高中数学必修3《古典概型》教案

w

古典概型

一、教材分析

教材的地位和作用：本节课是高中数学必修3第三章概率的第二节，古典概

型的第一课时。本节课在教材中起着承前启后的作用。古典概型的引入避免了大

量的重复试验，而且得到的概率是精确值。古典概型是一种最基本的概率模型，

在概率论中占有相当重要的地位。学好古典概型为后续学习几何概型奠定了知识

和方法基础，同时有助于理解概率的概,念，有利于计算一些事件的概率，并解释

生活中的一些概率问题。

二、学情分析

认知分析：本节课是在学生学习了统计、障机事件的概率之后，几何概型之

前，尚未学习排列组合的情况下学习的新知识。学生已经了解了概率的基本性质，

知道了互斥事件与对立事件的概率加法公式

能力分析：我校学生基础比较薄弱，自学能力较差，对抽象的知识理解较困

难。作为高二的学生他们具备一定的观察、类比、分析、归纲能力，但对知识的

理解和方法的掌握上存在一些问题。

情感分析：问卷调查显示，多数学生对概率的学习有一定的兴趣，但对抽象

的定义和公式存在惧怕心理。并且学生习惯了小组合作学习C

三、教学目标

新课程强调获得知识的过程比知识本身更有价值。新课标重视过程教学、情

感教学。根据新课程标准，结合学生心理发展的需求，制定以下三维教学目标：

知识与技能目标：正确理解两个概,念：基本事件与古典概型，掌握古典概

型的概率计算公式。

过程与方法目标：创设情境，设计一些具有实际生活背景的问题，引导学

生积极思考。进一步发展学生的观察、类比、分析、归纳能力，让学生体会从特

殊到一般的数学方法

情感态度与价值观目标：通过各种有趣的，贴近学生生活的素材，激发学生

学习数学的兴趣和热情；感受数学的应用价值，并尝试用数学的视野去关注生活

力T

中的数学问题。

四、教学重难点及突破难点的关键

教学重点：理解古典概型及其概率计算公式

教学难点：如何正确运用古典榻型的概率计算公式

关键：通过实例，特别是举一些破坏古典概型两个特征的例子，以突破古典

概型识别的难点。通过鼓励学生尝试画树状图和列表等方法，让学生感受求基本

事件个数的一般方法，从而化解没有学习排列组合而学习概率这一教学困惑。

五、教法、学法的选择

为了充分调动学生的积极性和主动性，在教学中借鉴布鲁纳的“发现学习”

