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文档简介
湖北省武汉第二中学2024年高三下5月第一次质量检测试题数学试题文试题考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图,圆的半径为,,是圆上的定点,,是圆上的动点,点关于直线的对称点为,角的始边为射线,终边为射线,将表示为的函数,则在上的图像大致为()A. B. C. D.2.已知函数,关于x的方程f(x)=a存在四个不同实数根,则实数a的取值范围是()A.(0,1)∪(1,e) B.C. D.(0,1)3.下图是我国第24~30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图,根据表和统计图,以下描述正确的是().金牌(块)银牌(块)铜牌(块)奖牌总数2451112282516221254261622125027281615592832171463295121281003038272388A.中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势B.折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化,不具有实际意义C.第30届与第29届北京奥运会相比,奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降D.统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是54.54.公元263年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术”,利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值,这就是著名的“徽率”。如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图,则输出的值为()(参考数据:)A.48 B.36 C.24 D.125.函数的定义域为()A.或 B.或C. D.6.三棱锥的各个顶点都在求的表面上,且是等边三角形,底面,,,若点在线段上,且,则过点的平面截球所得截面的最小面积为()A. B. C. D.7.若函数的定义域为M={x|-2≤x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函数的图像可能是()A. B. C. D.8.已知,则的取值范围是()A.[0,1] B. C.[1,2] D.[0,2]9.设i为虚数单位,若复数,则复数z等于()A. B. C. D.010.如图所示,已知双曲线的右焦点为,双曲线的右支上一点,它关于原点的对称点为,满足,且,则双曲线的离心率是().A. B. C. D.11.()A. B. C.1 D.12.如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图,则该几何体的体积是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知双曲线(a>0,b>0)的两个焦点为、,点P是第一象限内双曲线上的点,且,tan∠PF2F1=﹣2,则双曲线的离心率为_____.14.一个长、宽、高分别为1、2、2的长方体可以在一个圆柱形容器内任意转动,则容器体积的最小值为_________.15.设直线过双曲线的一个焦点,且与的一条对称轴垂直,与交于两点,为的实轴长的2倍,则双曲线的离心率为.16.若函数为自然对数的底数)在和两处取得极值,且,则实数的取值范围是______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知数列是等差数列,前项和为,且,.(1)求.(2)设,求数列的前项和.18.(12分)在最新公布的湖南新高考方案中,“”模式要求学生在语数外3门全国统考科目之外,在历史和物理2门科目中必选且只选1门,再从化学、生物、地理、政治4门科目中任选2门,后三科的高考成绩按新的规则转换后计入高考总分.相应地,高校在招生时可对特定专业设置具体的选修科目要求.双超中学高一年级有学生1200人,现从中随机抽取40人进行选科情况调查,用数字1~6分别依次代表历史、物理、化学、生物、地理、政治6科,得到如下的统计表:序号选科情况序号选科情况序号选科情况序号选科情况11341123621156312352235122342223532236323513145232453323541451413524235341355156152362525635156624516236261563623672561715627134371568235182362823538134923519145292463923510236202353015640245(1)双超中学规定:每个选修班最多编排50人且尽量满额编班,每位老师执教2个选修班(当且仅当一门科目的选课班级总数为奇数时,允许这门科目的1位老师只教1个班).已知双超中学高一年级现有化学、生物科目教师每科各8人,用样本估计总体,则化学、生物两科的教师人数是否需要调整?如果需要调整,各需增加或减少多少人?(2)请创建列联表,运用独立性检验的知识进行分析,探究是否有的把握判断学生“选择化学科目”与“选择物理科目”有关.附:0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828(3)某高校在其热门人文专业的招生简章中明确要求,仅允许选修了历史科目,且在政治和地理2门中至少选修了1门的考生报名.