二项式定理、复数-2024年高考数学考试易错题及解析

专题14二项式定理、复数

题型一：(a-b)n化解问题£易一点：忽略了二项式中的负号而致错

——题型二：三项展开式的问题三易揩点：三项式转化不合理导致计算导烦失误

二项式定理、复数S--题型三：系数与二项式系数问题又易。点：混淆项的系数与二项式系效致读

——题型四：求复数虚部G；易楂点：混淆虐部定义致楂

——题型五：复数有关模长的求算0易指点：复数的几何意义应用错读

易错点一：忽略了二项式中的负号而致错((a・b)n化解问题)

I:二项式定理

一般地，对于任意正整数"，都有：(a+b『=cy+c1b++C，”&+...+C»”(〃eN・)，

这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做(〃+勿”的二项展开式.

nrr

式中的eV"%'做二项展开式的通项，用4讨表示，即通项为展开式的第r+1项：7；+1=C：a-b,

其中的系数C3=0，1，2,…，，?)叫做二项式系数，

II：二项式3+〃)"的展开式的特点：

①项数：共有〃+1项，比二项式的次数大1；

②二项式系数：第r+1项的二项式系数为。，最大二项式系数项居中；

③次数：各项的次数都等于二项式的塞指数〃.字母“降塞排列，次数由〃到0；字母〃升嘉排列，

次

数从0到〃，每一项中，。,人次数和均为〃；

④项的系数：二项式系数依次是C：,c：,c3…，C；，…，C〉项的系数是。与人的系数(包括二项

式系数).

m：两个常用的二项展开式：

nnx

①(a-b)'C：：a-C\a-b+-..4-(-1/<>-77+(〃EN*)

②（I+x）"=1+C：x+C；/+…+c；x'+…+x"

IV：二项展开式的通项公式

二项展开式的通项:乙=C，-7/（r=0,1,2,3n）

公式特点：①它表示二项展开式的第厂+1项，该项的二项式系数是口；

②字母》的次数和组合数的上标相同；

③《与力的次数之和为〃.

注意：①二项式（〃+”'的二项展开式的第HI项C/"-'N和S+。）"的二项展开式的第丹1项

c：/-%'是有区别的，应用二项式定理时，其中的。和〃是不能随便交换位置的.

②通项是针对在5+份"这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项是

7；句=（-l）「CX”「（只需把外看成b代入二项式定理）.

易错提醒：在二项式定理3-加”的问题要注意b的系数为-1,在展开求解时不要忽略.

A.75B.-73C.6D.-6

错解：心=仁（4广（已）=C"x'令r=l,可得5a=30,・・・a=6.

错因分析：二项式（4-9,中的项为--土，错解中误认为是五，-卜，忽略了负号而出

）7Xy]x

现了错解.

正解：D7]，令，，=1,可得一5。=30,。=-6.

变式1：在的展开式中，x的系数是.

【详解】二项式（3/二[展开式的通项为&|=G（3X2门35Tx（其中

0<r<5fireN）,

令10-3/=1,解得r=3,所以n=C；32x（_2），=_720x,

所以展开式中x的系数是-720.故答案为：-720

变式2：展开式的常数项为.

【详解】展开式的通项公式为九|=C*6-]_±J=（T）*C产3止，

令6-3攵=0,解得女二2,

所以常数项为《=仁=15,故答案为：15.

变式3：（2x-J]6的展开式中丁的系数为.

【详解】设展开式中的第「+1项含有/项，即晨=（-1）’26-簿"1"

令6-2r=4,解得r=1,

即（4（2人）♦[一=-25C^4=-192A4,所以展开式中/的系数为T92.

【分析】中利用二项式定理可求得x的系数，从而求解.

【详解】由题意知鼠-的展开式为加=G（2X）7-1」J=（-1）'C27J72,

令7—2r=l,得r=3,所以/的系数为（-1）七；27-3=一560,故D项正确.

故选：D.

2.若（6-gj'UeN）的展开式中所有项的二项式系数之和为16,则（五+：）”的展开式中的常

数项为（）

A.6B.8C.28D.56

【答案】C

【分析】根据（五-，丫的展开式中所有项的二项式系数之和求出〃的值，从而写出（瓶+■!■［”的

IX）\X）

展开式的通项公式，再令4的指数为0,即可求解常数项.

