第三讲文明足迹-数学史上的著名定理

第3讲文明足迹——教学史上的著名定理

3.1黄金分割

天工造物，不经意间展现出一种美的旋律。那蜿蜒的群山，那清脆的流水，那迷人的景

致，那怒放的花朵，大自然的赋予，让人如此的神往！

那么，“美的密码”是什么呢？两千年来，人类在探索美的艺术的同时，也在探索着美

的奥秘。

数学家毕达哥拉斯有一句名言：凡是美的东西都具有共同的特性，那就是部分与部分以

及部分与整体之间的和谐。

画家们说，实践使他们认识到，把画的主体放在画的正中央，大约是个败笔。观看下面

的一组图画，你肯定会觉得第3幅图画来的优美。量一量就知道，那幅画的重心大约配置在

画面的0.618的地方。

建筑师们也发现，边长比为0.618的矩形具有特殊的美感。窗户与房屋采用这样的矩

形结构，特别令人赏心悦目。

19世纪中叶，德国心理学家弗希内（GustavFechner）曾经做过一次别出心裁的实验。

他开了一次“矩形展览会”，会上展出了他精心制作的各种矩形，并要求参观者投票选择各

自认为最美的和最丑的矩形。结果，最美矩形中，长与宽接近0.618的矩形得票最高。以后

又有许多人（如拉罗）做了更多的实验。见下表。

最佳矩形（％）最坏矩形（％）

宽与长之比

FechnerLaloFechnerLalo

1.003.011.727.822.5

0.830.21.019.716.6

0.802.01.39.49.1

0.752.59.52.59.1

1

0.697.75.61.22.5

0.6720.611.00.40.6

0.6235.030.30.00.0

0.5720.06.30.80.6

0.507.58.02.512.5

0.401.515.335.726.6

100.0100.0100.0100.1

0.618!这一再出现的神秘数字……正是所谓的黄金分割数。

那么，黄金分割数是如何得到的？欧几里得在《几何原本》第二卷给出命题：“将一条

线段分成两段，使得整段与其中一分段所含矩形等于另一分段上的正方形。”分点就是所谓

的黄金分割点。欧几里得的作图法如下：在48上作出正方形45CD,取幺。的中点£,

在ZU延长线上取点/，使所=£8。在48上取点8,使得ZH=4F。于是点X即为所

求。

Y-I-1V

设/5=1,AH=x.由」二土，得一元二次方程

x1

%2—x—1=0

其正根即为黄金分割数。=＞乎=1.61803»美的密码在此呈现!

2

黄金分割已经为古希腊毕达哥拉斯学派所熟悉，因为该学派的标志是一个五角星；而正

五边形各对角线交点都是黄金分割点。据说在古希腊时期，有一天毕达哥拉斯走在街上，

在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听。他发现铁匠打铁节奏

很有规律，这个声音的比例被毕达哥斯拉用数理的方式表达出来。

长和宽之比等于黄金分割比的长方形叫黄金矩形。奇妙的是，从一个黄金矩形中去掉一

个宽作为边长的正方形，余下的举行还是黄金矩形。事实上，若设大黄金矩形的两边为

a:b=</>,分出一个正方形后，所余小矩形的两边分别为b-。和a,他们的比：

b-abl1小-1

-------1=1=———-------1=--------

aa（/）V5-12

2

从某一个黄金矩形开始，去掉一个正方形，再从余下的黄金矩形中去掉一个正方形，这

样一直下去，所得到的一系列黄金分割点恰恰位于同一条等角螺线上！

3

黄金矩形与等角螺线

容易看出，在上面第一幅张邮票中，大矩形内各正方形的角点形成两条直线：一条是大

矩形对角线，另一条是小矩形的对角线。这表明这一系列正方形，构成了无穷递缩等比数列!

