概率习题及公式

武汉科技学院

学

课程名称：概率论与数理统计(普本)考试时间：2013-12-27

号考核方式：考试［J］考查［］考试方式：开卷［］闭卷［J］

使用班级：机械类11201-11207

—•二三四五总分

密题号

得分

一.填空题(每题4分，共20分)

1.设乂~8(4,-),则E(X)=。

2

2.设…,X〃是来自总体X的一个样本，%,当，…，当是这一样本的观察值，则样本平

均值又=,样本方差$2=o

3.设乂~%(-1,4),y~N(l,2),X与y相互独立，则E(X-2Y)=s

姓封

D(X-2K)=

名

4.设二维随机变量(x,y)的分布律为

X012

00.10.20

10.30.10.1

20.100.1

则尸(x=y)=

班5.随机变量X在(1,6)上服从均匀分布，则方程产+Xf+l=0有实根的概率是.

线

级二.计算下列各题(每小题8分，共48分)

1.有甲、乙两盒，甲盒装有4只白球，2只红球，乙盒装有3只白球，3只红球，今从甲盒

任取一只放入乙盒中，再从乙盒中任取一只，求取到白球的概率.

2.将一枚硬币抛掷三次，用X表示三次中正面出现的次数，用Y表示三次中正面与反面出现的次数差

的绝对值。试求（X,Y）的联合分布律及X与Y的边缘分布律。

At2\<x<2

3.已知X的概率密度为f(x)=2<x<3(1)求常数A,(2)设y=x2,求y的概率密度。

0,其它

1357

4.若离散型随机变量X只取-1,0,1,2四个值，相应概率依次为——,——，——,——,求（I）常数c；

2C4C8C16C

(2)P{Xvl|XwO}。

5.设总体X的概率分布如表

学X123

P20(1-0)(I-"

号

。为未知参数，Xi=l,X2=2,X3=l为样本的一组观察值，求。的矩估计值.

密

°二丫求常数/九使得

6.设连续型随机变量X的密度函数为/（幻=]4x1,

0,其它

P{X>/?}=0.05.

姓封

名

三.设随机变量X,Y相互独立，且都服从乙=cX+£y,Z2=aX-pY

（。，，不为零），求：Pz8（10分）

班

线

级

第1章随机事件及其概率

P：：=加从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。

(〃?-〃)！

(1)排列

组合公式

C'；=---从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。

nnl(ni-n)l

加法原理(两种方法均能完成此事)：m+n

某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n

(2)加法

种方法来完成，则这件事可由m+n种方法来完成。

和乘法原

乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事)：mXn

理

某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n

种方法来完成，则这件事可由mXn种方法来完成。

重复排列和非重复排列(有序)

(3)一些

对立事件(至少有一个)

常见排列

顺序问题

如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，

(4)随机

但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试脸为随机试

试验和随

验。

机事件

试验的可能结果称为随机事件。

在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有

如下性质：

①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；

②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。

(5)基本

事件、样本这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用出来表示。

空间和事基本事件的全体，称为试验的样本空间，用。表示。

件一个事件就是由。中的部分点(基本事件①)组成的集合。通常用大写字母

A,B,a…表示事件，它们是Q的子集。

。为必然事件，0为不可能事件。

不可能事件(0)的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件：同理，

必然事件(Q)的概率为1.而概率为1的事件也不一定是必然事件。

①关系：

如果事件A的组成部分也是事件8的组成部分，(力发生必有事件6发生)：

如果同时有Au3,则称事件月与事件8等价，或称力等于几

不力中至少有一个发生的事件：力u〃，或者力+以

(6)事件

属于力而不属于8的部分所构成的事件，称为力与6的差，记为A-B,也可

的关系与

运算表示为力-力8或者4万，它表示月发生而8不发生的事件。

A.8同时发生：力口属或者/区,AAB=0,则表示A与B不可能同时发生，

称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。

Q-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为它表示A不发生

的事件。互斥未必对立。

②运算：

结合率：A(BC)=(AB)CAU(BUC)=(AUB)UC

分配率：(AB)UC=(AUC)n(BUC)(AUB)nC=(AC)U(BC)

