2024年中考模拟试卷数学（江苏南京卷）

2024年中考第三次模拟考试（南京卷）数学注意事项：1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．第Ⅰ卷一、选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．在这四个数中，最大的数是（）A．3 B．0 C． D．2．下列计算正确的是（

）A． B．C． D．3．如图所示几何体是由一个四棱柱上放置一个球体得到的，它的左视图是（

）A． B． C． D．4．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（

）A．0 B．1 C．2 D．20235．如图，已知正方形的边长为1，连接、，平分交于点，则长（

）A． B． C． D．6．如图，的顶点是坐标原点，在轴的正半轴上，，反比例函数的图象经过点，，则的值为（）A． B．2 C． D．3第Ⅱ卷二、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分）7．因式分解：．8．今年春节电影《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生》、《熊出没•逆转时空》在网络上持续引发热议，根据猫眼专业版数据显示，截至月日时，年春节档新片总票房突破亿元，创造了新的春节档票房纪录，则其中数据亿用科学记数法表示为．9．若，则的值为；10．一个圆锥的底面直径是，母线长是，则它的侧面积是．11．已知实数、y，如果，那么；12．已知一元二次方程的两根为、，则．13．春节期间，小宇去表哥家拜年，好学的他发现在表哥新装修的房子里，钢琴房的背景墙上有用岩板作的几何图案造型．如图，这个图案是由正六边形、正方形及拼成的（不重叠，无缝隙），则的度数是．14．某市新建一座景观桥．如图，桥的拱肋可视为抛物线的一部分，桥面可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度为80米，桥拱的最大高度为16米（不考虑灯杆和拱肋的粗细），则与的距离为4米的景观灯杆的高度为米．15．如图在中，为直径，为弦，点为弧的中点，以点为切点的切线与的延长线交于点．若则．16．如图，直角坐标系中，平行四边形的顶点B在x轴的正半轴上，A、C在第一象限，反比例函数的图象经过点A，与交于点D，轴于点E，连结并延长交的延长线于点F，反比例函数的图象经过点F，连结，则的面积为．三、解答题（本大题共11个小题，共88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．先化简，再求值：，其中．18．解不等式组并把解集在数轴上表示出来．19．随着科幻电影的崛起，层出不穷的“硬核科技”元素也引起人们的热烈讨论，例如太空电梯，数字生命，重核聚变行星发动机，超级量子计算机，人工智能，机械外骨骼等．强大的科技会促使科幻走进现实，为激发学生对科技的热情，某校七、八年级举办了青少年科技创新大赛，赛后从两个年级中各随机抽取50名学生的成绩（百分制）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a．七年级学生成绩的频数分布直方图如图所示．（数据分为5组：，，，，）b．七年级学生成绩在这一组的是：，，，，，，，，，，，，，，，；c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数如表：年级统计量平均数中位数七年级八年级根据以上信息，解答下列问题：(1)表中的值为；(2)小佳此次大赛的成绩为分，在被抽取的名学生中，他的成绩超过了一半以上的同学，请判断小佳是哪个年级的学生，并说明理由；(3)若成绩分及以上为优秀，七年级共有学生名，估计本次大赛七年级学生成绩为优秀的人数．20．随着社会经济发展和物质消费水平的大幅度提高，我国每年垃圾产生量迅速增长，为了倡导绿色社区，做好垃圾分类工作，某社区成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式对辖区内四个小区进行抽查，并且每个小区不重复检查．(1)若由甲组对四个小区进行抽查，则抽到B小区的概率是________；(2)若甲、乙两组同时抽查，请用画树状图法或列表法求出甲组抽到C小区，同时乙组抽到D小区的概率．21．如图，在平行四边形中，于点，延长至点，使得，连接，．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，，求的长．22．如图所示，折线是一段登山石阶，其中，部分的坡角为，部分的坡角为，．(1)求石阶路（折线）的长．(2)如果每级石阶的高不超过，那么这一段登山石阶至少有多少级台阶？