河南省“创新发展联盟”质量检测2025届高三上学期11月期中考试数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页河南省“创新发展联盟”质量检测2025届高三上学期11月期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a=(−1,3)，b=(2,m)，若a/​/b，则A.−6 B.−4 C.4 D.62.已知集合A={x|ax+b=2}(a,b∈R)，若A=R，则a+b=(

)A.1 B.2 C.3 D.43.葫芦摆件作为中国传统工艺品，深受人们喜爱，它们常被视为吉祥物，象征福禄、多子多福.如图所示的葫芦摆件从上到下可近似看作由一个圆柱与两个完整的球组成的几何体，若上、中、下三个几何体的高度之比为3:3:4，且总高度为20cm，则下面球的体积与上面球的体积之差约为(π≈3)(

)

A.1184cm3 B.364cm3 C.4.已知θ∈(π2,π)，sinθ=5A.132 B.5 C.125 5.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若S5A.2 B.1 C.0 D.−16.已知函数f(x)=x2−bx+1(b∈R)，若an=f(n)，则“b≤2”是“A.充要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件7.已知正三棱锥P−ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA=2，点Q满足AQ=λAB+μAC，λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，且PQ=2A.[0,223] B.[−18.已知定义在R上的函数f(x)满足：f(1)=1，且∀x∈R，f(x+1)≥f(x)+x3，f(x+3)≤f(x)+x+1，则f(100)=(

)A.1650 B.1651 C.651 D.676二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z=a+(a−3)i(a∈R)在复平面内对应的点在直线x+2y=0上，则(

)A.(z−i)2是纯虚数 B.zz=510.已知函数f(x)=sinωx(ω>0)，则下列命题正确的是(

)A.若f(x)在(−π3,π6)上单调递增，则ω的取值范围是(0,32]

B.若f(x)在(0,π2)上恰有3个零点，则ω的取值范围是(6,8)

C.若f(x)在[0,3π4]上的值域为11.已知定义在R上的函数f(x)满足：∀x，y∈R，f(x)+f(y)=12f(x+y2)f(x−y2)，f(x)不恒为A.f(0)=4B.f(x)为偶函数C.f′(2)=12f′(1)f(1)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知直线l与平面α交于点A，l上的不同两点M，N在α上的射影分别为M′，N′，若MN=233M′N′，则l与α13.近年来，直播带货成为一种新的营销模式，成为电商行业的新增长点.某直播平台第一年初的启动资金为600万元，当年要再投入年初平台上的资金的30%作为运营资金，每年年底扣除当年的运营成本a万元(假设每年的运营成本相同)，将剩余资金继续投入直播平台，要使在第4年年底扣除运营成本后资金不低于1500万元，则每年的运营成本应不高于

万元.(结果精确到0.01万元，参考数据：1.314.已知f(x)是R上的偶函数，f′(x)为f(x)的导函数，∀x≥0，xf′(x)+f(x)>1．

若∀x>0，f(lnx)lnx−axf(ax)<lnx−ax，则实数四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是等腰梯形，AB//CD，AB=2CD，BD∩AC=E，F为棱PC上一点，且PF=2FC．(1)求证：PA//平面BDF;(2)若BC=DC=2，求△ABE绕直线AB旋转一周所得几何体的表面积．16.(本小题12分)已知函数f(x)=x3+x+a(a∈R)(1)若点P在f(x)的图象上，求曲线y=f(x)在点P处的切线的方程;(2)若过点P与f(x)的图象相切的直线恰有2条，求a的值．17.(本小题12分)

如图，在五棱台ABCDE−A1B1C1D1E1中，EE1⊥平面ABCDE，EE1(1)求证：DE⊥A(2)求平面ABB1A118.(本小题12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a(1)求角A;(2)若△ABC为锐角三角形，求2sin2(3)利用两角和与差的正弦余弦公式可以推得公式：sinα−sinβ=2cosα+β2sinα−β2，sinαsinβ=19.(本小题12分)若无穷数列{an}，{bn}的各项均为整数，且满足(1)若an=2n−3，bn=2n−1(2)若an=(−1)n，{bn(3)若xi∈{0,1}，i=0，1，2，⋯，2n，将x0+22x2+24x4+⋯+2参考答案1.A