现从双超中学高一新生中随机抽取3人,设具备高校专业报名资格的人数为,用样本的频率估计概率,求的分布列与期望.19.(12分)已知函数.(1)解不等式:;(2)求证:.20.(12分)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为:(为参数),以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为:.(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程;(2)若直线与曲线交于,两点,与曲线交于,两点,求取得最大值时直线的直角坐标方程.21.(12分)已知椭圆经过点,离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)经过点且斜率存在的直线交椭圆于两点,点与点关于坐标原点对称.连接.求证:存在实数,使得成立.22.(10分)已知函数.(1)求函数的单调递增区间;(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若满足,,,求.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
根据图象分析变化过程中在关键位置及部分区域,即可排除错误选项,得到函数图象,即可求解.【详解】由题意,当时,P与A重合,则与B重合,所以,故排除C,D选项;当时,,由图象可知选B.故选:B【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质,正确表示函数的表达式是解题的关键,属于中档题.2、D【解析】
原问题转化为有四个不同的实根,换元处理令t,对g(t)进行零点个数讨论.【详解】由题意,a>2,令t,则f(x)=a⇔⇔⇔⇔.记g(t).当t<2时,g(t)=2ln(﹣t)(t)单调递减,且g(﹣2)=2,又g(2)=2,∴只需g(t)=2在(2,+∞)上有两个不等于2的不等根.则⇔,记h(t)(t>2且t≠2),则h′(t).令φ(t),则φ′(t)2.∵φ(2)=2,∴φ(t)在(2,2)大于2,在(2,+∞)上小于2.∴h′(t)在(2,2)上大于2,在(2,+∞)上小于2,则h(t)在(2,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减.由,可得,即a<2.∴实数a的取值范围是(2,2).故选:D.【点睛】此题考查方程的根与函数零点问题,关键在于等价转化,将问题转化为通过导函数讨论函数单调性解决问题.3、B【解析】
根据表格和折线统计图逐一判断即可.【详解】A.中国代表团的奥运奖牌总数不是一直保持上升趋势,29届最多,错误;B.折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化,不表示某种意思,正确;C.30届与第29届北京奥运会相比,奥运金牌数、铜牌数有所下降,银牌数有所上升,错误;D.统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数按照顺序排列的中位数为,不正确;故选:B【点睛】此题考查统计图,关键点读懂折线图,属于简单题目.4、C【解析】
由开始,按照框图,依次求出s,进行判断。【详解】,故选C.【点睛】框图问题,依据框图结构,依次准确求出数值,进行判断,是解题关键。5、A【解析】
根据偶次根式被开方数非负可得出关于的不等式,即可解得函数的定义域.【详解】由题意可得,解得或.因此,函数的定义域为或.故选:A.【点睛】本题考查具体函数定义域的求解,考查计算能力,属于基础题.6、A【解析】
由题意画出图形,求出三棱锥S-ABC的外接球的半径,再求出外接球球心到D的距离,利用勾股定理求得过点D的平面截球O所得截面圆的最小半径,则答案可求.【详解】如图,设三角形ABC外接圆的圆心为G,则外接圆半径AG=,设三棱锥S-ABC的外接球的球心为O,则外接球的半径R=取SA中点E,由SA=4,AD=3SD,得DE=1,所以OD=.则过点D的平面截球O所得截面圆的最小半径为所以过点D的平面截球O所得截面的最小面积为故选:A【点睛】本题考查三棱锥的外接球问题,还考查了求截面的最小面积,属于较难题.7、B【解析】因为对A不符合定义域当中的每一个元素都有象,即可排除;对B满足函数定义,故符合;对C出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况,不符合函数的定义,从而可以否定;对D因为值域当中有的元素没有原象,故可否定.故选B.8、D【解析】
设,可得,构造()22,结合,可得,根据向量减法的模长不等式可得解.【详解】设,则,,∴()2•2||22=4,所以可得:,配方可得,所以,又则[0,2].故选:D.【点睛】本题考查了向量的运算综合,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.9、B【解析】
根据复数除法的运算法则,即可求解.【详解】.故选:B.【点睛】本题考查复数的代数运算,属于基础题.10、C【解析】
易得,,又,平方计算即可得到答案.【详解】设双曲线C的左焦点为E,易得为平行四边形,所以,又,故,,,所以,即,故离心率为.故选:C.【点睛】本题考查求双曲线离心率的问题,关键是建立的方程或不等关系,是一道中档题.11、A【解析】
利用复数的乘方和除法法则将复数化为一般形式,结合复数的模长公式可求得结果.【详解】,,因此,.故选:A.【点睛】本题考查复数模长的计算,同时也考查了复数的乘方和除法法则的应用,考查计算能力,属于基础题.12、C【解析】