（最后一级石阶的高度不足时，按一级石阶计算．可能用到的数据：，）23．一次函数与反比例函数的图像在第一象限交于A,B两点，其中．(1)求反比例函数表达式；(2)结合图像，直接写出时，x的取值范围；(3)若把一次函数的图像向下平移b个单位，使之与反比例函数的图像只有一个交点，请直接写出b的值．24．如图，中，，以为直径的与相交于点，与的延长线相交于点，过点作交于点．(1)求证：直线与相切；(2)如果，的长为2，求的长．25．阅读材料：尺规作图是起源于古希腊的数学课题，是指用没有刻度的直尺和圆规作图．无刻度直尺在作图时只可用来画直线、射线或线段．请根据以上材料按要求进行作图．(1)如图1，在中，，请用无刻度直尺与圆规在边上作出一点O，使得过点C且与相切．（保留作图痕迹，不需说明作图步骤）(2)如图2，在正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D是网格的四个格点，且．①作图：请在图2中仅用无刻度直尺作出一点O，使得过点C且与相切于点D；（保留作图痕迹，不需说明作图步骤）②若此网格中每个小正方形边长为1，则的半径为________．（可利用图2备用图计算）26．定义：若一动点P到一条线段的两个端点的距离满足，则称P为线段的点，但点P不是线段的点．(1)如图1，在中，，，若点C是线段的点，求的长．(2)如图2，在中，D是边上一点，连结，若点A分别是线段，线段的点．求证：C是线段的点（提示：证明与相似）．(3)如图3，在菱形中，，，点E，F分别是，上的点，且满足．连结，若点E是线段的点．求的长．27．在平面直角坐标系中为，抛物线（、为常数）的对称轴为直线，与轴交点坐标为．(1)求此抛物线对应的函数表达式；(2)点、点均在这个抛物线上（点在点的左侧），点A的横坐标为m，点的横坐标为．将此抛物线上两点之间的部分（含两点）记为图象．①当点在轴上方，图象的最高与最低点的纵坐标差为6时，求的值；②设点，点，将线段绕点逆时针旋转后得到线段，连接，当（不含内部）和二次函数在范围上的图像有且仅有一个公共点时，求的取值范围．

2024年中考第三次模拟考试（南京卷）数学·全解全析注意事项：1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．第Ⅰ卷一、选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．在这四个数中，最大的数是（）A．3 B．0 C． D．【答案】A【分析】本题考查有理数的大小比较，根据正数大于0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小，进行判断即可．【详解】解：∵，∴，∴．∴在这四个数中，最大的数是3．故选：A．2．下列计算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘除法，合并同类项，根据相关运算法则计算出各选项的结果后再判断即可【详解】解：A.，故选项A计算错误，不符合题意；B.，计算正确，符合题意；C.，故选项C计算错误，不符合题意；D.，故选项D计算错误，不符合题意；故选：B3．如图所示几何体是由一个四棱柱上放置一个球体得到的，它的左视图是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．根据左视图的意义和画法可以得出答案．【详解】解：球的左视图是一个圆，长方体的左视图是一个长方形，该几何体的左视图是一个圆与一个长方形，故选：B．4．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（

）A．0 B．1 C．2 D．2023【答案】A【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与判别式的关系，当，方程无实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程有两个不相等的实数根．根据判别式的意义得到，然后解关于的不等式，最后对选项进行判断即可．【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根∴解得．∴m的值可能是0．故选：A．5．如图，已知正方形的边长为1，连接、，平分交于点，则长（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了正方形的性质：对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角，角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等以及勾股定理的运用．过作于，根据正方形的性质和角平分线的性质以及勾股定理即可求出的长．