人教版高中数学精讲精练必修一1.5 全称量词与存在量词（精讲）（含答案及解析）

1.5全称量词与存在量词（精讲）一．全称量词与全称量词命题全称量词定义短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词符号表示∀全称量词命题定义含有全称量词的命题，叫做全称量词命题一般形式对M中任意一个x，p(x)成立(说明：M表示变量x的取值范围)符号表示∀x∈M，p(x)二．存在量词与存在量词命题定义短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词存在量词符号表示∃存在量词命题定义含有存在量词的命题，叫做存在量词命题一般形式存在M中的元素x，p(x)成立(说明：M表示变量x的取值范围)符号表示∃x∈M，p(x)三．含量词的命题的否定命题类型全称量词命题存在量词命题形式∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)否定形式∃x∈M，∀x∈M，结论全称量词命题的否定是存在量词命题；存在量词命题的否定是全称量词命题一．判断全称量词命题、存在量词命题真假的思路否定一个含有量词的命题的三点注意(1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题否定的关键；(2)注意命题的否定与否命题的区别；(3)当命题否定的真假不易判断时，可以转化为去判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真．二．求解含有量词的命题中参数范围1.对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a>ymax(或a<ymin)．2.对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a>ymin(或a<ymax)．三．常见正面词语的否定正面词语等于大于(>)小于(<)是都是否定不等于不大于(≤)不小于(≥)不是不都是正面词语至少有一个至多有一个任意的所有的至多有n个否定一个也没有至少有两个某个某些至少有n＋1个考点一全称量词与存在量词【例1-1】（2023·河南平顶山）下列语句不是存在量词命题的是（

）A．至少有一个x，使成立 B．有的无理数的平方不是有理数C．存在，是偶数 D．梯形有两边平行【例1-2】（2023·四川乐山）下列命题中，不是全称量词命题的是（）A．任何一个实数乘以0都等于0 B．自然数都是正整数C．实数都可以写成小数形式 D．存在奇数不是素数【一隅三反】1．（2023·广西）下列命题中，含有存在量词的是（

）A．存在一个平行四边形是矩形 B．所有正方形都是平行四边形C．一切三角形的内角和都等于 D．任意两个等边三角形都相似2．（2023·江苏南京）已知命题：①任何实数的平方都是非负数；②有些三角形的三个内角都是锐角；③每一个实数都有相反数；④所有数与0相乘，都等于0.其中，其中含存在量词的命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（2023·北京）下列命题中是存在量词命题的是（

）A．平行四边形的对边相等 B．同位角相等C．任何实数都存在相反数 D．存在实数没有倒数考点二全称量词命题与存在量词命题的真假【例2-1】（2022湖南）下列命题中是真命题的为（

）A．，使B．，使C．，D．，【例2-2】（2023·山东）已知命题；命题，则下列说法正确的是（

）A．为存在量词命题且为假命题，为全称量词命题且为假命题B．为全称量词命题且为假命题，为存在量词命题且为假命题C．为存在量词命题且为真命题，为全称量词命题且为假命题D．为全称量词命题且为真命题，为存在量词命题且为真命题【一隅三反】1．（2023·辽宁）关于命题“，”，下列判断正确的是（

）A．该命题是全称量词命题，且是真命题 B．该命题是存在量词命题，且是真命题C．该命题是全称量词命题，且是假命题 D．该命题是存在量词命题，且是假命题2．（2023·黑龙江）下列四个命题中，既是存在量词命题又是真命题的是（

）A．锐角三角形的内角都是锐角B．至少有一个实数x，使C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使3．（2023·河北·模拟预测）命题：，，命题：，，则（

）A．真真 B．假假 C．假真 D．真假考点三命题的否定【例3-1】（2023春·河南）命题“”的否定是（

）A． B．C． D．【例3-2】（2023春·陕西商洛）命题，则是（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023春·辽宁）若命题：，，则命题的否定为（

