第一章 特殊的平行四边形全单元教案-2022秋北师大版九年级上册数学

1.1菱形的性质与判定

第1课时菱形的性质

SB

i.通过折、剪纸张的方法，探索菱形独特的性质，理解菱形与平行四边形之间的联系;

2.通过学生间的交流、讨论、分析、类比、归纳，运用已学过的知识总结菱形的特征;

3.掌握菱形的概念和菱形的性质以及菱形的面积公式的推导.（重点、难点）

一、情景导入

请看演示：（可将事先按如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示）如图，改变平行

四边形的边，使之一组邻边相等，从而引出菱形概念.

让学生举一些日常生活中所见到过的菱形的例子.

总结：（1）菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是有一组邻边相等.（2）菱形是

特殊的平行四边形，即当一个平行四边形的一组邻边相等时，该平行四边形是菱形.不能忽

略平行四边形这一前提，而错误地认为有一组邻边相等的四边形就是菱形.

二、合作探究

探究点一：菱形的性质

［类型—］菱形的四条边相等

例1如图所示，在菱形ABCO中，已知NA=60。，AB=5,则AABO的周长是（）

A.10

B.12

C.15

D.20

解析：根据菱形的性质可判断△A8O是等边三角形，继而根据4B=5求出的周

长.

•・•四边形ABC。是菱形，

：.AB=AD.

又;NA=60°,

；・△ABD是等边三角形，

:.LABD的周长=3A6=15.

故选C.

方法总结:如果一个菱形的内角为60。或120。,则两边与较短对角线可构成等边三角形,

这是非常有用的基本图形.

［类型二］菱形的对角线互相垂直

曲陶如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC、8。相交于点O,BD=12cm,AC=6cm,

求菱形的周长.

解析：由于菱形的四条边都相等，所以要求其周长就要先求出其边长.由菱形性质可知,

其对角线互相垂直平分，因此可以在直角三角形中利用勾股定理进行计算.

A

解：因为四边形ABC。是菱形，

所以AC_LBO,

AO=^AC,BO=^BD.

因为AC=6cm,BD=12cm,

所以AO=3cm,BO=6cm.

在RtZXAB。中，由勾股定理，得

Afi=-\/AO2+BO2=^32+62=34(cm).

所以菱形的周长=4AB=4X3小=12小(cm).

方法总结：因为菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，所以菱形的有关计算

问题常转化到直角三角形中求解.

［类型三］菱形是轴对称图形

颤J如图，在菱形人38中，CK_LA〃于点E,CF_LA£＞于点尸，求证：AE-AF.

解析：要证明AE=4广，需要先证明△ACEZ/XACF

证明：连接AC.

•・•四边形ABC。是菱形,

平分N8A。，

即NB4C=NOAC

'：CELAB.CFLAD,

：.ZAEC=ZAFC=90°.

在△ACE和△ACF中，

ZAEC=ZAFC,

，NBAC=NDAC,

AC=AC,

：.AACE^AACF.

：.AE=AF.

方法总结：菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，每条对角

线平分一组对角.

探究点二：菱形的面积的计算方法

硒1如图所示，在菱形ABCO中，点。为对角线AC与8。的交点，且在AAOB中,

A8=13,OA=5,08=12.求菱形ABC。两对边的距离九

A

解析：先利用菱形的面积等于两条对角线艮度乘积的一半求得菱形的面积，又因为菱彩

是特殊的平行四边形，其面积等于底乘高，也就是一边长与两边之间距离的乘积，从而求得

两对边的距离.

解：在RtZ\AOB中，4B=13,0A=5,08=12,

于是S^AOB=^OAOB=^X5X12=30,

所以S芟形ABCD=4SAAO8=4X30=120.

又因为菱形两组对边的距离相等，

所以S差形ABCD=A8•h=13h,

所以13%=120,得力=贵i?0.

方法总结：菱形的面积计算有如下方法：（1）一边长与两对边的距离（即菱形的高）的积;

（2）四个小直角三角形的面积之和（或一个小直角三角形面积的4倍）;（3）两条对角线长度乘积

的一半.

三、板书设计

〃菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫

做菱形

‘边：对边平行且四条边相等

角：对角相等，邻角互补

菱形的性质＜

对角线：互相垂直平分，且每一条

菱形4

、对角线都平分一组对角

菱形的对称性：菱形是轴对称图形，每条对角线

所在的直线是它的对称轴

菱形的面积公式：5=底乂高=两条对角线长度

乘积的一半

为学生提供动手实践、研究探讨的时间与空间，让学生经历知识发生、发展的全过程,

培养学生自主学习、合作学习、主动获取知识的能力，使学生经历实践、推理、交流等数学

活动过程，亲身体验数学思想方法及数学观念，培养学生能力，促进学生发展.