【详解】解：过作于，四边形是正方形，，平分交于点，，正方形的边长为1，，，∵，，，，故选：C．6．如图，的顶点是坐标原点，在轴的正半轴上，，反比例函数的图象经过点，，则的值为（）A． B．2 C． D．3【答案】D【分析】过点作于，过点作轴于，根据平行四边形的性质及矩形的判定证明四边形为矩形，得，再证（），得，利用三线合一得，从而有，于是根据反比例函数的意义即可得解．【详解】解：过点作于，过点作轴于，∴，∵四边形为平行四边形，∴，即，∴四边形为平行四边形，∵，∴四边形为矩形，∴，∴在和中，，∴（），∴，∵，，∴，∵反比例函数的图象经过点，∴，∴，∴，∴，∴．故选：．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分）7．因式分解：．【答案】【分析】本题考查了因式分解，根据提公因式法分解因式求解即可．【详解】解：，故答案为：．8．今年春节电影《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生》、《熊出没•逆转时空》在网络上持续引发热议，根据猫眼专业版数据显示，截至月日时，年春节档新片总票房突破亿元，创造了新的春节档票房纪录，则其中数据亿用科学记数法表示为．【答案】【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，理解定义是关键．绝对值大于的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少，据此可以解答．【详解】解：．故答案为：．9．若，则的值为；【答案】【分析】本题考查分式的化简求值．根据得出，再代入求值即可．【详解】解：∵，∴，∴，故答案为：．10．一个圆锥的底面直径是，母线长是，则它的侧面积是．【答案】【分析】本题考查的是圆锥的侧面积的计算，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，圆锥的侧面积：．根据圆锥的侧面积公式计算即可．【详解】解：圆锥的底面直径是，则圆锥的底面周长为：，所以圆锥的侧面积＝母线长底面周长．故答案为：．11．已知实数、y，如果，那么；【答案】3【分析】本题考查了二次根式有意义的条件：二次根式，当时有意义，也考查了算术平方根．根据二次根式有意义的条件得到得，即可求解y，即可得到的值．【详解】解：由题意得：，解得，∴，∴，故答案为：3．12．已知一元二次方程的两根为、，则．【答案】54【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形，熟知“，是一元二次方程的两根时，，”是解题的关键．先根据题意得出与的值，代入变形后的代数式进行计算即可．【详解】解：一元二次方程的两根为、，，，．故答案为：54．13．春节期间，小宇去表哥家拜年，好学的他发现在表哥新装修的房子里，钢琴房的背景墙上有用岩板作的几何图案造型．如图，这个图案是由正六边形、正方形及拼成的（不重叠，无缝隙），则的度数是．【答案】/15度【分析】本题考查了平面镶嵌（密铺）和正多边形的内角和，等腰三角形的判定和性质，正六边形的每个内角为，即可求，正方形每个内角为，即可求，进而求的大小，根据即可求的度数．【详解】解：∵正六边形的每个内角为，正方形每个内角为，∴，∴，∵，∴，∴．故答案为：．14．某市新建一座景观桥．如图，桥的拱肋可视为抛物线的一部分，桥面可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度为80米，桥拱的最大高度为16米（不考虑灯杆和拱肋的粗细），则与的距离为4米的景观灯杆的高度为米．【答案】【分析】本题考查了二次函数的应用，涉及了待定系数法求抛物线解析式的知识，建立合适的平面直角坐标系是解题的关键．以所在直线为轴、所在直线为轴建立坐标系，可设该抛物线的解析式为，将点坐标代入求得抛物线解析式，再求当时的值即可．【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系，设抛物线表达式为，由题意可知，的坐标为，，，，时，，答：与距离为4米的景观灯杆的高度为米，故答案为：．15．如图在中，为直径，为弦，点为弧的中点，以点为切点的切线与的延长线交于点．若则．【答案】/【分析】本题考查了圆的切线的性质，垂径定理的推理，平行线分线段成比例，勾股定理的综合，掌握圆的基础知识是解题的关键．根据垂径定理的推理可得，根据切线的性质可得，由此证得，根据平行线分线段成比例可得，设，可用含的式子表示出的长，在直角中根据勾股定理可求出，由此即可求解．【详解】解：如图，连接，∵点为弧BD中点，∴弧BC=弧CD，∴，∵是切线，∴，∴，∵，∴，∴设，则，，∴，，在中，，∴，故答案为：．16．