黄金分割被认为是建筑和艺术中最理想的比例。艺术家们应用它，创造出令人更加神往

的艺术珍品；设计师们利用它，设计出巧夺天工的建筑；科学家们则在科学的海洋尽情地欢

奏0.618这美的旋律！

现在，风姿绰约的主持人出台亮相时，她们并不站立在舞台的中央，而是站在舞台的黄

金分割点。因为这样的位置，可以给观众留下更加完美的形象！

最令人惊奇的是：人体美也遵循着0.618的规律！人们测量了爱神维纳斯和女神雅典娜

4

古希腊巴特农神殿主持人报幕蒙娜丽莎的微笑

的雕像，发现她们下身与全身的比接近0.618。大量的调查表明，现今的女性，下身与

全身的平均比为0.58,因此不少女子穿上高跟鞋，以提高上述比值，增强美感。芭蕾舞演员

则在婆娑起舞的时候，踮起脚尖，以展现0.618的美丽一一无怪人们对芭蕾如此的喜爱！

黄金比值，是造福人类的一个数字。

3.2勾股定理

3.2.1巴比伦

我们今天是通过19世纪上半叶以来考古发掘的泥版文献来了解美索不达米亚文明的数

学成就的。这些泥版文献分别属于古巴比伦时代（公元前1900-1600年）和塞留斯时代（公

元前311年以后）。

在大英博物馆所藏的一块巴比伦泥版上有如下数学问题：“已知矩形的长为4,对角线

为5,问宽是多少？”解法是：“4乘4得16,5乘5得25,从25中减去16,余9。因为3

乘3得9,故3即为所求的宽。”显然，巴比伦人利用了勾股定理。另一泥版问题：”长为0.5

单位的梯子倚墙而立，当上端沿墙下移0.1单位距离时，下端离墙移动多远？”也是用勾股

定理来解的。

美国耶鲁大学所藏的YBC7289号泥版如下图所示。显然，这是一个已知正方形边长

30,求对角线的问题。图中第一行上以60进制表示的数字1,24,51,10即为

1+-+-^+^-=1.414212963,这正是的近似值，精确到了小数点后五位；第二

60602603

2535

行上的数字42,25,35则是上述近似值的30倍，即42+—+r=42.426388889,它显

60602

然是利用勾股定理求得的对角线长30后的近似值。

5

耶鲁大学所藏泥版YBC7289(约公元前1600年)

1936年，欧洲考古学家在离巴比伦古城约350英里的伊朗苏萨(Susa)城发掘出一组

数学泥版。其中一块上有这样的问题：已知等腰三角形三边分别为50、50、60,求三角形

外接圆半径。设三角形顶点为A、B、C,外心为O,过A作高线AD,如图所示。用我们

的符号表示，泥版上的解法相当于：由勾股定理，AD2=AB2-BD2,得20=40。设

外接圆半径为x,贝i]Z0=08=x,OD=40-x»再次利用勾股定理得

x2=OD2+BD2,故，=(40—+302,解得x=314。

苏萨泥版

6

迪巴伊(TellDhibayi)泥版是考古学家于1962年在巴格达附近发掘的约500块泥版中

的一块数学泥版，制作时间大约是公元前1750年。上面是一几何问题：已知矩形面积为0.75,

对角线长1.25,求矩形的边长。设边长分别为x和y,利用勾股定理，问题相当于解方程

组

xy=0.75,x2+v2=1.252

不同于我们今天通常使用的代入消元法，泥版上的解法是依次求出：

①2孙=1.5；

@x2+y2-2xj=1.5625-1.5=0.0625；

@x-y=0.25；

④^^=0.125；

2

212G22

⑤x+3—2町=二+匕—至=0015625；

4442

⑥仁+匚现+盯上+片+肛=0.765625；

(442J-442

⑦号=0.875；

⑩x=l,y=0.75o

事实上，巴比伦人所拥有的代数技巧远远超乎我们的想像，对他们而言，上面解法中对

一些恒等式的利用乃是稀松平常之事。

7

Plimpton322号泥版（哥伦比亚大学藏）

在迄今发现的共约300块巴比伦数学泥版中，最让数学史家们感兴趣的莫过于美国哥伦

比亚大学所藏Plimpton322号泥版了。泥版上有15行、4列数字（见下表，表中数字已换

算成十进制），原来人们还以为是一份帐目。但是，奥地利著名数学史家诺伊格鲍尔（O.