第一章特殊平行四边形

1.1菱形的性质与判定

第1课时菱形的性质

1、会归纳菱形的特性并进行证明；

教学

2、能运用菱形的性质定理进行简单的计算与证明；

目标

3、在进行探索、猜想、证明过程中，进一步发展推理论证的能力，体会证明的必要性.

重点：菱形的性质定理证明

难点：菱形的性质定理证明、运用，生活数学与理论数学的相互转亿.

知识链接：平行四边形的性质与判定

一、课前预习：

1.复习平行四边形的性质.

边：

角：

对角线：

对称性：

2.菱形的定义是什么？

菱形是不是中心对称图形?____,对称中心是_________

3.请动手制作一个菱形，折一折，观察并填空.

菱形是不是轴对称图形？_，对称轴有几条?______,分别是__________

二、探索活动：

探索活动（一）：

菱形是一种特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质。

菱形特有的性质是（性质定理）：

菱形的四条边_____________;菱形的对角线________________o

探索活动（-）：

试证明上述定理

己知：____________________________________0

求证：（1）_____________________；

（2）_____________________o

探索活动（三）：

已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点0,图中存在特殊的三角

形吗？

如果菱形的两条对角线长分别为6和8,由此你能获得有关这个菱形的哪些

结论？（可得到边长为—;周长为______面积为______）

你认为菱形的面积与菱形的两条对角线的长有关吗？如果有关，怎样根据菱

形的对角线的计算它的面积？

由此可得：菱形的面积________________________________________.

由此得到菱形的两种面积计算方法：

1.

2._______________________________________________

你会计算菱形的周长吗？

三、例题精讲

例1.课本3页例1

例2.已知：在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0,E、F、G、H分别是菱形

ABCD各边的中点，求证：0E=0F=0G=0H.

四、课堂检测：

1.已知四边形ABCD是菱形，。是两条对角线的交点，AC=8cm,DB=6cm,菱形的边长

是______cm.

2.菱形ABCD的周长为40cm,两条对角线AC：BD=4：3,那么对角线AC=______cm,

BD=______cm.

3.若菱形的边长等于一条对角线的长，则它的一组邻角的度数分别为______________

4.已知菱形的面积为30平方厘米，如果一条对角线长为12厘米，则别一条对角线长

为________厘米.

5.菱形的两条对角线把菱形分成全等的直角三角形的个数是（）.

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

6.在菱形ABCD中，CE±AB,E为垂足，BC=2,BE=1,求菱形的周长和面积

五、学习体会:

第2课时菱形的判定

鳍I

1.理解并掌握菱形的判定方法；（重点）

2.灵活运用菱形的判定方法进行有关的证明和计算.（难点）

一、情景导入

木工在做菱形的窗格时，总是保证四条边框一样长，你知道其中的道理吗？借助以下图

形探索：如图，在四边形A8CO中，A8=3C=CO=D4,试说明四边形A8CO是菱形.

二、合作探究

探究点一：对角线互相垂直的平行四边形是菱形

例1如图所示，ABCD的对角线BD的垂直平分线与边A3,CD分别交于点E,F.

求证：四边形。石8户是菱形.

解析：本题首先应用到平行四边形的性质，其次应用到菱形的判定方法.要证四边形

DEBF是菱形,可以先证明其为平行四边形，再利用“对角线互相垂直”证明其为菱形.

DFC

证明：•・•四边形ABCO是平行四边形,

.\AH//DC.

:,NFDO=NEBO.

又・・・E尸垂直平分80,

：.OB=OD.

在△。。尸和△BOE中，

"FDO=4EB0,

<OD=OB,

.NFOD=/EOB,

•••△OO尸丝ZXBO^ASA）.

：.OF=OE.

・•・四边形OEB尸是平行四边形.

又・；EF上BD,

，四边形DEBF是菱形.

方法总结：用此方法也可以说是对角线互相垂直平分的四边形是菱形，但对角线互相垂

直的四边形不一定是菱形，必须强调对角线是互相垂直且平分的.

探究点二：四边相等的四边形是菱形

的旧如图所示，在△A8C中，ZB=90°,A8=6cm,8C=8cm.将△43C沿射线3C方

向平移10cm,得至A,B,C的对应点分别是D,E,F,连接40.求证：四边形ACTD

是菱形.

