高三年级上册期中数学真题分类汇编（新高考）专题16计数原理（十二大题型）

专题16计数原理

题型01捆绑法以及插空法

1.（2022秋•河南洛阳•高三洛阳市第一高级中学上学期期中）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一

排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，丙不站在两端，则不同的排列方式共有（）

A.12种B.24种C.36种D.48种

【答案】B

【分析】采用捆绑法和特殊位置优先法，结合分步乘法计数原理可求得结果.

【详解】将甲和乙看作一个整体，有A：=2种方法，

将丁、戊和甲乙的整体首先安排到两端，则有*=6种方法，

再安排丙和剩余的人，有有A；=2种方法，

根据分步乘法计数原理可得不同的排列方式有：2x6x2=24^-

故选：B.

2.（2022秋•福建泉州•高三泉州五中校考期中）2023年春节在北京工作的五个家庭，开车搭伴一起

回老家过年，若五辆车分别为48,C,O,E,五辆车随机排成一排，则A车与8车相邻，A车与C车

不相邻的排法有（）

A.36种B.42种C.48种D.60种

【答窠】A

【分析】利用捆绑法和插空法可求出结果.

【详解】将A车与8车捆在一起当一个元素使用，有A；=2种捆法，

将除C车外的3个元素全排，有A；=6种排法，

将C车插入，不与A车相邻，又3种插法，

故共有2x6x3=36种排法.

故选：A

3.（浙江省杭州市第二中学滨江校区20222023学年高三上学期期中）为庆祝广益中学建校130周年,

高二年级派出甲、乙、丙、丁、戊5名老师参加“130周年办学成果展”活动，活动结束后5名老师排成

一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有（）种.

A.40B.24C.20D.12

【答案】R

【分析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解.

【详解】由题意得，5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，

先令丙、丁两人相邻用捆绑法A〉再把丙、丁与戊排列在一起A；,最后插空令甲、乙两人不相邻A；,

则不同的排法共有人；乂人；〉人；=2'2、6=24种.

故选：B.

4.（辽宁省重点高中沈阳市郊联体20222023学年高三上学期期中考试）2位另生和3位女生共5位

同学站成一排.若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数为（）

A.36B.42C.48D.60

【答案】C

【分析】捆绑法并将女生先排好，讨论男生是否相邻，进而将男生按要求安排位置即可得结果.

【详解】女生任选两人捆绑看作A,并与余下女生8排成一排有A；A；种方法，所成排中有3个空，

若两男生不相邻，则男生甲排在48之间的位置上，另一男生在48两端任选一个位置有C；种；

若两男生相邻，则有A；种排法，再插入之间的位置上只有一种方法；

综上,不同排法共有A；A；（C；+A；）=48种.

故选：C

5.（山东省济南市章丘区第四中学20222023学年高三上学期期中）2022年10月22日，中国共产

党第二十次全国代表人会胜利闭幕.某班举行了以“礼赞二十人、奋进新征程”为主题的联欢晚会，原

定的5个学生节目已排成节目单，开演前又临时增加了两个教师节目，如果搭这两个教师节目插入

到原节目单中，那么不同的插法的种数为（）

A.42B.30C.20D.12

【答案】A

【分析】分两个教师节目相邻和不相邻两种情况讨论，分别计算可得.

【详解】若两个教师节目相邻，则有A；A；=12种插法：

若两个教师节目不相邻，则有A：=30种插法；

综上可得一共有12+30=42种插法.

故选：A

6.（广东省广州市增城中学、广东华侨，协和中学二校2023届高二上学期期中）将3本不同的数学

和1本语文书在书架上随机排成一行，则3本数学书相邻的概率为.

【答案】y

【分析】先求出3本数学相邻的情况，再求出随机排列的情况，最后根据古典概型即可求解.

【详解】・・・3本数学书相邻的排法为A；A；=12种可能，4本书随机排列有A：=24种可能，

121

，3本数学书相邻的概率为9=：.

242

故答案为：y.

倍缩法和隔板法

7.（2022秋・云南•高三云南民族大学附属中学校考期中）现有6个评优名额要分配给3个班级，要

求每班至少一个名额，则分配方案有（）

A.8种B.10种C.18种D.27种

【答案】B

【分析】相同元素分组问题，利用隔板法求解即可

【详解】现有6个评优名额要分配给3个班级，要求每班至少一个名额，

利用隔板法，把6个元素排成一列形成5个空，再在5个位置放置2个隔板，

则共有C；=10种方案，

故选：B

8.（2022秋•浙江•高三浙江省三门中学校联考期中）某学习小组A、B、C、D、E、F、G七名

同学站成一排照相，要求A与8相邻，并且C在。的左边，E在。的右边，则不同的站队方法种数

为（）

A.120B.160C.240D.360

【答案】C

【分析】将A与8捆绑，然后要求。在。的左边，E在。的右边，结合倍缩法可得结果.