Neugebauer,1899-1990）经过研究惊奇地发现：第3列数与第2列数的平方差竟都是平方

数！例如：1692—1192=1202（第1行），185412-127092=135002（第4行），等等。

有四处不满足这一规律，但人们相信这是祭司抄写错误所致。这就表明，它是一张勾股数表。

表中我们在错误的数字之后加了正确数字。

英国数学家齐曼（C.Zeeman,1925〜）指出，如果巴比伦人使用了勾股数一般公式

a=p2-q2,b=2pq,c=p2+q~

那么，满足q<60,31”2445°且（：0122=《（Z是勾。所对的角）为有限小数

a-

的勾股数只有16组。而Plimpton322号泥版给出了其中的15组！其水平之高，令人惊叹。

由于泥版的左边断裂，残片无法觅得，有人猜测：断裂的左半含有对应于<30°的勾

股数；又有人猜测，左半部分含有相应的夕、q、2Pq和tai?/的值。

泥版文献中还有一些围绕勾股定理的更复杂的问题，如已知。、c+b,求b、c；已

知c、a+b,求a、b,已知仍、a+b+c,求a、b、c等。尽管在巴比伦泥版中我们

(c/b)2ac序号

8

1.983402781191691

1.94915855336711521[4825]2

1.91880213460166493

1.8862479112709185414

1.8150077265975

1.785192903194816

1.71998368229135417

1.6927094279912498

1.64266944541[481]7699

1.582122574961816110

1.56250000457511

1.489416841679292912

1.4500173625921[161]28913

1.430238821771322914

1.387160495653[106]15

还没有发现中国《九章算术》勾股章中所给出的关于勾股定理的一般性叙述，有关勾股

定理的应用在水平上也次于《九章算术》，但不要忘了，它们在时间上早了1500年！即使我

们把勾股定理上溯到商高时代，巴比伦人仍然享有无可辩驳的优先权。

3.2.2古希腊

真理：她的标志是永恒

一旦愚昧的世界见到她的光芒

毕达哥拉斯定理今天依然正确

犹如初次被传授给兄弟会一样

女神们以这束光芒相馈赠

毕达哥拉斯回祭一份厚礼

一百头牛，烤熟切片

表达对她们的无限感激

9

从那一天起，当它们猜测

一个新的真理会被揭去面纱

在那恶魔似的围栏里

一阵阵哀鸣立即爆发

无力阻挡真理发现者的暴行

毕达哥拉斯让它们永不安宁

它们瑟瑟颤抖着

绝望地闭上了眼睛海涅

传说，毕达哥拉斯学派为庆祝勾股定理的发现而宰杀百牛以祭司缪斯女神。据此，德国

著名诗人海涅写了上面这首诗。其对弱者的同情跃然于纸上矣！

尽管该定理以毕达哥拉斯命名，但并没有可靠的证据证明它确实是他发现的。后世作者

还叙述了为毕氏学派为庆祝该定理的发现而进行百牲大祭的故事。

毕达哥拉斯定理（尼加拉瓜邮票，1971）

10

PITAGOftASec.VI1C

<z>

IAA\I-AP\；JM'].

毕达哥拉斯定理（希腊邮票）毕达哥拉斯（圣马利诺邮票）

毕达哥拉斯是如何发现勾股定理的？数学史家作了一些推测。其中一种如下图。

另一种推测是利用三角形的相似性。

欧几里得《几何原本》第一卷命题47

即为勾股定理。欧几里得的证明如下：

MBF=AADC

正方形Cb=2AABb>

矩形4£=2AAZ>C

=>正方形矩形4Z]

正方形CK=矩形Atj

=正方形C尸+正方形CK

=正方形AE

11

希腊人将证明称之为“结婚妇女的定理”(theoremofthemarriedwomen)；法国人称之

为“驴桥定理”(ponsasinorum)；阿拉伯人称之为“新娘图”(Figureofbride)或“新娘

之坐椅”(Bride'schair)；印度数学家婆什迦罗称之为“小巧结婚妇女的轻便马车”(chaise

ofthelittlemarriedwomen)；欧洲后来又有人称之为“孔雀的尾巴”或“大风车”。

新娘的坐椅

中译本《几何原本》中的毕达哥拉斯定理

12

毕达哥拉斯树

3.2.3中国

《周髀算经》上卷开篇写道：

“昔者周公问于商高日：窃闻乎大夫善数也，请问数安从出？商高曰：数之法出于圆方,

圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩以为勾广三，股修四，径隅五。既方其外，

半之一矩。环而共盘，得成三、四、五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下

者，此数之所生也。”

这段文字包含了勾股定理的特例：32+42=5\而陈子在回答荣方问题时说：

“若求斜至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得斜至日。”

13

说的是用一般情形的勾股定理来求地面上物体与太阳之间的距离。有学者认为上引商高

的话中已经隐含了对勾股定理的一般证明1,但尚需进一步探讨。

赵爽不仅给出了勾股定理的一般证明，而且对围绕该定理的勾股理论进行了系统的研究

和总结。赵爽在他的“勾股圆方图注”2中写道：

勾、股各自乘，并之为弦实。开方除之，即弦。按弦图，又可以勾、股相乘为朱

实二，倍之，为朱实四。以勾股之差自相乘，为中黄实。加差实，亦成弦实。

这里讲的就是勾股定理及其证明。如下图所示。将相同的四个红色勾股形和一个边长为

勾股之差的黄色正方形拼合成两个分别以勾和股为边长的正方形。然后移动其中两个勾股

形，将原图另拼为以弦为边长的正方形。由于前后两图面积不变，因此勾股定理得到了证明。

1参阅刘钝.大哉言数.辽宁教育出版社，1993.389-390.

2《周髀算经》卷上，见郭书春主编，中国科学技术典籍通汇•数学卷（一），河南教育出版社，1994,11-12.

