人教版高中数学精讲精练必修一3.2.2 函数的奇偶性（精练）（含答案及解析）

3.2.2函数的奇偶性（精练）1．（2023·高一课时练习）下列函数中，是奇函数的是（

）A． B． C． D．2．（2023·高一课时练习）下列关于奇函数与偶函数的叙述中：①奇函数的图象必通过原点；②偶函数的图象必与y轴相交；③奇函数或偶函数的定义域必关于原点对称；④既是奇函数又是偶函数的函数必是.其中正确命题的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．33．（2023·高一课时练习）已知，则等于（

）A．8 B． C． D．104（2023·河北）已知为偶函数，当时，，则当时，（

）A． B． C． D．5．（2022秋·河南）已知是定义在R上的奇函数，当时则在R上的表达式是（

）A． B．C． D．6．（2023·浙江）已知是上的偶函数，当时，，则（

）A．1.4 B．3.4 C．1.6 D．3.67．（2022秋·江西赣州·高一统考期中）函数且，则（

）A． B． C．0 D．28．（2023北京）已知是定义在上的周期为3的偶函数，若，，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．9．（2023·浙江杭州·高一杭州市长河高级中学校考期末）已知函数关于对称，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．10．（2022秋·安徽马鞍山）若定义在上的函数为奇函数，且在上单调递增，，则的解集为（

）A． B．C． D．11．（2022秋·江西抚州）下列四个函数中是偶函数，且在上单调递减的是（

）A． B．C． D．12．（2023·浙江）（多选）已知定义域为的函数满足：，，且，则下列结论成立的是（

）A． B．为偶函数 C．为奇函数 D．12．（2022秋·江西赣州·高一统考期中）（多选）定义在上的函数满足，且是单调函数，，则（

）A． B．C． D．13．（2023秋·浙江衢州·高一统考期末）（多选）已知定义在上的非常数函数满足，则（

）A． B．为奇函数 C．是增函数 D．是周期函数14．（2023春·云南普洱·高一校考阶段练习）（多选）设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（

）A．是偶函数 B．是偶函数C．是偶函数 D．是偶函数15．（2023春·云南普洱·高一校考阶段练习）（多选）下列函数中，既是偶函数又是在区间上单调递增的函数为（

）A． B． C． D．16．（2023·新疆）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的解析式为_________．17．（2023·高一课时练习）己知偶函数的定义域为，且在上是增函数，若，则不等式的解集是__________．18．（2022秋·贵州毕节·高一统考期末）设函数，的最大值为，最小值为，则__________．19．（2022秋·高一单元测试）若定义在R上的函数满足：对任意，有，则下列说法中：①为奇函数；②为偶函数；③为奇函数；④为偶函数.一定正确的是_________________.20．（2022春·北京·高一校考期中）已知函数是定义在上的偶函数，，当时，，则不等式的解集是______.21．（2023·江苏苏州）已知偶函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为__________.22．（2022秋·广东佛山）若函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，函数的解析式为_________；若函数是定义在上的偶函数，且在上为增函数．则不等式的解集为_________23．（2022秋·广东肇庆）已知函数是定义在上的函数．(1)判断并证明函数的奇偶性；(2)判断函数的单调性，并用定义法证明；24．（2022春·海南省直辖县级单位·高一海南二中校考开学考试）已知函数．(1)判断的奇偶性并证明；(2)当时，判断的单调性并证明；(3)在(2)的条件下，若实数满足，求的取值范围.25．（2023山东）已知是定义在R上的偶函数，当时，.(1)求的解析式；(2)画出的图象；(3)求该函数的值域．26．（2023·高一课时练习）若函数对任意，恒有成立，且．(1)求证：是奇函数；(2)求的值；(3)若时，，试求在上的最大值和最小值．27．（2023春·湖北宜昌·高一校考阶段练习）已知函数．(1)若，判断的奇偶性（不用证明）．(2)当时，先用定义法证明函数在上单调递增，再求函数在上的最小值．(3)若对任意，恒成立，求实数a的取值范围．28．（2023秋·浙江杭州·高一杭十四中校考期末）已知函数是定义在R上的偶函数.(1)求实数m的值；(2)利用定义证明在上的单调性；(3)若，求实数a的取值范围.29．（2022秋·云南西双版纳·高一西双版纳州第一中学校考期中）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有.(1)求，的值；(2)判断的单调性（不需要写证明过程）；(3)若对，都有恒成立，求实数的取值范围.1．（2023四川省达州）是定义域为R的奇函数，，，则（