【详解】由题意可知，A与8相邻，则将A与8捆绑，

然后要求。在。的左边，E在。的右边，

由捆绑法和倍缩法可知，不同的排法种数为与尊=圆铲=240种.

A36

故选：C.

9.（2022秋・江苏南京•高三南京市雨花台中学校考期中）某4位同学排成一排准备照相时，又来了2

位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（）

A.10B.20C.24D.30

【答案】D

【分析】利用排列中的定序问题的处理方法进行处理.

【详解】6位同学排成一排准备照相时，共有A：种排法，

A6

如果俣持原来4位同学的相对顺序不变，则有/-30种排法，故A,B,C错误.

故选：D.

10.（2022秋•河北唐山・高三开滦第二中学校考期中）（多选）距离高考不到14）1天时，国家教育部

发布了《中国高考报告2023》，2023年的高考对各科都有重大的调整，为让高二的学生各科的调整

有所了解，某学校拟在一周内组织数学、英语、语文、物理、化学的5位该学科的骨干教师进行“中

国高考报告2023”的相应学科讲座，每天一科，连续5天.则下列结论正确的是（）

A.从五位教师中选两位的不同选法共有20种

B.数学不排在第一天的不同排法共有96种

C.数学、英语、语文排在都不相邻的三天的不同排法共有12种

D.物理要排在化学的前面（可以不相邻）的排法共有120种

【答案】BC

【分析】直接利用组合计数原理可判断A选项；先排数学，再排其他四门学科，结合分步乘法计数

原理可判断B选项；先排数学、英语、语文三门学科，再排其他两门学科，结合结合分步乘法计数

原理可判断C选项；利用倍缩法可判断D选项.

【详解】对于A选项，从五位教师中选两位的不同选法共有=10种，A错；

对于B选项，数学不排在第一天，则数学有4种排法，其他4门学科全排即可，

所以，不同的排法种数为4A：=96种，B对；

对于C选项，数学、英语、语文排在都不相邻的三天，则这三门学科分别排在第一、三、五天,

所以，不同的不法种数为A武=12种,C对;

对于D选项，物理要排在化学的前面（可以不相邻）的排法种数为冬=岑=60种，D错.

A22

故选：BC.

11.（2022秋•江苏南通♦高三统考期中）在中国革命史上有许多与“8”有关的可歌可泣的感人故事，

如“八子参军”、“八女投江”等，因此数字“8”是当之无愧的新时代“英雄数字”.如果一个四位数，各

个位置上数字之和等于8,这样的数称为“英雄数”（比如1223,1+2+2+3=8,就是一个“英雄数”）,

则所有的“英雄数''有个（用数字回答）

【答案】120

【分析】根据题意，将原问题转化为将8个小球分为4组且第一组不能为。的问题，根据0的个数

分情况，结合挡板法即可求解.

【详解】根据题意，8个相同的小球排成一排，8个小球两两之间不包括头尾共有7个空位中，

若四位数的“英雄数”中不含0,则需要在这7个空位中随机安排3个挡板，可以将小球分为4组每

两个挡板之间的小球的数目依次对应四位数的千、百、十、个位数字，共有=35个，

若四位数的“英雄数”中只有一个0,则需要在这7个空位中随机安排2个挡板，可以将小球分成个

数不为0的3组，0可以作为百、十、个位其中一位上的数字，此时共有C；x3=63个，

若四位数的“英雄数”中有两个0,则需要在这7个空位中随机安排1个挡板，可以将小球分成个数

不为。的2组，0可以作为百、十、个位其中两位上的数字，此时共有C；xC；=21个，

若四位数的"英雄数''中有3个0,则只能是8000,只有一种情况，

综上:共有35+63+21+1=120个“英雄数”.

故答案为：120.

12.（2022秋•吉林长春・高三长春市第十七中学上学期期中）将8个大小和形状完全相同的小球放入

编号为1,2,3,4的四个盒子中，使每个盒子中球的个数不大于其编号，则不同的放法有种.

【答案】10

【分析】设1,2,3,4号盒子分别放X，%，占后个球，则有（2-司）+（3-/）+（4-&）+（5-七）=6,

然后将问题转化为将6个大小和形状完全相同的小球分成4部分，且每一部分至少1个球，利用隔

板法求解即可.