14

赵爽的证明

2002年北京国际数学家大会会徽

《九章算术》勾股术曰：“勾股各自乘，并，而开方除之，即弦。”刘徽用出入相补原

理对定理作出证明。

15

刘徽对勾股定理的证明（清李锐复原）

清代许多数学家，如梅文鼎、李善兰、华衡芳等都对勾股定理作出了证明，其中华衡芳

给出的证明多达21种。如下图。

16

17

华蔚芳的证明（之四）

18

19

20

华斯芳的证明（之十三）

21

22

华祷芳的证明（之十七）

华端芳的证明（之二十*）

*与阿拉伯数学家伊本•瓜拉（ThabitlbnQorra,826-901）在证法同。

23

华赭芳的证明(之二十一)

华端芳的证明(之二十二)

3.2.4文艺复兴后的欧洲

时光流逝，斗转星移，可是人们对勾股定理的兴趣却不曾改变。文艺复兴时期著名

艺大师达•芬奇利用下图中的四边形NCPN、PMBC、AFEBG/诩两两全等，轻而易举

地证明了这个定理；1881年当选总统的加菲尔德(J.A.Garfield,1831〜1881)于1876年(这

一年贝尔发明了电话)利用直角梯形面积巧妙地完成证明，为勾股定理的历史增添精彩的一

页：一方面，直角梯形面积等于g(a+b)x(a+b)=：(a+b)2；另一方面，它又是由两个

同样的直角三角形和一个等腰直角三角形所组成，面积和为

111919、

—abT—cibH—c-cibH—c。从而证得勾股定理。

2222

24

达•芬奇对勾股定理的证明

b

勾股定理的总统证法

25

Wipper的证明

H.Perigal的水车翼轮法

毕达哥拉斯定理的证明方法至今已多达400多种。其中有不同时空数学家的贡献，

也有艺术家和政治家的神来之笔，甚至还有一位盲童的贡献。伟大如爱因斯坦者，也与

毕达哥拉斯定理有过邂逅。在《与爱因斯坦的对话》一书中，AlexanderMoszkowski这

样写道：

有一次雅可比叔叔向爱因斯坦讲了毕达哥拉斯定理的内容，而未讲任何证明。他

的侄儿理解所涉及的关系，并感到可基于一个理由而推导出来这个孩子在三个

星期中用其全部的思维力量去证明这一定理。他专注到三角形的相识性得到了一个

证明。为此，他久久的激动不已！这虽然仅涉及一个非常古老的著名定理，他经历

了发现者的首次快乐。

3.3全等三角形同定定理

26

在古代埃及和巴比伦，新庙址的测量乃是按严格的几何和天文方法进行的，而且是法老

和僧侣阶级的特权。在埃及神话里，有专门掌管测量的女神。一些测量工具和基本的几何图

形，往往成了神圣的符号而被人们用作护身符。下图是埃及古墓中出土的测量工具形状的护

身符⑵，其中第二种显然是测水准的工具。

图3

古代的水准仪由一个等腰三角形以及悬挂在顶点处的铅垂线组成，如下图所示。测量时,

调整底边的位置，如果铅垂线经过底边中点，就表明底边垂直于铅垂线，即底边是水平的。

这就是“边边边”定理的应用。我们有理由相信，埃及人在建造金字塔时必用到这种测量工

具。

古罗马土地丈量员的墓碑上，我们也看到了这种水平仪，图5即为其中一例。中世纪和

文艺复兴时代，这种工具仍被广泛使用。17世纪意大利数学家博默多罗（Pomodoro）的《实

用几何》一书中利用上述水准仪来测量山的高度。

27

MAEBVIlVSM-L1

/AACEDOm

M-AEBVTIV5-M-L1

CALLISTRATVS-F

V-MAFBWS.M™,

VIVUAHBEREm

IVUALLHESVCHW

POMPONIArkLSELW

CLODIMEAKTIOasi

希腊几何学的鼻祖泰勒斯（Thales,前6世纪）曾在游历埃及时，利用相似三角形性质

测量了金字塔的高度；而亚里士多德的弟子欧得姆斯（Eudemus,前4世纪）又把角边角定

理（《几何原本》卷1命题26）归功于泰勒斯的发现。普罗克拉斯（Proclus,5世纪）告诉

我们：

“欧得姆斯在其《几何史》中将该定理归于泰勒斯。因为他说，泰勒斯证明了如何

求出海上轮船到海岸的距离，其方法中必须用到该定理。”山

欧得姆斯大概是有文献记载的第一位数学史家，可惜他的《几何史》失传了。泰勒斯究

竟是如何求轮船与海岸距离的？法国数学史家坦纳里（P.Tannery,1843-1904）认为，泰勒

斯应该是用图8所示的方法来求船到海岸的距离的：设/为海岸上的观察点，作线段NC垂

直于AB,取NC的中点。，过。作/C的垂线，在垂线上取点E,使得3、。和E三点共线。

利用角边角定理，CE的长度即为所求的距离。

28