AD

RCEF

解析：根据平移的性质可得CP=A£>=10cm,DF=ACf再在RtZXABC中利用勾股定理

求出4c的长为10cm,就可以根据四边相等的四边形是菱形得到结论.

证明：由平移变换的性质得C/=4)=10cm,DF=AC.

VZB=90°,A8=6cm,BC=8cm,

工AC=、AB2+BC2=76+8]=IO(cm),

：.AC=DF=AD=CF=10cm,

，四边形4CF。是菱形.

方法总结：当四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运月四条边都相等来判定

一个四边形是菱形比较方便.

探究点三：菱形的判定和性质的综合应用

例1如图所示，在△ABC中，。、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE,延长DE到

点凡使得EF=BE,连接CE

(1)求证：四边形BC尸石是菱形；

(2)若CE=4,ZBCF=120°,求菱形BC尸E的面积.

(1)证明：•・•£>、七分别是八8、AC的中点，

・・・OE〃BC且2DE=BC.

又♦:BE=2DE,EF=BE,

:・EF=BC,EF//BC,

・•・四边形BCFE是平行四边形.

又*：EF=BE,

・•・四边形8c尸E是菱形；

(2)解：VZfiCF=120°,AZEBC=W>

・•・△ESC是等边三角形，

.••菱形的边长为4,高为2小二

，菱形的面积为4X2小=8小.

方法总结：判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法.如果可以证明四条边

相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以尝试证出这个

四边形是平行四边形，然后用定义法或判定定理1来证明菱形.

三、板书设计

有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）

四边相等的四边形是菱形

对角线互相垂直的平行四边形是菱形

（对角线互相垂直平分的四边形是菱形

经历菱形的证明、猜想的过程，进一步提高学生的推理论证能力，体会证明过程中所运

用的归纳概括以及转化等数学方法.在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观

察能力、动手能力及逻辑思维能力.

第2时菱形的判定

1、掌握菱形的判定定理并解决实际问题，会根据已知条件画出菱形

教学

2、能够运用综合法证明菱形的判定定理及其推论。

目标

3、经历探索菱形判定的过程，培养学生的动手能力、观察能力及推理能力。

重点：严格证明菱形判定定理及其推论。

难点：运用综合法解决菱形的相美题型。

知识链接：平行四边形的性质与判定

【学习过程】

一、课前自主学习

菱形的对边。

菱形的四边___________________________________O

菱形的性质:乂菱形的对角线.

菱形是对称图形，又是对称图形。

I菱形的面积=或菱形的面积=

二、课内探索新知。

菱形的判定方法：

方法一：（定义）有一组邻边相等的平行四边形是菱形

方法二：

用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动

的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形.转动木条，这个四边形什

么时候变成菱形？

通过探究，得到：对角线的平行四边形是菱形。

D

已知菱形的一条对角线你会做菱形吗？试一试

方法三：一个同学先画两条等长的线段AB、AD,然后分别以B、D为圆心，AB

为半径画弧，得到两弧的交点C,连接BC、CD,就得到了一个四边形,

猜一猜，这是什么四边形？请你画一画。

通过探究，得到：的四边形是菱形。

证明上述结论：

三、例题巩固

课本6页例2

四、课堂检测

1、下列判别错误的是（）

A.对角线互相垂直，平分的四边形是菱形.B、对角线互相垂直的平行四边形

是菱形

C.有一条对角线平分一组对角的四边形是菱形.D.邻边相等的平行四边形是

菱形.

2、下列条件中，可以判定一个四边形是菱形的是（）

A.两条对角线相等B.两条对角线互相垂直

C.两条对角线相等且垂直D.两条对角线互相垂直平分

3、要判断一个四边形是菱形，可以首先判断它是一个平行四边形，然后再判

定这个四边形的一组或两条对角线.

4、已知:如图'ABCI）的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、I；

求证：四边形AFCE是菱形

1.2矩形的性质与判定

第1课时矩形的性质

鳍I

i.掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系；（重点）

2.会运用矩形的概念和性质来解决有关问题.（难点）

一、情景导入

I.展示生活中一些平行四边形的实际应用图片（推拉门、活动衣架、篱笆、井架等），

想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？

2.思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，不管怎么拉，它还是一个

平行四边形吗？为什么？（动画演示拉动过程如图）

3.再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是

什么图形（小学学过的长方形），引出本课题及矩形定义.