【详解】设1,2,3,4号盒子分别放个球，则

X[+々+七+/=8,且n42,再43,.qW4,

所以(2-xJ+(3-/)+(4-》3)+(5-xj=6,

其中2—*之1,3—X2之1,4—Xj>1,5—X4NI,

此时相当将6个大小和形状完全相同的小球分成4部分，且每一部分至少1个球,

所以将6个球形成的5个空插入3个板，

所以共有C：=10种，

故答案为：10

13.（湖北省重点高中联考协作体2023届高三上学期期中）第31届世界大学生夏季运动会于6月26

日至7月7口在成都举办，现在从6男4女共10名青年志愿者中，选出3男2女共5名志愿者，安排

到编号为1、2、3、4、5的5个赛场，每个赛场只有一名志愿者，其中女志愿者甲不能安排在编

号为1、2的赛场，编号为2的赛场必须安排女志愿者，那么不同安排方案有（）

A.1440种B.2352种C.2880种D.3960种

【答案】D

【分析】对女志愿者甲是否被选中进行分类讨论，分别确定各赛场的人员安排，结合分类加法计数

原理可得结果.

【详解】分以下两种情况讨论：

①女志愿者甲被选中，则还需从剩余的9人中选出3男1女，选法种数为C：C；=60,

则女志愿者甲可安排在3号或4号或5号赛场，另一位女志愿者安排在2号赛场，

余下3个男志愿者随意安排，此时，不同的安排种数为60x3xA；=1080；

②女志愿者甲没被选中，则还需从剩余9人中选出3男2女，选法种数为C：C：=60,

编号为2的赛场必须安排女志愿者，只需从2名女志愿者中抽1人安排在2号赛场，

余下4人可随意安排，此时，不同的安排方法种数为60X2XA：=2880.

由分类加法计数原理可知，不同的安排方法种数为1080+2880=3960种.

故选：D.

14.（海南省海口嘉勋高级中学2023届高三上学期期中考）朔门古港遗址入选2022年度全国十大考

古新发现，遗址出土数十吨古代瓷片，以龙泉窑产品为主，实证了温州古港是成就“天下龙泉”盛世

场景的海运起点和枢纽港口.为了更好地打造“千年商港.幸福温州”的城市新定位，温州市博物馆

陶瓷馆巡礼中展示了温州出土的瓯窑青釉褐彩瓜形盖罐（南朝）、青釉点彩盘口鸡首壶（东晋）和瓯

窑虎形灯座（东晋）三件文物，若将三件文物排成一排进行巡展，则瓯窑虎形灯座（东晋）排在中

间的概率是（）

1111

A.5-

【答案】B

【分析】根据古典概型概率公式结合排列数即可求解.

【详解】因为三件文物排成一排的排法有A；=6种，瓯窑虎形灯座（东晋）排在中间的排法有A；=2

种，

21

所以瓯窑虎形灯座（东晋）排在中间的概率是p=:=7.

63

故选：B

15.（2022秋•黑龙江哈尔滨•高三哈尔滨七十三中校考期中）（多选）某医院派出甲、乙、丙、丁4

名医生到4B,C三家企业开展“面对面”义诊活动，每名医生只能到一家企业工作，每家企业至少

派1名医生，则下列结论正确的是（）

A.所有不同分派方案共个种

B.所有不同分派方案共36种

C.若甲必须到/企业，则所有不同分派方案共12种

D.若甲，乙不能安排到同一家企业，则所有不同分派方案共30种

【答案】BCD

【分析】先将四人分成三组，然后分配到三个企业即可判断AB；分A企业有两人和A企业只有一

人，两种情况讨论即可判断C;先求出甲，乙安排到同一家企业的种数，再利用排除法求解即可.

Cc；c：

【详解】由题意，所有不同分派方案共•A；=36种，故A错误，B1E确;

"AT

对于C,若甲必须到力企业,

若A企业有两人，则将其余三人安排到三家企业，每家企业一人,

则不同分派方案有A；=6种,

若A企业只有一人，则不同分派方案有C；C：A；=6种,

所以所有不同分派方案共6+6=12种，故C正确；

对于D,若甲.乙安排到同一家企业.

则将剌下的两人安排到另外两家企业，每家企业一人，

则有A；=6种不同的分派方法，

所以若甲，乙不能安排到同一家企业，则所有不同分派方案共36-6=30种，故D正确.

故选：BCD.

