人教版高中数学精讲精练必修一2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（精练）（含答案及解析）

2.3二次函数与一元二次方程、不等式（精练）1．（2023春·山东滨州）若不等式的解集为或，则（）A．， B．，C．， D．，2．（2023·高一课时练习）若，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．3．（2023·广东广州）若不等式的解集是的子集，则a的范围是（）A．[－4，3] B．[－4，2]C．[－1，3] D．[－2，2]4．（2023春·辽宁）关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．5（2022秋·河南周口·高一校考阶段练习）已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（

）A．4 B． C．2 D．16．（2022秋·江苏盐城·高一江苏省上冈高级中学校联考期中）已知不等式的解集为，则的值是（

）A．3 B．4 C．5 D．67．（2023春·福建泉州）“关于的不等式的解集为”的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．或8．（2023·全国·高一专题练习）若关于的不等式有解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．9．（2023·广东广州）已知关于的方程在区间内有实根，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．10．（2023春·浙江温州·）（多选）关于x的不等式的解集中恰有3个正整数解，则a的值可以为（

）A． B． C． D．211．（2023·河南郑州）（多选）已知关于的不等式解集为或，则下列结论正确的有（

）A．B．不等式的解集为C．D．不等式的解集为或12．（2023·河北唐山）（多选）已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是（

）A．B．C．D．关于x的不等式的解集为13．（2022秋·高一课时练习）（多选）某商场若将进货单价为元的商品按每件元出售，每天可销售件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高元，销售量就要减少件．那么要保证每天所赚的利润在元以上，每件销售价可能为（

）A．元 B．元 C．元 D．元14．（2023春·四川南充）（多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（

）A． B．的解集为C． D．的解集为15．（2022·江苏·高一专题练习）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．关于x的不等式的解集可以是B．关于x的不等式的解集可以是C．函数的图象与x轴正半轴可以有两个交点D．“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“”16．（2023·云南大理）不等式的解集为，则的取值范围是________.17．（2023·全国·高一假期作业）若不等式的解集为R，则实数的取值范围是________．18．（2023·高一单元测试）已知，当时，不等式恒成立，则实数m的范围为__________．19．（2023·海南）已知，若时，恒成立，则实数的取值范围为__．20（2023·河南）对恒成立，则实数的范围为________________.21．（2022秋·湖南衡阳·高一湖南省常宁市第一中学校考阶段练习）已知为实数，命题甲：关于的不等式的解集为；命题乙：关于的方程有两个不相等的负实数根．若甲、乙至少有一个为真命题，求实数的取值范围为_______．22．（2023·湖北）解下列关于的不等式．23．（2023·全国·高一专题练习）解下列关于的不等式．24．（2023春·湖北武汉）已知，解关于的不等式．25．（2023·上海虹口）已知，求解关于的不等式.26．（2023·河南南阳）已知不等式：.(1)若，求不等式解集；(2)若，求不等式解集.27．（2023秋·河北邯郸·高一统考期末）已知函数.(1)若，解不等式；(2)解关于的不等式.28．（2023春·江苏镇江）已知二次函数的图像过点和原点，对于任意，都有．(1)求函数的表达式；(2)设，若函数≥在上恒成立，求实数的最大值．29．（2022秋·浙江宁波·高一校考阶段练习）设．(1)当时，若两根一个比小，一个比大，求范围．(2)解关于的不等式．30．（2023·上海黄浦）已知关于的不等式的解集为．(1)若，求实数的取值范围；(2)若存在两个不相等的正实数，使得，求实数的取值范围．31．（2022秋·湖北十堰·高一校考阶段练习）已知函数.(1)当时，求解关于的不等式；(2)若方程有两个正实数根，求的最小值.32．（2023北京）已知关于x的方程．(1)当a为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1？(2)当a为何值时，方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3？(3)当a为何值时，方程的两个根都大于0？33．（2022·江苏·高一专题练习）已知二次函数.(1)若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式；(2)若关于x的方程的两个实根均大于且小于4，求实数t的取值范围．1．（2023·河北）已知对一切，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．2．（2022秋·高一校考单元测试）已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（

）A．2 B． C． D．3．（2023·全国·高一专题练习）（多选）已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（