平行四边形，有整契角

矩形是我们最常见的图形之一，例如书桌面、教科书的封面等都是矩形.

有一个角是直角的平行四边形是矩形.矩形是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形,

矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质.

探究点一：矩形的性质

［类型一］矩形的四个角都是直角

砸1如图，矩形4BCZ）中，点E在上，且AE平分N84c.若BE=4,AC=15,则

△4EC的面积为（）

BF

A.15

B.30

C.45

D.60

解析：如困，过石作£7LL4C,垂足为E

平分NR4C,EF±AC,BE1AB,

:・EF=BE=4,

.,.SAA£C=J4GEF=5X15X4=30.故选B.

方法总结：矩形的四个角都是直角，常作为证明或求值的隐含条件.

［类型二］矩形的对角线相等

曲的如图所示，矩形A8CO的两条对角线相交于点。，NAOO=60。，AQ=2,则AC

的长是（）

A.2

B.4

C.2小

D.44

解析：根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC=OO=OA=）C,由N4OO=60。得

△AO。为等边三角形，即可求出AC的长.

•・•四边形A8CD为矩形，

：.AC=BDfOA=OC=^ACtOD=OB=^BD,

：.OA=OD/：ZAOD=60°,

:.△A。。为等边三角形，

.•・。4=0£>=2,：,AC=2OA=4.

故选B.

方法总结：矩形的两条对角线互相平分且相等，即对角线把矩形分成四个等腰三角形，

当两条对角线的夹角为60。或120。时，图中有等边三角形，从而可以利用等边三角形的性质

解题.

探究点二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

画❸如图，已知5Q,CE是△A3C不同边上的高，点G,尸分别是8C,OE的中点,

试说明GFLDE.

解析：本题的已知条件中已经有直角三角形，有斜边上的中点，由此可联想到应用“直

角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一定理.

A

解：连接EG,DG.

,:BD,CE是△ABC的高,

：.ZBDC=ZBEC=90Q.

•・•点G是BC的中点，

•••EG=/BC,DG=^BC.

：.EG=DG.

又•・•点尸是OE的中点，

:.GF工DE.

方法总结：在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化为等腰三

角形的问题，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题.

探究点三：矩形的性质的应用

［类型—］利用矩形的性质求有关线段的长度

硒1如图，已知矩形ABCO中，E是4D上的一点，尸是上的一点，EF1EC,且

EF=EC,OE=4cm,矩形4BCO的周长为32cm,求AE的长.

解析：先判定尸出△£)(?£,得CO=AE,再根据矩形的周长为32列方程求出AE的

长.

解：•・•四边形A8CO是矩形，

；・ZA=ZD=90°,

AZCED+ZECD=90°.

又〈EFLEC,

:.NAE/+NCEO=90。，

:.ZAEF=ZECD.

而EF=EC,

：.zME尸且△OCE,

：,AE=CD.

设AE=xcm,

.*•CD-xcmfA£>—(x+4)cm,

则有x+4+4=16,解得x=6.

即AE的长为6cm.

方法总结：矩形的各角为直角，常作为全等的一个条件用来证三角形全等，可借助直角

的条件解决直角三角形中的问题.

［类型二］利用矩形的性质求有关角度的大小

圆回如图，在矩形A8CO中，A及LB。于E,ZDAE：ZBAE=3：1,求NB4E和NEA。

的度数.

解析：由/BAE与ND4E之和为90。及这两个角之比可求得这两个角的度数，从而得

ZABO的度数，再根据矩形的性质易得NE40的度数.

解：•・•四边形ABCO是矩形，・・・NOAB=90。，

AO=^AC,BO=^BD,AC=BD,

・・・N8AE+NOAE=90。，AO=BO.

又N84E=3：1,

・・・/BAE=22.5°,NDAE=67.5°.

*：AE±BDt

・•・NA8E=90°-N84E=90。-22.5。=67.5°,

：.ZOAB=ZABE=61.50

：.ZE4O=67.5°-22.5°=45C.

方法总结：矩形的性质是证明线段相等或倍分、角的相等与求值及线段平行或垂直的重

要依据.

［类型三］利用矩形的性质求图形的面积

的@如图所示，£尸过矩形4BCO对角线的交点。，且分别交A8、CO于E、F,那么

阴影部分的面积是矩形AI3CD面积的（）

匕r-jDo

解析：由四边形48CD为矩形，易证得△BEOmADFO,则阴影部分的面积等于AAOB

的面积，而△AO8的面积为矩形A8CO面积的（，故阴影部分的面积为矩彩面积的;.故选B.

