人教版高中数学精讲精练必修一5.7 三角函数的应用（精讲）（含答案及解析）

5.7三角函数的应用（精讲）一.在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)表示，其中A>0，ω>0.(1)A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；(2)简谐运动的周期是T＝eq\f(2π,ω)，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；(3)简谐运动的频率由公式f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；(4)ωx＋φ称为相位；x＝0时的相位φ称为初相.2.三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，在刻画周期变化预测其未来等方面发挥着十分重要的作用.具体地，我们可以利用搜集到的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题.3.在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)来表示运动的位移y随时间x的变化规律，其中：(1)A称为简谐运动的振幅，它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移；(2)T＝eq\f(2π,ω)称为简谐运动的周期，它表示物体往复运动一次所需的时间；(3)f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)称为简谐运动的频率，它表示单位时间内物体往复运动的次数.考点一三角函数在物理中的应用【例1-1】（2023云南）(多选)如图所示为一简谐运动的图象，则下列判断不正确的是（

）A．该质点的振动周期为B．该质点的振幅为C．该质点在和时的振动速度最大D．该质点在和时的加速度为零【例1-2】（2023春·北京·高一校考期中）如图，弹簧挂着的小球上下振动，它在t（单位：s）时相对于平衡位置的高度h（单位：cm）由关系式确定，下列结论正确的是（

）A．小球的最高点和最低点相距 B．小球在时的高度C．每秒钟小球往复运动的次数为 D．从到，弹簧长度逐渐变长【一隅三反】1．（2023春·辽宁沈阳）（多选）已知弹簧上挂的小球做上下振动，它在时间t（s）时离开平衡位置的位移s（cm）满足函数关系式．给出的下列说法中正确的是（

）．A．小球开始时在平衡位置上方2cm处B．小球下降到最低点时在平衡位置下方2cm处C．经过小球重复振动一次D．小球振动的频率为2．（2023·全国·高一假期作业）（多选）如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（

）A．该质点的运动周期为0.7sB．该质点的振幅为5cmC．该质点在0.1s和0.5s时运动速度为零D．该质点在0.3s和0.7s时运动速度为零3．（2023秋·安徽阜阳）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系为，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，，且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为（

）

A． B． C．1s D．4．（2023春·云南红河·高一开远市第一中学校校考阶段练习）如图，一个质点在半径为2的圆O上以点P为起始点，沿逆时针方向运动，每转一圈．则该质点到x轴的距离y关于时间t的函数解析式是（

）A． B．C． D．考点二三角函数在生活中的应用【例2】（2023秋·四川绵阳）（多选）如图（1），筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今在农业生产中仍得到使用.如图（2），一个筒车按照逆时针方向旋转，筒车上的某个盛水筒到水面的距离为(单位：m)(在水下则为负数)、与时间(单位：s)之间的关系是，则下列说法正确的是（

）

A．筒车的半径为3m，旋转一周用时60sB．筒车的轴心距离水面的高度为C．盛水筒出水后至少经过20s才可以达到最高点D．时，盛水筒处于向上运动状态【一隅三反】1．（2023·北京）如图，某港口某天从到的水深（单位：m）与时间（单位：h）之间的关系可用函数近似刻画，据此可估计当天的水深为（

）

A． B．4mC． D．2．（2023秋·辽宁沈阳）（多选）如图（1），筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今在农业生产中仍得到使用.如图（2），一个筒车按照逆时针方向旋转，筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：m）（在水下则为负数）、与时间（单位：s）之间的关系是，则下列说法正确的是（

）

A．筒车的半径为3m，旋转一周用时30sB．筒车的轴心距离水面的高度为C．时，盛水筒处于向上运动状态D．盛水筒出水后至少经过20s才可以达到最高点3．（2023秋·湖南株洲）（多选）如图（1）是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道.建立平面直角坐标系如图（2），（单位：m）表示在时间（单位：s）时.过山车（看作质点）离地平面的高度.轨道最高点距离地平面50m.最低点距离地平面10m.入口处距离地平面20m.当时，过山车到达最高点，时，过山车到达最低点.设，下列结论正确的是（

）A．函数的最小正周期为12B．C．时，过山车距离地平面40mD．一个周期内过山车距离地平面低于20m的时间是4s考点三三角函数模型的拟合【例3】（2023春·贵州遵义）弹簧振子的振动是简谐振动.下表给出了振子在完成一次全振动的过程中的事件t与位移s之间的测量数据，那么能与这些数据拟合的振动函数的解析式为（

）t0123456789101112s0.110.31.720.017.710.30.1A．， B．C． D．，【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）已知某海滨浴场海浪的高度（米）是时间（，单位：时）的函数，记作：，下表是某日各时的浪高数据：（时）03691215182124（米）1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观察，的曲线可近似地看成是函数的图象.(1)根据以上数据，求函数的最小正周期，振幅及函数解析式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）中的结论，判断一天内的10：00至20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？2．（2023春·江西吉安·高一校联考期中）某港口水深（米是时间（，单位：小时）的函数，下表是水深数据：（小时）03691215182124（米10.013.09.97.010.013.010.17.010.0根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数的图象.