这种方法为后来的罗马土地丈量员所普遍采用。但这种方法仍然受到质疑，因为如果船

离海岸很远，岸边很难有足够的平地可供测量。英国数学史家希思（T.L.Heath,1861~1940）

则提出了另一种猜测：如图9,泰勒斯在海边的塔（或高丘）上利用一种简单的工具进行测

量。直竿M垂直于地面（利用铅垂线），在其上有一固定钉子/,另一横杆可以绕N转动,

但可以固定在任一位置上。将该细竿调准到指向船的位置，然后转动即（保持与底面垂直）,

将细竿对准岸上的某一点C。则根据角边角定理，DC=DB。

上述测量方法广泛使用于文艺复兴时期。图10是16世纪意大利数学家贝里（S.Belli,?〜

1575）出版于1565年的测量著作中的插图，图中所示的方法与泰勒斯所用方法相同。有一

个故事说，拿破仑军队在行军途中为一河流所阻，一名随军工程师运用泰勒斯的方法迅速测

得河流的宽度，因而受到拿破仑的嘉奖。可见，从古希腊开始，角边角定理在测量中一直扮

演者重要角色。还有一则故事说，一位志愿军战士利用上述方法测出美军军营与我军之间的

距离。

泰勒斯的方法在16世纪

29

3.4相似三角形的性质

爱奥尼亚学派的创立者是泰勒斯(Thales,640B.C-546B.C.)被称为希腊几何学的

鼻祖。他生于米利都，青年时代经商，曾游历埃及，利用利用相似三角形性质测量过金字塔

的高度。他发现了许多命题：

•对顶角相等；

•圆为直径所平分；

•等腰三角形底角相等；

•a..s.a.；

•半圆上的圆周角为直角；

•相似三角形对应边成比例。

泰勒斯最早将几何学引入希腊，并将其变为一门依赖一般命题的演绎科学。泰勒斯也是

一位天文学家，曾预言公元前585年5月28日的一次日食。传说，他曾利用天文知识，预

测来年橄榄大丰收，于是提前廉价租下当地所有榨坊，等橄榄成熟季节高价转租，一夜暴富。

泰勒斯测量金字塔高度的方法如下图。

泰勒斯测量金字塔的高度

古希腊历史学家希罗多德(Herodotus,前5世纪)描述了毕达哥拉斯的故乡、萨莫斯岛

上的一条约建于公元前530年、用于从爱琴海引水的穿山隧道，设计者为工程师欧帕里诺斯

(Eupalinos)o这个隧道后来被人遗忘，直到19世纪末，它才被考古工作者重新发现。20

世纪70年代，考古工作者对隧道进行了全面的发掘。隧道全长1036米，宽1.8米，高1.8

米。两个工程队从山的南北两侧同时往里挖掘，最后在山底某处会合，考古发现，会合处误

30

差极小。当时人们挖隧道所用的标准方法是在挖掘过程中在山的表面向下挖若干通风井，以

确定所抵达的位置，并校正挖掘的方向。然而，令考古学家惊讶的是，该隧道挖掘过程中并

未使用这一方法！人们不禁要问：欧帕里诺斯到底是用什么方法来确保两个工程队在彼此看

不到的情况下沿同一条直线向里挖的？

萨莫斯隧道

在欧帕里诺斯600年后，希腊数学家海伦在一本介绍测量方法的小书《Dioptra》中给出

一种在山两侧的两个已知出口之间挖掘直线隧道的方法，人们相信：这正是欧帕里诺斯当年

用过的方法。

海伦所介绍的隧道挖掘法

如上图所示，要在两侧山脚的两个入口/和3之间挖一条直线隧道。从8处出发任作

一直线段3C,过。作3c的垂线CD,然后，依次作垂线。E、EF、FG、GH,直到接近/

点。在每一条线段的一个端点处能看到另一个端点。在最后一条垂线段G"上选取点J,使

得以垂直于G//。设/K为C3的垂线，K为垂足，则

31

AK=CD-EF-GJ-,BK=DE+FG-BC-AJ

现在3C和47上分别取点乙和N,过点工和N分别作8C和47之垂线，在两垂线上分

别取点M和尸，使得

LMPNAK

BL-ZN-BK

于是，RTA8L"、RTASK4、RTA4NP为相似三角形。因此，点尸、4、B、M共线。故

只需保证在隧道挖掘过程中，工人始终能看见尸、”处的标志即可。

数学之价值、数学之魅力由此可见一斑！

中国古代天文学家的远距离测量方法的依据之一是相似三角形的性质。《周髀算经》卷

上称：

取竹空径一寸，长八尺，捕影而视之，空正掩日，而日应空之孔。由此观之，率八十寸

而得径一寸。故以勾为首，以髀为股。从髀之日下六万里而髀无影，从此以上至日则八万里。

若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。从髀所旁

至日所十万里。以率率之，八十里得径一里。十万里得径千二百五十里。故日日罄径千二百

五十里。

刘徽在《九章算术》序中也称：“以径寸之筒南望日，日满筒空，则定筒之长短以为股

率，以筒径为勾率，日去人之数为大股，大股之勾即日径也。”

