人教版高中数学精讲精练必修一4.3 对数运算（精讲）（含答案及解析）

4.3对数运算（精讲）一.对数的概念1.对数的概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.常用对数与自然对数名称定义符号常用对数以10为底的对数叫做常用对数log10N记为lgN自然对数以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e＝2.71828…logeN记为lnN二.对数与指数的关系与性质1．对数与指数的关系(1)若a>0，且a≠1，则ax＝N⇒logaN＝x.(2)对数恒等式：alogaN＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1，N>0)．2．对数的性质(1)loga1＝0(a>0，且a≠1)．(2)logaa＝1(a>0，且a≠1)．(3)零和负数没有对数．三.对数运算性质1.如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R).拓展：logamMn＝eq\f(n,m)logaM(n∈R，m≠0).2.换底公式对数换底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).特别地：（1）logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1).(2)logab·logbc·logca＝1(a＞0，b＞0，c＞0，且a，b，c≠1)．一．对数与指数的关系示意图．二．指数式与对数式互化1.指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．2.对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．三．利用对数运算性质化简与求值1.基本原则：①正用或逆用公式，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行.2.两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).考点一对数的概念【例1】（2022秋·上海徐汇）若，则的取值范围是.【一隅三反】1．（2022秋·上海浦东新·高一校考期中）若代数式有意义，则实数的取值范围是.2．（2022秋·上海虹口）使得表达式有意义的x范围是．考点二指数式与对数式的互化【例2】（2023秋·高一课时练习）将下列指数式与对数式进行互化．(1)(2)(3).(4)；(5)；(6)；(7).【一隅三反】（2023·江苏）将下列指数式与对数式互化．(1)；(2)；(3)；(4).(5)；(6)；(7)；(8)．(9)；(10)；(11)；(12)．考点三对数运算性质【例3-1】（2023·江苏·）求下列各式中x的值．(1)；(2)；(3).【例3-2】（2023·江苏）求下列各式的值．(1)；(2)；(3)；(4).【例3-3】（2023广东潮州）计算下列各式的值：(1)；(2).(3)；(4)(5)．【一隅三反】1．（2023·广东深圳）计算下列各式的值（或的值）：(1)(2)(3)(4)2．（2023广东湛江）计算下列各式的值．(1)；(2)．(3)；(4)．(5).(6).(7)；(8)(9)；(10)(11),(12),考点四对数与指数的综合应用【例4-1】（2023秋·辽宁葫芦岛·高一校考期末）已知，则（

）A． B． C． D．【例4-2】（2023秋·高一课时练习）已知均为正实数，若，则＝（

）A．或 B．C． D．2或【例4-3】（2023秋·高一课前预习）已知a，b，c均为正数，且，求证：；【一隅三反】1．（2023春·天津）已知，则的值（

）A． B． C．1 D．22．（2023秋·广东）已知，则.3．（2023·全国·高一课堂例题）已知，，则的值为．4．（2023秋·高一课前预习）下列计算恒成立的是A．B．C．D．考点五对数的实际应用【例5】（2023·全国·高一专题练习）17世纪，法国数学家马林·梅森在欧几里得､费马等人研究的基础上，对（为素数）型的数作了大量的研算，他在著作《物理数学随感》中断言：在的素数中，当，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，是素数，其它都是合数.除了和两个数被后人证明不是素数外，其余都已被证实.人们为了纪念梅森在型素数研究中所做的开创性工作，就把型的素数称为“梅森素数”，记为.几个年来，人类仅发现51个梅森素数，由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们答为“数海明珠”.已知第7个梅森素数，第8个梅森素数，则约等于（参考数据：）（

）A．17.1 B．8.4 C．6.6 D．3.6【一隅三反】1．（2023·全国·高一专题练习）要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性．动植物死亡后，停止了新陈代谢，不再产生，且原来的会自动衰变．经过5730年，它的残余量只有原始量的一半．现用放射性碳法测得某古物中含量占原来的，推算该古物约是m年前的遗物（参考数据：），则m的值为（

）A．12302 B．13304 C．23004 D．240342．（2023·全国·高一专题练习）二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是21×21大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有2441种不同的码，假设我们1万年用掉3×1015个二维码，那么大约可以用（

）（，）A．万年 B．万年 C．万年 D．万年3．（2023秋·江苏南通）已知声强级（单位：分贝），其中常数是能够引起听觉的最弱的声强，是实际声强.当声强级降低1分贝时，实际声强是原来的（

