《工程力学》课件第4章

第4章杆件的轴向拉伸与压缩4.1轴向拉伸与压缩的概念和实例4.2截面法、轴力与轴力图

4.3横截面上的应力4.4轴向拉(压)时的变形4.5金属材料在拉伸与压缩时的力学性能4.6轴向拉(压)时的强度计算4.1轴向拉伸与压缩的概念和实例工程实际中，有很多发生轴向拉伸和压缩变形的杆件。例如，连接钢板的螺栓(见图4.1(a))，在钢板反力作用下，沿其轴向发生伸长(见图4.1(b))，称为轴向拉伸；托架的撑杆CD(见图4.2(a))在外力的作用下，沿其轴向发生缩短(见图4.2(b))，称为轴向压缩。产生轴向拉伸(或压缩)变形的杆，简称为拉(压)杆。

图4.1图4.2这些轴向拉伸(压缩)杆件虽外形各有差异，加载方式也并不相同，但它们都可以简化为如图4.1(c)、4.2(b)所示的简图。可以看出，轴向拉伸和压缩的受力特点是外力(或外力合力)的作用线与杆件的轴线重合，变形特点是杆件产生沿轴线方向的伸长或缩短。4.2截面法、轴力与轴力图

4.2.1内力与截面法

(1)内力。构件内部各部分之间存在着相互作用的力，它维持构件各部分之间的相互联系和原有形状。若构件受到外力(主动力和约束反力)作用而发生变形，则其内部各部分之间相互作用力也随之改变。这个因外力的作用而引起构件内部相互作用力的改变量，称为附加内力，简称内力。内力随外力的增大而增大，到达某一限度时就会引起构件破坏。所以，内力与构件的承载能力密切相关。内力分析是材料力学的基础。

(2)截面法。与理论力学中计算物系内力的方法相仿，用假想的截面将杆件截为两部分，任取杆件的一部分为研究对象，利用静力平衡方程求内力的方法称为截面法。4.2.2轴力与轴力图为了对拉(压)杆进行强度计算，首先分析其内力。设拉杆在外力的作用下处于平衡(见图4.3(a))。运用截面法，将杆件沿任一截面m-m假想分为两段(见图4.3(b)、(c))。因拉(压)杆的外力均沿杆轴线方向，由其共线力系平衡条件可知，其任一截面内力的作用线也必通过杆轴线，这种内力称为轴力，常用符号FN表示。轴力FN的大小由平衡条件确定，取m-m截面左段为研究对象，则∑Fx=0FN-F=0FN=F

取m-m截面右段为研究对象，则

FN和互为作用力与反作用力，对同一截面若选取不同部分为研究对象，所求得的内力必然大小相等、方向相反。为保证无论取左段还是取右段为研究对象，所求同一截面上的轴力正负号一致，对轴力的正负号规定如下：轴力的方向与所在横截面的外法线方向一致时，轴力为正；反之为负。也就是说，杆受拉轴力为正，受压轴力为负。当杆受到多于两个的轴向外力作用时，在杆不同位置的横截面上的轴力往往不同。轴力FN将是横截面位置坐标x的函数，即FN=FN(x)。用平行于杆轴线的x坐标表示杆各横截面的位置，垂直于杆轴线的FN表示相应截面上的轴力，这样绘出轴力沿杆轴线变化的函数图像，称为轴力图。

【例4.1】设阶梯杆自重不计，受外力如图4.4(a)所示，试画出其轴力图。图4.4

解(1)求约束反力。取阶梯杆为研究对象，并画出受力图(见图4.4(b))，由平衡方程得∑Fx=0

3P-P-RA=0即

RA=2P

(2)分段。以外力作用点为分段点，将杆分为AB与DB两段。

(3)求AB与BD段各横截面的轴力。

AB段：取m-m截面左段为研究对象，画受力图如图4.4(c)所示，由平衡方程∑Fx=0

FN1-RA=0得

FN1=RA=2PBD段：取n-n截面的右段为研究对象，画受力图如图4.4(d)所示，由平衡方程∑Fx=0

FN2+P=0得

FN2=-P

式中的负号说明FN2的方向与原假设方向相反。由轴力符号规定可知，FN2受压为负。

(4)作轴力图。根据所求得的轴力值，画轴力图，如图4.4(e)所示，|FNmax|=2P。由上面的例题分析可知：任一截面上的轴力，等于截面一侧所有外力的代数和。外力的正负规定与轴力的正负规定恰恰相反。4.3横截面上的应力