）A．3 B． C．6 D．02．（2023春·海南省直辖县级单位·高一嘉积中学校考期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，则（

）A． B．2 C．0 D．53．（2022春·安徽滁州·高一统考期末）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（

）A． B． C．0 D．14．（2023春·湖北·高一荆州中学校联考期中）设是定义在上的奇函数，对任意的满足且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．5．（2023春·黑龙江大庆·高一大庆实验中学校考阶段练习）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（

）A． B． C． D．6．（2023·云南·校联考模拟预测）（多选）已知，都是定义在上且不恒为0的函数，则（

）A．为偶函数B．为奇函数C．若为奇函数，为偶函数，则为奇函数D．若为奇函数，为偶函数，则为非奇非偶函数7．（2023春·浙江杭州·高一浙江大学附属中学期中）（多选）已知是定义在R上的奇函数，且为偶函数，当时，，下列结论正确的有（

）A．函数的周期是4 B．直线是函数的一条对称轴C．在上单调递减 D．8．（2022秋·安徽合肥·高一统考期末）已知函数，其中m为常数.(1)若函数是奇函数，求m的值；(2)判断函数的单调性并证明；(3)在（1）的条件下，对于任意，不等式恒成立，求实数n的取值范围.9．（2023·江苏苏州·高一统考期中）若函数在时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“倒域区间”.已知定义在上的奇函数，当时，.(1)求的解析式；(2)求函数在内的“倒域区间”；(3)求函数在定义域内的所有“倒域区间”.10．（2023秋·广东揭阳）已知是定义在上的奇函数，其中、，且.(1)求、的值；(2)判断在上的单调性，并用单调性的定义证明；(3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围.11．（2023春·辽宁鞍山·高一校联考阶段练习）已知函数对于任意实数恒有，且当时，，又．(1)判断的奇偶性并证明；(2)求在区间的最小值；(3)解关于的不等式：．

3.2.2函数的奇偶性（精练）1．（2023·高一课时练习）下列函数中，是奇函数的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】对于A，的定义域为R，，函数是奇函数，A是；对于B，的定义域为R，，函数不是奇函数，B不是；对于C，的定义域为R，，函数不是奇函数，C不是；对于D，的定义域为R，，函数不是奇函数，D不是.故选：A2．（2023·高一课时练习）下列关于奇函数与偶函数的叙述中：①奇函数的图象必通过原点；②偶函数的图象必与y轴相交；③奇函数或偶函数的定义域必关于原点对称；④既是奇函数又是偶函数的函数必是.其中正确命题的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】奇函数的图象关于原点对称，但不一定过原点，如，故①错；偶函数的图象关于y轴对称，但不一定与轴相交，如，故②错；根据奇函数或偶函数的定义，其定义域必关于原点对称，故③对；既是奇函数又是偶函数的函数不一定是，如，故④错；故选：B3．（2023·高一课时练习）已知，则等于（

）A．8 B． C． D．10【答案】C【【解析】函数的定义域为R，令函数，显然，即函数是R上的奇函数，因此，即，而，所以.故选：C4（2023·河北）已知为偶函数，当时，，则当时，（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，，则，又因为是偶函数，所以.故选：B.5．（2022秋·河南）已知是定义在R上的奇函数，当时则在R上的表达式是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】当时，，所以，则，结合已知解析式知：.故选：D6．（2023·浙江）已知是上的偶函数，当时，，则（

）A．1.4 B．3.4 C．1.6 D．3.6【答案】C【解析】因为是上的偶函数，所以，所以关于对称，当时，，所以.故选：C.7．（2022秋·江西赣州·高一统考期中）函数且，则（