方法总结：求阴影部分的面积时，当阴影部分不规则或比较分散时，通常运用割补法将

阴影部分转化为较规则的图形，再求其面积.

［类型四］矩形中的折叠问题

丽如图，将矩形48CO沿着直线B。折叠，使点C落在C处，BC交4D于点E,AD

=8,A8=4,求△8EO的面积.

解析：这是一道折叠问题，折后的图形与原图形全等，从而得知ABCDgABCD,则

易得BE=OE.在RtZ\ABE中，利用勾股定理列方程求出8E的长，即可求得△8EO的面积.

解：・・,四边形A5c。是矩形,

：.AD//BC,NA=90。，

・・.N2=N3.

又由折叠知△BCOg/SBCD,

r.zi=Z2,

/.ZI=Z3.ABE=D£.

设BE=OE=x,则4E=8—x.

■:在RtAABE中,AB2-^AE2=BE2,

；・42+(8—x)2=f.解得x=5,

即DE=5.

AS^BED=^DEAB=^X5X4=10.

方法总结：矩形的折叠问题是常见的问题，本题的易错点是对△BEO是等腰三角形认

识不足，解题的关键是对折叠后的几何形状要有一个正确的分析.

三、板书设计

「矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形

叫做矩形

矩形<［四个角都是直角

矩形的性质•两组对边分别平行且相等

、〔对角线互相平分且相等

效额遢恩

经历矩形的概念和性质的探索过程，把握平行四边形的演变过程，迁移到矩形的概念与

性质上来，明确矩形是特殊的平行四边形.培养学生的推理能力以及自主合作精神，掌握几

何思维方法，体会逻辑推理的思维价值.

1.2矩形的性质与判定

第1课时矩形的性质

京1.知道矩形的概念与有关性质，会用这些知识进行简单的推理与计算。

目2.在了解矩形与平行四边形之间的关系，掌握、运用矩形性质的过程中，渗透数形结合、

标转化化归与方程思想，进一步提高分析问题与解决问题的能力。

重点矩形概念的理解；掌握并会运用矩形的性质

难点运用矩形的性质进行简单的推理与计算。

一、定义：

矩形的定义：0

由此可见，矩形是特殊的,它具有的

所有性质。

二、探究矩形的性质：

1.四个角都是直角.

2.对角线相等且平分.

三、知识延展：

11

(1)、由矩形性质有0A=OC=.AC0B=0D=5BD且AC二BD

得0A===

・・・矩形对角线的交点0到各顶点的距离。

(2)由图可知，在矩形中有个直角三角形，它们分别是

有个等腰三角形，它们分别是

・,・我们通常在直角三角形、等腰三角形中求有关边与角。

(3)、由矩形性质有NABO9MOA=OB=OC

这说明：RtZXABC中，若0B是斜边AC的,则0B=AC

・•・直角三角形斜边上的中线等于斜边长的

(4)思考：矩形是轴对称图形吗？

将矩形作业纸对折，我们发现：

矩形是图形，有条对称轴。对称

轴

是0

・,・矩形既是对称图形，又是—对称图形，对称中心为—

四、应用

1、例题：(P13例1,先看题目自己完成证明过程，再对照课本检查)

2、课堂检测:

(1)如图,在矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点0.已知ZAOB=60°,

AC=16,则图中长度为8的线段有()

A.2条B.4条C.5条D.6条AD

(2)下列关于矩形的说法中正确的是()

A.对角线相等的四边形是矩形

B.对角线互相平分的四边形是矩形

C.矩形的对角线互相垂直且平分

D.矩形的对角线相等且互相平分

(3)将矩形ABCD沿AE折叠,得到如图所示图形。若NCED'=56°,

则NAED的大小是______.

第2课时矩形的判定

鳍I

1.理解并掌握矩形的判定方法；（重点）

2.能熟练掌握矩形的判定及性质的综合应用.（难点）

一、情景导入

小明想要做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根

长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形相框？看看谁的方法可行！

二、合作探究

探究点一：对角线相等的平行四边形是矩形

颐1如图所示，外面的四边形ABCO是矩形，对角线AC,8。相交于点0,里面的四

边形MPNQ的四个顶点都在矩形ABCO的对角线上，且AM=BP=CN=OQ.求证：四边形

MPNQ是矩形.