理论。

教法采用情境教学法，依托实验，运用“问题解决”的教学模式，引导学生讨

论问题、分析问题、解决问题。

学法学生通过观察类比、概括归纳和动手尝试相结合，在教师的引导下进

行合作学习，让学生全员参与，全员活动。

教学手段多媒体教学

六、教学流程

情

构

推

应

归

境

建

导

用

纳

概

创

公

深

总

念

设

式

化

结

教学设计

教学内容师生活动设计意图

情境：麦当劳餐厅在五一假期进行有奖销售活动，购

开门见山，创设

创满68元可进行一次摇奖，奖品如下：有趣的情境，设

1等奖：麦辣鸡翅一对；2等奖：吉士汉堡一份；用动画演计一些具有实际

设3等奖：脆香鸡一份；4等奖：中杯可口可乐示摇奖试生活背景的问

5等奖：优惠券五份骏，由教题，抓住学生的

情师提出问注意力，激发学

/二奖/你想抽到什么呢？抽到

题。生的学习兴趣和

工建：\麦辣鸡妞与抽到可口可求知欲。让学生

境\rr5TH*枇Ki臼nrio-th对等可能性有了

到1等奖的概率是多少清晰的感性的认

识。

思考交流：小组讨让学生主动探

（1）用模拟试验的方法来求某一随机事件的概率好不论，全班究，通过讨论、

好？为什么？交流，展分析、总结，建

示成果。立对概念的基本

（2）分别说出5等分转盘摇奖试验、上节课所学的掷硬做好生生认识，教师的引

币试验所有可能的试验结果有哪些？试验的的每个结果评价和师导可以使学生更

之间有什么关系？生评价。好的把握问题的

（提示：从摇奖转盘盘面是五等分的；硬币质地是均关键。

匀的，得出每个试验结果出现是等可能的，任意两个结果

都是互斥的）教师给出

构基本事件

的概念，

概念1：基本事件

并对其特

建一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事

点加以说

件。

概明。画树状图是列举

基本事件有如下的两个特点：法的基本方法，

念（1）任何两个基本事件是互斥的；数形结合和分类

（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件先让学生讨论思想渗透其

的和。尝试列中。使学生明白

举，教师如何列举才能不

再讲解画重不漏，从而突

例1一个袋中装有红、黄、蓝、绿四个大小形状完全相树状图列破了没有学习排

同的球，从中一次性摸出2个球，有哪些基本事件？举法。列组合而学习概

（提示：可以按照字典排序的顺序，把所有可能的结果都率这一教学困

列出来。惑。

教学设计

教学内容师生活动设计意图

思考交流：观察对比5等分转盘摇奖试验、掷硬币试先让学学生应该是课堂活动

验和例1的试验有什么共同的特点？生小组的主体。训练了学生观

（提示：从试验的基本事件的个数和基本事件的概率讨论，教察、类比、分析、归纳

特点两个方面入手）师再补能力。

概念2：古典概型充说明。

（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；

（有限性）

（2）每个基本事件出现的可能性相等。（等可能性）概括总由特殊到一般，水到渠

我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率概结之后，成的引出古典概型的

型，简称古典概型。教师弓定义，从而使学生对古

出古典典概型由感性认识上

思考交流：概型的升到理性认识。

构

（1）你能举一些学习生活中与古典概型有关的实定义。

例吗？

建

（2）如果将摇奖试验中的摇奖转盘换成如下图所三个问题的设计是为

概

示的情况，那么这个试验还是古典概型吗？为什么？先让学了让学生更加准确的

生展开把握古典概型的两个

念

（3）某同学站在一圆形场地的圆心处向场内随机讨论，由本质特征：结果的有限

的击打一小球，如果小球落在场内任意一点都是等可学生发性和等可能性，以突破

能的，你认为这是古典概型吗？为什么？言，教师古典概型识别的难点。

加以弓其中，问题2破坏了古

导。典概型的等可能性，问

题3破坏了古典概型

的有限性特征，为后续

上学习几何概型埋下伏

笔。

教师5；

导学生没有直接给出古典概

在古典概型下，随机事件出现的概率如何计算？

用概率型的概率的计算公式，

（1）在五等分转盘摇奖试验中指针指向的数字是加法公而是从简单的试验出

推偶数的概率是多少？式求出发，由特殊到一般，推

（2）在例1的实验中，出现“红球”的概率是多随机事导出古典概,型的概率

计算公式，使学生容易

导少？件的概

率，再对理解和接受。

比概率

公古典概型下A事件发生的概率计算公式为：

结果，发

NA）_A所包含的基本事件的个数

式基本事件的总数现其中

的联系。

教学设计

教学内容师生活动设计意图

让学生讨2个例题设计是为了让

学生明确套用古典概型

例2单选题是标准化考试中常用的题型，一般论交流，

教师补充概率计算公式的前提是

是从A,B,C,D四个选项中选择一个正确答案。说明。判断该概率模型是不是

如果考生掌握了考差的内容，他可以选择唯一正古典概型，突出了本节

课的重点，突破了难点。

确的答案。假设考生不会做，他随机的选择一个

答案，问他答对的概率是多少？对于例2,讨论这个问题

先让学生什么情况下可以看成古

做，学生典概型是此题的关键。

例3先后抛掷两枚质地均匀的硬币，计算：给出的答

案可能会

（1）一共有多少种不同的结果？对于例3,教学中学生可

有2种，能会不理解对为什么要

（2）求一枚出现正面，另一枚出现反面的概率？教师引导把两枚硬币标上记号，

思考交流：为什么要把两枚硬币标上记号？如果学生分析关键是不能从实质上把

原因，发握古典概型中“每个基

四不标记号会出现什么情况？你能解释其中的原因现问题本事件出现是等可能

吗？的“，或者说缺少判断这

一等可能性的意识，为

巩了突破这一点，设计了

练习：书本P133页，练习2从52张扑克牌一个模拟试验来验证每

固个基本事件是否具有等

（没有大小王）中随机地抽取一张牌，这张牌出可能性。并教会学生用

深现下列情形的概率：列表法求基本事件。

让几名学

化(1)是7(2)不是7生演板，

（3）是方片（4）是J或Q或K并让学生巩固新知识，加深对古

对演板情典概型的概率计算公式

（5）即是红心又是草花（6）比6大比9小况进行评的理解，提高学生解题

（7）是红色（8）是红色或黑色讲，教师的熟练程度。

给与指

八占、、O

概括总结：求解古典概型概率的一般步骤有哪

些？

让学生知道理解概念是

（1）判断是否为古典概型；

引导学生前提，掌握公式是关键.