【详解】由（五--；（〃£N）的展开式中所有项的二项式系数之和为16,得2〃=16,所以〃=4,

则二项式（以+口的展开式的通项公式为&=C；（网『=C二丁（0KY8且,-GN）,

令守=0,解得r=2,

所以4=C；=28,故（孤+1J的展开式中的常数项为28,

故选：C.

3.（1-生］。+历6的展开式中史尸的系数为（）

Iy）

A.55B.-70C.65D.-25

【答案】D

［分析］根据（x+y）6展开式的通项公式进行计算即可.

【详解】含%歹的项为'=1xC；x,y—-xC--25”,

y

所以展开式中X4y2的系数为-25.

故选：D.

4.若（3/--J的展开式中含有常数项（非零），则正整数〃的可能值是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】根据二项展开式的通项公式建立方程，求解即可.

【详解】由二项式定理知，

&I=C：（3X2）"，（一.）「

=C〉3"-r•（_；）'.42”5，，

因为其含有常数项，即存在〃"WN”，使得2〃二5二

止匕时〃=;_,所以〃=2时，n=5,

2

故选：C.

5.(2+/力(1-3，)’的展开式中第的系数为-1()5,则实数〃?=()

\"IJ

C.-1D.-2

【答案】D

【分析】利用二项式的展开式公式展开，再与前面的项相乘求解即可.

【详解】("—A'的展开式的通项公式为加=(-1)'仁针了，

所以£j=(-i)y尸尸•

X

6-r=3

令《।…解得r=3,

r+I=4

7-r=3

，%7-，，「(-1)’5/-》.令_解得，=4.

V—4

由题意，可知(一1)、C；+/K-(-l)4C；=-C?+"©=(〃L1)C；=一105,

所以m--2.

故选：D.

6.在(3-4)7的展开式中，/的系数为()

A.-21B.21C.189D.-189

【答案】B

【分析】利用二项展开式的通项公式可得解.

【详解】由二项展开式的通项公式得c；37"(-/)，，令;广=3得r=6,

所以F的系数为C；3(T)6=21.

故选：B.

7.(2/-3同(2-七)的展开式中含工的项的系数为.

【答案】960

【分析】利用二项展开式的通项公式分析运算求解.

【详解】的展开式的通项为7；“=c；27f故令r=°，2,

可得(2/-3同(2-2)的展开式中含x的项的系数为：

(-3)xC?x27+2xC；x25=-384+1344=96().

故答案为：960.

8.已知(or-七)的展开式中的常数项是672,则。=.

【答案】2

【分析】写出二项式通项(入整理后让工的次数为0,得出，•的值，再根据常数项的值列出等式方

程即可得出。的值.

【详解】展开式的通项为=C；/，(-l)rJ号，

令9一%=0,得厂一6,

2

所以常数项是=672,故。=2.

故答案为：2.

9.在(2工一白)的展开式中，x的系数为

【答案】24

【分析】求出二项式展开式的通项公式，再求出指定项的系数即得.

【详解】二项式(2x-%)展开式的通项为乙二C：(2x广=(-l)r.24-C>4^,rGN,r<4,

由4-乎=1，得厂=2,则】=(T)L22C*=24X,所以x的系数为24.

故答案为：24.

10.(1-2x)，(l+x)s的展开式中，按x的升鼎排列的第3项的系数为.

【答案】3

【分析】根据已知得出按x的升事排列的第3项即含/的项.结合二项式定理，分类讨论求解，即

可得出答案.

【详解】由已知可得，展开式中含有常数项、一次项、两次项，

所以，按工的升幕排列的第3项即含/的项.

(1-2”4展开式中的常数项为C：xrx(-2x)°=l,(1+4展开式中含Y的项为C；xfxx2=3/；

(1一2刈”展开式中含工的项为。：、1，*(一2力'=一4丫，(l+x)’展开式中含汇的项为C；x/xx=3x；

(l-2x)4展开式中含/的项为C：xl2x(-2x)2=24f,(1+力展开式中的常数项为C；xFx.”=1.

所以，(1-21)4(1+幻3的展开式中,含X2的项为1x3/-8工・3人+24./'1=3/.

故答案为：3.

11.在的展开式中的F的系数是.

【答案】-4072

【分析］根据二项展开式的通项公式，可令厂=3求得/的系数.

【详解】(乎-工

展开式的通项公式为：鼠(¥)'("卜晨㈠)'(何Q"

令3—6=3,解得：r=3,所以/的系数为c：x(-l)，(夜)’二一40夜.

