人教版高中数学精讲精练必修一5.5 三角恒等变换（精讲）（含答案及解析）

5.5三角恒等变换（精讲）两角和与差的余弦、正弦、正切公式1.cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβcos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ-----“同名相乘，符号反”2.sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβsin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ-----“异名相乘，符号同”3.tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)---------“上同号，下1异号相乘”二．二倍角公式（1）sin2α＝2sinαcosα↔12sin2α＝sinα（2）cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2αtan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)三.辅助角公式asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ).其中tanφ＝eq\f(b,a)，φ所在象限由a和b的符号确定，或者sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2)).一．给值求值(1)在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：①当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差；②当条件中只有一个已知角时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角.(2)此类问题中，角的范围不容忽视，解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围.二．给值求角在选三角函数时，可按以下原则：一般地，已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数若角的范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，选正弦函数和余弦函数都可；若角的范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，选正弦函数比余弦函数好；若角的范围是(0，π)，选余弦函数比正弦函数好.三．探究三角函数式化简、证明(1)化简的要求①能求出值的应求出值②尽量使三角函数种数最少③尽量使项数最少④尽量使分母不含三角函数⑤尽量使被开方数不含三角函数.（2）化简的思路①对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式②对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式③对于二次根式，注意二倍角公式的逆用.另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法.四．证明三角恒等式的原则与步骤(1)观察恒等式的两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低次，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.(2)证明恒等式的一般步骤：①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.考点一两角和差公式的正用和逆用【例1】（2023春·山东青岛·高一统考期中）下列等式成立的为（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023春·四川绵阳·高一三台中学校考阶段练习）的值为（

）A． B． C． D．2．（2023春·甘肃兰州·高一统考期中）等于（

）A．B．C．D．3．（2023春·四川成都·高一石室中学校考期中）的值为.4．（2023秋·高一课时练习）.5．（20223·山西大同）计算：A． B． C． D．6．（2023春·云南玉溪·高一统考期末）（

）A．1 B． C．3 D．考点二两角和差公式--给值求值【例2-1】（2023春·海南·高一统考期末）已知，，，则（

）A． B． C． D．【例2-2】（2023春·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）已知角，，则（

）A． B． C． D．【例2-3】（2023春·陕西西安·高一长安一中校考期中）已知为锐角，，则（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期中）已知且都是第二象限角，则（

）A． B． C． D．2．（2023秋·高一单元测试）已知都是锐角，若，，则（

）A． B． C． D．3．（2023春·湖南株洲·高一统考期末）若为锐角，且，则（

）A． B． C． D．4．（2023·高一课时练习）若，，，则的值为（

）A． B．C． D．考点三两角和差公式--给值求角【例3】（2022春·辽宁大连·高一大连八中校考期中）已知锐角满足，则等于（

）A． B．或 C． D．【一隅三反】1．（2023春·安徽马鞍山·高一安徽省当涂第一中学校考期中）已知，，，，则.2．（2023秋·高一课时练习）已知，其中，，则，.3．（2023春·高一单元测试）已知，且，，求的值．考点四二倍角公式的正用和逆用【例4】（2023春·山东临沂·高一统考期中）（多选）下列各式中，值为的是（

）A．B． C． D．【一隅三反】1．（2023春·四川遂宁·高一四川省蓬溪中学校校考阶段练习）（多选）下列三角式中，值为的是（

）A． B．C． D．2．（2023春·四川宜宾·高一校考期中）（多选）下列各式中，值为的是（

）A． B．C． D．3．（2023春·广东佛山·高一北滘中学校考阶段练习）（多选）下列各式中，值为的是（

）A． B． C． D．考点五二倍角给值求值【例5】（2023湖南）已知，则.【一隅三反】1．（2023春·四川宜宾·高一校考阶段练习）已知，则的值为（

）A． B． C． D．2．（2023春·江苏徐州·高一统考期中）已知，则（

）A． B． C． D．3．（2023秋·山西忻州·高三校联考开学考试）已知，则（

）A． B． C． D．考点六三角函数式的化简与证明【例6-1】（2022春·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考阶段练习）.【例6-2】（2023春·江苏徐州·高一校考期中）求证下列恒等式：(1)；(2)【一隅三反】1．（2023春·全国·高一专题练习）化简．2．（2023春·江苏·高一专题练习）.3．（2022·高一课时练习）求证：(1)；(2)．考点七辅助角公式研究三角函数性质【例7】（2023秋·山东菏泽·高一山东省郓城第一中学校考期末）已知函数(1)求函数的最小正周期及函数的单调递减区间；(2)求函数在上的值域．【一隅三反】1．（2023春·黑龙江大庆·高一大庆中学校考阶段练习）已知函数.(1)求函数的最小正周期；(2)解不等式，其中.2．（2023春·湖南岳阳·高一湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）设函数(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数在上的最大值与最小值及相对应的的值.3．（2023春·山东威海·高一统考期末）已知函数.(1)当时，求的取值范围；(2)若锐角，满足，，求.

