人教版高中数学精讲精练必修二6.4.2 平面向量的应用（含答案及解析）（人教版2019必修第二册）

6.4.2平面向量的应用考法一证线段垂直【例1】（2023·河南信阳）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，．

(1)请用，表示向量；(2)若，设，的夹角为，若，求证：．【一隅三反】1．（2023·山东济南）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心．(1)求重心E的坐标；(2)用向量法证明：．2．（2023北京）如图，正方形ABCD的边长为a，E是AB的中点，F是BC的中点，求证：DE⊥AF.3．（2024湖南）如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2-AC2=DB2-DC2，求证：AD⊥BC.4．（2024河北）如图所示，以两边为边向外作正方形和，为的中点.求证：.考法二夹角问题【例2-1】（2023广东深圳）若两个非零向量满足，则向量与的夹角是（

）A． B． C． D．【例2-2】（2024四川）在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2024·黑龙江）已知为△的外接圆的圆心，且，则的值为（

）A． B． C． D．2．（2023·广东广州）在中，已知，，，，边上两条中线，相交于点，则的余弦值为.3．（2023·上海）已知是的外心，且，则．考法三求线段长度【例3-1】（2023·海南）在中，角所对的边分别为，.(1)求角的值；(2)若，边上的中点为，求的长度.【例3-2】．（2023·广东广州）如图，在中，是边的中点，与交于点.(1)求和的长度；(2)求.【一隅三反】1．（2023·河北沧州）如图，在中，.(1)求的长；(2)求的长.2．（2023·山东）如图，在中，，，，点在线段上，且．(1)求的长；(2)求．3．（2023·重庆）如图，在中，已知，，点在上，且，点是的中点，连接，相交于点.(1)求线段，的长；(2)求的余弦值.考法四求几何的最值【例4-1】（2023·江西南昌）圆的直径，弦，点在弦上，则的最小值是．【例4-2】（2023·广东湛江）在中，，，点为边的中点，点在边上运动，则的最大值为.【一隅三反】1．（2023·安徽）如图，在矩形中，与的交点为为边上任意一点（包含端点），则的最大值为.

2．（2023·广东深圳）青花瓷（blue

and

white

porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑．图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为2，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围是．

3．（2023·全国·模拟预测）如图，在四边形中，已知，点在边上，则的最小值为.考法五物理上的应用【例5-1】（2023·云南）已知两个力，的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为60°，那么的大小为（

）．A．N B．5N C．10N D．N【例5-2】（2023·广东佛山）如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为，已知礼物的质量为，每根绳子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为（

）（重力加速度）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023·河南焦作）如图，作用于同一点的三个力，，处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为.2．（2023·全国·高三专题练习）长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和所成的角为，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则.

3．（2023·云南曲靖）马戏表演中小猴子模仿人做引体向上运动的节目深受观众们的喜爱，当小猴子两只胳膊拉着单杠处于平衡状态时，每只胳膊的拉力大小为，此时两只胳膊的夹角为，试估算小猴子的体重（单位）约为（

）（参考数据：取重力加速度大小为，）A．9.2 B．7.5 C．8.7 D．6.54．（2023·北京）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论：①越大越费力，越小越省力；②的范围为；③当时，；④当时，.其中正确结论的序号是（

）

①③ B．①④ C．②③ D．②④单选题1．（2023·广东佛山）已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．斜三角形 D．等腰直角三角形2．（2023·河南洛阳）在中，，且，则等于（

）A． B． C． D．或3．（2023·浙江温州）物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：（其中是功，是力，是位移）一物体在力和的作用下，由点移动到点，在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功等于（

）A．25 B．5 C． D．4．（2023·黑龙江）一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，若船的航程最短，则行驶完全程需要的时间为（

）A． B． C． D．5．（2023·天津和平）在平面四边形中，，则的值是（

）A． B． C． D．6．（2023下·福建漳州·高一校联考期中）已知为所在平面内一点，，，，则的面积等于（

）A． B． C． D．7．（2023上·四川）如图，在中，D为的中点，，，是圆心为C、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是（

）A． B． C． D．8．（2024·云南）中，，∠A的平分线AD交边BC于D，已知，且，则AD的长为（

）A． B．3 C． D．多选题9．（2023江西）如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是（

）A．绳子的拉力不断增大 B．绳子的拉力不断变小C．船的浮力不断变小 D．船的浮力保持不变10．（2023湖南）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.下列结论中正确的是（

）A．越大越费力，越小越省力 B．的取值范围为C．当时， D．当时，11．（2023·浙江衢州）窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形的边长为2，是正八边形边上任意一点，则下列说法正确的是（