800

QA/=Ai______________

德摩根率：»=i<=iA\JB=AC\B,Afi8=HUB

设。为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数p(A),若满

足下列三个条件：

1°OWP(A)W1,

2。P(Q)=1

(7)概率3°对于两两互不相容的事件Ai,A2,…有

的公理化

定义

ki=lJi=\

常称为可列(完全)可加性。

则称P(A)为事件A的概率。

1。。={01,02…

2。P⑷)=P(3)=­--P®)=~o

n

(8)古典设任一事件A，它是由他，。2…0”,组成的，则有

概型P")={(3)U(g)U…U(/)}二f(幼)+P(g)+•••+P(?”)

_m_A所包含的基本事件数

一〃一基本事件总数

若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空

间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何

(9)几何概型。对任一事件A,

概型

。(4)二丛立。其中L为几何度量(长度、面积、体积)，

MQ)

(10)加法P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

公式当P(AB)=0时,P(A+B)=P(A)+P(B)

P(A-B)=P(A)-P(AB)

(11)减法当BuA时,P(A-B)=P(A)-P(B)

公式

当A=Q时，P(豆)=1-r(B)

定义设A、B是两个事件，且P(A)>0,则称4殁为事件A发生条件下，事

产⑷

(12)条件件B发生的条件概率，记为23/人)=曳竺1。

概率P(A)

条件概率是概率的•牝，所有概率的性质都适合于条件概率。

例如P(C/B)=1=P(C/A)=1-P(B/A)

(13)乘法乘法公式：P(AB)=P(A)P(B/A)

公式更一般地，对事件A“A2,-A..,若P(A也…A-)〉O,则有

P(A\A2…An)=P(A])P(Ai|A)P(41A\Ai).......P(An|A\Ai…

An-i)o

①两个事件的独立性

设事件A、8满足O=P(A)P(B),则称事件A、B是相互独立的。

若事件A、8相互独立，且P(4)>°,则有

P⑻A)=3JA)P⑻

P(A)P(A)

若事件A、B相互独立，则可得到可与8、A与万、可与石也都相互独

(14)独立立C

性必然事件。和不可能事件0与任何事件都相互独立。

0与任何事件都互斥。

②多个事件的独立性

设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，

P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)

并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

那么A、B、C相互独立。

对于n个事件类似。

设事件B，%…,5〃满足

1°期外,…,8〃两两互不相容，尸(8)>0(，=1,2,…,，7),

(15)全概AuJ8

公式

2°i=l,

则有

P(A)=P(8)P(A|8)+P(Bz)P(A1&)+…+P(Bn)P{A\Bn)o

设事件8,&,…，&及A满足

1°B,外,…，8,两两互不相容，P(B0>0,z=i,2,…，〃，

n

Au[JB

2。V,P(4)>0,

则

(16)贝叶

=i=l,2,...n,

斯公式以(约)P(A/与)

此公式即为贝叶斯公式。

Pg),(i=l,2,…，〃)，通常叫先验概率。P(BJA),(，=1,2,・・・,

〃)，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了

“由果朔因”的推断。

我们作了〃次试验，且满足

♦每次试验只有两种可能结果，A发生或4不发生；

♦〃次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；

(17)伯努♦每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与

利概型否是互不影响的。

这种试验称为伯努利概型，或称为〃重伯努利试验。

用〃表示每次试验A发生的概率，则又发生的概率为1一〃=4,用P〃(Q表

示«重伯努利试验中A出现<k<切次的概率，

P〃（k）=C〃kq”-：U,2,…，勺

第二章随机变量及其分布

（1）离散设离散型随机变量X的可能取值为Xk（k=l,2,…）且取各个值的概率,即事

型随机变件（X=X。的概率为

量的分布P（X=xJ=Pk,k=l,2,•­•,

律则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形

式给出：

X|XI,X2,…,*，…

P（x=Xk）pi,PA…，pk,…。

显然分布律应满足下列条件：

8

Vpk=1

（1）女=1，2,…，⑵E。

（2）连续设尸（X）是随机变量X的分布函数，若存在非负函数/（龙），对任意实数工，有

型随机变

F（x）=£'fMdx

量的分布x

密度则称X为连续型随机变量。/（X）称为X的概率密度函数或密度函数，简称概

率密度。

密度函数具有下面4个性质：

1。/（A）>0o

2。口（X）小L

（3）离散

P（X=x）»P（x<X<x+rZx）«f（x）dx

与连续型

随机变量

积分元在连续型随机变量理论中所起的作用与P（X=M）=〃在离

的关系

散型随机变量理论中所起的作用相类似。

(4)分布设X为随机变量，A•是任意实数，则函数

函数

F(x)=P(X<x)