）A． B． C．0 D．2【答案】A【解析】由，令，则，，故是奇函数，所以，所以．故选:A．8．（2023北京）已知是定义在上的周期为3的偶函数，若，，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由是定义在上的周期为3的偶函数，则，即，解得，所以实数的取值范围是.故选：A.9．（2023·浙江杭州·高一杭州市长河高级中学校考期末）已知函数关于对称，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为函数关于对称，所以函数的图象关于对称，即函数为偶函数，所以，所以，因为当时，恒成立，所以函数在上单调递增，又，所以，所以，故选：A.10．（2022秋·安徽马鞍山）若定义在上的函数为奇函数，且在上单调递增，，则的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为为的奇函数，又，在上单调递增，所以，函数在上单调递增，由，可得，或，或，由，，可得；由，，可得；所以的解集为.故选：D.11．（2022秋·江西抚州）下列四个函数中是偶函数，且在上单调递减的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于A，是偶函数，当时是增函数；对于B，是偶函数，当时是增函数；对于C，，不是偶函数；对于D，设，则，，当时，，，是偶函数，当时，，是对称轴，开口向上的抛物线，是减函数；故选：D.12．（2023·浙江）（多选）已知定义域为的函数满足：，，且，则下列结论成立的是（

）A． B．为偶函数 C．为奇函数 D．【答案】ABD【解析】因为，，取可得，又，所以，A对；取可得，因为，所以，所以为偶函数，C错，B对；取可得，又，所以，D对．故选：ABD12．（2022秋·江西赣州·高一统考期中）（多选）定义在上的函数满足，且是单调函数，，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】因为定义在上的函数满足，所以是奇函数，从而，所以A正确；因为是单调函数，且，所以是上的单调递增函数，故，所以B正确；取，则满足题干的所有条件，此时，所以C错误；由于，且是上的单调递增函数，故，所以D正确.故选：ABD.13．（2023秋·浙江衢州·高一统考期末）（多选）已知定义在上的非常数函数满足，则（

）A． B．为奇函数 C．是增函数 D．是周期函数【答案】AB【解析】对于A项，令得：，解得：，故A项正确；对于B项，令得：，由A项知，，所以，所以为奇函数，故B项正确；对于C项，当时，，，满足，但是减函数.故C项错误；对于D项，当时，，，满足，但不是周期函数.故D项错误.故选：AB.14．（2023春·云南普洱·高一校考阶段练习）（多选）设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（