）

A．若函数，则函数的最小值为B．的最大值为C．在方向上的投影向量为D．12（2023·安徽）已知正的边长为，中心为O，P是的内切圆上一点，则（

）A． B．满足的点只有1个C． D．满足的点有2个填空题13．（2024·广东佛山）已知中，，边上的高与边上的中线相等，则.14．（2023·河北石家庄）已知的夹角为，则三角形的边上中线的长为.15．（2024·安徽）设点是的中线上一个动点，的最小值是，则中线的长是.16．（2023·天津西青）在体育课上，同学们经常要在单杠上做引体向上运动（如图），假设某同学所受重力为，两臂拉力分别为，若，与的夹角为，则以下四个结论中：①的最小值为；②当时，；③当时，；④在单杠上做引体向上运动时，两臂夹角越大越省力．在以上四个结论中，正确的序号为．

解答题17．（2024·重庆）在梯形中，为钝角，，．(1)求；(2)设点为的中点，求的长．18．（2024·吉林长春）在中，角的对边分别为，已知.(1)求；(2)若，且，求.19．（2024·广东揭阳）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，已知．(1)求；(2)若，D为BC的中点，，求a的值．20．（2024·全国·模拟预测）在中，角的对边分别为，且，．(1)求的长；(2)设为边的中点，若线段的长不大于，求的长的最大值．21．（2024·河南新乡）如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P，(1)求；(2)求的正弦值.22．（2023·云南玉溪）已知的三个内角所对的边分别为，满足，且．(1)求；(2)若点在边上，，且满足，求边长；请在以下三个条件：①为的一条中线；②为的一条角平分线；③为的一条高线；其中任选一个，补充在上面的横线中，并进行解答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

6.4.2平面向量的应用考法一证线段垂直【例1】（2023·河南信阳）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，．

(1)请用，表示向量；(2)若，设，的夹角为，若，求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1），由题意得，所以．（2）由题意，．∵，，∴．∴，∴．【一隅三反】1．（2023·山东济南）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心．(1)求重心E的坐标；(2)用向量法证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）如图，∵，，，∴，则由重心坐标公式，得；（2）．易知的外心F在y轴上，可设为．由，得，∴，即．∴．∴，∴，即．2．（2023北京）如图，正方形ABCD的边长为a，E是AB的中点，F是BC的中点，求证：DE⊥AF.【答案】证明见解析【解析】∵·＝·＝2－2，而，∴·＝0，∴⊥，即DE⊥AF.3．（2024湖南）如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2-AC2=DB2-DC2，求证：AD⊥BC.【答案】证明见解析【解析】设=，=，=，=，=，则=+，=+，所以2﹣2=(+)2-(+)2=2+2e·-2·-2，由条件知：2=2﹣2+2，所以·=·，即·(-)=0，即，所以AD⊥BC.4．（2024河北）如图所示，以两边为边向外作正方形和，为的中点.求证：.【答案】证明见解析【解析】因为是的中点，所以.又因为，所以，所以，即.考法二夹角问题【例2-1】（2023广东深圳）若两个非零向量满足，则向量与的夹角是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意作图如下，设，

故向量，因为，所以，则四边形ABCD为矩形，则又因为，所以，则，故向量与的夹角为的夹角，故为.故选：C.【例2-2】（2024四川）在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】建立如图直角坐标系，则,得,所以，故选：D.【一隅三反】1．（2024·黑龙江）已知为△的外接圆的圆心，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可得：，且，，，∴∠AOB=90°.

如图所示，建立平面直角坐标系，设，，由可知：，则：，，，则.故选：A.2．（2023·广东广州）在中，已知，，，，边上两条中线，相交于点，则的余弦值为.【答案】【解析】由已知得即为向量与的夹角.因为M、N分别是，边上的中点，所以，.又因为，所以,,,所以.故答案为：3．（2023·上海）已知是的外心，且，则．【答案】/【解析】，即，设，两边同平方得，解得，同理可得，，，，则，，，.故答案为：.考法三求线段长度【例3-1】（2023·海南）在中，角所对的边分别为，.(1)求角的值；(2)若，边上的中点为，求的长度.【答案】(1)(2)【解析】（1），，，，，，.（2）是边上的中线，，，.【例3-2】．（2023·广东广州）如图，在中，是边的中点，与交于点.(1)求和的长度；(2)求.【答案】(1)(2)【解析】（1）是高，，在Rt中，，所以.是中线，，，（2），.另解：过D作交于，是的中点，是的中点，是的中位线，是的中位线，，.【一隅三反】1．（2023·河北沧州）如图，在中，.(1)求的长；(2)求的长.【答案】(1)(2)【解析】（1）；，，故，.（2），.2．（2023·山东）如图，在中，，，，点在线段上，且．(1)求的长；(2)求．【答案】(1)(2)【解析】（1）设，，则．．故．（2）因为．所以3．（2023·重庆）如图，在中，已知，，点在上，且，点是的中点，连接，相交于点.(1)求线段，的长；(2)求的余弦值.【答案】(1)，(2)【解析】（1）解：由题意，，，又，所以，，即，