称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。

P(a<X<b)=F(b)-F(a)可以得到X落入区间(凡切的概率。分布

函数?(幻表示随机变量落入区间(-8,x］内的概率。

分布函数具有如下性质：

ln0<F(x)<1,7<%<十8；

2°尸(X)是单调不减的函数，即可<X2时，有F(Al)<F(X2);

3°F(-OO)=limF(x)=0,F(+oo)=limF(x)=1：

x—>-00

4°F(x+0)=F(x),即产(x)是右连续的；

5°P(X=x)=F(x)-F(x-0)o

对于离散型随机变量，/(x)=Z〃«；

勺Sx

X

对于连续型随机变量，F«=J/(x)dro

-co

(5)八大0-1分布P(X=l)=p,P(X=O)=q

分布

二项分布在〃重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。事件A发生

的次数是随机变量，设为X,则X可能取值为0,1,2,…

P(X=k)=P“(k)=C：pWT,其中

q=1—p,0<p<\,k=0,1,2,…,〃，

则称随机变量X服从参数为〃，〃的二项分布。记为

X〜B(n,p)o

当〃=1时，P(X=k)=p/,%=0.1,这就是(0-1)分

布，所以(0T)分布是二项分布的特例。

泊松分布设随机变量X的分布律为

乃

p(x=k)=—「,2>0,攵=0,1,2•一，

k!

则称随机变量X服从参数为％的泊松分布，记为X〜)(㈤或

者P(C)o

泊松分布为二项分布的极限分布(np=A,n-8)。

超几何分布

Ct&=01,2…,/

P(X=k)=」~",

C3/=min(A7,〃)

随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布,记为H(n,N,M)。

几何分布

P(X=k)='p,k=1,2,3,…,其中p20,q=l-p。

随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。

均匀分布设随机变量X的值只落在［a,b］内，其密度函数f(x)在［a,b］

上为常数一^,即

b-a

］aWxWb

f(x)=ib-a，

］o,其他'

则称随机变量X在［a,b］上服从均匀分布，记为X~U(a,b)。

分布函数为

0,x<a,

x-a

Jbn'aWxWb

F(x)=£zf\x)dx=

［1,x>bo

当aWxKxzWb时，X落在区间(的，々)内的概率为

P(再<X<x2)=~——o

b-a

指数分布

rXNO,

/(X)=1八

〔0.工<。.

其中丸>°,则称随机变量X服从参数为％的指数分布。

X的分布函数为

f11，x>0

尸(x)=10

1u,x<Oo

记住积分公式：

jxneXdx=n\

0

正态分布

设随机变量X的密度函数多

1(工一〃)2

f(x)=-=-e2/,-8VXV+8,

后。

其中4、cr〉°为常数，则称随机变量X服从参数为〃、。

的正态分布或高斯(Gauss)分布，记为X~N(〃Q2)。

/(X)具有如下性质:

I。fM的图形是关于X="对称的；

2。当x=〃时，/(〃)=不;为最大值；

若X~财蹙的分布函数为

。2的JRoo

参数〃二°、b=l时的正态分布称为标准正态分布，记为

X~N(O,1)其密度函数记为

(p{x}=-r=e2

“2",-8VXV+00,

分布函数为

①(x)=.——fe2dto

①(x)是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。

①(-x)=1一中(x)且①(0)=,。

X2

如果；CN(〃,b2),则工_^~%(0,1)。

p(x

(6)分位

下分位表；P(XWNa)=a；

数

上分位表：P(X>L)=a,

(7)函数离散型

已知X的分布列为

分布

X月，X2,…,X",…

P(X=Xi)pi,〃2,…,…

y=g(x)的分布列(咒二g(xj互不相等)如下：

Yg(xi),g*2),…，g(x”)，…

若1■某脩等,%应麻务翻P；4加作为g(M)的概率。

连续型

先利用X的概率密度fx(x)写出Y的分布函数A(y)=P(g(X)W

y),再利用变上下限积分的求导公式求出fv(y)o

第三章二维随机变量及其分布

(1)联合离散型

如果二线随机向量4(X,Y)的所有可能取值为至多可列

分布

个有序对(x,y),则称§为离散型随机量。

设♦=(X,Y)的所有可能取值为(小力X，,/=12…),

且事件｛<=(再,力)｝的概率为加，称

尸｛(x,y)=(卬)，/)｝=〃“&/=1,2,…)

为(X,Y)的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分

布有时也用入面的概率分布表来表示：

••••••

力Y2yj

••••••

XiPnP/2Pu

X2P2SP22•••P2j•••

••••

*

*:*

Xi••••♦•

%

**•••

这里外具有下面两个性质：

(1)p120(i,j=l,2,­••)；

⑵EZPg=i,

iJ

连续型

对于二维随机向量j=(x,y),如果存在非负函数

./'(X,y)(-8<x<+8,-oo<y<+功，使对任意一个其邻边

分别平行于坐标轴的矩形区域D,即D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d}

有

D

则称4为连续型随机向量；并称f(x,y)为自二(X,Y)的分布

密度或称为X和Y的联合分布密度。

分布密度f(x,y)具有下面两个性质：

(1)f(x,y)20;

(2)匚匚

(2)二维

^X=x,Y=y)=^X=^Y=y)

随机变量

的本质

(3)联合设(X,Y)为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数

分布函数

F(x9y)=P[X<xiY<y}

称为二维随机向量(X,Y)的分布函数，或称为随机变量〉和Y的联合分布函

数。

分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件

{(2，。2)1-8<X«t>|)(工,-8<Y(CO2)<y}的概率为函数值的一个实值函

数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质：

(1)0<F(x^y)<\;

(2)F(x,y)分别对x和Y是非减的，即

当X2>X】时，有F(x“)2F(X1,y);当y2>yM,有F(x,yJ2F(x,y])；

(3)F(x,y)分别对x和y是右连续的，即

F(x,y)=F(x+0,j),F(x,y)=F(x,y+0);

(4)F(-oo,-co)=尸(一co,y)=F(x,-co)=0,f\+8,+8)=1.

(5)对于X]<x2,y<y2,

F(4，必)一尸(々，凹)一尸(如y2)+F(xry)N0.

(4)离散

P(X=x,y=y)«P(x<X<x+dx,y<Y<y+dy)«f(x,y)dxdy

型与连续

型的关系

(5)边缘离散型X的边缘分布为

分布

Pi.=P(X=xi)=YP』,/=l,2,…)；

j

Y的边缘分布为

%=p(y=x)=ZpN，j=i，2,…)。

i

连续型X的边缘分布密度为

fxM=J：/a，y)dy；

Y的边缘分布密度为

力(y)=「/(x,y)dx.

(6)条件离散型在已知/仁修的条件下，Y取值的条件分布为

分布

尸(丫二》|X")="

Pi.

在已知吃力的条件下，X取值的条件分布为

P(X=x(\Y=y,)=-^,

P,j

连续型在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为

A(y)

在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为

"八)二警4

(7)独立一般型F(X,Y)=Fx(x)F“y)

性离散型

Pij=Pi.P.j

有零不独立

连续型f(x,y)=fx(x;fr(y)