4.3.1应力的概念确定了杆的内力后，还不能解决杆件的强度问题。经验告诉我们，材料相同，直径不等的两根直杆，在相同的拉力P作用下，内力相等。当力P增大时，直径小的杆必先断，这是由于内力仅代表内力系的总和，而不能表明截面上各点受力的强弱程度，直径小的杆因截面积小，截面上各点受力大，因此先断。所以，需引入表示截面上某点受力强弱程度的量——应力，作为判断杆件强度是否足够的量。为了研究杆件截面a－a上任一点K的应力，如图4.5(a)所示，围绕点K取一微面积ΔA，设ΔA上的内力为ΔP，那么，比值称为ΔA上的平均应力。一般情况下，内力在截面上分布并不均匀，平均应力Pm的值随ΔA的大小而改变。只有当ΔA→0时，Pm的极限值P方能代表K点受力强弱程度。因此，截面a-a上K点的应力为应力P是矢量，通常将其分解为垂直于截面的分量σ和与截面相切的分量τ(见图4.5(b))。σ称为正应力，τ称为切应力。图4.5应力的国际单位是Pa，1Pa=1N/m2，常用单位为MPa和GPa，1MPa=106Pa，1GPa=109Pa。4.3.2轴向拉(压)时横截面上的应力欲求横截面上的应力，必须知道内力系在横截面上的分布规律,而力与变形有关，因此我们通过对杆进行轴向拉(压)实验，来观察和分析杆的变形。取一等截面直杆，在杆表面画两条横截面的边界线(ab和cd)和许多与杆轴线平行的纵向线(见图4.6(a))。然后在两端沿轴线施加拉力F，使杆件产生拉伸变形(见图4.6(b)，可发现：①横向线ab和cd仍为直线，只是沿轴线发生了平移，ab和cd分别移至a′b′、c′d′，但仍垂直于杆轴线；②各纵向线发生伸长，且伸长量相同。根据上述现象可作如下假设：横截面变形前为平面，变形后仍为平面，仅沿轴向发生了平移，此假设称为平面假设。根据平面假设，任意两横截面间的各纵向纤维的伸长量相同，即变形相同。由此可知,它们受力也应相等，内力在横截面上均匀分布，即横截面上各点处的应力大小相等，方向沿杆轴线，垂直于横截面，故为正应力,如图4.6(c)所示，计算公式为(4.1)

式中，FN为横截面上的轴力，A为横截面面积。正应力的正负号规定与轴力相同，即拉应力为正，压应力为负。图4.6

【例4.2】图4.7(a)为轧钢机的压力螺旋，其尺寸如图所示。设压力螺旋所受最大压力P=800kN，试求其最大正应力。图4.7解(1)计算轴力。因压力螺旋的最大应力将产生于截面最小的部位，所以用截面法在最小直径处将其截开，取下半部分为研究对象(见图4.7(b))。由平衡方程得FN=P=800kN

(2)计算最小横截面面积。由图中所示尺寸可知

(3)计算最大正应力4.4轴向拉（压）时的变形

4.4.1纵向线应变与横向线应变如图4.8所示，设l、d为直杆变形前的长度与直径，l1、d1为直杆变形后的长度和直径，则纵向变形：Δl=l1-l(a)横向变形：Δd=d1-d(b)Δl与Δd称为绝对变形，即总的变形量。拉伸时，Δl>0，Δd<0；压缩时，Δl<0，Δd>0。图4.8为了消除杆件原尺寸对变形大小的影响，用单位长度内杆的变形量，即线应变来衡量杆件的变形程度。与上述两种绝对变形相对应的纵向线应变ε和横向线应变ε′分别为(c)

(d)