）A．B．C．若不等式的解集为，则D．若不等式的解集为，且，则4．（2023·福建泉州）（多选）已知关于的不等式，下列结论正确的是（

）A．当时，不等式的解集为B．当时，不等式的解集可以表示为形式C．若不等式的解集恰为，则或D．若不等式的解集恰为，则5．（2022·高一课时练习）已知函数，，.(1)若关于的不等式的解集为或，求实数，的值；(2)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围；(3)若关于的不等式的解集中恰有个整数，求实数的取值范围．6．（2023·江苏扬州·高一统考阶段练习）已知二次函数（为实数）(1)若时，且对，恒成立，求实数的取值范围；(2)若时，且对，恒成立，求实数的取值范围；(3)对，时，恒成立，求的最小值．7．（2023·山东临沂）已知命题是假命题.(1)求实数的取值集合；(2)设不等式的解集为A，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.8．（2023·重庆璧山）已知函数．(1)问题：若关于x的方程______，求实数a的取值范围；从下面给出的①②③三个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并进行解答．①有两个不等正实根；②有两个相异负实根；③有1个正实根和1个负实根．（若选择多个方案分别解答，则按第一个解答记分．）(2)当时，解关于x的不等式；(3)当时，若关于x的不等式的解集中有且仅有2023个整数，求实数a的取值范围．9．（203·天津西青）设函数，(1)若不等式的解集为，求的值；(2)若，求不等式的解集．(3)若，，，求的最小值．10．（2022·湖南长沙）设二次函数，其中.(1)若，且关于的不等式的解集为，求的取值范围；(2)若，且均为奇数，求证：方程无整数根；(3)若，当方程有两个大于1的不等根时求的取值范围.11．（2023天津）已知函数，(1)恒成立，求实数的取值范围；(2)当时，求不等式的解集；(3)若使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值.

2.3二次函数与一元二次方程、不等式（精练）1．（2023春·山东滨州）若不等式的解集为或，则（）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】因为不等式的解集为或，所以和时，，即，，解得,,故选：D．2．（2023·高一课时练习）若，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于，所以,所以不等式的解集，故选：D3．（2023·广东广州）若不等式的解集是的子集，则a的范围是（）A．[－4，3] B．[－4，2]C．[－1，3] D．[－2，2]【答案】A【解析】原不等式可化为.当a＜1时，不等式的解集为[a，1]，此时只要即可，即；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a＞1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要即可，即.综上可得：.故选：A.4．（2023春·辽宁）关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为关于的不等式的解集为，所以，且，，所以，，所以化为，解得.故选：A.5（2022秋·河南周口·高一校考阶段练习）已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（

）A．4 B． C．2 D．1【答案】C【解析】由题意关于x的不等式的解集为，其中，可知，且为的两根，且，即，即，所以，当且仅当时取等号，故选:C.6．（2022秋·江苏盐城·高一江苏省上冈高级中学校联考期中）已知不等式的解集为，则的值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】由题可知：3和4是方程的两个实数根，由韦达定理可知：，解得：，则.故选：C7．（2023春·福建泉州）“关于的不等式的解集为”的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．或【答案】C【解析】因为不等式的解集为，所以应有，解得.选择的必要不充分条件的范围，应该大于包含的范围，显然只有C项满足.故选：C.8．（2023·全国·高一专题练习）若关于的不等式有解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】若关于的不等式有解,则，解得.故选：C.9．（2023·广东广州）已知关于的方程在区间内有实根，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为关于的方程在区间内有实根，所以在区间内有实根，令，，所以在上单调递减，所以，即，依题意与在内有交点，所以.故选：B10．（2023春·浙江温州·）（多选）关于x的不等式的解集中恰有3个正整数解，则a的值可以为（

）A． B． C． D．2【答案】CD【解析】不等式化简为的解集中恰有3个正整数，当时，不等式化为，则解集中有无数个整数.当时，不等式的解集中有无数个正整数，故A错误；所以，，，所以所以不等式的解集为：，根据0一定属于此集合，则由不等式的解集中恰有3个正整数，则这3个整数中一定为：，则，解得故可取和2，故C,D正确，AB错误；故选：CD.11．（2023·河南郑州）（多选）已知关于的不等式解集为或，则下列结论正确的有（

）A．B．不等式的解集为C．D．不等式的解集为或【答案】AD【解析】关于的不等式解集为或,结合二次函数和一元二次方程以及不等式的关系，可得，且是的两根，A正确；则，故，所以即，即的解集为，B错误；由于的不等式解集为或,故时，，即，C错误；由以上分析可知不等式即，因为，故或，故不等式的解集为或，D正确，故选：AD12．（2023·河北唐山）（多选）已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是（