（2）计算所有基本事件的总结果数〃.对解题思教给学生学习方法，化

（3）计算事件为所包含的结果数勿.路和方法解学生的畏难心理。

进行总

（4）计算P（A）=-结.

n

教学设计

教学内容师生活动设计意图

L古典概型的两个基本特征是什么？

（）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）

五1

发挥学生的主

（2）每个基本事件出现的可能性相等。（等可能性）学生归

体地位，使学生对

反2.古典概型下的概率如何计算？纳总结，

本节课的知识有一

思HA、A所包含的基本事件的个数老师补

个系统的认识，便

总基本事件的总数克说明。

于记忆和应用。

结3.求基本事件的个数的常用方法是列举法（画树状图和列

表），注意做到不重不漏。

P123练习2、3题

课后思考1：P127思考与探究

课后思考2：将骰子先后抛掷2次，计算：

将课堂教学延伸到

六

（1）一共有多少种不同的结果？课外，加深对本节

布学生课

（2）其中向上的数之和是5的结果有多少种？课的理解。课后思

置后自主

（3）向上的数之和是5的概率是多少？考题给基础薄弱的

作完成。

学生足够的时间探

业小明说，上面的问题应该这样解决：向上一面数字之和

索、交流。

最小为2,最大为12,共有11种不同的结果，则向上一面的

数字之和为5的概率是1/11,你认为对吗？为什么？

古典概型

八1）古典概型的定义

板例1

书2）古典概型的概率计算公式

《列2

设注:公式成立的条件

计

例3

3）小结

评价是学生的学和教师的教的一面镜子。

1.学生在探究中实现自我评价，通过小组活动实现学生之间的相互评价。

教2.在师生互动的过程中教师评价学生的积极性与合作交流情况，鼓励学生积极思

学考、大胆发言；在练习和作业中，评价学生的基础知识和基本技能的理解掌握程度，

评对正确的充分肯定，暴露的错误及时给与纠，抓住学生思维的闪光点，多表扬，以

价增强学生学习数学的自信心。另外，我还引入竞赛机制，以加分的形式评价学生的

每一个课堂活动，以激发学生学习教学的热情。

3.课堂提问与课后作业为补偿性教学提供依据。

课堂因互动而精彩，学生因自主而发展！让学生学数学、爱数学、用数学

是我们每一个数学教师的不懈追求！

课前预习学案

一、预习目标

1、认识角扩充的必要性，了解任意角的概念，与过去学习过的一些容易混淆的概念相

区分；

2、能用集合和数学符号表示终边相同的角，体会终边相同角的周期性；

3、能用集合和数学符号表示象限角；

4、能用集合和数学符号表示终边满足一定条件的角.

二、预习内容

1.回忆：初中是任何定义角的？

一条射线由原来的位置0A,绕着它的端点。按逆时针方向旋转到终止位置0B,就形成

角a。旋转开始时的射线0A叫做角的始边，0B叫终边，射线的端点9叫做叫a的顶点。

在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720。”(即转体2周)，“转体1080°”

(即转体3周)；再如时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了5分钟，

又该如何校正？

2.角的概念的推广：

3.正角、负角、零角概念

思考三个问题：

1.定义中说：角的始边与x轴的非负半轴重合，如果改为与x轴的正半轴重合行不行,

为什么？

2.定义中有个小括号，内容是：除端点外，请问课本为什么要加这四个字？

3.是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？

4.已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指

出它们是哪个象限的角？

(1)420°；(2)-75°；(3)855°；(4)-510°.

课内探究学案

一、学习目标

(1)推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；

(2)理解任意角以及象限角的概念；

(3)掌握所有与角d终边相同的角(包括角a)的表示方法；

学习重难点：

重点：理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法及判断。

难点：把终边相同的角用集合和数学符号语言表示出来。

二、学习过程

例1.例1在0°~360°范围内，找出与一950。12'角终边相同的角，并判定它是第几

象限角.(注：0°—360°是指0°«夕<360°)

y轴上的角的集合.

y=x上的角的集合S,并把S中适合不等式—360°«a

<720°的元素夕写出来.

(三)【回顾小结】

(1)教材凡第3、4、5题.

(2)补充:时针经过3小时20分,则时针转过的角度为,分针转过的角度为。

注意：(1)keZ；(2)。是任意角(正角、负角、零角)；(3)终边相同的角不一定

相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍.

