2024-2025学年新教材高中数学第13章立体几何初步13.3.1空间图形的表面积课时分层作业含解析苏教版必修第二册

PAGE课时分层作业(三十四)空间图形的表面积(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列有四个结论，其中正确的是()A．各个侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥B．三条侧棱都相等的棱锥是正棱锥C．底面是正三角形的棱锥是正三棱锥D．顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心，又是外心的棱锥必是正棱锥D[A不正确，正棱锥必备两点，一是底面为正多边形，二是顶点在底面内的射影是底面的中心；B缺少第一个条件；C缺少其次个条件；而D可推出以上两个条件，故正确．]2．一个圆柱的侧面绽开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积之比为()A．eq\f(1＋2π,2π) B．eq\f(1＋4π,4π)C．eq\f(1＋2π,π) D．eq\f(1＋4π,2π)A[设圆柱的底面半径为r，高为h，则有h＝2πr，所以表面积与侧面积的比为2π(r2＋rh)∶2πrh＝(r＋h)∶h＝(2π＋1)∶2π.]3．轴截面是正三角形的圆锥称为等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的()A．4倍 B．3倍C．eq\r(2)倍 D．2倍D[设轴截面正三角形的边长为2a，所以S底＝πa2，S侧＝πa×2a＝2πa2，所以S侧＝2S底.故选D．]4．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30°，则该三棱柱的侧面积为()A．4＋4eq\r(2)B．4＋4eq\r(3)C．12D．8＋4eq\r(2)A[连接A1B．因为AA1⊥底面ABC，则AA1⊥BC，又AB⊥BC，AA1∩AB＝A，所以BC⊥平面AA1B1B，所以直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为∠CA1B＝30°.又AA1＝AC＝2，所以A1C＝2eq\r(2)，BC＝eq\r(2).又AB⊥BC，则AB＝eq\r(2)，则该三棱柱的侧面积为2eq\r(2)×2＋2×2＝4＋4eq\r(2)，故选A．]5．若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为()A．1∶2 B．1∶eq\r(3)C．1∶eq\r(5) D．eq\r(3)∶2C[设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝eq\r(5)r.∴S侧＝πrl＝eq\r(5)πr2，S底＝πr2，S底∶S侧＝1∶eq\r(5).]二、填空题6．斜三棱柱的底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，侧棱与底面两边所成角都是60°，那么这个斜三棱柱的侧面积是________．20＋20eq\r(3)[由题意可知S侧＝2×5×4×sin60°＋5×4＝20＋20eq\r(3).]7．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为________．4[∵l＝eq\f(R＋r,2)，∴S侧＝π(R＋r)l＝2πl2＝32π，∴l＝4.]8．已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为eq\f(\r(15),3)，则正三棱台的侧面积S1与底面积之和S2的大小关系为________．S1>S2[斜高h′＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),3)))eq\s\up12(2)＋\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)×4－2))eq\s\up12(2))＝eq\r(2)，S1＝eq\f(1,2)×(3×2＋3×4)×eq\r(2)＝9eq\r(2)，S2＝eq\f(\r(3),4)×22＋eq\f(\r(3),4)×42＝5eq\r(3)，∴S1>S2.]三、解答题9．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积为392cm2，母线与轴的夹角为45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径．[解]法一：圆台的轴截面如图所示，依据题意可设圆台的上、下底面半径分别为xcm和3xcm.即A′O′＝xcm，AO＝3xcm(O′，O分别为上、下底面圆心)，过A′作AB的垂线，垂足为点D．在Rt△AA′D中，∠AA′D＝45°，AD＝AO－A′O′＝2xcm，所以A′D＝AD＝2xcm，又S轴截面＝eq\f(1,2)(A′B′＋AB)·A′D＝eq\f(1,2)×(2x＋6x)×2x＝392(cm2)，所以x＝7.综上，圆台的高OO′＝14cm，母线长AA′＝eq\r(2)OO′＝14eq\r(2)cm，上、下底面的半径分别为7cm和21cm.