=，，即；（2）解：，==，

与的夹角即为，.考法四求几何的最值【例4-1】（2023·江西南昌）圆的直径，弦，点在弦上，则的最小值是．【答案】/【解析】由题意可得，，要使取得最小值，则要最小，根据圆的性质，只需，此时为中点，又，则，所以，则的最小值为.故答案为：.【例4-2】（2023·广东湛江）在中，，，点为边的中点，点在边上运动，则的最大值为.【答案】【解析】以A为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，，设直线BC方程为，则，解得，所以BC方程为，设，所以，得.故答案为：.

【一隅三反】1．（2023·安徽）如图，在矩形中，与的交点为为边上任意一点（包含端点），则的最大值为.

【答案】【解析】令，则，，所以，所以时，的最大值为.故答案为：2．（2023·广东深圳）青花瓷（blue

and

white

porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑．图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为2，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围是．

【答案】【解析】连接，如图所示：

．根据图形可知，当点位于正六边形各边的中点时，有最小值为，此时，当点位于正六边形的顶点时，有最大值为2，此时，故，即的取值范围是．故答案为：.3．（2023·全国·模拟预测）如图，在四边形中，已知，点在边上，则的最小值为.【答案】/【解析】解法一：由，，得，所以，，则，设，则，所以，当且仅当时，取得最小值.解法二：由，得，所以，，如图，建立平面直角坐标系，

则，，所以.设，则，所以，所以，，则，当且仅当时，取得最小值.解法三：由，得，所以，，，如图，分别以所在的直线为轴、轴建立平面直角坐标系，

则.因为点在边上，所以设，所以，所以，当且仅当时，取得最小值.故答案为：.考法五物理上的应用【例5-1】（2023·云南）已知两个力，的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为60°，那么的大小为（

）．A．N B．5N C．10N D．N【答案】B【解析】

如图，，，，，.在中，有，所以，的大小为5N.故选：B.【例5-2】（2023·广东佛山）如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为，已知礼物的质量为，每根绳子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为（

）（重力加速度）A． B． C． D．【答案】C【解析】设降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小，则，故，故选：C【一隅三反】1．（2023·河南焦作）如图，作用于同一点的三个力，，处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为.【答案】【解析】因为，，三个力处于平衡状态，所以，则，所以.故答案为：.2．（2023·全国·高三专题练习）长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和所成的角为，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则.

【答案】/【解析】由题意知，则因为，，即，所以.故答案为：3．（2023·云南曲靖）马戏表演中小猴子模仿人做引体向上运动的节目深受观众们的喜爱，当小猴子两只胳膊拉着单杠处于平衡状态时，每只胳膊的拉力大小为，此时两只胳膊的夹角为，试估算小猴子的体重（单位）约为（

）（参考数据：取重力加速度大小为，）A．9.2 B．7.5 C．8.7 D．6.5【答案】C【解析】设两只胳膊的拉力分别为，，，，，，解得．小猴子的体重约为．故选：C．4．（2023·北京）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论：①越大越费力，越小越省力；②的范围为；③当时，；④当时，.其中正确结论的序号是（

）

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】B【解析】对于②，当时，故无法抬动物体，故②错误；对于①，根据题意，得，所以，解得，因为时，单调递减，所以越大越费力，越小越省力，故①正确；对于③，因为，所以当时，，所以，故③错误；对于④，因为，所以当时，，所以，故④正确.故选：B.单选题1．（2023·广东佛山）已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．斜三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【解析】易知，可得，即，且，所以可得的形状是直角三角形.故选：B2．（2023·河南洛阳）在中，，且，则等于（

）A． B． C． D．或【答案】C【解析】，故可得；又，又，故为钝角，．故选：C.3．（2023·浙江温州）物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：（其中是功，是力，是位移）一物体在力和的作用下，由点移动到点，在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功等于（

