2024-2025学年高考数学考点第六章平面向量与复数平面向量的数量积理

考点6.3平面对量的数量积考点梳理考点梳理1.向量的夹角已知两个非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π].2.平面对量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积3.向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.4.平面对量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.结论符号表示坐标表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))夹角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))概念方法微思索两个向量的数量积大于0，则夹角肯定为锐角吗？提示不肯定．当夹角为0°时，数量积也大于0.真题真题演练1．（2024•山东）已知是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】画出图形如图，，它的几何意义是的长度与在向量的投影的乘积，明显，在处时，取得最大值，，可得，最大值为6，在处取得最小值，，最小值为，是边长为2的正六边形内的一点，所以的取值范围是．故选A．2．（2024•新课标Ⅱ）已知单位向量，的夹角为，则在下列向量中，与垂直的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】单位向量，，对于，，所以与不垂直；对于，，所以与不垂直；对于，，所以与不垂直；对于，，所以与垂直．故选D．3．（2024•新课标Ⅲ）已知向量，满意，，，则，（）A． B． C． D．【答案】D【解析】向量，满意，，，可得，，．故选D．4．（2024•新课标Ⅰ）已知非零向量，满意，且，则与的夹角为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，，．故选B．5．（2024•新课标Ⅱ）已知，，，则（）A． B． C．2 D．3【答案】C【解析】，，，，即，则故选C．6．（2024•新课标Ⅱ）已知向量，，则（）A． B．2 C． D．50【答案】A【解析】，，，，，，．故选A．7．（2024•天津）如图，在平面四边形ABCD中，，，，．若点为边CD上的动点，则的最小值为（）A． B． C． D．3【答案】A【解析】如图所示，以为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，过点做轴，过点做轴，，，，，，，，，，，，，，，设，，，，，，当时，取得最小值为．故选A．8．（2024•天津）在如图的平面图形中，已知，，，，，则的值为（）A． B． C． D．0【答案】C【解析】解法Ⅰ，由题意，，，，，且，又，；，，．解题Ⅱ：不妨设四边形是平行四边形，由，，，，，知，．故选C．9．（2024•新课标Ⅱ）已知向量，满意，，则（）A．4 B．3 C．2 D．0【答案】B【解析】向量，满意，，则，故选B．10．（2024•浙江）已知，，是平面对量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满意，则的最小值是（）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】由，得，，如图，不妨设，则的终点在以为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量与的夹角为，则的终点在不含端点的两条射线上．不妨以为例，则的最小值是到直线的距离减1．即．故选A．11．（2024•上海）已知、为平面上的两个定点，且，该平面上的动线段PQ的端点、，满意，，，则动线段PQ所形成图形的面积为（）A．36 B．60 C．72 D．108【答案】B【解析】依据题意建立平面直角坐标系，如图所示；则，，设，，；由，得；又，，；；动点在直线上，且，由相像三角形可知扫过的面积为48，即，则扫过的三角形的面积为，设点，，，，，，，，动点在直线上，且，，扫过的三角形的面积为，因此和为60，故选B．12．（2024•浙江）如图，已知平面四边形ABCD，，，，AC与BD交于点，记，，，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，，，由图象知，，，，即，故选C．13．（2024•新课标Ⅱ）已知是边长为2的等边三角形，为平面ABC内一点，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点，则，，，设，则，，，则当，时，取得最小值，故选B．14．