）A．是偶函数 B．是偶函数C．是偶函数 D．是偶函数【答案】ABD【解析】因为满足，所以是偶函数；因为满足，所以是偶函数，因为满足，所以是奇函数；因为满足，所以是偶函数；故选：ABD．15．（2023春·云南普洱·高一校考阶段练习）（多选）下列函数中，既是偶函数又是在区间上单调递增的函数为（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】是偶函数，在区间上单调递增，故A满足；是奇函数，故B不满足；是偶函数，但在区间上单调递减，故C不满足；是偶函数，在区间上单调递增，故D满足，故选：AD16．（2023·新疆）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的解析式为_________．【答案】【解析】由于函数是上的奇函数，则.当时，，设，则，则，所以.综上所述，.故答案为：17．（2023·高一课时练习）己知偶函数的定义域为，且在上是增函数，若，则不等式的解集是__________．【答案】【解析】因为是偶函数，且在上是增函数，所以在上是减函数，又，所以，当时，不等式即为，解得；当时，不等式即为，解得，此时，故答案为：，18．（2022秋·贵州毕节·高一统考期末）设函数，的最大值为，最小值为，则__________．【答案】4【解析】的定义域是，，所以为奇函数，设的最大值为，则最小值为，所以，所以．故答案为：19．（2022秋·高一单元测试）若定义在R上的函数满足：对任意，有，则下列说法中：①为奇函数；②为偶函数；③为奇函数；④为偶函数.一定正确的是_________________.【答案】③【解析】对任意，有，令，得，令，，得，整理得，故为奇函数，无法判断的奇偶性.故答案为：③.20．（2022春·北京·高一校考期中）已知函数是定义在上的偶函数，，当时，，则不等式的解集是______.【答案】【解析】函数是定义在上的偶函数，，解得.又，当时，，函数在上单调递减，，，解得，故答案为：.21．（2023·江苏苏州）已知偶函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为__________.【答案】【解析】由题知：在区间上单调递减，在上单调递增，且，当时，，，，符合题意，当时，，，，不符合题意，当时，，，，符合题意，当时，，，，不符合题意，综上的解集为故答案为：22．（2022秋·广东佛山）若函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，函数的解析式为_________；若函数是定义在上的偶函数，且在上为增函数．则不等式的解集为_________【答案】【解析】令，即，则；由题意可得：.故答案为：；23．（2022秋·广东肇庆）已知函数是定义在上的函数．(1)判断并证明函数的奇偶性；(2)判断函数的单调性，并用定义法证明；【答案】(1)奇函数，证明见解析(2)f（x）在（－1，1）上为单调递增函数，证明见解析【解析】（1）函数f（x）为奇函数证明如下：函数f（x）的定义域为，.所以函数f（x）为奇函数.（2）f（x）在上为单调递增函数证明如下：设－1＜x1＜x2＜1，则.因为－1＜x1＜x2＜1，，所以，则.故f（x）在上为单调递增函数.24．（2022春·海南省直辖县级单位·高一海南二中校考开学考试）已知函数．(1)判断的奇偶性并证明；(2)当时，判断的单调性并证明；(3)在(2)的条件下，若实数满足，求的取值范围.【答案】(1)奇函数，证明见解析；(2)单调递增，证明见解析；(3)．【解析】（1）是奇函数，证明如下：∵f(x)的定义域关于原点对称，且，∴函数是奇函数；（2）f(x)在上单调递增，证明如下：任取，且，则，∵，∴，∴，即，∴f(x)在上单调递增；（3）由(2)知函数在上单调递增，由，得，解之得，∴实数的取值范围是．25．（2023山东）已知是定义在R上的偶函数，当时，.(1)求的解析式；(2)画出的图象；(3)求该函数的值域．【答案】(1)(2)图象见解析(3)【解析】（1）当时，，故，因为是定义在R上的偶函数，所以，所以，综上，；（2）当时，，故此时函数在上单调递减，在上单调递增，又因为为偶函数，故在上单调递减，在上单调递增，且，，画出函数图象如下：（3）由（2）可知看出函数的值域为.26．（2023·高一课时练习）若函数对任意，恒有成立，且．(1)求证：是奇函数；(2)求的值；(3)若时，，试求在上的最大值和最小值．【答案】(1)证明见解析(2)，(3)最大值为2，最小值为【解析】（1）定义域为，令，得，再令，得，所以，故是奇函数；（2）因为，故令得，即，又是奇函数，所以，令得，令得故；（3）不妨设，中，令得，，因为，又时，，所以，即，所以在R上单调递减，故．27．（2023春·湖北宜昌·高一校考阶段练习）已知函数．(1)若，判断的奇偶性（不用证明）．(2)当时，先用定义法证明函数在上单调递增，再求函数在上的最小值．(3)若对任意，恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)奇函数(2)证明见解析，最小值为(3)【解析】（1）为奇函数．理由如下：，函数的定义域为，关于原点对称，，所以是奇函数．（2）当时，，，且，所以，因为，所以，，，所以，即，于是有，所以函数在上单调递增，所以函数在上的最小值为．（3）若对任意，恒成立，则所以问题转化为a大于函数在上的最大值，，，由二次函数函数的性质知，开口向下，对称轴为，所以函数在上单调递减，所以最大值为，即.所以实数a的取值范围是．28．（2023秋·浙江杭州·高一杭十四中校考期末）已知函数是定义在R上的偶函数.(1)求实数m的值；(2)利用定义证明在上的单调性；(3)若，求实数a的取值范围.【答案】(1)-1.(2)证明见解析.(3).【解析】（1）因为函数是定义在R上的偶函数，，.（2）由（1）可知，设，，，，，，，在上的单调递增.（3）,,又因为函数是定义在R上的偶函数，在上的单调递增.，当，当，求实数a的取值范围是.29．（2022秋·云南西双版纳·高一西双版纳州第一中学校考期中）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有.(1)求，的值；(2)判断的单调性（不需要写证明过程）；(3)若对，都有恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)，(2)函数在为单调递增函数(3)【解析】1）函数是定义在上的奇函数∴，即∴.