这里，《周髀》的作者和刘徽不约而同地介绍了西汉时期天文学家测量太阳直径的方法,

其依据是相似三角形对应边成比例的性质。

32

《九章算术》勾股章有很多测量问题，均以相似三角形性质来解。如：

•今有邑方二百步，各开中门。出东门一十五步有木。问：出南门几何步而见木？

•今有邑，东西七里，南北九里，各开中门。出东门一~F五里有木。问：出南门几何

步而见木？

•今有邑方不知大小，各开中门。出北门三十步有木。出西门七百五十步见木。问:

邑方几何？

33

TREE

•今有木去人不知远近。立四表，相去各一丈。另左两表与所望参相直。从后右表望

之，入前右表三寸。问：木去人几何？

OBSERVER

•今有山居木西，不知其高。山去木五十三里，木高九长五尺。人立木东三里，望木

末适与山峰斜平。人目高七尺，问：山高几何？

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SUMMITOFTHEHILL

«今有井径五尺，不知其深。立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸。问：井深

几何？

DEPTHOF

THEWELL

WATER

3.5三次方程的求根公式

16世纪以前，数学家们一直未能找到三次方程的一般求根公式。在一部14世纪的意大

利数学手稿中，作者类比一元二次方程的求根公式，给出方程a/=bx+c的错误求根公式:

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15世纪意大利数学家帕西沃里(L.Paccioli,1445?〜1509?)在其数学著作中称，求解三、

四次方程"3+bx=C,a/+法2=。和办4+乐3=。在当时和“化圆为方”问题-样是

不可能的。

三次方程求根公式的诞生是与16世纪意大利数学家之间的数学论战联系在一起的。当

时，意大利数学家们常常互相挑战，这不仅仅是为了赢得荣誉，而且也是为了各自的切身利

益：失败者门前冷落，不再能招到弟子，从而失去经济来源；而胜利者则会受到邀请去各地

讲学，受人拥戴，从者如云，财源滚滚。因而一个新方法的发明者往往不肯轻易泄露自己的

发现，因为有了这样的秘密武器，他就可以向对手提出自己拥有解法的相关问题。然而，三

次方程求根公式这一秘密武器却给塔塔格里亚(N.Tartaglia,1499〜1557)带来了不幸。

水域较量

塔塔格里亚于1499年出生于意大利的布雷西亚城。父亲是一名邮递员，约于1506年去

世，抛下母子三人。塔塔格里亚13岁时，法国军队入侵布雷西亚，在教堂中避难的他不幸

受五处头伤。经母亲精心护理，他才活了下来，但留下终身的后遗症：口吃。14岁时，塔

塔格里亚上了学，但很快因缴不起学费而辍学，并为谋生而干起辛苦的体力活，用他自己后

来的话说，“唯有‘贫穷’的女儿—‘辛劳’与他作伴但他很早就显示出惊人的数学才

能，约在18岁时，他当上了算术老师。

而立之年，经营过一所学校。1534年，

他去了威尼斯，当上了数学教授。

16世纪的威尼斯

1530年,一位名叫科伊(T.daCoi)

的布雷西亚人向塔塔格里亚请教两个问

题：

・一数的平方根加3,乘以该数，积为5,求该数;

•求三数，其中第二数比第一数大2,第三数又比第二数大2,三数乘积为1000。

塔塔格里亚告诉科伊说，他已经会解三次方程/+内2=q,但不想让别人知道。科

伊

悻悻而走。塔塔格里亚会解三次方程的消息传到波伦亚人费奥(A.M.Fiore)的耳朵里。

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这个费奥曾是波伦亚大学算术与几何学教师费罗(S.Ferro,1465〜1526)的学生。二十多年