线应变表示的是杆件的相对变形，是一个量纲为1的量。由式(c)、(d)可知，拉伸时ε>0，ε′<0；压缩时，ε<0，ε′>0。总之，ε与ε′符号相反。4.4.2泊松比实验表明：当应力未超过某一限度时，横向线应变ε′与纵向线应变ε之间存在正比关系，且符号相反，即

ε′=-με(4.2)式中，比例常数μ称为泊松系数或泊松比，其值与材料有关。4.4.3胡克定律英国科学家胡克通过实验发现了力与变形的关系：当杆横截面上的正应力不超过某一限度时，杆的绝对变形Δl与轴力FN、杆长l成正比，与杆的横截面积A成反比，即引入比例系数E，则式(4.3)称为胡克定律。式中，系数E称为弹性模量，单位为GPa，其值随材料不同而异。当FN、l和A的值一定时，E值愈大，则Δl愈小，说明E的大小表示材料抵抗拉(压)弹性变形的能力，是材料的刚度指标。FN、l一定时，EA值愈大，Δl愈小，说明EA表示杆件抗拉(压)变形能力的大小，称为杆的抗拉(压)刚度。(4.3)

式(4.3)可改写为即或式(4.4)是胡克定律的另一表达形式。它表明当应力未超过某一限度时，应力与应变成正比。(4.4)

应用胡克定律时应注意：

(1)杆的应力未超过某一极限。

(2)ε是沿应力σ方向的线应变。

(3)在长度l内，其FN、E、A均为常数。

E与μ都是表示材料弹性的常量，可由实验测得。常用材料的E和μ值可参阅表4.1。表4.1常用材料的E、μ值

【例4.3】求如图4.9(a)所示的杆的总变形量。已知杆各段横截面面积为ACD=200mm2，ABC=AAB=500mm2，E=200GPa。图4.9解(1)作轴力图。用截面法求得AB段轴力FNAB=20kN，BC段和CD段轴力FNBC=FNCD=-10kN。画轴力图，如图4.9(b)所示。

(2)计算杆的总变形Δl。由胡克定律可知，应先分别计算AB段、BC段、CD段的变形，再求杆的总变形。杆的总变形为

Δl=ΔlAB+ΔlBC+ΔlCD

=2×10-5+(-1)×10-5+(-2.5)×10-5

=-15×10-6m=-0.015mm负号表示杆的总变形为压缩变形，杆件缩短0.015mm。4.5金属材料在拉伸与压缩时的力学性能4.5.1拉伸试验和应力应变曲线拉伸试验是确定材料力学性能的基本试验。国家标准GB228-1987规定，常用圆截面拉伸标准试件如图4.10所示，其中l为试件工作长度，称为标距，标距l与直径d之比常取10。图4.10试验在万能试验机上进行。试件装夹好后，开动机器缓慢加载，随着试件受到由零逐渐增加的拉力F的作用，试件在标距l内也将产生相应的变形Δl，直至试件断裂为止。把试验过程中对应的F和Δl绘制成曲线，称为F-Δl曲线，如图4.11(a)所示，也称拉伸图。一般试验机均可自动绘出F-Δl曲线。为了消除试件尺寸的影响，将载荷F除以试件的原横截面积，即F/A=σ，将变形Δl除以试件原长l，即Δl/l=ε，由此得到σ-ε关系曲线，称为应力-应变图，如图4.11(b)所示。图4.114.5.2低碳钢拉伸时的力学性能低碳钢拉伸时的F-Δl与σ-ε曲线分别如图4.11(a)、(b)所示。现以图4.11(b)所示的σ-ε曲线为例，讨论低碳钢在拉伸时的力学性能。

1.弹性阶段(OA段和AA′段)

