人教版高中数学精讲精练必修一1.2 集合间的关系（精讲）（含答案及解析）

1.2集合间的关系（精讲）一．子集、真子集、集合相等1．子集、真子集、集合相等的相关概念定义符号表示图形表示子集如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集A⊆B(或B⊇A)真子集如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集AB(或BA)集合相等如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等A＝B2．Venn图：用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．3．子集的性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.4.子集的个数假设集合A中含有n个元素，则有：(1)A的子集有2n个；(2)A的非空子集有(2n－1)个；(3)A的真子集有(2n－1)个；(4)A的非空真子集有(2n－2)个.二．空集1.定义：不含任何元素的集合叫做空集2.记作：∅3.规定:空集是任何集合的子集，即∅⊆A4.特性(1)空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅；(2)若A≠∅，则∅A5.区分：0，{0}，∅与{∅}之间的关系∅与0∅与{0}∅与{∅}相同点都表示无的意思都是集合都是集合不同点∅是集合；0是实数∅不含任何元素；{0}含一个元素0∅不含任何元素；{∅}含一个元素，该元素是∅关系0∉∅∅{0}∅{∅}或∅∈{∅}一．判断集合关系的方法1.观察法：一一列举观察.2.元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.3.数形结合法：利用数轴或Venn图.二.求给定集合的子集的两个注意点：1.按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写；2.在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身.三．由集合间的关系求参数1.若已知集合是有限集，求解时，一般根据对应关系直接列方程．2.若已知集合是无限集，求解时，通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误．一般含“＝”用实心圆点表示，不含“＝”用空心圆圈表示．3.注意点：①不能忽视集合为∅的情形；②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论.考点一集合间的关系【例1-1】（2023·江苏）设集合，，则下列关系正确的是（

）A． B．C． D．【例1-2】（2022·广西桂林）已知集合，则下列关系正确的是（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023·北京）已知集合，，则（

）A．⫋ B． C． D．2．（2022秋·福建福州）已知集合，则下列关系中，正确的是（

）.A． B． C． D．3．（2023·宁夏银川）下列集合关系中错误的是（

）A． B． C． D．考法二空集【例2-1】（2023安徽）下列集合中为的是（

）A． B．C． D．【例2-2】（2022·上海）下列命题中正确的是（

）A．空集没有子集B．空集是任何一个集合的真子集C．任何一个集合必有两个或两个以上的子集D．设集合，那么，若，则【一隅三反】1．（2023·天津）下列四个说法中，正确的有（

）①空集没有子集；②空集是任何集合的真子集；③若，则；④任何集合至少有两个子集．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个2．（2023·北京）已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．63．（2023·河南）下列四个命题：①空集没有子集；②空集是任何一个集合的真子集；③∅＝{0}；④任何一个集合必有两个或两个以上的子集．其中正确命题的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3考法三（真）子集的个数【例3-1】（2022秋·江苏扬州）已知集合，则集合的真子集个数为（

）A．8 B．7 C．6 D．5【例3-2】（2023·海南）若集合A满足，则集合A所有可能的情形有（

）A．3种 B．5种 C．7种 D．9种【一隅三反】1．（2023·江苏南京）集合的子集个数为（

）A．2 B．4 C．8 D．162．（2023·新疆）已知集合满足，那么这样的集合的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（2023·河南开封）已知集合，，则集合B的真子集个数是（

）A．3 B．4 C．7 D．8考法四已知集合关系求参数【例4-1】（2023·全国·统考高考真题）设集合，，若，则（

）．A．2 B．1 C． D．【例4-2】（2023·高一课时练习）已知集合，若，则实数a的取值集合为（

）A． B． C． D．【例4-3】（2023秋·河南郑州）已知集合没有非空真子集，则实数a构成的集合为______.【例4-4】（2023·江苏）已知集合.(1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围.【一隅三反】1．（2023·福建）（多选）已知集合A＝，B＝{x|ax＋1＝0}，且B⊆A，则实数a的取值可能为（）A．－3 B．－2C．0 D．32．（2022秋·河南·高一统考期中）集合或，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．3．（2023·安徽芜湖）若集合，，且，求实数m的值.4．（2022·高一课时练习）已知集合．(1)若，，求实数的取值范围；(2)若，，求实数的取值范围．5.（2023·安徽）已知集合，.（1）若，求的值；（2）若，求的值.

1.2集合间的关系（精讲）一．子集、真子集、集合相等1．子集、真子集、集合相等的相关概念定义符号表示图形表示子集如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集A⊆B(或B⊇A)真子集如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集AB(或BA)集合相等如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等A＝B2．Venn图：用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．3．子集的性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.4.子集的个数假设集合A中含有n个元素，则有：(1)A的子集有2n个；(2)A的非空子集有(2n－1)个；(3)A的真子集有(2n－1)个；(4)A的非空真子集有(2n－2)个.二．空集1.定义：不含任何元素的集合叫做空集2.记作：∅3.规定:空集是任何集合的子集，即∅⊆A4.特性(1)空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅；(2)若A≠∅，则∅A5.区分：0，{0}，∅与{∅}之间的关系∅与0∅与{0}∅与{∅}相同点都表示无的意思都是集合都是集合不同点∅是集合；0是实数∅不含任何元素；{0}含一个元素0∅不含任何元素；{∅}含一个元素，该元素是∅关系0∉∅∅{0}∅{∅}或∅∈{∅}一．判断集合关系的方法1.观察法：一一列举观察.2.元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.3.数形结合法：利用数轴或Venn图.二.求给定集合的子集的两个注意点：1.按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写；2.在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身.三．由集合间的关系求参数1.若已知集合是有限集，求解时，一般根据对应关系直接列方程．2.若已知集合是无限集，求解时，通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误．一般含“＝”用实心圆点表示，不含“＝”用空心圆圈表示．3.注意点：①不能忽视集合为∅的情形；②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论.考点一集合间的关系【例1-1】（2023·江苏）设集合，，则下列关系正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，，则.故选：D.【例1-2】（2022·广西桂林）已知集合，则下列关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为集合，所以根据子集的定义可知，故选：D.【一隅三反】1．（2023·北京）已知集合，，则（