16.（广东省广州市南沙区东涌中学2023届高三上学期期中数学试题）（多选）将力，B,C,。这4

张卡片分给甲、乙、丙、丁4人，每人分得一张卡片，则（）.

A.甲得到A卡片与乙得到A卡片为对立事件

B.甲得到4卡片与乙得到4卡片为互斥但不对立事件

C.甲得到/卡片的概率为1

D.甲、乙2人中有人得到力卡片的概率为今

【答案】BCD

【分析】由互斥、对立事件的概念可判断选项A、B：由排列组合和古典概型，可求甲得到X卡片

甲、乙2人中有人得到4卡片的概率.

【详解】甲得到《卡片与乙得到/卡片不可能同时发生，但可能同时不发生，

所以甲得到4卡片与乙得到力卡片为互斥但不对立事件，A不正确，B正确.

甲得到力卡片的概率为与=）,C正确.

A：4

乙2人中有人得到A卡片的概率为警1

正确.

2D

故选：BCD

17.（河北省张家口市部分学校2023届高三上学期期中）现有包括甲、乙在内的5名同学在比赛后

合影留念，若甲，乙均不在最左端，乙不在最右端，则符合要求的排列方法共有种

【答案】54

【分析】利用排列组合先排特殊元素，再排其余元素即可

【详解】先排乙，从中间的3个位置中选1个安排乙，则有C；=3种方法,

再排甲，从除左端外，剩下的3个位置中选1个安排甲，则有C；=3种方法,

最后排其余3个，有A；=6种方法，

所以由分步乘法原理可知共有3x3x6=54种方法，

故答案为：54

18.（2022秋•云南・高三云南民族大学附属中学校考期中）“回文”是古今中外都有的一种修辞手法，

如“我为人人，人人为我”等.数学上具有这样特征的一类数称为“回文数”.“回文数”是指从左到右与从

右到左读都一样的正整数，如121,241142等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回

文数”共有个.（用数字作答）

【答案】225

【分析】根据给定的信息，确定五位正整数中的“回文数”特征，再由0出现的次数分类求解作答.

【详解】依题意，五位正整数中的“回文数”具有：万位与个位数字相同，且不能为0;千位与十位

数字相同，

求有且仅有两位数字是奇数的“回文数”的个数有两类办法：

最多1个0,取奇数字有A；种，取能重复的偶数字有A；种，它们排入数位有A；种，取偶数字占百

位有A；种,

不同“回文数”的个数是=200个，

最少2个0,取奇数字有A；种，占万位和个位，两个0占位有1种，取偶数字占百位有A；种，

不同“可文数”的个数是A；A；=25个，

由分类加法计算原理知，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有

200+25=225个.

故答案为：225

髭型04I

■——।

19.（2022秋•河北沧州•高三任丘市第一中学校考期中）某小区物业在该小区的一个广场布置了一个

如图所示的圆形花坛，花坛分为5个区域.现有6种不同的花卉可供选择，要求相邻的区域（有公

共边）不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（）

A.720种B.1440种C.1560种D.2520种

【答案】C

【分析】先对图中不同的区域命名，分A与。布置相同的花卉、A与C布置不同的花卉两种情况,

再运用分步计数和分类计数的方法从E开始计数即可.

【详解】

如图，不同的布置方案分两类：

当A与C布置相同的花卉时，

先安排E,有6种不同的选择；再安排A与C,有5种不同的选择；再安排8,有4种不同的选择;

最后安排。，有4种不同的选择，共有6x5x4x4=480种.

当A与C布置不同的花卉时，

先安排£，有6种不同的选择；再安排A与C,有5x4种不同的选择；再安排8,有3种不同的选择；

最后安排O,有3种不同的选择，共有6x5x4x3x3=1080种.

所以不同的布置方案有480+1080=1560种.

故选：C

20.（山东省泰安市新泰市第一中学北校20222023学年高三上学期期中）中国是世界上最早发明雨

伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造.如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每个

区域分别印有数字1,2,3,8,现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，

相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域（如区域1与区域5）所涂颜色相同.若有7种不

同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（）

A.1050种B.1260种C.1302种D.1512种

【答案】C

【分析】由题意可得，只需确定区域1,2,3,4的颜色，先涂区域1,再涂区域2,再分区域3与区域1

涂的颜色不同、区域3与区域1涂的颜色相同，最后根据分步乘法原理即可求解.

【详解】由题意可得，只需确定区域1,2,3,4的颜色，即可确定整个伞面的涂色.

先涂区域1,有7种选择；再涂区域2,有6种选择.

当区域3与区域1涂的颜色不同时，区域3有5种选择，剩下的区域4有5种选择.