（2024•新课标Ⅱ）设非零向量，满意，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】非零向量，满意，，，，解得，．故选A．15．（2024•上海）如图所示，正八边形的边长为2，若为该正八边形边上的动点，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，正八边形的每一个内角为，且，，，．再由正弦函数的单调性及值域可得，当与重合时，最小为．结合选项可得的取值范围为．故选B．16．（2024•天津）如图，在四边形中，，，，且，，则实数的值为__________，若，是线段上的动点，且，则的最小值为__________．【答案】，【解析】以为原点，以为轴建立如图所示的直角坐标系，，，，，，，，，设，，，，，，，解得，，，，，，，，设，则，其中，，，，，，当时取得最小值，最小值为，故答案为：，．17．（2024•上海）已知，，，，，是平面内两两互不相等的向量，满意，且，（其中，2，，2，，，则的最大值是__________．【答案】6【解析】如图，设，，由，且，，分别以，为圆心，以1和2为半径画圆，其中随意两圆的公共点共有6个．故满意条件的的最大值为6．故答案为：6．18．（2024•北京）已知正方形的边长为2，点满意，则__________；__________．【答案】，【解析】由，可得为的中点，则，，，故答案为：，．19．（2024•新课标Ⅱ）已知单位向量，的夹角为，与垂直，则__________．【答案】【解析】向量，为单位向量，且，的夹角为，，又与垂直，，即，则．故答案为：．20．（2024•新课标Ⅰ）设，为单位向量，且，则__________．【答案】【解析】，为单位向量，且，，可得，，所以，则．故答案为：．21．（2024•浙江）已知平面单位向量，满意．设，，向量，的夹角为，则的最小值是__________．【答案】【解析】设、的夹角为，由，为单位向量，满意，所以，解得；又，，且，的夹角为，所以，，；则，所以时，取得最小值为．故答案为：．22．（2024•上海）三角形中，是中点，，，，则__________．【答案】【解析】在中，，，，由余弦定理得，，，且是的中点，．故答案为：．23．（2024•上海）已知、、、、五个点，满意，2，，，2，，则的最小值为__________．【答案】【解析】设，则，，设，如图，求的最小值，则：，，，，当且仅当，即时取等号，的最小值为．故答案为：．24．（2024•天津）在四边形中，，，，，点在线段的延长线上，且，则__________．【答案】【解析】，，，在等腰三角形中，，又，，，，又，故答案为：．25．（2024•新课标Ⅲ）已知，为单位向量，且，若，则，__________．【答案】【解析】，，，，．故答案为：．26．（2024•江苏）如图，在中，是的中点，在边上，，与交于点．若，则的值是__________．【答案】【解析】设，，，，，，，，，．故答案为：．27．（2024•上海）在平面直角坐标系中，已知点、，、是轴上的两个动点，且，则的最小值为__________．【答案】【解析】依据题意，设，；；，或；且；；当时，；的最小值为；的最小值为，同理求出时，的最小值为．故答案为：．28．（2024•江苏）在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点．若，则点的横坐标为__________．【答案】3【解析】设，，，，，则圆的方程为．联立，解得．．解得：或．又，．即的横坐标为3．故答案为：3．29．（2024•山东）已知，是相互垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是__________．【答案】【解析】【方法一】由题意，设，，则，，；又夹角为，，即，解得．【方法二】，是相互垂直的单位向量，，且；又与的夹角为，，即，化简得，即，解得．故答案为：．30．（2024•江苏）在平面直角坐标系中，，，点在圆上．若，则点的横坐标的取值范围是__________．【答案】，【解析】依据题意，设，，则有，，，，化为：，即，表示直线以及直线上方的区域，联立，解可得或，结合图形分析可得：点的横坐标的取值范围是，，故答案为：，．31．（2024•天津）在中，，，．若，，且，则的值为__________．【答案】【解析】如图所示，中，，，，，，又，，，解得．故答案为：．32．（2024•新课标Ⅰ）已知向量，的夹角为，，，则__________．【答案】【解析】【解法一】向量，的夹角为，且，，，．【解法二】依据题意画出图形，如图所示；结合图形；在中，由余弦定理得，即．故答案为：．强化训练强化训练1．（2024•二模拟）已知向量，满意，，，且，则，的夹角的最小值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，的夹角为，，，，即，，当且仅当时，等号成立，，，，，即的最小值为．故选C．2．（2024•沙坪坝区校级模拟）已知向量满意，则（）A．0 B．2 C．4 D．