根据三视图作出几何体的直观图,结合三视图的数据可求得几何体的体积.【详解】根据三视图还原几何体的直观图如下图所示:由图可知,该几何体是在棱长为的正方体中截去四棱锥所形成的几何体,该几何体的体积为.故选:C.【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积,考查空间想象能力与计算能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
根据正弦定理得,根据余弦定理得2PF1•PF2cos∠F1PF23,联立方程得到,计算得到答案.【详解】∵△PF1F2中,sin∠PF1F2═,sin∠PF1F2═,∴由正弦定理得,①又∵,tan∠PF2F1=﹣2,∴tan∠F1PF2=﹣tan(∠PF2F1+∠PF1F2),可得cos∠F1PF2,△PF1F2中用余弦定理,得2PF1•PF2cos∠F1PF23,②①②联解,得,可得,∴双曲线的,结合,得离心率.故答案为:.【点睛】本题考查了双曲线离心率,意在考查学生的计算能力和转化能力.14、【解析】
一个长、宽、高分别为1、2、2的长方体可以在一个圆柱形容器内任意转动,则圆柱形容器的底面直径及高的最小值均等于长方体的体对角线的长,长方体的体对角线的长为,所以容器体积的最小值为.15、【解析】
不妨设双曲线,焦点,令,由的长为实轴的二倍能够推导出的离心率.【详解】不妨设双曲线,焦点,对称轴,由题设知,因为的长为实轴的二倍,,,,故答案为.【点睛】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率,属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析,既使不画出图形,思考时也要联想到图形,当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时,要理清它们之间的关系,挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来,再利用其中的一些关系构造出关于的等式,从而求出的值.16、【解析】
先将函数在和两处取得极值,转化为方程有两不等实根,且,再令,将问题转化为直线与曲线有两交点,且横坐标满足,用导数方法研究单调性,作出简图,求出时,的值,进而可得出结果.【详解】因为,所以,又函数在和两处取得极值,所以是方程的两不等实根,且,即有两不等实根,且,令,则直线与曲线有两交点,且交点横坐标满足,又,由得,所以,当时,,即函数在上单调递增;当,时,,即函数在和上单调递减;当时,由得,此时,因此,由得.故答案为【点睛】本题主要考查导数的应用,已知函数极值点间的关系求参数的问题,通常需要将函数极值点,转化为导函数对应方程的根,再转化为直线与曲线交点的问题来处理,属于常考题型.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】
(1)由数列是等差数列,所以,解得,又由,解得,即可求得数列的通项公式;(2)由(1)得,利用乘公比错位相减,即可求解数列的前n项和.【详解】(1)由题意,数列是等差数列,所以,又,,由,得,所以,解得,所以数列的通项公式为.(2)由(1)得,,,两式相减得,,即.【点睛】本题主要考查等差的通项公式、以及“错位相减法”求和的应用,此类题目是数列问题中的常见题型,解答中确定通项公式是基础,准确计算求和是关键,易错点是在“错位”之后求和时,弄错等比数列的项数,能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.18、(1)不需调整(2)列联表见解析;有的把握判断学生“选择化学科目”与“选择物理科目”有关(3)详见解析【解析】
(1)可估计高一年级选修相应科目的人数分别为120,2,推理得对应开设选修班的数目分别为15,1.推理知生物科目需要减少4名教师,化学科目不需要调整.(2)根据列联表计算观测值,根据临界值表可得结论.(3)经统计,样本中选修了历史科目且在政治和地理2门中至少选修了一门的人数为12,频率为.用频率估计概率,则,根据二项分布概率公式可得分布列和数学期望.【详解】(1)经统计可知,样本40人中,选修化学、生物的人数分别为24,11,则可估计高一年级选修相应科目的人数分别为120,2.根据每个选修班最多编排50人,且尽量满额编班,得对应开设选修班的数目分别为15,1.现有化学、生物科目教师每科各8人,根据每位教师执教2个选修班,当且仅当一门科目的选课班级总数为奇数时,允许这门科目的一位教师执教一个班的条件,知生物科目需要减少4名教师,化学科目不需要调整.(2)根据表格中的数据进行统计后,制作列联表如下:选物理不选物理合计选化学19524不选化学61016合计251540则,有的把握判断学生”选择化学科目”与“选择物理科目”有关.(3)经统计,样本中选修了历史科目且在政治和地理2门中至少选修了一门的人数为12,频率为.用频率估计概率,则,分布列如下:01230.3430.4410.1890.021数学期望为.【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差,考查独立性检验,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19、(1);(2)见解析.【解析】
(1)代入得,分类讨论,解不等式即可;(2)利用绝对值不等式得性质,,,比较大小即可.【详解】(1)由于,于是原不等式化为,若,则,解得;若,则,解得;若
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