）A．25 B．5 C． D．【答案】A【解析】因为，，所以，又，，所以，故.故选：A.4．（2023·黑龙江）一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，若船的航程最短，则行驶完全程需要的时间为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】若使得船的航程最短，则船的实际速度与水流速度垂直，作，，以、为邻边作平行四边形，如下图所示：由题意可知，，且，，由勾股定理可得，因此，若船的航程最短，则行驶完全程需要的时间，则.故选：B.5．（2023·天津和平）在平面四边形中，，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意知，则，故以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设，则，故，由于，故，即，即，则在中，，同理可得，故，故选：C6．（2023下·福建漳州·高一校联考期中）已知为所在平面内一点，，，，则的面积等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，位于线段的垂直平分线上，设线段的中点为，由得：，，，如下图所示，，.故选：D.7．（2023上·四川）如图，在中，D为的中点，，，是圆心为C、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，又，且，所以．设与的夹角为，则．因为，所以．故选：C．8．（2024·云南）中，，∠A的平分线AD交边BC于D，已知，且，则AD的长为（

）A． B．3 C． D．【答案】C【解析】如图，过作交于，作交于，则，又，所以，，所以，即，又是的平分线，所以，而，所以，，，所以，故选：C．多选题9．（2023江西）如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是（

）A．绳子的拉力不断增大 B．绳子的拉力不断变小C．船的浮力不断变小 D．船的浮力保持不变【答案】AC【解析】设水的阻力为，绳子的拉力为,与水平方向的夹角为，则有，所以，因为增大，减小，所以增大，加上浮力等于船的重力，所以船的浮力减小.故选：AC.10．（2023湖南）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.下列结论中正确的是（

）A．越大越费力，越小越省力 B．的取值范围为C．当时， D．当时，【答案】AD【解析】对于A，根据题意，得，所以，解得，因为时，单调递减，所以越大越费力，越小越省力，故A正确；对于B，由题意知的取值范围是，故B错误；对于C，因为，所以当时，，所以，故C错误；对于D，因为，所以当时，，所以，故D正确.故选：AD.11．（2023·浙江衢州）窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形的边长为2，是正八边形边上任意一点，则下列说法正确的是（

）

A．若函数，则函数的最小值为B．的最大值为C．在方向上的投影向量为D．【答案】AB【解析】如图所示：以为轴，为轴建立直角坐标系，

设，在中，根据余弦定理可得，，整理得到，，，，设，对选项A：，，所以，所以，所以当时，函数有最小值为，A正确；对选项B：取的中点，则，，则，，两式相减得：，由正八边形的对称性知，当点与点或重合时，最大，又，所以，所以，所以的最大值为，B正确；对选项C：，，所以，即投影向量为，C错误；对选项D：因为，，所以，又，所以，D错误.故选：AB12（2023·安徽）已知正的边长为，中心为O，P是的内切圆上一点，则（

）A． B．满足的点只有1个C． D．满足的点有2个【答案】ABD【解析】对于A，法一：设M为AB的中点，

连接OM，则C，O，M三点共线.设的内切圆半径为r，外接圆半径为R，则.因为O为的中心，故，而，故.又，A正确；法二：记CO的中点为N，设的内切圆半径为r，外接圆半径为R，则.

由正三角形的性质知N在内切圆上且MN为内切圆圆O的直径，如图2，连接PM，PN，从而有，A正确；对于B，，因为的边长为，所以内切圆半径为1，当且仅当P为OC中点N时，，B正确；对于C，当与重合时，，此时，满足；当与不重合时，，由图象易知与的夹角，所以，所以，故C错误；对于D，，要使，则，分析可知此时P恰为线段OB与内切圆的公共点，又当P与M重合时，也满足题意，故这样的点有2个，D正确.故选：ABD.填空题13．（2024·广东佛山）已知中，，边上的高与边上的中线相等，则.【答案】【解析】如下图所示，设边上的高为，边上的中线为，

在中，，所以，由，平方得，代入得，，化简得，，解得，又因为，所以，所以.故答案为：14．（2023·河北石家庄）已知的夹角为，则三角形的边上中线的长为.【答案】【解析】设D为的中点，则，所以，所以，所以.故答案为：15．（2024·安徽）设点是的中线上一个动点，的最小值是，则中线的长是.【答案】3【解析】设，则因为为边中点，所以，即.于是.当，即点是中线的中点时，取得最小值即因此故答案为：16．（2023·天津西青）在体育课上，同学们经常要在单杠上做引体向上运动（如图），假设某同学所受重力为，两臂拉力分别为，若，与的夹角为，则以下四个结论中：①的最小值为；②当时，；③当时，；④在单杠上做引体向上运动时，两臂夹角越大越省力．在以上四个结论中，正确的序号为．

【答案】①②③【解析】对于①：由受力分析得，所以，所以，所以，又因为，所以，所以，又，所以，故当时，取得最小值为，故①正确；对于②:，当时，，，故②正确；对于③：，，故③正确；.对于④:，，，，所