法二：圆台的轴截面如图所示，依据题意可设圆台的上、下底面半径分别为xcm和3xcm，延长AA′，BB′交OO′的延长线于点S(O′，O分别为上、下底面圆心)．在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，所以SO＝AO＝3xcm，又SO′＝A′O′＝xcm，所以OO′＝2xcm.又S轴截面＝eq\f(1,2)×(2x＋6x)×2x＝392(cm2)，所以x＝7.综上，圆台的高OO′＝14cm，母线长AA′＝eq\r(2)OO′＝14eq\r(2)cm，上、下底面的半径分别为7cm,21cm.10．如图所示，正六棱锥被过棱锥高PO的中点O′且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO′和较小的棱锥PO′.(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比；(2)若大棱锥PO的侧棱为12cm，小棱锥底面边长为4cm，求截得棱台的侧面积和全面积．[解](1)设正六棱锥的底面边长为a，侧棱长为b，则截面的边长为eq\f(a,2)，∴S大棱锥侧＝eq\f(1,2)c1h1＝eq\f(1,2)×6a×eq\r(b2－\f(a2,4))＝3aeq\r(b2－\f(a2,4))，S小棱锥侧＝eq\f(1,2)c2h2＝eq\f(1,2)×3a×eq\f(1,2)eq\r(b2－\f(a2,4))＝eq\f(3,4)aeq\r(b2－\f(a2,4))，S棱台侧＝eq\f(1,2)(c1＋c2)(h1－h2)＝eq\f(1,2)(6a＋3a)×eq\f(1,2)eq\r(b2－\f(a2,4))＝eq\f(9,4)aeq\r(b2－\f(a2,4))，∴S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧＝4∶1∶3.(2)S侧＝eq\f(1,2)(c1＋c2)(h1－h2)＝144eq\r(2)(cm2)，S上＝6×eq\f(1,2)×4×4×sin60°＝24eq\r(3)(cm2)，S下＝6×eq\f(1,2)×8×8×sin60°＝96eq\r(3)(cm2)，∴S全＝S侧＋S上＋S下＝144eq\r(2)＋120eq\r(3)(cm2)．1．若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为()A．1∶2 B．1∶eq\r(3)C．1∶eq\r(5) D．eq\r(3)∶2C[设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝eq\r(5)r.∴S侧＝πrl＝eq\r(5)πr2，S底＝πr2，S底∶S侧＝1∶eq\r(5).]2．(多选题)如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，P是A1B上的一动点，则下列选项正确的是()A．DP的最小值为eq\f(3\r(5),5)B．DP的最小值为eq\r(5)C．AP＋PC1的最小值为eq\r(6)D．AP＋PC1的最小值为eq\f(\r(170),5)AD[求DP的最小值，即求△DA1B底边A1B上的高，易知A1B＝A1D＝eq\r(5)，BD＝eq\r(2)，所以A1B边上的高为h＝eq\f(3,5)eq\r(5)，连接A1C1，BC1，得△A1BC1，以A1B所在直线为轴，将△A1BC1所在平面旋转到平面ABB1A1，设点C1的新位置为C′，连接AC′(图略)，则AC′即为所求的最小值，易知AA1＝2，A1C′＝eq\r(2)，cos∠AA1C′＝－eq\f(\r(2),10)，所以AC′＝eq\r(4＋2－2×2×\r(2)×－\f(\r(2),10))＝eq\f(\r(170),5).故选AD．]3．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2eq\r(2)，AD＝2，则四边形ABCD绕AB所在直线旋转一周所成空间图形的表面积为________．24π＋12eq\r(2)π[如图所示，过点C作CE⊥AB交AB于点E，将四边形ABCD绕AB所在直线旋转一周得到的空间图形是由直角梯形ADCE旋转得到的圆台与△CBE旋转得到的圆锥拼接而成的组合体．由已知条件计算可得CE＝4，AE＝2，BE＝3，BC＝5，∴S表＝π·AD2＋π(CE＋AD)·CD＋π·CE·BC＝4π＋π·(4＋2)×2eq\r(2)＋π×4×5＝24π＋12eq\r(2)π.]4．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等，设四棱锥，三棱锥，三棱柱的高分别为h1，h2，h，则h1∶h2∶h＝________.eq\r(3)∶2∶2[由题意可把三棱锥A1­ABC与四棱锥A1­BCC1B1拼成如图所示的三棱柱ABC­A1B1C1.不妨设棱长均为1，则三棱锥与三棱柱的高均为eq\f(\r(6),3).而四棱锥A1­BCC1B1的高为eq\f(\r(2),2)，则h1∶h2∶h＝eq\f(\r(2),2)∶eq\f(\r(6),3)∶eq\f(\r(6),3)＝eq\r(3)∶2∶2.]5．如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6m铁丝，再用