故答案为：-40&.

12.二项式卜―的展开式中常数项为

【答案】-20

【分析】根据给定的条件，利用二项式定理求解作答.

【详解】的展开式的通项为7川=(-1)'CJ6-2"

令6-2r=0,得r=3,故常数项为(―1)3或=-20.

故答案为：-20.

13.的展开式的第三项的系数为135,则〃=

【答案】6

【分析】先写出展开式的通项公式乙一再令厂=2,列出等式求解即可;

【详解】1-：j的展开式的通项公式为酊=(-3)'C/L2"

则第三项的系数为(-3)2(3：=9C；=9x8^4=135,即〃("1)=30,解得〃=-5(舍去)或〃=6.

故答案为：6.

易错点二：三项式转化不合理导致计算麻烦失误(三项展开式的问题)

求三项展开式式中某些特定项的系数的方法

第一步：通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解

第二步，两次利用二项式定理的通项公式求解

第三步：由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项

式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量

易错提醒：对于三项式的展开问题，一般采取转化为二项式再展开的办法进行求解，但在转化为二

项式的时候，又有不同的处理策略：一是如果三项式能够化为完全平方的形式，或者能够进行因式

分解，则可通过对分解出来的两个二项展开式分别进行分析•，进而解决问题(如本例中的解法二)；

二是不能化为完全平方的形式，也不能进行因式分解时，可直接将三项式加括号变为二项式，套用

通项公式展开后对其中的二项式再利用通项展开并进行分析求解，但要结合要求解的问题进行合理

的变形，以利于求解.

例、(f+3x+2)s的展开式中，x的一次项的系数为()

A.120B.240C.320D.480

易错分析：本题易出现的错误是盲目套用解决三项式展开的一般方法(转化为二项式处理:

[(r+3x)+2j),而不针对要求解的问题进行合理的变通，导致运算繁杂并出现错误.

正解：解法一由于任+31+2『=[(/+2)+3寸，

展开式的通项为=G(/+2广'(3x)',0<r<5,

当且仅当r=l时，展开式才有x的一次项，此时心=力=《(/+2)“(3力.

所以展开式中x的一次项为C[C：・24,

它的系数为C[C：♦2-3=240.故选B.

解法二由于(丁+3x+2)5=(x+l)5(x+2)5,

所以展开式中x的一次项为

C；JC・2$+C；-C；J-2'=240x.故x的一次项的系数为24U.故选B.

变式1：在（。+北+3c）’的展开式中，含a%2c的系数为.

【详解】把（。+2匕+3。）5的展开式看成是5个因式（。+北+及）的乘积形式,

展开式中，含a%2c项的系数可以按如下步骤得到：

第一步，从5个因式中任选2个因式，这2个因式取。，有C；种取法；

第二步，从剩余的3个因式中任选2个因式，都取2以有C；种取法；

第三步，把剩余的1个因式中取3c,有C；种取法；

根据分步相乘原理，得；含々2〃。项的系数是C；X22C；X3U=360

故答案为：360.

变式2：（X—）,2—炉展开式中彳2,4的系数为（用数字作答）.

【详解】由于卜-丁-1）5表示5个因式卜-）7-1）的乘积，

故其中有2个因式取-），2,2个因式取工，剩余的一个因式取-I,可得含的项,

故展开式中fy1的系数为C；（-l）2・（-1）=-30,

故答案为：-30.

变式3：在（2x+y+z）s的展开式中，形如儿〃cN）的所有项系数之和是

【详解】（2x+），+z）’=[2x+i：y+z）T展开式的通项为4+]=C；（2x）J（），+z）’.

令5-r=3,得r=2.令y=z=l,

得所求系数之和为C"23X22=32（）.故答案为：320

【答案】B

【分析】因为+：+展开式中的项可以看作g个含有三个单项式各取一个相乘而得'

分析组合可能，结合组合数运算求解.

【详解】因为4十上+1展开式中的项可以看作8个含有三个单项式«,一』中各取一个相乘而

得，

若得到常数项，则有：①8个I；②2个五，1个1，5个1；③4个五，2个,，2个1；

xx

所以展开式中的常数项为CM18+C；X(4)2MC|MJ_XCX]5+C；X(&)4XC：XxC；xl2-589.

故选：B.

2.在(x+y+2)'的展开式中，孙3的系数是()

A.24B.32C.36D.40

【答案】D

【分析】根据题意，入)?的项为C5C)，3.C；x2,化简后即可求解.

