：4，这个三角形为（）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、不能确定分析：判断这个三角形是什么三角形，要知道这个三角形中最大角的度数情况，由题意知：把这个三角形的内角和180°平均分了（2+3+4）＝9份，最大角占总和的，根据一个数乘分数的意义，求出最大角的度数，继而根据三角形的分类判断即可．解：最大角：180×＝80（度），因为最大角是锐角，所以这个三角形是锐角三角形；故选：A．点评：此题考查了根据角对三角形分类的方法：三个角都是锐角，这个三角形是锐角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形．25．三角形的内角和【知识点归纳】三角形内角和为180°．直角三角形的两个锐角互余．【命题方向】常考题型：例1：把一个大三角形分成两个小三角形，每个小三角形的内角和是（）A、90°B、180°C、60°分析：根据三角形的内角和是180°，三角形的内角和永远是180度，你把一个三角形分成两个小三角形，每个的内角和还是180度，据此解答．解：因为三角形的内角和等于180°，所以每个小三角形的内角和也是180°．故选：B．点评：本题考查了三角形内角和定理，属于基础题，关键是掌握三角形内角和为180度．例2：在三角形三个内角中，∠1＝∠2+∠3，那么这个三角形一定是（）三角形．A、锐角B、直角C、钝角D、不能确定分析：根据三角形的内角和为180°结合已知，可求∠1＝90°，即可判断三角形的形状．解：因为∠1＝∠2+∠3，所以∠1＝180°÷2＝90°，所以这个三角形是直角三角形．故选：B．点评：此题考查了三角形的内角和定理以及三角形的分类，三角形按角分类有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．26．小面积单位间的进率及单位换算【知识点归纳】1平方米＝100平方分米＝10000平方厘米1平方分米＝100平方厘米1平方千米＝100公顷＝10000公亩＝1000000平方米1公顷＝100公亩＝10000平方米1公亩＝100平方米．单位之间的换算，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大单位要除以它们之间的进率．【命题方向】常考题型：有三块铁皮，面积分别是9平方分米、90平方分米和900平方分米，哪块铁皮的面积最接近1平方米？（）A、9平方分米B、90平方分米C、900平方分米分析：先分别把9平方分米、90平方分米和900平方分米换算成平方米数，再比较得解．解：因为9平方分米＝0.09平方米，90平方分米＝0.9平方米，900平方分米＝9平方米；所以0.9平方米，也即90平方分米的这块铁皮的面积最接近1平方米；故选：B．点评：此题考查名数的换算，把高级单位的名数换算成低级单位的名数，就乘单位间的进率；把低级单位的名数换算成高级单位的名数，就除以单位间的进率．27．大面积单位间的进率及单位换算【知识点归纳】1平方千米＝100公顷＝1000000平方米1公顷＝10000平方米【命题方向】常考题型：边长是100米的正方形土地的面积是1公顷．√．分析：1公顷的规定：边长是100米的正方形土地的面积是10000平方米，也即1公顷；据此进行判断．