当区域3与区域1涂的颜色相同时，剩下的区域4有6种选择.

故不同的涂色方案有7x6x（5x5+6）=1302种.

故选：C

21.（2022秋・江苏南通•高三期中）在如图所示的五块土地上种植四种庄稼，有五种庄稼秧苗可供选

择，要求相邻的十地不种同一种庄稼，共有（）种植方式.

A.240种B.300种C.360种D.420种

【答案】A

【分析】先选出4种庄稼，再根据可能的相同庄稼情况计算种数，运用分步乘法计数原理即可求解.

【详解】根据题意，五块土地上种植四种庄稼，先选出4种庄稼，共有仁=5种选择，

则1,5地种植相同庄稼或2,4地种植相同庄稼，共有2x（4x3x2xl）=48种选择，

根据分步乘法计数原理可知，有5x48=2"种.

故选：A

22.（2022秋•河北衡水•高三河北武强中学校考期中）（多选）如图，用〃种不同的颜色把图中

七四块区域涂上颜色，相邻区域不能涂同一种颜色，则（）

A.n>3

B.当〃=4时，若民。同色，共有48种涂法

C.当〃=4时，若民。不同色，共有48种涂法

D.当〃=5时，总的涂色方法有420种

【答案】ABD

【分析】根据风。同色或者民。不同色，即可结合选项，根据分步乘法计数原理求解.

【详解】对于A,由于区域A与&C均相邻，所以至少需要三种及以上的颜色才能保证相邻区域不

同色，故A正确，

对于B,当〃=4时，此时按照彳8c的顺序涂，每一个区域需要一个颜色，此时有4x3x2=24种涂

法，

涂。时，由于凤。同色（。只有一种颜色可选），所以只需要从剩下的颜色或者与A同色的两种颜

色中选择一种涂E，

故共有24x2=48种涂法，B正确；

对于C,当驾=4时，涂/BC有4x3x2=24种，

当3,7）不同色（。只有一种颜色可选），此时48CQ四块区域所用颜色各不相同，涂£只能用与A同

色,此时共有24种涂法，C错误；

对于D,当〃=5时，此时按照48C的顺序涂，每一个区域需要一个颜色，此时有5x4x3=60种涂

法，

涂。时，当瓦。同色（。只有一种颜色可选），所以只需要从剩下的两种颜色中或者与A同色的颜

色中选择一种涂五.

故共有60x3=180种涂法,

当3,0不同色，此时49C£＞四块区域所用颜色各不相同，共有5x4x3x2=120,

只需要从剩下的颜色或者与A同色的两种颜色中选择一种涂E此时共有5x4x3x2x2=240种涂法，

综上可知，总的涂色方法有420种，故D正确，

故选：ABD

23.（2022秋•山东泰安•高三统考期中）有三种不同颜色供选择，给图中六个格子涂色，相邻格子颜

色不能相同，共有种不同的涂色方案.

【答案】96

【分析】将格子自左向右编号为1,2,3,4,易得格子1,2有=6种选法，再分格子3与格子

1相同和不同求解.

【详解】解：将格子自左向右编号为1,2,3,4,5,6

格子1,2有A；=6种选法，

当格子3与格子1相同时，此时格子4,5,6都有2种选法，

当格子3与格子1不同时，此时格子3有1种选法，格子4,5,6都有2种选法，

所以当格子1和2颜色确定后，格子4,5,6共有2x2x2+2x2x2=16种选法，

所以不同的涂色方法有6x16=96种，

故答案为：96

24.（湖北省武汉市江岸区20222023学年高三上学期期中）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）

在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定

每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有种（用数字作答）.

【答案】420

【分析】根据题意，用48,C,D,E表示5个区域，分4步依次分析区域A、B、C、D、E的涂色

方法数目，由分步计数原理计算答案.

【详解】如图，用48,C,Q,七表示5个区域，

分4步进行分析：

①，对于区域A,有5种颜色可选：

②，对于区域8,与A区域相邻，有4种颜色可选；

③，对于区域与A、A区域相邻,有3种颜色可选：

④，对于区域。、E,若。与B颜色相同，E区域有3种颜色可选，

若0与5颜色不相同，。区域有2种颜色可选，E区域有2种颜色可选，

则区域。、E有3+2x2=7种选择，

则不同的涂色方案有5x4x3x7=420种.

故答案为:420.