【详解】根据题意，节3的项为C5-C33-CX2=40“3,

所以町尸的系数是40.

故选：D.

3.(也—x+i丫的展开式中的系数为12,贝l」cos26=()

Ix

A.-B.--C.；D.-

4224

【答案】C

【分析】根据乘法的运算法则，结合组合数的性质、二倍角的余弦公式进行求解即可.

【详解】j呼-x+lj的展开式中/的系数可以看成：6个因式(邛-x+lj中选取5个因式提

供”,

余下一个因式中提供竿或者6个因式(W-x+l)中选取4个因式提供工,余下两个因式中均提

供1,

故V的系数为C：-C〉sin6=12,

sin夕=一，

2

・•・cos2。=1-2sin20=1-2X'=',

42

故选：C

4.(x+)」l)6的展开式中孙2的系数为()

A.-60B.60C.-120D.120

【答案】A

【分析】先把x-1看作整体写出二项式展开的通项，再根据指定项确定x-1的次数，再写一次二项

式展开的通项，最后根据指定项配凑出项的系数.

【详解】因为。-1+丁)6展开式的通项为乙产黑(X-1)6-'，，

当厂=2时才能出现V，此时(x—1)4展开的通项为(—1)’,

当r=3时出现x的一次，所以展开式中4的系数为或C：(-1)，=-60.

故选：A.

5.设“>(),己知(犬+幺丫的展开式中只有第5项的二项式系数最大，且展开式中所有项的系数和

IX)

为256,则(/+2+5)”中*的系数为()

A.0B.2C.4D.8

【答案】C

【分析】根据题意得到〃=8和〃=1,再根据/项的取法为1个V和1个2再计算即可.

【详解】因为12+?J的展开式中只有第5项的二项式系数最大，

所以展开式一共有9项，即〃=8,

令x=1,得展开式中所有项的系数和为(1+。)8=256,所以。=1,

(1\2

/+2+=中一项的取法为1个/和1个2,

I-

所以炉系数为C：C：x2=4.

故选：C

6.(1-)，+3)5的展开式中，/),的系数为()

A.8()B.60C.-80D.-60

【答案】D

【分析】由题得。-），+3）5=卜+（3-），）了，再利用二项式的通项即可得到答案.

【详解】（x-y+3）5=［x+（3-y）T，则其展开式通项为产Qx5-'（3—y）［OWN,

令厂=2,则@-y+3）5的展开式中含V的项为

C；d（3-y）2=1（I?（9-6y+/）=90%3-60吐+1Ox^y2,

所以工、的系数为的，

故选：D.

7.已知（x+'+a］（aeR）展开式的各项系数之和为-1,贝!展开式中/的系数为（）

A.270B.-270C.330D.-330

【答案】D

【分析】令X=l,得（1+1+。）5=-1,得。=一3.再根据二项展开式的通项公式即可求解.

【详解】令x=l,则（1+1+。）'=一1,得。=一3.

1.Y-(-3)+C^x+-^-(-3)2+Cj^+-l-(-3)3

所以X4---3=

XJ

+C；1+：）（一3）4+C,（-3）s，

又因为只有cjx+4［・（—3）,（：：.+，］二（-3）3展开式中有含产的项，

所以/的系数为c©X（―3）+C；X（―3）3=-330.

故选：D

8.（/+0）的展开式中只有第5项的二项式系数最大，若展开式中所有项的系数和为256,则

1+2+9『中产的系数为（）

A.1B.4或1C.4或（）D.6或0

【答案】C

【分析】展开式中只有第5项的二项式系数最大，可以得到〃的值，然后再赋值法求出所有项的系

数和的表达式可解出。的值，再分类求山中f的系数即可得出答案.

【详解】展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以总共有9项，.•.，?=&

令％=1，得所有项的系数和为(1+力=256,「.aul或-3.

当。=1时，(丁+2+与［展开式中V的系数为：C*-2=4,

Ix')

当々=—3时，仁2+2+与］展开式中不含一项.

IxJ

故选：C.

9.(丁+_!_+1的展开式中父项的系数为

\x)

【答案】80

【分析】只需6个因式中3个因式取/、3个因式取,或2个因式取/、1个因式取工、3个因式

xx

取1,根据组合知识得到答案.