如图，直角坐标系中，平行四边形的顶点B在x轴的正半轴上，A、C在第一象限，反比例函数的图象经过点A，与交于点D，轴于点E，连结并延长交的延长线于点F，反比例函数的图象经过点F，连结，则的面积为．【答案】【分析】根据的几何意义，得出，结合点F在第三象限，故再设设的解析式为，运用待定系数法求，得出，根据平行四边形的性质以及相似三角形的性质，得出，结合，代入数值进行化简，即可作答．【详解】解：设∵反比例函数的图象经过点A，∴∵连结并延长交的延长线于点F，反比例函数的图象经过点F，设把代入，解得∴，∴，则，解得∵点F在第三象限，∴（正值已舍去），∴或，∵轴于点E，∴点E的坐标为，设的解析式为把和代入，得解得∴的解析式为，∵点D在上，且在上∴整理得即∴∵点D在第一象限∴如图：过点D作轴∵四边形是平行四边形∴∴∵∴则，即，∴，则，∴，∵，∴．故答案为：．三、解答题（本大题共11个小题，共88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．先化简，再求值：，其中．【答案】，【分析】化简后，根据特殊角三角函数值，代入计算即可，本题考查了分式化简求值，特殊角的函数值，熟练化简，熟记函数值是解题的关键．【详解】解：原式

，∴原式．18．解不等式组并把解集在数轴上表示出来．【答案】，在数轴上表示见解析【分析】本题考查了解一元一次不等式组，并在数轴上表示．分别解出每一个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得出不等式组的解集，最后在数轴上表示即可．正确解不等式组是解题的关键．【详解】解：，解不等式①，得：，解不等式②，得：，∴该不等式组的解集为：．在数轴上表示为：19．随着科幻电影的崛起，层出不穷的“硬核科技”元素也引起人们的热烈讨论，例如太空电梯，数字生命，重核聚变行星发动机，超级量子计算机，人工智能，机械外骨骼等．强大的科技会促使科幻走进现实，为激发学生对科技的热情，某校七、八年级举办了青少年科技创新大赛，赛后从两个年级中各随机抽取50名学生的成绩（百分制）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a．七年级学生成绩的频数分布直方图如图所示．（数据分为5组：，，，，）b．七年级学生成绩在这一组的是：，，，，，，，，，，，，，，，；c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数如表：年级统计量平均数中位数七年级八年级根据以上信息，解答下列问题：(1)表中的值为；(2)小佳此次大赛的成绩为分，在被抽取的名学生中，他的成绩超过了一半以上的同学，请判断小佳是哪个年级的学生，并说明理由；(3)若成绩分及以上为优秀，七年级共有学生名，估计本次大赛七年级学生成绩为优秀的人数．【答案】(1)(2)七年级(3)【分析】本题考查了频数分布直方图，平均数、中位数，样本估计总体；（1）根据中位数的定义，即可求解；（2）根据中位数的意义，即可求解；（3）根据样本估计总体，用乘以七年级优秀人数的占比，即可求解．【详解】（1）解：依题意，第和个数分别为为，∴（2）解：小佳是七年级的学生，理由：他的成绩超过了一半以上的同学，七年级的成绩的中位数为，∴小佳是七年级的学生；（3）解：估计本次大赛七年级学生成绩为优秀的人数为（人）20．随着社会经济发展和物质消费水平的大幅度提高，我国每年垃圾产生量迅速增长，为了倡导绿色社区，做好垃圾分类工作，某社区成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式对辖区内四个小区进行抽查，并且每个小区不重复检查．(1)若由甲组对四个小区进行抽查，则抽到B小区的概率是________；(2)若甲、乙两组同时抽查，请用画树状图法或列表法求出甲组抽到C小区，同时乙组抽到D小区的概率．【答案】(1)(2)【分析】此题考查列表法与树状图法，解题关键在于根据题意画出树状图．（1）直接利用概率公式求解可得；（2）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得．【详解】（1）解：由甲组对四个小区进行抽查，则抽到B小区的概率是；（2）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中甲组抽到C小区，同时乙组抽到D小区的结果数为1，∴甲组抽到C小区，同时乙组抽到D小区的概率为．21．如图，在平行四边形中，于点，延长至点，使得，连接，．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】此题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理以及逆定理；（1）先证明四边形是平行四边形，再根据垂直，即可求证；（2）根据勾股定理的逆定理，求得是直角三角形，等面积法求得，勾股定理即可求解．