解析：要证明四边形M尸NQ是矩形，应先证明它是平行四边形，由已知可再证明其对

角线相等.

证明：二•四边形ABC。是矩形，：.OA=OB=OC=OD.

,:AM=BP=CN=DQ,

：.0M=0P=0N=0Q.

:.四边形MPNQ是平行四边形.

又;OM+ON=CP.

：,MN=PQ.

・•・平行四边形MPNQ是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.

方法总结：在判断四边形的形状时，若已知条件中有对角线，可首先考虑能否用对角线

的条件证明矩形.

探究点二：有三个角是直角的四边形是矩形

曲陶如图，GE//HF,直线A8与GE交于点4,与HF交于点、B,AC、BC、BD、AD

分别是NE48、NFBA、ZABH.NG4B的平分线，求证：四边形AD8C是矩形.

解析：利用已知条件，证明四边形AOBC有三个角是直角.

G夕E

H

证明：•:GE〃HF,

••・NGAB+N4B"=180。.

VADs3。分别是NGA8、/A6〃的平分线,

AZ1=1ZGAS,N4=，4BH,

・•・N1+N4=；(NGAB+48H)=3X180°=90°,

Z.N4OB=180。一(/1+Z4)=90°.

同理可得/4C8=90。.

又VNA8H+ZFBA=\80°,

Z4=1ZABH,Z2=|ZFBZ,

・•・Z2+Z4=^(ZAB/7+ZFBA)=5X180°=90°,即/。8。=90;

四边形是矩形.

方法总结：矩形的判定方法和矩形的性质是相辅相成的，注意它们的区别和联系，此判

定方法只要说明一个四边形有二个角是直角，则这个四边形就是矩形.

探究点三：有一个角是直角的平行四边形是矩形

例1如图所示，在△ABC中，。为BC边上的一点，E是4。的中点，过4点作8。的

平行线交CE的延长线于点尸，且4尸=8D连接BE

(1*0与。。有什么数量关系？请说明理由；

(2)当△ABC满足什么条件时，四边形A尸BD是矩形？并说明理由.

解析：(1)根据“两直线平行，内错角相等”得出NA尸E=NDCE,然后利用“AAS”证明

△AEF和ADEC全等,根据“全等三角形对应边相等"可得AF=CD,再利用等量代换即

可得BZ)=CD:(2)先利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边杉”证明四边形A尸8。

是平行四边形，再根据“有一个角是直角的平行四边彩是矩形"可知上人£＞。一90。.由等腰三

角形三线合一的性质可知△ABC满足的条件必须是AB=AC.

解：(1*O=C£>.理由如下：

■:AFHBC,

:.ZAFE=ZDCE.

是AO的中点，

：.AE=DE.

ZAFE=ZDCE,

在△4EP和△OEC中，"ZAEF=ZDEC,

_AE=DE,

:.4AEF9△DEC(AAS),

：,AF=DC.

'：AF=BD,

：.BD=DC；

(2)当△4?C满足A8=AC时，四边形A五8。是矩形.理由如下：

•「A尸〃B。，AF=BD,

:.四边形AFBD是平行四边形.

：.AB=AC,BD=DC,

:.ZADB=90°.

，四边形人心。是矩形.

方法总结：本题综合考查了矩形和全等三角形的判定方法，明确有一个角是直角的平行

四边形是矩形是解本题的关键.

三、板书设计

。对角线相等的平行四边形是矩形

矩形的

^三个角是直角的四边形是矩形

判IzI定

〔有一个角是直角的平行四边形是矩形(定义)

通过探索与交流，得出矩形的判定定理，使学生亲身经历知识的发生过程，并会运用定

理解决相关问题.通过开放式命题，尝试从不同角度寻求解决问题的方法.通过动手实践、

合作探索、小组交流，培养学生的逻辑推理能力.

第2课时矩形的判定

教

学1.理解并掌握矩形的判定定理，能有理有据的推理证明，精练准确地书写表达。

目2.能熟练应用矩形的性质、判定等知识进行有关证明和计算.

标

重点掌握并会运用矩形的判定

难点运用矩形的判定进行简单的推理与计算。

备注（教师复备

一、旧知回顾

栏）

1、想一想：矩形有哪些性质？在这些性质中那些是平行四边形所没

有的？列表进行比较.