25.（湖北省部分省级示范高中20222023学年高三上学期期中联考）现有红、黄、青、蓝四种颜色,

对如图所示的五角星的内部涂色（分割成六个不同部分），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有

公共边的两个区域）的颜色不同，则最多使用三种颜色的不同涂色方案有种.（用数字作答）

【答案】372

【分析】由题，假设六块区域为分析6个区域的涂色方案，再根据分步计数原理可得

答案.

【详解】若使用三种颜色，从4种颜色中选3种，有C：=4种方法，从3种颜色中选一种涂在力处,

有3种方法，剩下的每块区域都有两种涂色方案，共计联种方案，

再减去只是用两种颜色的情况，则由分步计数原理可知，不同的涂色方案数为

4x3x（32-2）=360种涂法；

若只使用两种颜色，则有C；C；=12种涂法；

所以符合要求的涂法种数有360+12=372种.

故答案为：372

题型05平均分组问题

26.（江苏省镇江中学20222023学年高三上学期期中）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问

天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键

部分的发射，“梦天实验舱''也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“L字形架构，我国成功将中

国空间站建设完毕.2023年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等6名航天

员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有（）

A.450种B.360种C.90种D.70ft

【答案】A

【分析】利用分组和分配的求法求得6名肮天员的安排方案，再利用分类加法计数原理即可求得.

【详解】由题知.6名航天员安排二舱.

三舱中每个舱至少一人至多三人，

可分两种情况考虑：

第一种：分人数为1-2-3的三组，共有C；C；C；・A；=360种；

等3种

第二种：分人数为2-2-2的一组，共有

所以不同的安排方法共有360+90=450种.

故选：A.

27.（2022秋•重庆长寿•高三重庆市长寿中学校校考期中）在某项建造任务中，需6名航天员在天和

核心舱、问天实验舱和梦天实验舱这三个舱内同时进行工作，由于空间限制，每个舱至少1人，至

多3人，则不同的安排方案共有（）

A.450种B.180种C.720种D.360种

【答案】A

【分析】安排方案分为两类，第一类，每个舱各安排2人，第二类，分别安排3人，2人，1人，结

合分堆分配问题解决方法求解即可.

C2c2c2

【详解】方案一：每个舱各安排2人，共有士l.A；=90（种）不同的方案；

方案二：分别安排3人，2人，1人，共有C：C；C：A；=360（种）不同的方案.

所以共有90+360=450（种）不同的安排方案.

故选：A.

28.（河北省高碑店市崇德实验中学2023届高三下学期期中）习近平总书记在湖南省湘西州花垣县

十八洞村考察时，首次提出“精准扶贫''概念，"精准扶贫”已成为我国脱贫攻坚的基本方略.为配合

国家“精准扶贫”战略，某省农业厅派出8名农业技术专家（6男2女）分成两组，到该省两个贫困

县参加扶贫工作，若要求女专家不单独成组，且每组至多6人，则不同的选派方案共有（）种

A.480B.252C.306D.236

【答案】D

【分析】根据组中人数有｛2,6｝、｛4,4｝、｛3,5｝分组形式，再应用分步计数求不同的选派方案的种数.

【详解】由题意，两组人数可分为亿6｝、｛4,4｝、｛3,5｝两种，

1、当伍6｝形式，选派方案有2（C；-1）=54种;

2、当｛4,4｝形式，选派方案有C；=70种;

3、当⑶5｝形式，选派方案有2C；=112种；

，不同的选派方案共有54+70+112=236种.

故选：D.

29.（福建省宁德市高级中学2023届高三上学期期中）近年来喜欢养宠物猫的人越来越多.某猫舍

只有5个不同的猫笼，金渐层猫3只（猫妈妈和2只小猫再）、银渐层猫4只、布偶猫1只.该猫舍

计划将3只金渐层猫放在同一个猫笼里，4只银渐层猫每2只放在一个猫笼里，布偶猫单独放在一

个猫笼里，则不同的安排有（）

A.8种B.30种C.360种D.1440种

【答案】C

【分析】根据分组原理先确定4只银渐层猫分两组的分组方法，再根据排列数计算即可得安排方法

总数.

【详解】根据题意，将3只金渐层猫放在同一个猫笼里，则把3只金渐层猫看成是1个整体，

C2c2

4只银渐层猫每2只放在一个猫笼里,则分组方法有窄=3（种）

一共有4个整体进行排列放在5个不同的猫笼，在5个不同的猫笼中可以放4个整体,

则一共可以安排的方法有：A>3=360（种）

故选：C.

30.（广东省深圳市南山区北京师范大学南山附属学校2023届高三上学期期中）有4名高考考生通

过2个不同的智能安检门进校，每个安检门每次只能过1人，要求每个安检门都要有人通过，则有

种不同的进校方式.（用数字作答）

【答案】72

【分析】根据排列、组合的知识求得正确答案.