【详解】(d+^+ij可以看成6个因式［2+：+］)相乘，

所以+1j的展开式中含的项为3个因式取/、3个因式取一

或2个因式取炉、1个因式取,、3个因式取1,

X

所以12+1+ij的展开式中含丁项的系数为c：c；+c：c1G=&).

故答案为：80

10.(x+2)，-z『展开式中，尸丁i项的系数为.

【答案】-2240

【分析】由二项式定理求解.

【详解】(x+2y—Z)8=［(X+2)，)—ZT，〜的指数是3,••・得到C：(x+2j(-z)3,

•・・y的指数是2,得到C》3(2)，)2,・・・/)"项的系数为c；(_l)p22=—2240.

故答案为：-2240

11.（Y-X+2），y的展开式中V）1项的系数为.

【答案】-160

【分析】根据多项式相乘展开方法求解.

【详解】（Y-x+2），y的展开式中，构成w项只能是一个V、一个（一）、3个（2），）相乘,

故此项为.c；（-x）.c^（2y）3=-i60?/.

故答案为：T60.

（1V2

12.在1+x-一—的展开式中,『的系数为.

【答案】66

【分析】根据二项式的含义，结合组合数的计算，求得答案.

【详解】由题意，（1+x-击表示12个因式（1+x-+卜勺乘积,

故当2个因式取x,其余10人因式取1时，可得展开式中含《的项，

故f的系数为C；2XC；；=66.

故答案为：66.

13,卜2一於+））的展开式中，的系数为10,则〃=

【答案】1

【分析】化卜2_以+>，）'=［（工2sHy;利用二项展开式的通项公式求得展开式中心,2的系数，列

方程求出。的值.

【详解】（V一"+），）$=［（——公）+亓

其展开式的通项公式为（+1=心12-0¥丫r/,0<r<5,reN,

令厂=2得7；=C；•V（x-a）'•）尸=1Ox5），（丁一3ax~+3a2x-a）

因为x'J的系数为10，则TO/=10,解得a=-l,

故答案为：-1.

14.（x+2—lT展开式中的常数项为____.（用数字做答）

VxJ

【答案】49

【分析】利用分类计数原理求解即可.

［详解］(K+Aj=1+»)卜+；7)卜+：7)(x+；T、

展开式中得到常数项的方法分类如下：

(1)4个因式中都不取％,则不取1,全取-1,相乘得到常数项.

x

常数项为C：(-l)4=l；

(2)4个因式中有1个取犯则再取1个工，其余因式取-1,相乘得到常数项.

x

常数项为C；AC；(£|(T)2=24；

(3)4个因式中有2个取“，则再取2个,，相乘得到常数项.

x

常数项为C%2G⑶L24.

合并同类项，所以展开式中常数项为1+24+24=49.

故答案为：49.

15.(x-2y+1)，展开式中含邛3项的系数为.

【答案】-160

【分析】变形为2)，)+1］:写出通项公式，求出&=3,，=1,得到答案.

【详解】(x-2)，+1)5变形为［口-2)，)+1了，

故通项公式得小=G(x-2y广,

其中(A-2,y)5-r的通项公式为CLE-A(-2y)’，

故通项公式为(3£；_胃,/(-2)，)人，其中0<,<5，太「eN,

令k=3,5-r-k=l,解得％=3,r=l,

故C；C：x(—2)，y=-160个J

故答案为：-160

16.(1+2X-3/『的展开式中V的系数为.

【答案】92

【分析】由于(l+2x-3/)5=(17)S(1+3X)5,根据二项式定埋分别求得(17)‘和(1+3X)’的展开式

的通项，从而分析可得V的系数.

【详解】(1+2%一3巧'=(17)5(1+3%)5,

又(1-x)s展开式的通项小=d(r),=C；(-1)'Mr=OJ,2,3,4,5,

(1+3x)5展开式的通项SR=C；L(3x)*=C；/=展1234,5,

所以含V的项为串6+T2s5+4,S4+Q5+nS?+(S]

则含N的系数为

0；(-1)。《3，+《(一1)七；3"+《(—。七式+仁(一1)'C；32+C；(-l)4CK+C(T)'C3°=92.

故答案为：92.

17.(x+2y-3z)6的展开式中xy?/的系数为(用数字作答).