）A．⫋ B． C． D．【答案】A【解析】，，则⫋.故选：A.2．（2022秋·福建福州）已知集合，则下列关系中，正确的是（

）.A． B． C． D．【答案】D【解析】因为集合，对于A，因为，故选项A错误；对于B，是一个集合，且，故选项B错误；对于C，因为集合，所以集合与集合不存在包含关系，故选项C错误；对于D，因为集合，任何集合都是它本身的子集，所以，故选项D正确，故选：D.3．（2023·宁夏银川）下列集合关系中错误的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】对于A：集合为点集，含有元素，集合含有两个元素，，所以不包含于，故A错误；对于B：，故B正确；对于C：，故C正确；对于D：因为，所以，故D正确；故选：A考法二空集【例2-1】（2023安徽）下列集合中为的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A中，由集合中有一个元素，不符合题意；对于B中，由集合中有一个元素，不符合题意；对于C中，由方程，即，此时方程无解，可得，符合题意；对于D中，不等式，解得，，不符合题意.故选：C.【例2-2】（2022·上海）下列命题中正确的是（

）A．空集没有子集B．空集是任何一个集合的真子集C．任何一个集合必有两个或两个以上的子集D．设集合，那么，若，则【答案】D【解析】A选项，空集是其本身的子集，A错；B选项，空集是任一非空集合的真子集，B错；C选项，空集只有一个子集，即是空集本身；C错；D选项，若，则中元素都在中，中没有的元素，则中也没有；故D正确.故选：D.【一隅三反】1．（2023·天津）下列四个说法中，正确的有（

）①空集没有子集；②空集是任何集合的真子集；③若，则；④任何集合至少有两个子集．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】A【解析】①空集是任何集合的子集，所以①错；②空集是任何非空集合的真子集，所以②错；③空集是任何集合的子集，集合不一定等于空集，所以③错；④空集只有自己本身一个子集，所以④错.故选：A.2．（2023·北京）已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】根据元素与集合、集合与集合关系：是的一个元素，故，①正确；是任何非空集合的真子集，故、，②③正确；没有元素，故，④正确；且、，⑤错误，⑥正确；所以①②③④⑥正确.故选：C3．（2023·河南）下列四个命题：①空集没有子集；②空集是任何一个集合的真子集；③∅＝{0}；④任何一个集合必有两个或两个以上的子集．其中正确命题的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】因为空集是其本身的子集，故①错误；空集只有本身一个子集，故②④错误；空集没有元素，而集合{0}含有一个元素0，故③错误．故正确命题个数为0.答案：A.考法三（真）子集的个数【例3-1】（2022秋·江苏扬州）已知集合，则集合的真子集个数为（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】B【解析】集合，所以集合的真子集个数为：.故选：B.【例3-2】（2023·海南）若集合A满足，则集合A所有可能的情形有（

）A．3种 B．5种 C．7种 D．9种【答案】C【解析】由，可知集合A必有元素，即至少有两个元素，至多有四个元素，依次有以下可能：七种可能.故选：C【一隅三反】1．（2023·江苏南京）集合的子集个数为（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【解析】，故子集个数为.故选：B2．（2023·新疆）已知集合满足，那么这样的集合的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】∵，∴要确定集合M,只需确定1和4是否放置在其中，共有4种情况，，故选：D3．（2023·河南开封）已知集合，，则集合B的真子集个数是（

）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】C【解析】由题意得，所以集合的真子集个数为.故选：C.考法四已知集合关系求参数【例4-1】（2023·全国·统考高考真题）设集合，，若，则（

）．A．2 B．1 C． D．【答案】B【解析】因为，则有：若，解得，此时，，不符合题意；若，解得，此时，，符合题意；综上所述：.故选：B.【例4-2】（2023·高一课时练习）已知集合，若，则实数a的取值集合为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于，故时，则且，若中只有一个元素，①中的方程为一元二次方程，则，此时,不合题意，舍去；②中的方程为一元一次方程，则，则，则，此时不符合，舍去，当时，则符合题意，综上可知：或，故选：D.【例4-3】（2023秋·河南郑州）已知集合没有非空真子集，则实数a构成的集合为______.【答案】【解析】因为集合没有非空真子集，所以集合中元素的个数为1或0个，当集合中元素的个数为1个时，若，则有，解得，符合题意，若，则有，解得，当集合中元素的个数为0个时，则，解得，综上或，即实数a构成的集合为.故答案为：.【例4-4】（2023·江苏）已知集合.(1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)不存在【解析】（1）解：①当时，即，解得，此时满足；②当时，要使得，则满足，解得，综上可得，实数的取值范围是.（2）解：由题意，要使得，则满足，此时不等式组无解，所以实数不存在，即不存在实数使得.【一隅三反】1．（2023·福建）（多选）已知集合A＝，B＝{x|ax＋1＝0}，且B⊆A，则实数a的取值可能为（）A．－3 B．－2C．0 D．3【答案】BCD【解析】由题知B⊆A，B＝{x|ax＋1＝0}，A＝.所以B＝，，，.当B＝时，此种情况不可能