(1)试根据数据表和曲线，求出的表达式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）3．（2023春·上海宝山·高一上海交大附中校考期中）在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．受潮汐影响，港口的水深也会相应发生变化．下图记录了某港口某一天整点时刻的水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的大致关系：假设4月份的每一天水深与时间的关系都符合上图所示．(1)请运用函数模型，根据以上数据写出水深y与时间x的函数的近似表达式；(2)根据该港口的安全条例，要求船底与水底的距离必须不小于3.5米，否则该船必须立即离港．一艘船满载货物，吃水（即船底到水面的距离）6米，计划明天进港卸货．①求该船可以进港的时间段；②该船今天会到达港口附近，明天0点可以及时进港并立即开始卸货，已知卸货时吃水深度以每小时0.3米的速度匀速减少，卸完货后空船吃水3米．请设计一个卸货方案，在保证严格遵守该港口安全条例的前提下，使该船明天尽早完成卸货（不计停靠码头和驶离码头所需时间）．

5.7三角函数的应用（精讲）一.在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)表示，其中A>0，ω>0.(1)A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；(2)简谐运动的周期是T＝eq\f(2π,ω)，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；(3)简谐运动的频率由公式f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；(4)ωx＋φ称为相位；x＝0时的相位φ称为初相.2.三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，在刻画周期变化预测其未来等方面发挥着十分重要的作用.具体地，我们可以利用搜集到的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题.3.在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)来表示运动的位移y随时间x的变化规律，其中：(1)A称为简谐运动的振幅，它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移；(2)T＝eq\f(2π,ω)称为简谐运动的周期，它表示物体往复运动一次所需的时间；(3)f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)称为简谐运动的频率，它表示单位时间内物体往复运动的次数.考点一三角函数在物理中的应用【例1-1】（2023云南）(多选)如图所示为一简谐运动的图象，则下列判断不正确的是（

）A．该质点的振动周期为B．该质点的振幅为C．该质点在和时的振动速度最大D．该质点在和时的加速度为零【答案】ABC【解析】由图象可知该质点的振动周期为,故A是错误的；该质点的振幅为,故B是错误的；该质点在和时的振动速度是零，所以C是错误的，该质点在和时处于平衡位置，速度达到最大，加速度为零，D正确，故选：D【例1-2】（2023春·北京·高一校考期中）如图，弹簧挂着的小球上下振动，它在t（单位：s）时相对于平衡位置的高度h（单位：cm）由关系式确定，下列结论正确的是（

）A．小球的最高点和最低点相距 B．小球在时的高度C．每秒钟小球往复运动的次数为 D．从到，弹簧长度逐渐变长【答案】D【解析】由题意弹簧挂着的小球上下振动，它相对于平衡位置的高度由关系式确定，则小球的最高点和最低点相距平衡位置都是，故小球的最高点和最低点相距，A错误；小球在时的高度，B错误；由知，最小正周期，则频率为，则每秒钟小球往复运动的次数为，C错误；由题意知当时，单调递减，时，小球在平衡位置，因为且，故，所以即递减，时，小球在平衡位置以上位置，时，小球在平衡位置以下位置，即小球此时从平衡位置以上位置逐渐向平衡位置以下位置运动，故弹簧长度逐渐变长，D正确，故选：D【一隅三反】1．（2023春·辽宁沈阳）（多选）已知弹簧上挂的小球做上下振动，它在时间t（s）时离开平衡位置的位移s（cm）满足函数关系式．给出的下列说法中正确的是（

）．A．小球开始时在平衡位置上方2cm处B．小球下降到最低点时在平衡位置下方2cm处C．经过小球重复振动一次D．小球振动的频率为【答案】BCD【解析】A选项，时，，即小球开始时在平衡位置上方cm处，故A错误；B选项，由题可知s的最小值为，即小球下降到最低点时在平衡位置下方2cm处，故B正确；C选项，由题可知，最小正周期为，即经过小球重复振动一次，故C正确；D选项，由C选项分析可知周期为，则振动的频率为，故D正确.故选：BCD2．（2023·全国·高一假期作业）（多选）如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（

）A．该质点的运动周期为0.7sB．该质点的振幅为5cmC．该质点在0.1s和0.5s时运动速度为零D．该质点在0.3s和0.7s时运动速度为零【答案】BC【解析】由题图可知，运动周期为，故A错误；该质点的振幅为5cm，B正确；由简谐运动的特点知，在0.1s和0.5s时运动速度为零，质点在0.3s和0.7s时运动速度最大，故C正确，D错误．故选：BC．3．（2023秋·安徽阜阳）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系为，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，，且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为（