前，费罗成功地解决了三次方程=并把解法传授给了费奥。因此费奥有恃无恐

地夸口说，既然塔塔格里亚自诩能解三次方程，那他就要去羞辱他一番。塔塔格里亚起先并

没在意，但当他得知费奥曾得师传时，便开始担心起来。他全身心投入方程/+px=q的

研究，终于在1535年2月14日找到一般解法，翌日又发现了方程

x3=px+q,x3+px2=q,x3+q=px2

的解法。

8天后，费奥果然来到威尼斯，公开向他挑战。在公证人家，他们彼此向对方提出30

个问题，并拿出一笔钱。根据协定，30天后，谁解出对方的问题多，谁就获胜，并赢得对

方的钱。费奥的30个问题是这样的：

(1)一数加上它的立方根，和为6。求该数；

(2)有二数，大数是小数的2倍。大数平方乘以小数，乘积加二数，和为40。求二

数；

(3)一数加上它的立方，和为5。求该数；

(4)三数成等比数列，公比为3。首项平方乘以末项，乘积加中项，和为7。求三

数；

(5)一数加上它的立方根的2倍，和为13。求该数；

(6)一数加上它的立方根的3倍，和为15。求该数；

(7)一数加上它的立方根的4倍，和为17。求该数；

(8)将13分成两部分，使两部分乘积等于较小部分自乘的平方，

其余22题相当于把7、9、12、12、14、20、25、26、27、28、29、34、100、100、140、

300、500、700、800、810、900、2000分成两部分，使得其中一部分是另一部分的立方根。

塔塔格里亚的问题不全是三次方程问题，其中8个是：

(1)一无理数平方根与40的和乘以该无理数，积为给定有理数，求该无理数；

(2)30与一无理数平方根的差乘以该无理数，积为给定有理数，求该无理数；

(3)一无理数加上它的立方根的4倍，和为13,求该无理数；

(4)一无理数减去它的立方根的3倍，差为10,求该无理数；

(5)将已知线段分割成可构成直角三角形的3段；

(6)将一正四棱台分割为体积相等的3部分；

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(7)用几何方法作一个已知不等边三角形的内接正方形；

(8)木桶装满纯酒；每天取出2小桶，又倒入2小桶的水；6天以后，木桶中酒和水

各占一半。求木桶容积。

塔塔格里亚有备而来，在不到2小时内解出了费奥的所有30个问题，而费奥却交了白

卷，只好拱手认输。塔塔格里亚大获全胜，却分文不取。

塔塔格里亚卡丹

守口如瓶

1536年12月10日，科伊又去威尼斯，向塔塔格里亚索要他所提的30个问题。塔塔格

里亚把前4个告诉给了科伊，但拒绝给出答案。为解这些问题，科伊冥思苦想，却一筹莫展。

6天后，他再次求教，同样受到塔塔格里亚的拒绝。塔塔格里亚说，三次方程的解法得之不

易，如未能获得荣誉和利益，他没有义务公开它们；等译完欧几里得《几何原本》后，他会

将其全部发表。

1539年初，科伊离开布雷西亚去了米兰。在那里，他受到卡丹(G.Cardano,1501〜1576)

的热情接待，卡丹甚至把自己所授的一门课让给了他。

卡丹何许人也？他于1501年出生于帕维亚，是个私生子。父亲是位博学的法官。卡丹

于1520年在帕维亚上大学，1526在帕多瓦获医学博士学位，在帕多瓦附近一小镇行医。1534

年，在米兰当上了数学教师，同时继续行医，成了当时米兰最著名的医生。

科伊到米兰时，卡丹正要出版一部名为《实用算术》的著作。听科伊说起塔塔格里亚的

发现后，他兴奋异常。以前，他一直相信帕西沃里的话，以为三次方程无法用代数方法解决,

而今塔塔格里亚竟有了代数解法，实在出乎意料。他很想用这个新发现来丰富自己的著作，

在仔细研究一番却一无所获之后，他委托书商以他的名义请求塔塔格里亚把(1)的解法寄给

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他，并向塔塔格里亚提出7个三次和四次方程问题。卡丹许诺：如把三次方程的解法写入他