又因为，即，所以，经检验得符合题意.综上所述，.（2）由（1）知，，，所以，由对勾函数的性质知，在上单调递减，所以在上单调递增，又因为函数是定义在上的奇函数所以函数在为单调递增函数.（3）由（1）可知，，则因为当时，有，函数是定义在上的奇函数所以，

所以，综上所述，，由（2）知，函数在区间上单调递增，所以，由于对恒成立，则，，即，于是有，解得或，因此，实数的取值范围是.1．（2023四川省达州）是定义域为R的奇函数，，，则（

）A．3 B． C．6 D．0【答案】B【解析】由知，函数是以4为周期的周期函数，又是奇函数，，所以.故选：B2．（2023春·海南省直辖县级单位·高一嘉积中学校考期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，则（

）A． B．2 C．0 D．5【答案】D【解析】因为是定义在上的奇函数，所以，因为，所以，所以，所以的周期为6，所以，故选：D3．（2022春·安徽滁州·高一统考期末）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【解析】因为函数是定义在上的奇函数，则，若函数满足，则有，则有，可得，则函数是周期为8的周期函数，所以，因为，所以，因为当时，，所以，即.故选：A.4．（2023春·湖北·高一荆州中学校联考期中）设是定义在上的奇函数，对任意的满足且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】不妨设，且，因为，所以，不等式两边同除以得，，即，令，则，所以在上单调递减，定义域为，又是定义在上的奇函数，故，所以为偶函数，故在上单调递增，因为，所以，当时，变形得到，即，解得，所以解集为，当时，变形得到，即，解得，所以解集为，所以不等式的解集为.故选：D5．（2023春·黑龙江大庆·高一大庆实验中学校考阶段练习）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为为奇函数，所以有，因为为偶函数，所以有，，所以函数的周期为，由，由，由，，，故选：A6．（2023·云南·校联考模拟预测）（多选）已知，都是定义在上且不恒为0的函数，则（

）A．为偶函数B．为奇函数C．若为奇函数，为偶函数，则为奇函数D．若为奇函数，为偶函数，则为非奇非偶函数【答案】AD【解析】选项A：设，因为是定义在上的函数，所以的定义域为，，所以为偶函数，故A正确；选项B：，因为是定义在上的函数，所以的定义域为，，所以为偶函数，故B错误；选项C：设，因为，都是定义在上的函数，所以的定义域为，因为为奇函数，为偶函数，所以，所以为偶函数，故C错误；选项D：设，因为，都是定义在上的函数，所以的定义域为，，因为是不恒为0的函数，所以不恒成立，所以不是奇函数，，因为是不恒为0的函数，所以不恒成立，所以不是偶函数，所以是非奇非偶函数，故D正确，故选：AD.7．（2023春·浙江杭州·高一浙江大学附属中学期中）（多选）已知是定义在R上的奇函数，且为偶函数，当时，，下列结论正确的有（

）A．函数的周期是4 B．直线是函数的一条对称轴C．在上单调递减 D．【答案】ABD【解析】对于A，因为函数为偶函数，所以，即的图象关于直线对称，因为为奇函数，所以，则，所以，所以是周期为4的函数，故A正确；因为关于直线对称，且为奇函数，所以关于直线对称，又是周期为4的函数，所以关于直线对称，因为，所以直线是函数的一条对称轴，故B正确；由是定义在上的奇函数，所以，当时，，可得当时，，令，则，所以，此时单调递增，因为，所以在上的单调性相当于在上的单调性，故此时递增，故C错误；，所以，故D正确.故选：ABD.8．（2022秋·安徽合肥·高一统考期末）已知函数，其中m为常数.(1)若函数是奇函数，求m的值；(2)判断函数的单调性并证明；(3)在（1）的条件下，对于任意，不等式恒成立，求实数n的取值范围.【答案】(1)(2)证明见解析(3)【解析】（1）函数，定义域为R，若函数是奇函数，，，，解得.（2）在R上单调递减，证明如下，任取，则，由，有，，，所以，即，故在R上单调递减；（3）由（1）（2）可知，函数是奇函数且在R上单调递减，，即，得，即，令，则，当，即时，在上单调递增，，解得，所以；当，即时，，解得当，即时，在上单调递减，，解得与矛盾，所以无解；综上，实数n的取值范围为.9．（2023·江苏苏州·高一统考期中）若函数在时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“倒域区间”.已知定义在上的奇函数，当时，.(1)求的解析式；(2)求函数在内的“倒域区间”；(3)求函数在定义域内的所有“倒域区间”.【答案】(1)(2)(3)和【解析】（1）解：当时，则，由奇函数的定义可得，所以，.（2）解：设，因为