6【答案】D【解析】，．故选D．3．（2024•南岗区校级模拟）中，是BC边的中点，，，则（）A．0 B． C． D．【答案】C【解析】如图，是的中点，，．故选C．4．（2024•武昌区校级模拟）若平面对量与的夹角为，，则向量的模为（）A．2 B．4 C．6 D．12【答案】B【解析】，，即，解得或（舍负）．故选B．5．（2024•宝鸡三模）已知向量与向量平行，且，，则（）A．12 B． C．5 D．12或【答案】D【解析】由题意知，向量与向量的夹角或，当时，；当时，．故选D．6．（2024•西湖区校级模拟）设，，为平面对量，，若，则的最大值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，即，．设，，则，，，，，，，整理得，向量的终点的轨迹是以为圆心，为半径的圆．设，，，当直线与圆相切时，取得最大值或最小值，此时有，解得或，的最大值为．故选B．7．（2024•西安三模）已知向量，向量，则的值为（）A．17 B．5 C． D．25【答案】C【解析】依据题意，向量，向量，则，故；故选C．8．（2024•东湖区校级模拟）中，，，是AC的中点，若，则（）A．0 B．2 C．4 D．8【答案】D【解析】依据题意，作出如下所示的图形：，，是的中点，，，．故选D．9．（2024•红岗区校级模拟）若，且与的夹角为，则（）A． B． C．7 D．3【答案】B【解析】由题可知，．，．．故选B．10．（2024•德阳模拟）设向量，，，若，设、的夹角为，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，，可得，可得，，，，可得，，设、的夹角为，则．故选D．11．（2024•襄州区校级四模）已知向量，，且，则（）A． B． C．4 D．5【答案】A【解析】依据题意，向量，，若，则有，解可得，则，，则，则；故选A．12．（2024•武侯区校级模拟）设向量，，且，则（）A．1 B．2 C． D．【答案】D【解析】由得，，，，得．故选D．13．（2024•兴庆区校级模拟）平面对量与的夹角为，，，则（）A． B． C．3 D．7【答案】B【解析】，，，．．故选B．14．（2024•贵港四模）在直角中，，，，，，设BF与CE交于，则，（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，以坐标原点、所在直线为轴，所在直线为轴，建立坐标系，则由题意，，，，，，则，，，所以，直线的方程为，直线的方程为，由，解得，即，．，，，故选B．15．（2024•运城模拟）已知向量满意，且与的夹角为，则（）A． B． C．1 D．13【答案】C【解析】向量满意，，且与的夹角为，所以，所以．故选C．16．（2024•6月份模拟）已知向量，，，若向量在向量方向上的投影为，则向量与向量的夹角是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由向量数量积的定理可知，，故，所以，而，，故夹角为．故选C．17．（2024•唐山二模）已知向量，满意，，则与的夹角的最大值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，，且，时，的夹角最大为．故选A．18．（2024•河南模拟）若非零向量满意，则向量与夹角的余弦值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，所以，且；即，所以；且，代入得，解得；所以向量与夹角的余弦值为．故选A．19．（2024•淮北二模）已知，，记，若，则与的夹角是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，且，，解得，，，，与的夹角是．故选C．20．（2024•黑龙江三模）已知向量，满意，，且，则向量与的夹角的余弦值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，，，．故选A．21．（2024•中山区校级一模）已知平面对量，，，则与的夹角等于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，且，，且，与的夹角等于．故选C．22．（2024•潍坊模拟）已知向量，，若，则与的夹角为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，可得，故，则，，，，设与的夹角为，则，因为，故故选B．23．（2024•道里区校级四模）已知向量，，若，则（）A． B． C． D．6【答案】A【解析】向量，，若，，则，故选A．24．（2024•河南模拟）已知向量，若，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，且，，解得．故选B．25．（2024•临汾模拟）已知向量，，向量在向量方向上的投影为．若，则实数的值为（）A． B． C．