2.B

3.D

4.B

5.C

6.B

7.A

8.B

9.AC

10.ACD

11.ABC

12.π613.34.53

14.(115.解：(1)证明：因为AB/​/CD，AB=2CD，所以CEAE=CDAB=12，

连接EF，因为PF=2FC，所以FCPF=12=CEAE，所以EF/​/PA，

因为EF⊂平面BDF，PA⊄平面BDF，

所以PA//平面BDF．

(2)因为四边形ABCD是等腰梯形，AB/​/CD，所以∠CBA=∠DAB．

又BC=AD，AB=BA，所以△CBA≌△DAB，所以AC=BD．

又AE=23AC，BE=23BD，所以AE=BE．

在平面ABCD中，作CM⊥AB，EN⊥AB，垂足分别为M，N，

则CM=BC2−BM2=16.解：(1)因为点P在f(x)的图象上，所以f(1)=0，又f′(x) =3x2+1，所以f′(1) = 4，

所以曲线y= f(x)在点P处的切线方程为y= 4(x−1)，即4x−y−4= 0．

(2)设过点P的直线与f(x)的图象切于点Q(t,t3+t+a)，

则切线PQ的斜率k= f′(t) =3t2+1，

所以PQ的方程为y−t3−t−a=(3t2+1) (x−t)，

将点P(1,0)的坐标代入得2t3−3t2−1=a，

因为过点P与f(x)的图象相切的直线恰有2条，

所以关于t的方程2t3−3t2−1= a有两个不等的实根．

设g(t)=2t3−3t2−1，则g′(t)=6t2−6t，

令g′(t)=6t217.(1)证明：因为EE1⊥平面ABCDE，DE⊂平面ABCDE，所以EE1⊥DE．

在Rt△EAB中，cos∠AEB=EAEB=234=32，所以∠AEB=π6．

同理，可得∠CED=π6．

又∠BEC=π6，所以∠AED=∠AEB+∠BEC+∠CED=3×π6=π2，所以DE⊥AE．

又DE⊥EE1，AE⊂平面AEE1A1，EE1⊂平面AEE1A1，AE∩EE1=E，

所以DE⊥平面AEE1A1，

又AA1⊂平面AEE1A1，所以DE⊥AA1．

(2)解：由(1)知，EA，ED，EE1两两垂直，以E为原点，直线EA，ED，EE1分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

由(1)可得EA//CD，AB=2，

因为AB=2A1B1，所以DE=2D1E1，所以D1E1=3，

所以E(0,0,0)，A(23,0,0)，B(218.解：(1)由asinB=bcos(A−π6)及正弦定理，得sinAsinB=sinB(32cosA+12sinA)，

因为B∈(0,π)，所以sinB≠0，所以sinA=32cosA+12sinA，

化简，得sinA=3cosA，所以tanA=3，又A∈(0,π)，所以A=π3．

(2)由(1)知A=π3，所以C=2π3−B，

所以2sin2B+cosC−3B2=1−cos2B+cos2π3−4B2=1−cos2B+cos19.证明：(1)当n为正奇数时，设n=2k−1(k∈N∗)，

因为2k−1=2k−3+2=ak+b2∈{ai+bj|i,j∈N∗}，

所以n∈{ai+bj|i,j∈N∗};

当n为正偶数时，设n=2k，因为2k=2k−1+1=ak+1+b1∈{ai+bj|i,j∈N∗}.

所以n∈{ai+bj|i,j∈N∗};

综上所述，∀n∈N∗，n∈{ai+bj|i,j∈N∗}，

所以N∗⊆{ai+bj|i,j∈N∗}，即{an}，{bn}是“和谐数列”；

(2)因为an=(−1)n，所以a2n=1，a2n−1=−1．

假设{an}，{bn}是“和谐数列”，则存在i1，j