5.5三角恒等变换（精讲）两角和与差的余弦、正弦、正切公式1.cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβcos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ-----“同名相乘，符号反”2.sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβsin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ-----“异名相乘，符号同”3.tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)---------“上同号，下1异号相乘”二．二倍角公式（1）sin2α＝2sinαcosα↔12sin2α＝sinα（2）cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2αtan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)三.辅助角公式asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ).其中tanφ＝eq\f(b,a)，φ所在象限由a和b的符号确定，或者sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2)).一．给值求值(1)在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：①当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差；②当条件中只有一个已知角时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角.(2)此类问题中，角的范围不容忽视，解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围.二．给值求角在选三角函数时，可按以下原则：一般地，已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数若角的范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，选正弦函数和余弦函数都可；若角的范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，选正弦函数比余弦函数好；若角的范围是(0，π)，选余弦函数比正弦函数好.三．探究三角函数式化简、证明(1)化简的要求①能求出值的应求出值②尽量使三角函数种数最少③尽量使项数最少④尽量使分母不含三角函数⑤尽量使被开方数不含三角函数.（2）化简的思路①对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式②对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式③对于二次根式，注意二倍角公式的逆用.另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法.四．证明三角恒等式的原则与步骤(1)观察恒等式的两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低次，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.(2)证明恒等式的一般步骤：①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.考点一两角和差公式的正用和逆用【例1】（2023春·山东青岛·高一统考期中）下列等式成立的为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】A选项：，A错误；B选项：，B错误；C选项：，C正确；D选项：，D错误.故选：C.【一隅三反】1．（2023春·四川绵阳·高一三台中学校考阶段练习）的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】.故选：A2．（2023春·甘肃兰州·高一统考期中）等于（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】由余弦的两角和公式可得.故选：A3．（2023春·四川成都·高一石室中学校考期中）的值为.【答案】【解析】.故答案为：.4．（2023秋·高一课时练习）.【答案】/【解析】.故答案为：.5．（20223·山西大同）计算：A． B． C． D．【答案】C【解析】原式.故选C.6．（2023春·云南玉溪·高一统考期末）（

）A．1 B． C．3 D．【答案】A【解析】，故选：A．考点二两角和差公式--给值求值【例2-1】（2023春·海南·高一统考期末）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，，，所以，，则.故选：A.【例2-2】（2023春·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）已知角，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，因为，所以，所以，所以，故选：B【例2-3】（2023春·陕西西安·高一长安一中校考期中）已知为锐角，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，，又，，，.故选：C.【一隅三反】1．（2023春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期中）已知且都是第二象限角，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为且都是第二象限角，所以，，所以.故选：C.2．（2023秋·高一单元测试）已知都是锐角，若，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为为锐角，，所以，因为都是锐角，所以，因为，所以，所以，故选：B3．（2023春·湖南株洲·高一统考期末）若为锐角，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为为锐角，所以，所以，又因为，所以，所以.故选：D.4．（2023·高一课时练习）若，，，则的值为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】∵，∴，.又∵，，∴，，故选：C考点三两角和差公式--给值求角【例3】（2022春·辽宁大连·高一大连八中校考期中）已知锐角满足，则等于（

）A． B．或 C． D．【答案】C【解析】因为满足，所以，.由此可得.又因为，所以，故选：C.【一隅三反】1．（2023春·安徽马鞍山·高一安徽省当涂第一中学校考期中）已知，，，，则.【答案】/【解析】因为，，所以，所以，所以，因为，所以.故答案为：2．（2023秋·高一课时练习）已知，其中，，则，.【答案】/【解析】因为，所以，，因为，，所以，所以，故答案为：，3．（2023春·高一单元测试）已知，且，，求的值．【答案】【解析】因为，则，又，，于是，，因此，所以.考点四二倍角公式的正用和逆用【例4】（2023春·山东临沂·高一统考期中）（多选）下列各式中，值为的是（

）A．B． C． D．【答案】ABD【解析】对于A，，故A符合题意；对于B，，故B符合题意；对于C，，故C不符合题意；对于D，，故D符合题意.故选：ABD.【一隅三反】1．（2023春·四川遂宁·高一四川省蓬溪中学校校考阶段练习）（多选）下列三角式中，值为的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】对于A选项，，A满足条件；对于B选项，，B满足条件；对于C选项，，C不满足条件；对于D选项，，D满足条件.故选：ABD.2．（2023春·四川宜宾·高一校考期中）（多选）下列各式中，值为的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D正确；故选：ACD3．（2023春·广东佛山·高一北滘中学校考阶段练习）（多选）下列各式中，值为的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】因为，所以选项A不符合题意；因为，所以选项B符合题意；因为，所以选项C符合题意；因为，所以选项D不符合题意，故选：BC考点五二倍角给值求值【例5】（2023湖南）已知，则.【答案】【解析】.故答案为：.【一隅三反】1．（2023春·四川宜宾·高一校考阶段练习）已知，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，所以.故选：A.2．（2023春·江苏徐州·高一统考期中）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，故选：B.3．（2023秋·山西忻州·高三校联考开学考试）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得.故选：B.考点六三角函数式的化简与证明【例6-1】（2022春·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考阶段练习）.【答案】2【解析】因为，，，所以故答案为：2.【例6-2】（2023春·江苏徐州·高一校考期中）求证下列恒等式：(1)；(2)【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】（1）.（2）左边,原式得证.【一隅三反】1．（