【答案】-6480

【分析】3+2y-3z)6=[(x+2)，)-3z1然后两次利用通项公式求解即可；

【详解】因为(x+2)，一3z)6=[(x+2y)-3z『，

6-<r6rr

设其展开式的通项公式为：7；H=C；(.r+2y)•(-3z)=C；(x+2y)-x(-3f.z,()<r<6,rGN,

令，=3,

mmw

得(x+2)，)3的通项公式为C^--(2y)=qx2“'产•/,0<m<3,/WGN,

令〃7=2,

所以(x+2y+3Z)6的展开式中，盯y的系数为C：x(-3)3x2?=-6480,

故答案为：-6480

易错点三：混淆项的系数与二项式系数致误(系数与二项式系数问题)

I：二项式展开式中的最值问题

1.二项式系数的性质

①每一行两端都是1,即C；=c;:其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即C；：产c：i+c：.

②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即c：=c;m.

③二项式系数和令a=/?=I,则二项式系数的和为C：+C：+C：++C；++C：=2",变形式

C：+C：+…+C：+…+C；=2-L

④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令。=1,匕=-1,

则G；-c+Gc；；=d-ir=o,

从而得到：C+a+C…+c/yc：+c：++c尸+-=；-2"=2i.

⑤最大值：

如果二项式的寡指数〃是偶数，则中间一项的二项式系数C：最大；

如果二项式的事指数〃是奇数，则中间两项勺，q+1的二项式系数C,芋，cf相等且最大.

2.系数的最大项

求(〃+区)”展开式中最大的项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为A，&，…，4川，

设第1+1项系数最大，应有《广二；，从而解出厂来.

II：二项式展开式中系数和有关问题

常用赋值举例：

(1)设(a+b)"=加+C；a""+C；,an-2b2++C：/"'+.+C»”,

二项式定理是一个恒等式，即对。，〃的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取。，

〃的值.

①令ai=l,可得：2"=《+C：++C；

②令〃=1,0=|,可得：0=仁-C：+C；—C：+(-1)℃>即：

C"C：+…+C：=C：+C：-+C<(假设〃为偶数)，再结合①可得：

C"+…+C：=C：+C：+…+.

nn2

(2)若f(x)=anx++d„_2x~++axx+4,则

①常数项：令x=0,得/=f(0).

②各项系数和：令X=l,得f(l)=%+4+%++an-\+Cln-

注意：常见的赋值为令x=0,x=l或x=-1,然后通过加减运算即可得到相应的结果.

易错提醒：二项式定理5+与”的问题要注意：项的系数与二项式系数的区别与联系(求所有项的系

数只要令字母值为1）.

三9

例、设的展开式中，第三项的系数为36,试求含V的项.

错解：第三项的系数为C：,依题意得C；=36,化简得"一〃一72=0,解此方程并舍去不合题意的

负值.得n=9,设（x-痴产的展开式中/项为第「+1项.则&由9—r=2,得r

=7,故的展开式中含Y的项为4=C12（_«）7=-7776«f.

错因分析：错解将“二项展开式中的第三项的二项式系数”当作了“第三项的系数”，解答显然是错误

的.

正解：（x—6）"的展开式的第三项为一#六.・.C：（_^）2=36,即〃2—〃一］2=0,解此

方程并舍去不合题意的负值，得n=4,设“-指）4的展开式中/项为第r+1项，则

7；产（一指）"由4-r=2,得r=2,即（x-遥）’的展开式中r项为Cjfq#）?二36『.

变式1：求（五+』=］的展开式中第3项的系数和二项式系数.

（o\5=禺.（旨），.（五广，,

【详解】二项式展开式通项公式为

2Q£2

第三项为：1=C；.（五片（五产=10•H/=90/,

所以第三项系数为90,第3项的二项式系数为C；=10.

变式2：计算（x+2.y）9的展开式中第5项的系数和二项式系数.

【详解】因为（x+2y）9的展开通项为十讨=C5i（2y）“=2"《产"炉（0«ZeN）,

所以（x+2），）9的展开式中第5项是1=2七%、4=2016/），4,

故所求第5项的系数是2016,第5项的二项式系数是C：=126.

变式3：求的展开式中常数项的值和对应的二项式系数.

t详解】因为

6-A6-AA

所以展开式中的第&+1项为如=C：[卜一[=c：2j/=c：2—产t

要得到常数项，必须有3-攵=0,从而有左=3,

因此常数项是第4项，旦7；=或2-3/-3=160.

从而可知常数项的值为160,其对应的二项式系数为C：=20.