(1)你知道角是如何推广的吗？

(2)象限角是如何定义的呢？

(3)你熟练掌握具有相同终边角a的表示了吗？

(四)当堂检测

1.设七=｛小于90。的角｝F=｛锐角｝,G=｛第一象限的角｝,

M•｛小于90•但不小于0•的角｝,那么有().

A.F导G导EB.F与E与Gc.A/S(3CIG)D.GAMF

2.用集合表示：

(1)各象限的角组成的集合.(2)终边落在尸轴右侧的角的集合.

3.在0*7360"间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角

(1)-120-;(2)660-;(3)-950-08".

参考答案

1.D

2.解：⑴第一象限角：｛cc|k360WocVk360：W0：,kWZ｝

第二象限角：｛cdk360:-*90:<a<k360:+180:,kGZ｝

第三象限角：｛alk360:+180:<a<k360:+270:,kGz｝

第四象限角：｛ak360-27aVaVk36(T-360,：kWZ｝

(2)在-180•〜180•中，》轴右侧的角可记为-90・<a<90・，同样把该范围“旋

转”占360•后，得-90°+妇360.<a<90°+如360°,上wZ,故V轴右侧角的集合

为｛a归360'-9CT<a<b360・+90・，kez]

3.解：(1)v-120--2<-36(T

.••与-120•角终边相同的角是240•角，它是第三象限的角；

(2)・・•660--30(T+36(r

.•.与660'终边相同的角是30(T,它是第四象限的角；

（3）-950*08/«129*52,-3X360-

所以与-95（708角终边相同的角是12752；它是第二象限角.

课后练习与提高

1.若时针走过2小时40分，则分针走过的角是多少？

2.下列命题正确的是：（）

（A）终边相同的角一定相等。<B）第一象限的角都是锐角。

（C）锐角都是第一象限的角。（D）小于9）的角都是锐角。

3.若a是第一象限的角，则,是第象限角。

4.一角为3CT,其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为.

5.集合M=（a=k,90",k£Z}中，各角的终边都在（）

A.X轴正半轴上，B.尸轴正半轴上，

C.X轴或尸轴上，D.X轴正半轴或y轴正半粕上

6设4・{。k・£360**45・，kez}t3・{他360*+225\kel}

C={a|a=kl80°+45°,keZ）,D-{a|a-*-360,-135",kel}

360・+45•或a・匕360•+225*，上eZ）

则相等的角集合为.

参考答案

L解：2小时40分2小时，._i8o£=T8O

3"3

故分针走过的角为480

2.C3.一或三4.1110*5.C2B=D,C=E

弧度制

课前预习学案

一、预习目标：

1.了解弧度制的表示方法；

弧长公式和扇形面积公式.

二、预习内容

初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒，它们是60进制，角是否可以用其它

单位度量，是否可以采用10进制？

自学课本第7、8页.通过自学回答以下问题：

1、角的弧度制是如何引入的？

2、为什么要引入弧度制？好处是什么？

3、弧度是如何定义的？

4、角度制与弧度制的区别与联系？

三、提出疑惑

1、平角、周角的弧度数？

2、角的弧度制与角的大小有关，与角所在圆的半径的大小是否有关？

3、角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系？

课内探究学案

一、学习目标

1.理解弧度制的意义；

2.能正确的应用弧度与角度之间的换算：

\a\=-（/为以.a作为圆心角时所对圆弧的长，r为圆半径）；

r

4.熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。

二、重点、难点

弧度与角度之间的换算；

弧长公式、扇形面积公式的应用。

三、学习过程

（一）复习：初中时所学的角度制，是怎么规定1角的？角度制的单位有哪些，是多少

进制的？

（二）为了使用方便，我们经常会用到一种十进制的度量角的单位制一一弧度制。

〈我们规定＞叫做］弧度的角，用符号表示，

读作O

练习：圆的半径为，圆弧长为2八3厂、C的弧所对的圆心角分别为多少？

2

〈思、考〉：圆心角的弧度数与半径的大小有关吗？

由上可知：如果半径为r的园的圆心角a所对的弧长为/,那么，角a的弧度数的绝对值是:

,a的正负由______________________决定o

正角的弧度数是一个，负角的弧度数是一个,零角的弧度数

是£

〈说明〉：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或md经常省略，即只写一实数表

示角的度量。

例如：当弧长/=47r且所对的圆心角表示负角时，这个圆心角的弧度数是

4九T

一|a|=——=-4万.