直接判断，充要条件：

①可分离变量

②正概率密度区间为矩形

二维正态分1/K-M丫20(x-〃|/y一出『］

£,\12U-/)(<7,)<7|<715J

布/(.%)，)=-----」，2

2gl6dl-p~

p=0

随机变量的若为,为,…XU皿，…Xn相互独立,h,g为连续函数,则：

函数h(Xi,X2,-X„)和g(X“T,…Xn)相互独立。

特例：若X与Y独立，贝I」：h(X)和g(Y)独立。

例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。

（8）二维设随机向量（X,Y）的分布密度函数为

均匀分布

（x.y）eD

/*,），）=，

0,其他

其中SD为区域D的面积，则称（X,Y）服从D上的均匀分布，记为（X,Y）〜

U（D）o

例如图3.1、图3.2和图3.3o

尸,

1-

01J

图3.1

yl1

1AoA

'JVLJ,J

图3.2

尸,

d-

Dy

c

0JJJ

图3.3

（9）二维设随机向量（X,Y）的分布密度函数为

正态分布

]（丫2。（工-必）（y-%）/—丫

、12（1-/）（）<7G\<7,J

7*,），）=--------re」，

2ml6#-p’

其中M，42。>0,。2>0，1夕1<1是5个参数，则称（X,Y）服从二维正态分

布，

记为（X,Y）〜N（

由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分

布，

即X〜N（4,b；）,y〜Ngb；）.

但是若X〜N（M，b；）,y〜N（42.b；），（X，Y）未必是二维正态分布。

（10）函数Z=X+Y

根据定义计算：F（z）=P（Z<z）=P（X+r<z）

分布z

,HA；

对于连续型，fz（Z）=J/（X,Z—X世

-00

两个独立的正态分布的和仍为正态分布（从十〃2，。；+。；）°

n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。

〃二ZGK，，=£c；o；

ii

Z=max.min(

若X1,X2…X”相互独立，其分布函数分别为

Xi,X2,-Xn)

（）（）（）则（的分布

F-'1x,F-'2x•••人»ix,Z=max,minXi,X2,…XJ

函数为：

尸max。）=々（%）*工2（幻…F.%（幻

尸min（幻="[1一）（切•[1一心（初…[Y（刈

/分布设n个随机变量,AT?,…，X”相互独立，且服从标准正态分

布，可以证明它们的平方和

W这X：

/=1

的分布密度为

u2e2u>0,

/(«)=,22r-

【2.

0,u<0.

我们称随机变量W服从自由度为n的分布，记为W〜Z2(/7),

其中

「(J

所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量

分布中的一个重要参数。

力?分布满足可加性：设

匕一炉⑺)，

则

Z=Z匕〜/(%+n2+•♦•+/)•

t分布设X,Y是两个相互独立的随机变量，且

可以证明函数

X

T=

y/Y7n

的概率密度为

r|n+1

2>

/(o=(一8<，<+8).

我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为T〜t(n).

/,,<,(«)=-/a(n)

F分布

设x~矛2(勺),y~下2(%),且x与Y独立，可以证明

Xin

F=——^的概率密度函数为

Y/n2

/(J/)H邙+32'旌0

八&生VZ2；1〃2)

o,y<0

我们称随机变量F服从第一个自由度为n.,第二个自由度为m

的F分布,记为F〜f(m,n2).

L/、।

石一人々，〃2)二=/、

第四章随机变量的数字特征

(1)离散型连续型

-维期望设X是离散型随机变量,其分布设x是连续型随机变量，其概率密

随机期望就是平均值度为f(x),

律为P(X=xk)=pk,

变量田

的数k=l,2,,,,,n,E(X)=，旦X)dr

字特-Q0

E(x)=%m

征(要求绝对收敛)

k=]

(要求绝对收敛)

函数的期望Y=g(X)Y=g(X)

-bX-

顼y)=£g(z)p«。⑺=Jg(x)f(x)dx

hl-00

方差+00

2

D(X)=E[X-E(X)]2,Q(X)=ZK—E(X)『p«D(X)=jk-E(X)J/UXr

标准差k-<c

cr(X)=Jz)(X),

矩①本于正整数k,称随机变量X①对于正整数k,称随机变量X的

的k次哥的数学期望为X的kk次第的数学期望为X的k阶原点

阶原点矩，记为Vk,即矩，记为Vk,即

v=E(X')=,

kvk=E/(幻火

i

k=l,2,….k=l,2,….

②对于正整数k,称随机变量X②对于正整数k,称随机变量X与

与E(X)差的k次品的数学期E