σ-ε曲线的OA段为一直线，说明该段内应力和应变成正比，即满足胡克定律σ=Eε。直线OA最高点A点对应的应力值为σP，称为材料的比例极限。低碳钢的比例极限σP=190～200MPa。图中倾角α的正切tanα=σ/ε=E，即为直线OA的斜率，数值上等于材料的弹性模量E。当应力超过比例极限后，图中AA′段已不是直线，此时材料不符合胡克定律，但只发生弹性变形。若应力值超过A′点所对应的应力值σe，则出现塑性变形。因此，σe是材料产生弹性变形的最大应力值，称为材料的弹性极限。实际上A′与A两点非常接近，故工程上对两者不作严格的区分。试件的应力从零增加到弹性极限σe的过程中，试件只产生弹性变形，故称为弹性阶段。

2.屈服阶段当应力超过σe后，σ-ε曲线上将出现一段沿水平线上、下波动的锯齿形线段BC，说明应力虽有小的波动，但基本保持不变而应变增加，材料好像失去了抵抗变形的能力。这种应力基本保持不变而应变显著增加的现象称为材料的屈服。BC段所对应的过程称为屈服阶段。屈服阶段的最低应力值σs称为材料的屈服极限。低碳钢的σs=220～240MPa。在屈服阶段，光滑试件的表面将出现与其轴线成45°的条纹，如图4.12(a)所示，称为滑移线。这表明沿最大切应力面(45°斜截面)，材料晶粒间发生相对滑移，产生了塑性变形。工程上不允许过大的塑性变形，所以屈服极限σs是衡量材料强度的重要指标。

图4.12

3.强化阶段屈服阶段之后，如图4.11(b)所示,将出现向上凸的曲线CD，这表明若要试件继续变形，必须增加应力，这时材料又恢复了抵抗变形的能力，该现象称为材料的强化。CD段对应的过程为材料的强化阶段。曲线最高点D所对应的应力值称为强度极限，以σb表示。它是材料能承受的最大应力。强度极限是衡量材料强度的另一重要指标。低碳钢的σb=370～460MPa。

4.颈缩阶段当材料达到强度极限后，在试件较薄弱的横截面处发生急剧的局部收缩，出现颈缩现象，如图4.12(b)所示。由于在颈缩部分横截面面积急剧减小，因此试件所受拉力F逐渐减小，随后试件被拉断。这一阶段为颈缩阶段，即σ-ε曲线上的DE段。

5.延伸率和断面收缩率试件拉断后，弹性变形消失，残留下的是塑性变形。试件的长由原始长度l变为l1，用百分比表示的比值称为延伸率，即(4.5)

断口截面积由A变为A1，试件断口处横截面面积的相对变化率称为断面收缩率，即(4.6)

延伸率δ、断面收缩率ψ都是衡量材料塑性性能的指标。工程上，δ>5%的材料称为塑性材料，如钢、铜、铝等；δ<5%的材料称为脆性材料，如铸铁、玻璃等。对于低碳钢，δ>20%~30%，ψ>60%~70%，故低碳钢是很好的塑性材料。

6.冷作硬化

如果把试件拉伸到强化阶段后某点，然后逐渐卸载至零，此时，应力和应变关系将沿斜直线FG回到G点，如图4.13所示。斜直线FG近似平行于OA，说明卸载过程中，应力和应变仍保持直线关系，且弹性模量近似与加载时相同。其中，GH为消失的弹性应变，OG为塑性应变。图4.13卸载后，如在短期内再加载，则应力和应变关系将沿着卸载时的直线GF上升到F点，以后沿原σ－ε曲线变化，直至拉断。由此可知，卸载后再加载，材料的比例极限σP有所提高，但塑性下降，这一现象称为材料的冷作硬化。工程上，常用冷作硬化来提高某些构件(如钢筋、链条、钢缆绳等)的承载能力。4.5.3其他材料拉伸时的力学性能

1.其他塑性材料图4.14所示为几种塑性材料拉伸时的σ-ε曲线。由图可见，它们和低碳钢相似，存在着弹性阶段，且有较大的塑性变形，但有的材料无明显的屈服阶段。对于无明显屈服现象的材料，工程上规定，以产生0.2%的塑性应变时所对应的应力值作为名义屈服极限，用σ0.2表示，如图4.15所示。图4.14图4.15