【详解】笫1个安检门1人，第2个安检门3人时，方法数有C；・A；=24种，

第1个安检门3人，第2个安检门1人时，方法数有A：=24种,

第1个安检门2人，第2个安检门2人时，方法数有C：A；A；=24种,

故总的方法数有24+24+24=72种.

故答案为：72

31.（2022秋•河北张家口•高三张家口市第一中学校考期中）临近春节，某校书法爱好小组书写了若

干副春联，准备赠送给四户孤寡老人.春联分为长联和短联两种，无论是长联或短联，内容均不相

同.经过调查，四户老人各户需要1副长联，其中乙户老人需要1副短联，其余三户各要2副短联.书

法爱好小组按要求选出11副春联，则不同的赠送方法种数为.

【答案】15120

【分析】利用全排列计算长联的分配方式，利用平均分组分配计算短联的分配方式，结合分布乘法

原理，可得答案.

【详解】4副长联内容不同，赠送方法有A：=24种；从剩余的7副短联中选出1副赠送给乙户老人,

有A；=7种方法，再将剌余的6副短联平均分为3组，最后将这3组赠送给三户老人，

方法种数为笺G

=C：C：C；=90.所以所求方法种数为24x7x90=15120.

故答案为：15120.

题型06部分平均分组问题

32.（广东省佛山市第四中学2023届高三上学期期中）第32届夏季奥林匹克运动会于2021年7月

23日至8月8日在日本东京举行，有4名大学生申请去4,B,。三个比赛场地当志愿者，组委会

接受了他们的申请.A,B,。三个比赛场地中每个比赛场地至少分配一人，且每人只能去一个比赛

场地.若甲不去力比赛场地，则不同的安排方案共有（）

A.12种B.24种C.30种D.36种

【答案】B

【分析】分类考虑，即分有1个人和甲去除力场地外的同一个场地和甲单独去一个场地两种情况，

根据分类加法原理可得答案.

【详解】由题意可分两类：①有一个人与甲被安排在除/场地外的同一个比赛场地，

此时有=12种不同的安排方案;

②没有人与甲被安排在同一个比赛场地，有=12种不同的安排方案.

故若甲不去4比赛场地，则有12+12=24种不同的安排方案,

故选：B.

33.（湖北省襄阳市部分学校20222023学年高二上学期期中考）为了提高命题质量，命题组指派5

名教师对数学卷的选择题，填空题和解答题这3种题进行改编，则每种题型至少至少指派1名教师

的不同分派方法种数为（）

A.144B.120C.150D.180

【答案】C

【分析】将5名老师分为2+2+1和3+1+1的两种情况，计算得到答案.

生5内=90；

【详解】5名老师分为2+2+1的情况时：共有

5名老师分为3+1+1的情况时：共有C；•A；=60,

故共有90+60=150种不同的分派方法.

故选：C.

34.（山东省济宁市邹城市20222023学年高三上学期期中数学试题）教育扶贫是我国重点扶贫项目，

为了缩小教育资源的差距，国家鼓励教师去乡村支教，某校选派了5名教师到4、B、C三个乡村学

校去支教，每个学校至少去1人，每名教师只能去一个学校，不同的选派方法数有（）种

A.25B.60C.90D.150

【答案】D

【分析】按照分类分步计数原理可先将5人分成3组，再将3组人员分配到3个学校去，即可计算

出结果.

【详解】由题意可知，先将5人分成三组有2类分法，

第一类：各组人数分别为1,1,3,共有C；种分法；

第二类：各组人数分别为1,2,2,共有卑G种分法，

再将三组人员分配到力、B、C三个乡村学校去，共有A；种，

所以不同的选派方法共有C；3=150#.

故选：D

35.（辽宁省大连市滨城联盟20222023学年高三上学期期中）某中学举行全区教研活动，有10名志

愿者参加接待工作.若每天排早、中、晚三班，每班至少3人，每人每天值一班，则教研活动当天不

同的排班种数为（）

Ac；°c：CC：©c那

F

c.D.A：°A；A：

【答案】B

【分析】首先对10人分成4,3,3三组，再分早中晚三班排列即可得解.

【详解】10人分成三组，每组至少3人，故可分为4人,3人,3人三组,

共有笔近

种,

再把三组人员安排到早中晚三班，共有A：种,

由分步乘法计数原理可得共有8种.