的著作，他会注明它是塔塔格里亚的；如塔塔格里亚不愿意，他也可以为该解法保密。塔塔

格里亚答复说，他自己正计划写一部代数著作，他宁愿在自己的著作中发表这一发现。

气坏了的卡丹于1539年2月12日写信给塔塔格里亚，谴责他傲慢无礼，说他的水平并

未到达山巅，而只是在山脚、在山谷，等等。在信的末尾，卡丹向塔塔格里亚提出两个新的

三次方程问题，并称：他已把答案装在信封里，如果塔塔格里亚不会解，会有人把信封交给

他，条件是他必须给出7问题之一的解法。但塔塔格里亚没有上当。他直截了当地说：两个

问题卡丹哪个都不会解。不过，他还是把上面介绍过的8个问题告诉给了卡丹。

卡丹・计不成，又生■计。在写于1539年3月19日的一封信中，他检讨说，自己不

该从坏的方面去理解塔塔格里亚的答复。他把一切都推到科伊身上，说科伊到米兰后，在他

面前说了塔塔格里亚的许多坏话。在信末，他邀请塔塔格里亚尽早去米兰，并谎称：他已经

以塔塔格里亚的名义向瓦斯托侯爵（delVasto,当时米兰一位文艺事业的十分慷慨的资助者）

递交了两份关于他的发现的文书，瓦斯托看了文书后很想见他。塔塔格里亚见信后，先是犹

豫了一阵子，最后他还是去了米兰，并在卡丹家住下。

泄露天机

3月29日，卡丹与塔塔格里亚举行了会谈。卡丹责备塔塔格里亚缺乏善意，不肯把三

次方程的解法告诉他。塔塔格里亚则坚持说，一旦译完《几何原本》，他就着手写一部包含

此内容的代数著作。他直言不讳：如果他把发现教给象卡丹那样富于思辩的人，那这人就能

发现其他方程的解法，并将其作为自己的发现发表出来，岂不坏事？

卡丹：“但我也向您保证过，如果您不愿意，我将为这事保密。”

塔塔格里亚：“至于这个，我是不可能相信您的。”

卡丹：“我凭上帝的神圣福音并作为一个真正有荣誉的人向您发誓：如果您把您的发

现教给我，我不仅永不将其发表，而且还会将它们编成密码，以便在我死后无人能看懂。

愿不愿相信我，随您的便好了。”

塔塔格里亚：”如不相信这样的誓言，我当然就会博得不义之名。但我已决定去维吉

瓦诺找侯爵先生，因我来这里已三天，已等得不耐烦了。回来时我会把一切都告诉你。”

卡丹：“既然您要去看侯爵先生，我就给您写一封介绍信，以便他知道您是谁。但我

希望您走前能告诉我您向我承诺过的解法o”

塔塔格里亚终于答应了。他把为了避免遗忘而编成隐诗形式的三次方程解法抄录给了卡

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丹:

Quandoche'lcuboconlecoseappresso,立方共诸物，和为已知数,

Seaggagliaaqualchenumerodiscrete,另寻数一双，差同已知数。

Trovatiduialtridifferentiinesso.

Dapoiuartoquestoperconsueto根据题之需，再定其乘积,

Che'llorproduttosempresiaeguale物数三之一,立方算仔细。

Alterzocubodellecosenetto.

Elresiduepoisuogenerale差积既了然,双数得不难。

Dellilorlaticubibensottrati复算立方边,相减是答案。

Vorralatuacosaprincipali.

Inelsecundodecotestialti,诸物加定数,立方独一边,

Quandoche'lcuborestasseluisolo,君且莫急躁,别有好箴言。

Tuosserveraiquest9altricontratti.

Delnumerfaraidue,taipart'avalo定数一拆二,物数三之一,

Chefunoefaltrusiproducaschietto两分相乘时,立方是其积。

Elterzocubodellecoseinstelo.

Dellequalpoi,percommunprecetto,既知和与积,两分易得手。

Torraililaticubiinsiemegionti,复算立方边,相加是所求。

Etcotaluarsarailtuoconcetto.

Elterzopoidequestinostriconti立方加定数,诸物成单独。

Sesolveconsecondo,sebenguardi定数化为负，依样画葫芦。

Chesernaturasonquasicongionti.

Questitrovai,etnonconpassitardi一^五三四年,水城勤钻研,

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Nelmillecinquencenteuartoettrenta诸物为我求，基础牢且坚。

Confundamentibensaldiegagliardi,

Nelcittadalmarintomocenta.

塔塔格里亚再三警告卡丹不要背信弃义。

塔塔格里亚的隐诗只是为了便于他自己的记忆而编写的，别人当然不易理解。如以现代

代数语言来表达，诗的前3节是说：在求解方程/+px=q时，先求出另两个数小v,使

得

（夕丫

u-v=qfWV=IyI

那么方程的根为

X=\lu-Vvo

其中〃和V可由上面的方程组解出：

眇图

因此

'电悔+图-门」图+用

第4、5、6三节是说，在求解方程二尸:+q时，先求出另两个数〃、V,使得

U+V=q,uv=[^

那么方程的根为

X=Vw+Vvo

其中U和V可由上面的方程组解出：

因此

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而第7节是说，若在方程/=px+q解法中，以-q代替q,即得方程的

解。最后一节说的是，上述诸三次方程的解法是他于1534年在水上城市威尼斯研究发现的。

同年4月9日，卡丹写信给塔塔格里亚，把自己对隐诗的理解讲了一遍，称：“我过高

估计了自己的能力，我没能完全弄懂您的方法。请您惠赐方程/+3x=10的解法。”塔塔

格里亚于4月23日回信指出，卡丹把第2节的意思理解错了：“物数三之一，立方算仔