2.脆性材料图4.16所示为灰铸铁拉伸时的σ-ε曲线。从图上可以看到,曲线无明显的直线部分，既无屈服阶段，也无颈缩现象，它说明应力与应变不符合胡克定律，但在应力较小时，σ-ε曲线与直线相近似，故以直线Oa(虚线表示)代替曲线，即认为铸铁在应力较小时，近似符合胡克定律。铸铁的延伸率δ通常只有0.5%～0.6%，是典型的脆性材料。强度极限是脆性材料唯一的强度指标。

图4.164.5.4材料压缩时的力学性能金属材料的压缩试件一般做成短圆柱体，高度l为直径d的1.5～3倍，以防止试件被压弯。低碳钢压缩时的σ-ε曲线如图4.17所示，与其拉伸时的σ-ε曲线(以虚线表示)相比，在弹性阶段和屈服阶段，两曲线是基本重合的。这说明压缩时的比例极限σP、弹性极限σe、弹性模量E以及屈服极限σs与拉伸时基本相同。屈服阶段后，试件会越压越扁，横截面面积不断增大，因此，一般无法测出强度极限。对塑性材料一般不作压缩试验。图4.17铸铁压缩时的σ-ε曲线如图4.18所示，与拉伸时的σ-ε曲线(虚线)相比，压缩时的σ-ε曲线也无明显直线部分和屈服阶段。这说明压缩时在应力很小的条件下是近似符合胡克定律的，且不存在屈服极限。其压缩强度极限比拉伸时要高出4～5倍，塑性变形比拉伸时明显增加。此外，其破坏断面与轴线大致成45°倾角。其他脆性材料如硅石、水泥等，其抗压能力也显著高于抗拉能力，因此工程上常用脆性材料作承压构件。几种材料的力学性能如表4.2所示。图4.18表4.2几种材料的力学性能

4.6轴向拉(压)时的强度计算

4.6.1极限应力、许用应力材料破坏时的应力称为极限应力，用σ0表示。对于塑性材料，当应力达到屈服极限σs(或σ0.2)时，构件已产生明显的塑性变形，影响其正常工作，一般认为构件已被破坏。因而把屈服极限σs(或σ0.2)作为塑性材料的极限应力。对于脆性材料，断裂是脆性材料破坏的唯一标志，因此，强度极限σb是脆性材料的极限应力，即塑性材料：σ0=σs(σ0.2)脆性材料：σ0=σb

由于工程构件的受载难以精确估计，以及材质的不均匀性、计算方法的近似性和腐蚀与磨损等诸多因素的影响，为了保证构件能安全可靠地工作，需要一定的强度储备，应将极限应力除以大于1的安全系数n，作为材料的许用应力[σ]，即各种不同工作条件下构件的安全系数n的选取，可从有关工程手册和设计规范中查找。对于塑性材料，一般取n=1.2～1.3；对于脆性材料，一般取n=2.0～3.5。4.6.2轴向拉(压)杆的强度计算为了保证拉(压)杆具有足够的强度，必须使杆的最大工作应力小于或等于材料在拉伸(压缩)时的许用应力[σ]，即该式称为拉(压)杆的强度条件，σmax所在的截面称为危险截面。式中，FN、A分别为危险截面的轴力和横截面面积。根据强度条件，可解决下列强度计算的问题：

(1)强度校核。已知杆件的材料、尺寸及所受载荷，根据式(4.7)检查杆件的强度是否足够，若式(4.7)成立，则强度足够，否则强度不够。

(2)设计截面尺寸。已知所受载荷和材料的许用应力，由A≥FN/[σ]，确定截面尺寸。

(3)确定许可载荷。已知杆件的截面尺寸和材料的许用应力，由FN≤A[σ]，确定杆件所能承受的最大轴力，再根据静力学关系，确定结构所能承受的载荷。在强度校核计算中，可能出现最大应力稍大于许用应力的情形，设计规范规定，只要不超过5%，是允许的。

【例4.4】起重吊钩如图4.19所示，吊钩螺栓螺纹公称直径d=56mm，小径d1=52.8mm。材料的许用应力[σ]=80MPa，载荷F=170kN，试校核吊钩螺纹部分的强度。图