1.在二项式（6--!-丫的展开式中，二项式系数最大的是（

)

I2.」

A.第3项B.第4项

C.第5项D.第3项和第4项

【答案】B

【分析】根据二项式系数的性质分析求解.

【详解】二项式丫的展开式共有7项，则二项式系数最大的是第4项.

故选:B.

2.已知二项式（2x-l）”的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则〃为（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】A

【分析】分析可知，二项式（2x-l）”的展开式共7项，即可求出〃的值.

【详解】因为二项式（2x-l）”的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，

则二项式（2x7）”的展开式共7项，即〃+1=7,解得“=6.

故选：A.

3.在二项式（6-4）6的展开式中，下列说法正确的是（）

2x

A.常数项是二13B.各项系数和为士1

464

C.第5项二项式系数最大D.奇数项二项式系数和为32

【答案】BD

【分析】根据二项式理及二项式系数的性质逐项判断即可.

【详解】二项式（）的展开式的通项为=晨

6-56-小工1=0,1,2,,6

当r=2时，得常数项为二"，故A不正确；

6I2；4

当x=l时，可得展开式各项系数和为（0-〈）6=],故B正确；

264

由于〃=6,则二项式系数最大为C：=20为展开式的第4项，故C不正确;

奇数项二项式系数和为C+C+C+C：=1+15+15+1=32,故D正确.

故选：BD.

4.在二项式（2x7严的展开式中，下列说法正确的是（）

A.第6项的二项式系数最大B.第6项的系数最大

C.所有项的二项式系数之和为2山D.所有项的系数之和为I

【答案】ACD

【分析】由系数和二项式的系数的性质可判断A,B,C；由赋值可判断D.

【详解】通项公式为却=C；c,（2x严，（T）—（-l）rr=0,1,2,•••/（），

其二项式系数为C；0,二项式（2x-l严的展开式共11项，中间项的二项式系数最大，

故第6项的二项式系数C；。是最大的，故A正确；

二项式系数和为2%所以C正确；

令x=l得所有项的系数和为1,故D正确；

因为展开式中第六项的系数为负数，所以第六项的系数不可能为最大，故B选项错误，

故选：ACD.

5.已知2,小8成等差数列，则在（2x-gJ的展开式中，下列说法正确的是（）

A.二项式系数之和为32B.各项系数之和为1

C.常数项为40D.展开式中系数最大的项为80x

【答案】ABD

【分析】根据等差中项可得〃=5.对于A：根据二项式系数之和的结论直接运算求解；对于B：利

用赋值法运算求解；对于C、D：利用二项展开式的通项公式运算求解.

【详解】由题意可得：2〃=2+8=10,则〃=5,

对于选项A：二项式系数之和为牙—32,故A正确;

对于选项B：令x=l,可得各项系数之和为（2-1）'=1,故B正确;

对于选项C、D：因为（2X-」丫的展开式的通项公式为：

IX）

5-rf

*=G(2x)f--|=(-l)G.2f/,r=03,2,3,4,5,

Ix/

（1\5

所以2x--=32炉-80.?+80x-40x-'+10A-3-x-5,

Ix）

展开式中没有常数项，故C错误；

展开式中系数最大的项为80尤，故D正确；

故选：ABD.

6.下列关于6-2人）的展开式的说法中正确的是（）

A.常数项为一160

B.第4项的系数最大

C.第4项的二项式系数最大

D.所有项的系数和为1

【答案】ACD

【分析】利用二项展开式的通项和二项式系数的性质求解.

1\6

【详解】--2x展开式的通项为=C：，（―2x）=（—2）七一六

对于A,令2%-6=0,解得A=3,・••常数项为（-2），C：=—8x20=760,A正确;

对于B,由通项公式知，若要系数最大，攵所有可能的取值为0,2,4,6,

・•・？；="、£=4C：X-2=60X-2,7；=（-2）*QX2=240X2,7；=（-2『.F=64巴

，展开式第5项的系数最大，B错误；

对于C,展开式共有7项，得第4项的二项式系数最大，C正确；

对于D,令x=l,则所有项的系数和为（「2）6=1,D正确.

故选：ACD.

7.若（五-的展开式的二项式系数之和为16,则（板+；『的展开式中-T的系数为

【答案】56

【分析】通过二项式系数和求出〃=4,然后求出（派+工丫展开式的通项公式，最后求出指定项的

IX）

系数即可.