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，，，，，，四边形是平行四边形，又，，平行四边形是矩形；（2）解：∵四边形是平行四边形，，，，，是直角三角形，，的面积，，由（）得：，四边形是矩形，，，，．22．如图所示，折线是一段登山石阶，其中，部分的坡角为，部分的坡角为，．(1)求石阶路（折线）的长．(2)如果每级石阶的高不超过，那么这一段登山石阶至少有多少级台阶？（最后一级石阶的高度不足时，按一级石阶计算．可能用到的数据：，）【答案】(1)120米(2)472级【分析】（1）根据，可得，结合，计算即可．（2）先计算的长度，单位化成厘米后除以20，计算即可．本题考查了坡度的概念：斜坡的坡度等于斜坡的铅直高度与对应的水平距离的比值，即斜坡的坡度等于斜坡的坡角的正弦．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和等腰直角三角形的性质．【详解】（1）∵，∴，∵，∵．（2）∵，∴，∵，∵，，∴，∴（级）．答：这一段登山石阶至少有472级台阶．23．一次函数与反比例函数的图像在第一象限交于A,B两点，其中．(1)求反比例函数表达式；(2)结合图像，直接写出时，x的取值范围；(3)若把一次函数的图像向下平移b个单位，使之与反比例函数的图像只有一个交点，请直接写出b的值．【答案】(1)(2)或(3)1或9【分析】（1）将代入得，，则，将代入得，可得，，进而可得反比例函数表达式；（2）联立，整理得，，可求满足要求的解或，将代入得，，则，然后数形结合求不等式的解集即可；（3）由题意知，平移后的解析式为，联立得，，整理得，，由图像只有一个交点，可得，计算求解然后作答即可．【详解】（1）解：将代入得，，∴，将代入得，，解得，，∴反比例函数表达式为；（2）解：联立，整理得，，∴，解得，或，经检验，或是原分式方程的解，将代入得，，∴，∴由图像可知，的解集为或；（3）解：由题意知，平移后的解析式为，联立得，，整理得，，∵图像只有一个交点，∴，解得，或，∴b的值为1或9．24．如图，中，，以为直径的与相交于点，与的延长线相交于点，过点作交于点．(1)求证：直线与相切；(2)如果，的长为2，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质和解直角三角形，解答本题的关键是作出辅助线．（1）先连接，由于是直径以及，即可得出，进而得出，，即可证得结论；（2）连接，，先证明，则，再证明，则在中利用正弦的定义求出，接着在中利用正弦的定义求出，则可求出，所以，从而得到的长．【详解】（1）证明：连接，如图，，，，，，，，，而为的半径，直线与相切；（2）解：连接，，如图，，，，，为直径，，，，，，在中，，，在中，，，，即，，，．25．阅读材料：尺规作图是起源于古希腊的数学课题，是指用没有刻度的直尺和圆规作图．无刻度直尺在作图时只可用来画直线、射线或线段．请根据以上材料按要求进行作图．(1)如图1，在中，，请用无刻度直尺与圆规在边上作出一点O，使得过点C且与相切．（保留作图痕迹，不需说明作图步骤）(2)如图2，在正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D是网格的四个格点，且．①作图：请在图2中仅用无刻度直尺作出一点O，使得过点C且与相切于点D；（保留作图痕迹，不需说明作图步骤）②若此网格中每个小正方形边长为1，则的半径为________．（可利用图2备用图计算）【答案】(1)见详解(2)①见详解②【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，圆的切线判定，勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质等；（1）作出的平分线交于，即可求解；（2）①连接，作的垂直平分线，过作的垂线，交的垂直平分线于，即可求解；②由可判定，由全等三角形的性质得，，由可判定，由相似三角形的性质得，求出，由勾股定理得，即可求解；掌握作法，能利用判定方法及性质进行求解是解题的关键．【详解】（1）解：如图，是所求作的点；（2）解：①如图，是所求作的点；②如图，由图得：，，，由作图过程得：，，在和中，()，，，，，，，，，解得：，，；故答案：．26．定义：若一动点P到一条线段的两个端点的距离满足，则称P为线段的点，但点P不是线段的点．(1)如图1，在中，，，若点C是线段的点，求的长．(2)如图2，在中，D是边上一点，连结，若点A分别是线段，线段的点．求证：C是线段的点（提示：证明与相似）．(3)如图3，在菱形中，，，点E，F分别是，上的点，且满足．连结，若点E是线段的点．求的长．【答案】(1