）

A． B． C．1s D．【答案】C【解析】因为，，，所以，又，所以，则，由可得，所以，，所以，，故，所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为1s.故选：C.4．（2023春·云南红河·高一开远市第一中学校校考阶段练习）如图，一个质点在半径为2的圆O上以点P为起始点，沿逆时针方向运动，每转一圈．则该质点到x轴的距离y关于时间t的函数解析式是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】设点的纵坐标为，由题意可得，得.因为起始点在第四象限，所以初相，由图可知，所以.所以该质点到x轴的距离y关于时间t的函数解析式是.故选:A.考点二三角函数在生活中的应用【例2】（2023秋·四川绵阳）（多选）如图（1），筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今在农业生产中仍得到使用.如图（2），一个筒车按照逆时针方向旋转，筒车上的某个盛水筒到水面的距离为(单位：m)(在水下则为负数)、与时间(单位：s)之间的关系是，则下列说法正确的是（

）

A．筒车的半径为3m，旋转一周用时60sB．筒车的轴心距离水面的高度为C．盛水筒出水后至少经过20s才可以达到最高点D．时，盛水筒处于向上运动状态【答案】AC【解析】对于A，的振幅为筒车的半径，筒车的半径为；的最小正周期，旋转一周用时，A正确；对于B，，筒车的半径，筒车的轴心距离水面的高度为，B错误；对于C，令，，，解得：，又，当时，，即盛水筒出水后至少经过才可以达到最高点，C正确.对于D，当时，，此时单调递减，盛水筒处于处于向下运动的状态，D错误.故选：AC.【一隅三反】1．（2023·北京）如图，某港口某天从到的水深（单位：m）与时间（单位：h）之间的关系可用函数近似刻画，据此可估计当天的水深为（

）

A． B．4mC． D．【答案】A【解析】由题图可得，，则，当时，取得最小值，即，解得，∵函数的图象过点，∴，又，则，所以，∴，∴．当时，，即估计当天的水深为．故选：A.2．（2023秋·辽宁沈阳）（多选）如图（1），筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今在农业生产中仍得到使用.如图（2），一个筒车按照逆时针方向旋转，筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：m）（在水下则为负数）、与时间（单位：s）之间的关系是，则下列说法正确的是（

）

A．筒车的半径为3m，旋转一周用时30sB．筒车的轴心距离水面的高度为C．时，盛水筒处于向上运动状态D．盛水筒出水后至少经过20s才可以达到最高点【答案】BD【解析】对于A，的振幅为筒车的半径，筒车的半径为；的最小正周期，旋转一周用时，A错误；对于B，，筒车的半径，筒车的轴心距离水面的高度为，B正确；对于C，当时，，此时单调递减，盛水筒处于处于向下运动的状态，C错误；对于D，令，，，解得：，又，当时，，即盛水筒出水后至少经过才可以达到最高点，D正确.故选：BD.3．（2023秋·湖南株洲）（多选）如图（1）是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道.建立平面直角坐标系如图（2），（单位：m）表示在时间（单位：s）时.过山车（看作质点）离地平面的高度.轨道最高点距离地平面50m.最低点距离地平面10m.入口处距离地平面20m.当时，过山车到达最高点，时，过山车到达最低点.设，下列结论正确的是（

）A．函数的最小正周期为12B．C．时，过山车距离地平面40mD．一个周期内过山车距离地平面低于20m的时间是4s【答案】ACD【解析】由题意可知，周期满足，得，所以，得，又，解得，.所以，又，即，得，因为，所以，所以.对于A，，A正确；对于B，，B错误；对于C，，C正确；对于D，由，得，即，，，解得，，所以一个周期内过山车距离底面低于20m的时间是，D正确.故选：ACD.考点三三角函数模型的拟合【例3】（2023春·贵州遵义）弹簧振子的振动是简谐振动.下表给出了振子在完成一次全振动的过程中的事件t与位移s之间的测量数据，那么能与这些数据拟合的振动函数的解析式为（

）t0123456789101112s0.110.31.720.017.710.30.1A．， B．C． D．，【答案】D【解析】设简谐振动的解析式为，其中由表格可知：振幅，周期，过点，由周期，且，可得，由过点，可得，即，则，可得，所以简谐振动的解析式为.故选：D.【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）已知某海滨浴场海浪的高度（米）是时间（，单位：时）的函数，记作：，下表是某日各时的浪高数据：（时）03691215182124（米）1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观察，的曲线可近似地看成是函数的图象.(1)根据以上数据，求函数的最小正周期，振幅及函数解析式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）中的结论，判断一天内的10：00至20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？【答案】(1)，，(2)5个小时【解析】（1）由表中数据知，所以.由，，得.由，，得，故，，所以函数解析式为：.（2）由题意知，当时才可对冲浪者开放，所以，所以，所以，，即，.又因为，故可令得，或，或.所以在规定时间10：00至20：00之间，有5个小时可供冲浪者活动，即上午10：00至下午3：00.2．（2023春·江西吉安·高一校联考期中）某港口水深（米是时间（，单位：小时）的函数，下表是水深数据：（小时）03691215182124（米10.013.09.97.010.013.010.17.010.0根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数的图象.

(1)试根据数据表和曲线，求出的表达式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）【答案】(1)(2)16小时.【解析】（1