）A．， B．，C．， D．，2．（2023·广西河池）命题“”的否定是（

）A． B．C． D．3．（2022秋·广西柳州）已知命题的否定为“，”，则下列说法中正确的是（

）A．命题为“，”且为真命题B．命题为“，”且为假命题C．命题为“，”且为假命题D．命题为“，”且为真命题考点四根据命题真假求参数【例4-1】（2023春·四川宜宾）已知命题p：为真命题，则实数a的值不能是（

）A．1 B．2 C．3 D．【例4-2】（2022秋·福建龙岩）已知命题：，，若是真命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【例4-3】（2023·山西晋城）已知命题，，若命题p是假命题，则a的取值范围为（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023河北）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（

）A． B．C． D．2．（2023·重庆北碚）已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（

）A．或 B．C．或 D．3．（2023河南）命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为_____．4．（2023·福建厦门）命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（

）A． B．C． D．

1.5全称量词与存在量词（精讲）一．全称量词与全称量词命题全称量词定义短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词符号表示∀全称量词命题定义含有全称量词的命题，叫做全称量词命题一般形式对M中任意一个x，p(x)成立(说明：M表示变量x的取值范围)符号表示∀x∈M，p(x)二．存在量词与存在量词命题定义短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词存在量词符号表示∃存在量词命题定义含有存在量词的命题，叫做存在量词命题一般形式存在M中的元素x，p(x)成立(说明：M表示变量x的取值范围)符号表示∃x∈M，p(x)三．含量词的命题的否定命题类型全称量词命题存在量词命题形式∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)否定形式∃x∈M，∀x∈M，结论全称量词命题的否定是存在量词命题；存在量词命题的否定是全称量词命题一．判断全称量词命题、存在量词命题真假的思路否定一个含有量词的命题的三点注意(1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题否定的关键；(2)注意命题的否定与否命题的区别；(3)当命题否定的真假不易判断时，可以转化为去判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真．二．求解含有量词的命题中参数范围1.对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a>ymax(或a<ymin)．2.对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a>ymin(或a<ymax)．三．常见正面词语的否定正面词语等于大于(>)小于(<)是都是否定不等于不大于(≤)不小于(≥)不是不都是正面词语至少有一个至多有一个任意的所有的至多有n个否定一个也没有至少有两个某个某些至少有n＋1个考点一全称量词与存在量词【例1-1】（2023·河南平顶山）下列语句不是存在量词命题的是（

）A．至少有一个x，使成立 B．有的无理数的平方不是有理数C．存在，是偶数 D．梯形有两边平行【答案】D【解析】对于A，至少有一个x，使成立，有存在量词“至少有一个”，是存在量词命题；对于B，有的无理数的平方不是有理数，有存在量词“有的”，是存在量词命题；对于C，存在，是偶数，有存在量词“存在”，是存在量词命题；对于D，梯形有两边平行，为梯形几何性质，省略了全称量词“所有”，是全称量词命题．故选：D.【例1-2】（2023·四川乐山）下列命题中，不是全称量词命题的是（）A．任何一个实数乘以0都等于0 B．自然数都是正整数C．实数都可以写成小数形式 D．存在奇数不是素数【答案】D【解析】对A选项，任何是全称量词，故A错误；对B选项，省略了量词所有，是全称量词，故B错误；对C选项，省略了量词所有，是全称量词，故C错误；对D选项，存在是存在量词，故D正确；故选：D.【一隅三反】1．（2023·广西）下列命题中，含有存在量词的是（

）A．存在一个平行四边形是矩形 B．所有正方形都是平行四边形C．一切三角形的内角和都等于 D．任意两个等边三角形都相似【答案】A【解析】A选项，存在一个平行四边形是矩形含有存在量词；BCD选项，含有全称量词，不含存在量词.故选：A.2．（2023·江苏南京）已知命题：①任何实数的平方都是非负数；②有些三角形的三个内角都是锐角；③每一个实数都有相反数；④所有数与0相乘，都等于0.其中，其中含存在量词的命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】①任何实数的平方都是非负数，含全称量词“任何”，不符；②有些三角形的三个内角都是锐角，含存在量词“有些”，符合；③每一个实数都有相反数，含全称量词“每一个”，不符；④所有数与0相乘，都等于0，含全称量词“所有”，不符；故选：A3．（2023·北京）下列命题中是存在量词命题的是（