故选：B

36.（2022秋•黑龙江大庆•高三大庆中学校考期中）习近平总书记强调说，调直研究是谋事之基、成

事之道.琼中县委、县政府根据党中央、国务院《关于在全党大兴调查研究的工作方案》文件精神，

决定派出7人分成3个小组，到3个乡镇开展调查研究工作，其中2个小组各2人，1个小组3人,

则不同的安排方法共有.

【答案】630

【分析】运用分步计数原理及部分平均分组分配模型先将7人分成3组分别2人、2人、3人再将3

组分配到3个乡镇即可求得结果.

【详解】第一步：将7人分成3组分别2人、2人、3人有=105种方法;

第二步：将这3组分配到3个乡镇有A：=6种方法；

所以不同的安排方法有105x6=630种.

故答案为：630.

37.（福建省福州华侨中学等多校2023届高三上学期期中）第19届亚运会将于2023年9月23日至

10月B日在杭州举行，甲、乙等4名志愿者将分别安排到游泳、射击、体操三个场地进行志愿服务,

每个场地至少安排一名志愿者，且每名志愿者只能去一个场地服务，则甲、乙两名志愿者在同一个

场地服务的概率为.

【答案】7

6

【分析】根据题意，先将4人分为112三组，再计算得出甲乙在同一个场地的情况，利用古典撷型

的概率计算公式，即可求解.

【详解】根据题意，先将4人分为1,1,2三组，共有C：=6种分法，

在将三组分段三个不同的场地，共有A；=6种分法，

由分步计数原理得，共有6x6=36种不同的情况，

又由甲乙两名志愿者在同一场地服务，共有C；A；=6种情况，

则甲乙两面志愿者在同一场地服务的概率为三=7-

故答案为：7

0

二项展开式的通项公式

38.（山西大学附属中学校20222023学年高三上学期11月期中）若（瓜+；）展开式中含

有常数项，则〃的最小值是（）

A.2B.3C.12D.10

【答案】A

【分析】根据通项公式可求出结果.

【详解】如=仁（瓜广,

x

令2A=0,得〃=2%,则％=1时，〃取最小值2.

故选：A

39.（福建省龙岩市永定区坎市中学2023届高三上学期期中）己知。x-9）的展开式中的常数项

是672,则。=（）

A.39B.29C.2D.1

【答案】C

【分析】写出二项式通项整理后让R的次数为0,得出〃的值，再根据题意常数项的系数列出

等式方程即可得出a的值.

【详解】展开式的通项为&产。（“广［-9）=3-0」工令9弓=0,得r=6,・•・

常数项是加=a'C：=672,故。=2.

故选：C

40.（江苏省南通西藏民族中学20222023学年高三上学期期中）（多选）已知展开式中

的第三项的系数为45,则（）

A./i=9B.展开式中所有系数和为1024

C,二项式系数最大的项为中间项D.含F的项是第7项

【答案】BCD

【分析】由二项式定理相关知识逐项判断即可.

所以第三项的系数为：C；=45,所以〃=10,故A错误;

所以《十巧，所以令x=l得展开式中所有系数和为*=1024,故B正确;

展开式总共有11项，则二项式系数最大的项为中间项，故C正确；

（斤丫°”/i―\r12rUr-30

通项公式为&i=C：o行2）=c：°x4.%3=c；＞12,

令写史=3,解得〃=6,所以含V的项是第7项.故D正确；

故选：BCD.

41.（广东省广州市增城中学、广东华侨，协和中学三校2023届高三上学期期中）二项式（4+：）

展开式的常数项为.

【答案】60

【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的哥指数为0,求得「值，即可求得常数项.

【详解】的展开式的通项公式为

加=般.（4广口'=2（"咛,

3r

令3——=0,可得r=2,

2

所以展开式的常数项为22。：=60.

故答案为：60

42.（江苏省常州市金沙高级中学20222023学年高三上学期期中）已知的展开式中第二

项的二项式系数比该项的系数大18,则展开式中的常数项为.

【答案】60

【分析】由题意利用二项式展开式中第二项的二项式系数比该项的系数大18,建立方程解出〃的值,

再利用公式求出展开式中的常数项.

【详解】因为（4-：）的二项展开式为：

所以它的第二项的系数为：

该二项式的展开式中第二项的二项式系数为：C；,

由（4的展开式中第二项的二项式系数比该项的系数大I®'

所以有：C；—C：(—2)=18n〃=6,

所以二项式为

,,一K6-r(0\6-3r

由展开式通项为：1-^1=c;{-l)r,

所以展开式中的常数项为：7；=C＜（-2）2=60.

故答案为：60.