）A．B．C．D．关于x的不等式的解集为【答案】BC【解析】由不等式的解集为，所以和1是方程的两个根，由根与系数的关系可得，解得，故A错误，B正确，，故C正确，不等式变为，解得，故D错误，故选：BC13．（2022秋·高一课时练习）（多选）某商场若将进货单价为元的商品按每件元出售，每天可销售件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高元，销售量就要减少件．那么要保证每天所赚的利润在元以上，每件销售价可能为（

）A．元 B．元 C．元 D．元【答案】AB【解析】设销售价定为每件x元，利润为y元，则，依题意有，即，解得，所以每件销售价应为12元到16元之间，故每件销售价可能为13元或15元，故选︰AB．14．（2023春·四川南充）（多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（

）A． B．的解集为C． D．的解集为【答案】ABD【解析】关于的不等式的解集为或，故，且，整理得到，，对选项A：，正确；对选项B：，即，解得，正确；对选项C：，错误；对选项D：，即，即，解得，正确.故选：ABD15．（2022·江苏·高一专题练习）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．关于x的不等式的解集可以是B．关于x的不等式的解集可以是C．函数的图象与x轴正半轴可以有两个交点D．“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“”【答案】BCD【解析】若不等式的解集是，则且，得，而当，时，不等式，即，得，与矛盾，故A错误；取，，此时不等式的解集为，故B正确；函数的图象与x轴正半轴可以有两个交点,即可以有2个正根，取，，则由，得或3，故C正确；若关于x的方程有一个正根和一个负根，则得，若，则，故关于x的方程有两个不等的实根，且，即关于x的方程有一个正根和一个负根．因此“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“”，故D正确．故选：BCD．16．（2023·云南大理）不等式的解集为，则的取值范围是________.【答案】【解析】∵不等式的解集为，∴恒成立.①当，即时，不等式化为，解得：，不是对任意恒成立，舍去；②当，即时，对任意，要使，只需且，解得：.综上，实数m的取值范围是.故答案为：17．（2023·全国·高一假期作业）若不等式的解集为R，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】①当，即时，，解得.②当，即时，若，则原不等式为，恒成立．若，则原不等式为，即，不符合题目要求，舍去．综上所述，当时，原不等式的解集为R.故答案为：.18．（2023·高一单元测试）已知，当时，不等式恒成立，则实数m的范围为__________．【答案】【解析】由题意可得对任意的恒成立，即对任意的恒成立.令，，，，则,所以,所以实数m的范围为.故答案为:.19．（2023·海南）已知，若时，恒成立，则实数的取值范围为__．【答案】【解析】开口向上，对称轴为，若时，恒成立，则有：当，即时，则，解得，不合题意；当，即时，则，解得；当，即时，则，解得；综上所述：的取值范围为．故答案为：．20（2023·河南）对恒成立，则实数的范围为________________.【答案】【解析】对恒成立．①当时，可得.若，则有，合乎题意；若，则有，解得，不合乎题意；②若，则，解得综上，实数的范围为.21．（2022秋·湖南衡阳·高一湖南省常宁市第一中学校考阶段练习）已知为实数，命题甲：关于的不等式的解集为；命题乙：关于的方程有两个不相等的负实数根．若甲、乙至少有一个为真命题，求实数的取值范围为_______．【答案】【解析】由命题甲：关于的不等式的解集为，当时，不等式恒成立；当时，则满足，解得，综上可得．由命题乙：关于的方程有两个不相等的负实数根，则满足，整理得，所以，解得．所以甲、乙至少有一个为真命题时，有或，可得，即实数的取值范围为．故答案为：．22．（2023·湖北）解下列关于的不等式．【答案】答案见解析【解析】由对应函数开口向上，且，当，即时，恒成立，原不等式解集为；当，即或时，由，可得，所以原不等式解集为；综上，解集为；或解集为.23．（2023·全国·高一专题练习）解下列关于的不等式．【答案】见解析【解析】方程：且解得方程两根：；当时，原不等式的解集为：当时，原不等式的解集为：综上所述,当时，原不等式的解集为：当时，原不等式的解集为：24．（2023春·湖北武汉）已知，解关于的不等式．【答案】答案见解析【解析】当时，不等式为，解得；当时，不等式化为，当时，不等式为，解得；当时，不等式为，若，不等式为，解得；若，解得或；，解得或.综上所述，当时，原不等式的解集是；当时，原不等式的解集是；当时，原不等式的解集是或；当时，原不等式的解集是或．25．（2023·上海虹口）已知，求解关于的不等式.【答案】答案见解析【解析】，（1）当时，即解得（2）当时，解得（3）当时①当时，即解得②当时，或③当时，或综上所述：当时，原不等式的解集为当时，原不等式的解集为当时，原不等式的解集为当时，原不等式的解集为当时，原不等式的解集为26．（2023·河南南阳）已知不等式：.(1)若，求不等式解集；(2)若，求不等式解集.【答案】(1)或(2)答案见解析【解析】（1），，当时，解得或.所以不等式的解集为或.（2），，当时，由（1）得不等式的解集为或.当时，不等式的解集为.当时，不等式的解集为或.27．（2023秋·河北邯郸·高一统考期末）已知函数.(1)若，解不等式；(2)解关于的不等式.【答案】(1)或(2)答案见解析【解析】（1）当时，，所以由得，解得或，故的解集为或.（2）由得，当时，不等式化为，解得，故不等式的解集为；令，解得或，当，即时，不等式解得或，故不等式的解集为或；当，即时，不等式化为，解得，故不等式的解集为；当，即时，不等式解得或，故不等式的解集为或；当，即时，不等式解得，故不等式的解集为；综上：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；28．（2023春·江苏镇江）已知二次函数的图像过点和原点，对于任意，都有．(1)求函数的表达式；(2)设，若函数≥在上恒成立，求实数的最大值．【答案】(1)(2)【解析】（1）由题意得，所以，因为对于任意，都有，即恒成立，故，解得，.