r

(三)角度与弧度的换算

360=2;rrad180=%rad

1QQ

1°=-^―rad«0.01745radlraJ=(—)°«5718,

18071

归纳：把角从弧度化为度的方法是:

把角从度化为弧度的方法是：—

〈试一试〉：一些特殊角的度数与弧度数的互相转化，请补充完整

30°90°120°150°270°

n3乃

n

07TT2%

例1、把下列各角从度化为弧度：

(1)252°(2)(3)30°(4)67°30,

变式练习：把下列各角从度化为弧度:

(1)22°30'(2)—210°(3)1200°

例2、把下列各角从弧度化为度:

3n

(1)-7：(2)3.5(3)2(4)—

变式练习:把下列各角从弧度化为度：

⑵—"(3)也

(D巴

12310

(四)弧度数表示弧长与半径的比，是一个实数，这样在角集合与实数集之间就建立了一

个一一对应关系.

（五）弧度下的弧长公式和扇形面积公式

弧长公式：，=|。|・〃

因为1m=，（其中/表示。所对的弧长），所以，弧长公式为/=|a|・r.

扇形面积公八、c1c2/c、a1g式：.

（l）S=-rzR2;（2）S=-IR

22

说明：以上公式中的a必须为弧度单位.

例3、知扇形的周长为8cm,圆心角。为2rad,,求该扇形的面积。

变式练习1、半径为120mm的圆上，有一条弧的长是144mm,求该弧所对的圆心角

的弧度数。

2、半径变为原来的而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的______________倍。

2

3、若2弧度的圆心角所对的弧长是4cm,则这个圆心角所在的扇形面积

是.

4、以原点为圆心，半径为1的圆中，一条弦A3的长度为石，43所对的圆心角a

的弧度数为.

（六）课堂小结：

1、弧度制的定义；

2、弧度制与角度制的转换与区别；

3、牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵活运用；

（七）作业布置习题1.1A组第7,8,9题。

课后练习与提图

1.在AA3C中，若NA:NB:NC=3:5:7,求A,B,C弧度数。

2.直径为20cm的滑轮，每秒钟旋转45，则滑轮上一点经过5秒钟转过的弧长是

多少?

3.选做题

如图，扇形的面积是4cm:它的周长是8cm，求扇形的中心角及弦45的长。

参考答案：

1

7

-开

例1解：⑴-7F(2)0.0625开3)6(4)0.375万

1720

变式练习：解：(1)-7T(2)--7T(3)—7T

863

例2、解：(1)108。(2)200.5°(3)114.6。(4)45。

变式练习：解：(1)15°(2)-2400(3)54°

例3、解：因为2R-2R=3：所以R=2,S=4

变式练习：

T竺

课后练习与提高

1.答案：A=­B=—c2

5315

25TV

)答案.

3.答案:a-2,AB=4sin1

课前预习学案

一、预习目标：

1.了解三角函数的两种定义方法；

2.知道三角函数线的基本做法.

二、预习内容：

根据课本本节内容，完成预习目标，完成以下各个概念的填空.

课内探究学案

一、学习目标

(1)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在

各象限的符号）；

（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；

（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角u的正弦、余弦、正切函数值分

别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；

（4）掌握并能初步运用公式一；

（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.

二、重点、难点

重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各

象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.

难点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各

象限的符号）；三角函数线的正确理解.

三、学习过程

（一）复习：

1、初中锐角的三角函数

2、在RtZXABC中，设A对边对a,B对边为b,C对边为c,锐角A的正弦、余弦、正

切依次为_________________________________________________

（二）新课：

1.三角函数定义

在直角坐标系中，设一是一个任意角，a终边上任意一点P（除了原点）的坐标为

（x,y）,它与原点的距离为“r=J|x|2+|W+>0）,那么

(1)比值—_叫做a的正弦，记作,即

(2)比值—_叫做a的余弦，记作,即

(3)比值—_叫做a的正切，记作,即

2.三角函数的定义域、值域

值

函

定义域域

数

y=sina

y=cosa

y=tana

由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：

①正弦值上对于第一、二复限为_____（y>0,r>0）,对于第三、四象限为一

r

（y<0,r>0）；

r

②余弦值一对于第一、四象限为（x>0,r>0）,对于第二、三象限为一

r

（x<0,r>0）；

③正切值上对于第一、三象限为（同号），对于第二、四象限为（

x

异号）.

4.诱导公式

由三角函数的定义，就可知道：

即有：__________________________

5.当角的终边上一点P(Ky)的坐标满足时，有三角函数

正弦、余弦、正切值的几何表示一一三角函数线。