平行四边形矩形

边对边平行且相等对边平行且相等

角对角相等，邻角互补四个角都是直角

对角线对角线互相平分对角线相等且互相平分

2、矩形对称性:

仿照平行四边形的判定猜想，你能猜出矩形

的判定有哪些吗？（分别从边、角、对角线几个方面考虑。）

1、定义可以作为判定

2、四个角都是直角的四边形

3、对角线相等的平行四边形或对角线互相平分且相等的四边形。

你能证明所写出的判定命题吗?

三、应用备注（教师复备

栏）

例1.如图，OABCD的对角线AC、BD交于点O,4AOB是正三

角形,AB=4cm.

⑴求证口ABCD是矩形.

⑵求OABCD的面积.

2.已知：如图，在团ABC中，0C=9O°,CD为中线，延长CD到点E,

使得DE=CD.连结AE,BE,则四边形ACBE为矩形吗？说明理由。

答案：四边形ACBE是矩形.因为CD是RtAACB斜边上的中线，

所以DA=DC=DB,又因为DE=CD,所以DA=DC=DB=DE,所以四边形ABCD

是矩形（对角线相等且互相平分的四边形是矩形）。

四、课堂检测：

1.下列说法正确的是（）

A.有一组对角是直角的四边形一定是矩形

B.有一组邻角是直角的四边形一定是矩形

C.对角线互相平分的四边形是矩形

D.对角互补的平行四边形是矩形

2.矩形各角平分线围成的四边形是（）

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形

3.下列判定矩形的说法是否正确

（1）有一个角是直角的四边形是矩形（）

（2）四个角都是直角的四边形是矩形（）

（3）四个角都相等的四边形是矩形（）

（4）对角线相等的四边形是矩形（）

（5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形（）

（6）对角线相等且互相平分的四边形是矩形（）

4.在四边形488中，AB=DC,AD=8c.请再添加一个条件，使四边形

ABCD是矩形.你添加的条件是_________.（写出一种即可）

1.3正方形的性质与判定

第1课时正方形的性质

SB

i.了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质定理；(重点)

2.会利用正方形的性质进行相关的计算和证明.(难点)

一、情景导入

如图⑴所示，把可以活动的矩形框架ABCD的BC边平行移动，使矩形的邻边AD,

DC相等，观察这时矩形ABCD的形状.

如图(2)所示，把可以活动的菱形框架ABCD的NA变为宜角，观察这时菱形ABCD的

形状.

图(1)中图形的变化可判断矩形ABCD-特殊的四边形是什么四边形？图(2)中图形变化

用判断菱形ABCD一特殊的四边形是什么四边形？经过观察，你发现既是矩形乂是菱形的图

形是什么四边形？

引入正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.

注意：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，即：有一组邻边相等的矩形是正方形

或有一个角是直角的菱形是正方形.

二、合作探究

探究点一：正方形的性质

砸1如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O,A0=2,求正方

形的周长与面积.

解：•・•四边形ABCD是正方形，

AAC1BD,OA=OD=2.

在RlZ^AOD中，由勾股定理，得

AD=A/OA2+OD2=^/22+22=V8.

，正方形的周长为4AD=4、/§=8啦，面积为AD?=(m)2=8.

方法总结：结合勾股定理，充分利用正方形的四边相等、四角相等、对角线相等且互相

垂直平分的性质，是解决与正方形有关的题目的关键.

探究点二：正方形的性质的应用

［类型—］利用正方形的性质求角度

硼图四边形ABCD是正方形，4ADE是等边三角形，求NBEC的大小.

解析：等边4ADE可以在正方形的内部，也可以在正方形的外部，因此本题分两种情

解：当等边4ADE在正方形ABCD外部时，如图①，AB=AE,ZBAE=90°+60°=

150°.

AZAEB=15°.

同理可得NDEC=15。.

・•・ZBEC=60°-15°-15°=30°；

当等边△ADE在正方形ABCD内部时，如图②，AB=AE,NBAE=90。-60。=30。，

AZAEB=75°.

同理可得NDEC=75。.

，ZBEC=360o-750-75o-60°=150°.

综上所述，NBEC的大小为30。或150。.

易错提醒：因为等边4ADE与正方形ABCD有一条公共边，所以边相等.本题分两种

情况；等边4ADE在正方形的外部或在正方形的内部.

［类型二］利用正方形的性质求线段长

襁1如图，正方形ABCD的边长为1cm,AC为对角线，AE平分NBAC,EF1AC,

求BE的长.

解析：线段BE是R/ZXABE的一边，但由于AE未知，不能直接用勾股定理求BE,由

条件可证△ABEgZ^AFE,问题转化为求EF的长，结合已知条件易获解.