【详解】由（加一口的展开式的二项式系数之和为16,得2"=16,所以〃=4,

IX）

/.\8/.y8-4r

则（五十；J的展开式的通项公式为（弧「8=c；x.，

令浮：=-4,解得-5,故,+：『的展开式中子的系数为c；=56.

故答案为：56

8.已知常数。>0,在（五-/j的二项展开式中的常数项为15,设

5234y

（1-2ar）=%+«|X+a2x+u3x+«4x+a5x,则a0+as=.

【答案】-31

【分析】先求出。=1，再由二项式的展开式进行求解即可.

【详解】解：］"一"的展开式为：乙产C；=葭•（一。）'/丁，

令6-3/=（）,得r=2,

则=15,因为a>0,所以。=1,

则（1—2办门=（1-24的展开式为：lx=C5\-2x）k=C；•（—2）。/,

5

得为=C.（-2）。=1,a5=C；（-2）=-32,

贝lj4+q=1+（-32）=-31,

故答案为：-31.

9.在（取-：）”的二项式中，所有的二项式系数之和为64,则各项的系数的绝对值之和为

【答案】729/36

【分析】根据二项式系数之和求出〃的值，进而设出各项的系数，然后采用赋值法即可求得答案.

【详解】由题意（五的二项式中，所有的二项式系数之和为64,

即T=64,/.n=6,

设正-2)的各项的系数为％吗M”,6，

则各项的系数的绝对值之和为I4I+14I+1生I++14I，

即为(五+中各项的系数的和，

令x=l,|/|+|q|+&1+…+141=(1+2)6=3°,

即各项的系数的绝对值之和为36=729,

故答案为：729

10.二项式(2/+(j的展开式中常数项为(用数字作答).

【答案】60

【分析】根据二项式展开式的通项公式即可求得正确答案.

(\\

【详解】二项式2/+_1展开式的通项公式为C〉(2/广彳口=晨"一.上,

kX)

由题意令12-3r=0,解得1=4,

所以二项式展开式中的常数项为C：X2'7=C；X22=MX4=60.

2x1

故答案为：60.

11.已知0+24)”(〃cN')的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则

n=.

【答案】14或23

【分析】根据二项式系数的定义列出等式，解方程即可求得〃=14或23.

【详解】由题意可得c：,c：C°成等差数列，则2c=c+c：。,

n\_n\n\

即“9!(/L9)!—8!(/i-8)!+10!(/z-10)!，

2_11

即9Q—9)=(〃-9)(〃_8)+10x9'即J"?-37〃+322=°'

解得〃=14或23.

故答案为：14或23

12.(2-£|(1-2X)4的展开式中含V项的系数为.

【答案】-70

【分析】先对第一个括号中选取单项式进行分类，然后再在每一类中分步，结合计数原理以及组合

数即可求解.

【详解】要得到的展开式中含有/的项，分以下两种情形：

情形一：先在第一个括号中选取“2”，然后在后面四个括号中选取3个“-2%”和1个“「，

由分步乘法计数原理可知此时“产'的系数为2xC：x(-2)\1=2X4X(-8)=-64；

情形二：先在第一个括号中选取“一：”，然后在后面四个括号中选取2个“-2工”和2个“1”，

由分步乘法计数原理可知此时“户的系数为-；xC：x(-2)2＞『=-；X6X4=-6.

zX

综上所述：由分类加法计数原理可知2-?(1-24的展开式中含.一项的系数为(-64)+(-6)=-70.

故答案为：-70.

13.若1-：)”展开式的二项式系数和为64,则展开式中第三项的二项式系数为.

【答案】15

【分析】根据二项式系数和得到〃=6,再计算第三项的二项式系数即可.

【详解】1展开式的二项式系数和为2"=64,故〃=6,

展开式中第三项的一项式系数为C；=15.

故答案为：15.

14.若卜X-夫)的展开式中二项式系数之和为64,则展开式中的常数项是.

【答案】胃135

【分析】先求得"的值，然后根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.

【详解】依题意，2"=64,〃=6,

(।\6/1_iY(\_1Y

则二项式3x—-=3x--/2展开式的通项公式为C；・(3X)612一

3

令6—；〃=0,解得厂=4,

所以展开式中的常数项是3f田；C：=9XL15=空.

\2)61616

故答案为：空135

16

15.已知(3x-2)”=%+%(x-l)+%(x-l)2+an(x-\y,若(3x-2)。展开式各项的二项式系数的和

为1024,则4的