）A．平行四边形的对边相等 B．同位角相等C．任何实数都存在相反数 D．存在实数没有倒数【答案】D【解析】根据全称量词和存在量词的定义可知，A选项，“平行四边形的对边相等”是所有的平行四边形性质，是全称量词命题；B选项，“同位角相等”是所有的同位角都相等，是全称量词命题；C选项，“任何实数都存在相反数”中的“任意”是全称量词，故其为全称量词命题；D选项，“存在实数没有倒数”中的“存在”为存在量词，其为存在量词命题.故选：D考点二全称量词命题与存在量词命题的真假【例2-1】（2022湖南）下列命题中是真命题的为（

）A．，使B．，使C．，D．，【答案】D【解析】对于A，由，可得，所以不存在，使成立，故错误；对于B，由，可得，所以不存在，使，故错误；对于C，当时，，故错误；对于D，因为当时，，故正确.故选：D.【例2-2】（2023·山东）已知命题；命题，则下列说法正确的是（

）A．为存在量词命题且为假命题，为全称量词命题且为假命题B．为全称量词命题且为假命题，为存在量词命题且为假命题C．为存在量词命题且为真命题，为全称量词命题且为假命题D．为全称量词命题且为真命题，为存在量词命题且为真命题【答案】C【解析】对于命题，是存在量词命题，取，则，故为真命题；对于命题，是全称量词命题，当时，，故为假命题；所以为存在量词命题且为真命题，为全称量词命题且为假命题.故选：C．【一隅三反】1．（2023·辽宁）关于命题“，”，下列判断正确的是（

）A．该命题是全称量词命题，且是真命题 B．该命题是存在量词命题，且是真命题C．该命题是全称量词命题，且是假命题 D．该命题是存在量词命题，且是假命题【答案】B【解析】该命题是存在量词命题，当时，，所以该命题为真命题.故选:B.2．（2023·黑龙江）下列四个命题中，既是存在量词命题又是真命题的是（

）A．锐角三角形的内角都是锐角B．至少有一个实数x，使C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使【答案】B【解析】“都是”，“必是”是全称量词，故AC错误，“至少”，“存在”是存在量词，故B，D是存在量词命题，存在，使得，不存在负数使得，故D是假命题，B是真命题．故选：B3．（2023·河北·模拟预测）命题：，，命题：，，则（

）A．真真 B．假假 C．假真 D．真假【答案】D【解析】对于命题：令，则开口向上，对称轴为，且，则，所以，，即命题为真命题；对于命题：因为，所以方程无解，即命题为假命题；故选：D.考点三命题的否定【例3-1】（2023春·河南）命题“”的否定是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】命题“”的否定是“”.故选：C【例3-2】（2023春·陕西商洛）命题，则是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】若命题，则是.故选：D【一隅三反】1．（2023春·辽宁）若命题：，，则命题的否定为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】根据全称量词的否定规则，先改写量词，再否定结论，可得原命题的否定为“，”.故选:D2．（2023·广西河池）命题“”的否定是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由全称命题的否定知原命题的否定为．故选：C．3．（2022秋·广西柳州）已知命题的否定为“，”，则下列说法中正确的是（

）A．命题为“，”且为真命题B．命题为“，”且为假命题C．命题为“，”且为假命题D．命题为“，”且为真命题【答案】C【解析】命题的否定为特称命题，：，，当时，，为假命题，ABD错误，C正确.故选：C.考点四根据命题真假求参数【例4-1】（2023春·四川宜宾）已知命题p：为真命题，则实数a的值不能是（

）A．1 B．2 C．3 D．【答案】D【解析】因为命题p：为真命题，所以解得，结合选项可得实数a的值不能是，故选:D.【例4-2】（2022秋·福建龙岩）已知命题：，，若是真命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】若命题为真命题则，，，即.又是真命题，即命题为假命题，即.故选：D.