解：•・•四边形ABCD为正方形，

.*.ZB=90o,ZACB=45°,AB=BC=lc/n.

VEF±AC,

/.ZEFA=ZEFC=90°.

又•・・NECF=45。，

••・△EFC是等腰直角三角形，

，EF=FC.

VZBAE=ZFAE,ZB=ZEFA=90°,AE=AE,

.,.△ABE^AAFE,

・・・AB=AF=1。"，BE=EF.

AFC=BE.

在心△ABC中，

AC=*\/AB2+BC2=^/12+12=^/2（C;M）,

・'・FC—AC-AF=^2_1（cm）,

.•.BE=啦一1（。〃）.

方法总结：正方形被对角线分成4个等腰直角三角形，因此在正方形中解决问题时常用

到等腰三角形的性质与直角三角形的性质.

［类型三］利用正方形的性质证明线段相等

@11如图，己知过正方形ABCD的对角线BD上一点、P,作PE_LBC于点E,PF±CD

于点F,求证：AP=EF.

解析：由PE_LBC,PF_LCD知四边形PECF为矩形，故有EF=PC,这时只需说明AP

=CP,由正方形对角线互相垂直平分可知AP=CP.

证明：连接AC,PC,如图.

四边形ABCD为正方形，

・・・BD垂直平分AC,

・・・AP=CP.

VPE1BC,PFJ_CD,ZBCD=90°,

・•・四边形PECF为矩形，

APC-EF,AAP-EF.

方法总结：（1）在正方形中，常利用对角线互相垂直平分证明线段相等；（2）无论是正方

形还是矩形，经常连接对角线，这样可以使分散的条件集中.

三、板书设计

〃正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个

角是直角的平行四边形叫做

正方形

正方形＜

.四个角都是直角

正方形的性质＜四条边都相等

对角线相等且互相垂直平分

经历正方形有关性质的探索过程，把握正方形既是矩形又是菱形这一特性来学习本节课

内容.在观察中寻求新知，在探究中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法.培养合情推

理能力和探究习惯，体会平面几何的内在价值.

1.3正方形的性质与判定

第1课时正方形的性质

1、熟练掌握正方形的定义及边、角、对角线的性质。

教学

口42、知道正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别。

目标

_______3、应用正方形的性质进行相关计算、证明。

一、课前准备：

温故：1、矩形的性质是什么？

2、菱形的性质是什么？

二、初步探究

1、同学们观察下列一组图片、你发现了那些几何图形：

2、动手操作：制作一张正方形纸片，通过折叠并观察，回答下列问题.

问：它是轴对称图形吗？有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？有什么数量关系？

3、图中有哪些相等的线段？③图中有哪些相等的角？（组内交流、互相指出来）

4、正方形性质：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形.正方形具的性质，同时又具有

的性质.

总结：正方形的性质：

正方形边的性质：__________________________________________________________________

正方形角的性质：__________________________________________________________________

正方形对角线的性质：______________________________________________________________

结论：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

正方形的性质：正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形.所以它具有这些图形的所有

性质.正方形是轴对称图形，有四条对称轴.四条边相等、四个角是直角、对角线相等并且互相垂

直平分，每一条对角线平分一组对角.

三、对应练习

1）正方形的边长为4cm,则周长为（）,面积为（），对角线长为（）；

2））正方形ABCD中，对角线AC、BD交于0点,AC=4cm,则正方形的边长为（）,周长为

（）,面积为（）

3）在正方形ABCD中，AB=12cm,对角线AC、BD相交于O,OA=,AC=。

4）1、正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）

A、四个角相等B、对角线互相垂直平分C、对角互补D、对角线相等.

5）、正方形具有而菱形不一定具有的性质（）

A、四条边相等B对角线互相垂直平分C对角线平分一组对角D对角线相等.

6）、正方形对角线长6,则它的面积为周长为.

7）、顺次连接正方形各边中点的小正方形的面积是原正方形面积的（）

A.1/2B.1/3C.1/4D.1/5

四：范例讲解：1、（课本P21例工）学生自己阅读课本内容、注意证明过程的书写

2、如图，分别以4ABC的边AB,AC为一边向外画正方形AEDB和正方形ACFG,连接CE,BG.求证：

BG=CE

E

/%<G

D'

BC

第2课时正方形的判定

鳍I

1.掌握正方形的判定方法；（重点）

2.会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算.（难点）

一、情景导入

我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它们之间有怎样的包含

关系