）A．倍 B．倍 C．倍 D．倍

4.3对数运算（精讲）一.对数的概念1.对数的概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.常用对数与自然对数名称定义符号常用对数以10为底的对数叫做常用对数log10N记为lgN自然对数以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e＝2.71828…logeN记为lnN二.对数与指数的关系与性质1．对数与指数的关系(1)若a>0，且a≠1，则ax＝N⇒logaN＝x.(2)对数恒等式：alogaN＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1，N>0)．2．对数的性质(1)loga1＝0(a>0，且a≠1)．(2)logaa＝1(a>0，且a≠1)．(3)零和负数没有对数．三.对数运算性质1.如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R).拓展：logamMn＝eq\f(n,m)logaM(n∈R，m≠0).2.换底公式对数换底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).特别地：（1）logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1).(2)logab·logbc·logca＝1(a＞0，b＞0，c＞0，且a，b，c≠1)．一．对数与指数的关系示意图．二．指数式与对数式互化1.指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．2.对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．三．利用对数运算性质化简与求值1.基本原则：①正用或逆用公式，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行.2.两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).考点一对数的概念【例1】（2022秋·上海徐汇）若，则的取值范围是.【答案】【解析】对于等式，有，解得且，因此，的取值范围是.故答案为：.【一隅三反】1．（2022秋·上海浦东新·高一校考期中）若代数式有意义，则实数的取值范围是.【答案】【解析】根据真数大于0得，解得，故答案为：.2．（2022秋·上海虹口）使得表达式有意义的x范围是．【答案】【解析】式子要有意义，则，解得，所以x范围是.故答案为：.考点二指数式与对数式的互化【例2】（2023秋·高一课时练习）将下列指数式与对数式进行互化．(1)(2)(3).(4)；(5)；(6)；(7).【答案】(1)(2)(3)(4)；（5)；(6)；(7).【解析】（1）由可得.（2）由，可得.（3）由，可得.（4）由，可得；（5）由，可得；（6）由，可得；（7）由，可得.【一隅三反】（2023·江苏）将下列指数式与对数式互化．(1)；(2)；(3)；(4).(5)；(6)；(7)；(8)．(9)；(10)；(11)；(12)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)【解析】（1）因为，所以；（2）因为，所以；（3）因为，所以；（4）因为，所以.（5），可得.（6），可得.（7），可得.（8），可得.（9）（10）（11）（12）考点三对数运算性质【例3-1】（2023·江苏·）求下列各式中x的值．(1)；(2)；(3).【答案】(1)；(2)；(3).【解析】（1）∵，∴，∴；（2）∵，∴，∴；（3）由可得，，故，所以.【例3-2】（2023·江苏）求下列各式的值．(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)；(2)；(3)；(4).【解析】（1）；（2）；（3）（4）【例3-3】（2023广东潮州）计算下列各式的值：(1)；(2).(3)；(4)(5)．【答案】(1)(2)(3)(4)（5）3【解析】（1）解法一：原式.解法二：原式.（2）原式.（3）原式（4）原式（5）原式．【一隅三反】1．（2023·广东深圳）计算下列各式的值（或的值）：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】（1）由，得，所以；（2）由两边取以10为底对数，得，即，解得；（3）由，得，所以，即；（4）.2．（2023广东湛江）计算下列各式的值．(1)；(2)．(3)；(4)．(5).(6).(7)；(8)(9)；(10)(11),(12),【答案】(1)1(2)(3)(4)(5)(6)2(7)(8)(9)(10)(11)(12)【解析】（1）原式可化为：（2）原式可化为：（3.（4）.（5）＝＝＝＝（6）=2（7）；（8）．（9）；（10）.（11）（12）原式为:考点四对数与指数的综合应用【例4-1】（2023秋·辽宁葫芦岛·高一校考期末）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可得，，所以，所以.故选：B.【例4-2】（2023秋·高一课时练习）已知均为正实数，若，则＝（

）A．或 B．C． D．2或【答案】D【解析】令，则，所以，解得或，所以或，所以或，因为，所以或，所以或，所以或，故选：D【例4-3】（2023秋·高一课前预习）已知a，b，c均为正数，且，求证：；【答案】证明见解析【解析】设，则.∴，∴，而，∴，得证.【一隅三反】1．（2023春·天津）已知，则的值（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】因为，所以，所以，故选：C2．（2023秋·广东）已知，则.【答案】2【解析】由题意可得，，则，，故.故答案为：2.3．（2023·全国·高一课堂例题）已知，，则的值为．【答案】2【解析】因为，，所以，，所以．故答案为：24．（2023秋·高一课前预习）下列计算恒成立的是A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以A不对；因为，所以B不对；因为，所以C不对；因为，D正确.故选D.考点五对数的实际应用【例5】（2023·全国·高一专题练习）17世纪，法国数学家马林·梅森在欧几里得､费马等人研究的基础上，对（为素数）型的数作了大量的研算，他在著作《物理数学随感》中断言：在的素数中，当，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，是素数，其它都是合数.除了和两个数被后人证明不是素数外，其余都已被证实.人们为了纪念梅森在型素数研究中所做的开创性工作，就把型的素数称为“梅森素数”，记为.几个年来，人类仅发现51个梅森素数，由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们答为“数海明珠”.已知第7个梅森素数，第8个梅森素数，则约等于（参考数据：）（

）A．17.1 B．8.4 C．6.6 D．3.6【答案】D【解析】由已知可得.故选：D【一隅三反】1．（2023·全国·高一专题练习）要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性．动植物死亡后，停止了新陈代谢，不再产生，且原来的会自动衰变．经过5730年，它的残余量只有原始量的一半．现用放射性碳法测得某古物中含量占原来的，推算该古物约是m年前的遗物（参考数据：），则m的值为（

）A．12302 B．13304 C．23004 D．24034【答案】B【解析】设原始量为，每年衰变率为