所以；（2）由≥得当时，不等式恒成立；当时，，

令，则，

即，当且仅当时，即时，实数取得最大值.29．（2022秋·浙江宁波·高一校考阶段练习）设．(1)当时，若两根一个比小，一个比大，求范围．(2)解关于的不等式．【答案】(1)(2)答案见解析【解析】（1）解：对于函数，当时，有两根一个比小，一个比大，所以，即，解得；（2）解：不等式，即，当时，原不等式即，解得，所以不等式的解集为；当时，即，解得，所以不等式的解集为；若，不等式即，当时，不等式化为，解得，所以不等式的解集为；当时，，不等式化为，解得或，所以不等式的解集为或；当时，，不等式化为，解得或，所以不等式的解集为或．综上可得，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为或．30．（2023·上海黄浦）已知关于的不等式的解集为．(1)若，求实数的取值范围；(2)若存在两个不相等的正实数，使得，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】（1）当时，或，当时，不等式化为，解集不是空集，舍去；当时，不等式化为，此时解集为空集；当且时，要使，则需满足，解得．综上可得，实数的取值范围是．（2）要存在两个不相等的正实数，使得，则且方程的两个相异正根为a，b，则，解得，即实数的取值范围是．31．（2022秋·湖北十堰·高一校考阶段练习）已知函数.(1)当时，求解关于的不等式；(2)若方程有两个正实数根，求的最小值.【答案】(1)；(2)6【解析】（1）当时,不等式即为，解得或，故不等式解集为；（2）方程有两个正实数根，即有两个正实数根，故，解得；所以，令，则，故，当且仅当即时取得等号，故的最小值为6.32．（2023北京）已知关于x的方程．(1)当a为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1？(2)当a为何值时，方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3？(3)当a为何值时，方程的两个根都大于0？【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）二次函数的图象是开口向上的抛物线，故方程的一个根大于1，另一个根小于1，则，解得，所以a的取值范围是．（2）方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3，作满足题意的二次函数的大致图象，由图知，，解得．所以a的取值范围是．（3）方程的两个根都大于0，则，解得，所以a的取值范围是．33．（2022·江苏·高一专题练习）已知二次函数.(1)若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式；(2)若关于x的方程的两个实根均大于且小于4，求实数t的取值范围．【答案】(1)或(2)【解析】（1）设二次函数的两个零点分别为，，由已知得，而，所以，故，不等式即，解得或，故不等式的解集为或.（2）因为方程的两个实根均大于且小于4，所以，即，解得：，即实数t的取值范围为.1．（2023·河北）已知对一切，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】∵，，则，∴，又∵，且，可得，令，则原题意等价于对一切，恒成立，∵的开口向下，对称轴，则当时，取到最大值，故实数的取值范围是.故选：C.2．（2022秋·高一校考单元测试）已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（

）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】设（），（），因为，所以当时，；当时，；当时，；由不等式恒成立，得：或，即当时，恒成立，当时，恒成立，所以当时，，则，即，则当时，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选：B.3．（2023·全国·高一专题练习）（多选）已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（

）A．B．C．若不等式的解集为，则D．若不等式的解集为，且，则【答案】AD【解析】由于集合有且仅有两个子集，所以，即，由于，所以.，当时等号成立，故A正确，B错误.C，不等式的解集为，所以，故C错误.D，不等式的解集为，即不等式的解集为，且，则，则，所以，故D正确.故选：AD4．（2023·福建泉州）（多选）已知关于的不等式，下列结论正确的是（

）A．当时，不等式的解集为B．当时，不等式的解集可以表示为形式C．若不等式的解集恰为，则或D．若不等式的解集恰为，则【答案】AD【解析】A选项，若有解，即有解，则有，，所以，.这与已知不相符，所以不等式无解，解集为；B选项，作出的图象以及y=a，y=b的图象.由图可知，此时不等式的解集应由两部分组成；C，D选项：因为不等式的解集恰为，即可以转化为二次函数在上的取值是.则必有，即，解得，或.又因为在R上的最小值为，则应有且.当时，有.即，解得，或，与不相符，舍去；当时，有.即，解得，a=0或a=4（舍去）.所以，a=0,b=4.故选：AD.5．（2022·高一课时练习）已知函数，，.(1)若关于的不等式的解集为或，求实数，的值；(2)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围；(3)若关于的不等式的解集中恰有个整数，求实数的取值范围．【答案】(1)，(2)(3)【解析】（1）∵关于的不等式的解集为或，∴方程的两根为，，∴，∴解得，.（2）令，若关于的不等式在上有解，则在上有解，∴只需使在区间上的最小值.图象是开口向上，对称轴为的抛物线，∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，①当，即时，在区间上单调递增，∴，解得，此时，；②当，即时，在区间上单调递减，∴，解得，此时，；③当，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，∴，解得或，此时，；综上所述，实数的取值范围是.（3）令若关于的不等式的解集中恰有个整数，则的解集中恰有个整数，，①当，即时，解集为，不合题意；②当，即时，解集为，若解集中恰有个整数，则这个整数为，，，∴，解得，∴此时；③当，即时，解集为，若解集中恰有个整数，则这个整数为，，，∴，解得，∴此时；综上所述，实数的取值范围是.6．（2023·江苏扬州·高一统考阶段练习）已知二次函数（为实数）(1)若时，且对，恒成立，求实数的取值范围；(2)若时，且对，恒成立，求实数的取值范围；(3)对，时，恒成立，求的最小值．【答案】(1)(2)(3)1【解析】（1）时，，即，，恒成立，即恒成立，恒成立，，对恒成立，．令，则，则，当且仅当，即，此时时取，所以实数的取值范围时．（2）时，，即，，恒成立，即对恒成立，对恒成立．，，所以实数的取值范围是．（3）对，时，恒成立，，则．，当且仅当且，即时取等号，所以最小值是．7．（2023·山东临沂）已知命题是假命题.(1)求实数的取值集合；(2)设不等式的解集为A，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】（1）因为命题是假命题，所以命题是真命题，所以在上恒成立，令，则开口向上，对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增，又，，所以，所以，即，故.（2）因为是的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集，又，因为对应的方程的根为或，当，即时，由得，则，所以，则，故；当，即时，由得，显然，即，满足题意；当，即时，由得，则，所以，则，故；综上：，即.8．（2023·重庆璧山）已知函数．(1)问题：若关于x的方程______，求实数a的取值范围；从下面给出的①②③三个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并进行解答．①有两个不等正实根；②有两个相异负实根；③有1个正实根和1个负实根．（若选择多个方案分别解答，则按第一个解答记分．）(2)当时，解关于x的不等式；(3)当时，若关于x的不等式的解集中有且仅有2023个整数，求实数a的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析(3)