2024-2025学年高中数学第二章空间向量与立体几何2.3.1-2.3.2空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量基本定理课时作业含解析北师大版选修2-1

PAGEPAGE6课时作业7空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量基本定理时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．在以下三个命题中，真命题的个数是(C)①三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；③若a，b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则a，b，c构成空间的一个基底．A．0个 B．1个C．2个 D．3个解析：③中向量a，b，c共面，故a，b，c不能构成空间向量的一个基底，①②均正确．2．已知点A在基底a，b，c下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底i，j，k下的坐标是(A)A．(12,14,10) B．(10,12,14)C．(14,12,10) D．(4,3,2)解析：设点A在基底a，b，c下对应的向量为p，则p＝8a＋6b＋4c＝8i＋8j＋6j＋6k＋4k＋4i＝12i＋14j＋10k，故点A在基底i，j，k下的坐标为(12,14,10)．3．如图，已知正方体ABCD­A′B′C′D′中，E是平面A′B′C′D′的中心，a＝eq\f(1,2)eq\o(AA′,\s\up6(→))，b＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，c＝eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝xa＋yb＋zc，则(A)A．x＝2，y＝1，z＝eq\f(3,2)B．x＝2，y＝eq\f(1,2)，z＝eq\f(1,2)C．x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,2)，z＝1D．x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,2)，z＝eq\f(3,2)解析：eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(A′E,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(A′B′,\s\up6(→))＋eq\o(A′D′,\s\up6(→)))＝2a＋b＋eq\f(3,2)c.4．下列等式中，使M，A，B，C四点共面的个数是(B)①eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))；②eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))；③eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0；④eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.A．1 B．2C．3 D．4解析：由题意，M，A，B，C四点共面，则eq\o(OM,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)或eq\o(MC,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))(x，y∈R)．对于①，eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))不满意x＋y＋z＝1，不成立．对于②，eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))满意x＋y＋z＝1，成立．对于③，eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，可化为eq\o(MC,\s\up6(→))＝－eq\o(MA,\s\up6(→))－eq\o(MB,\s\up6(→))，成立．对于④，eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，可化为eq\o(OM,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，不满意x＋y＋z＝1，不成立．5．若O，A，B，C为空间四点，且向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))不能构成空间的一个基底，则(D)A.eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))共线 B.eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))共线C.eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))共线 D．O，A，B，C四点共面解析：∵eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))不能构成空间的一个基底，∴eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))三个向量共面，∴O，A，B，C四点共面．故选D.6．已知线段AB的长度为6eq\r(2)，eq\o(AB,\s\up6(→))与直线l的夹角为120°，则eq\o(AB,\s\up6(→))在l上的投影为(B)A．3eq\r(2) B．－3eq\r(2)C．3eq\r(6) D．－3eq\r(6)解析：AB在l上的投影为：|eq\o(AB,\s\up6(→))|·cos120°＝－3eq\r(2).7．在空间四边形OABC中，G是△ABC的重心，若eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，则eq\o(OG,\s\up6(→))等于(A)A.eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c B.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cC．a＋b＋c D．3a＋3b＋3c解析：如图，取AB的中点M，连接CM，则必过G点，则eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)[(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))＋(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))]＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－c.eq\o(CG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b－eq\f(2,3)c，所以eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c.8．已知{e1，e2，e3}为空间的一个基底，若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，又d＝αa＋βb＋γc，则α、β、γ分别为(A)A.eq\f(5,2)，－1，－eq\f(1,2) B.eq\f(5,2)，1，eq\f(1,2)C．－eq\f(5,2)，1，－eq\f(1,2) D.eq\f(5,2)，1，－eq\f(1,2)解析：d＝αa＋βb＋γc＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋γ(e1－e2＋e3)＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3.又因为d＝e1＋2e2＋3e3，所以有：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α＋β＋γ＝1，,α＋β－γ＝2，,α－β＋γ＝3.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(5,2)，,β＝－1，,γ＝－\f(1,2).))二、填空题9．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，CC1＝1，则eq\o(AC1,\s\up6(→))在eq\o(BA,\s\up6(→))上的投影是－2.解析：eq\o(AC1,\s\up6(→))在eq\o(BA,\s\up6(→))上的投影为|eq\o(AC1,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→))〉，在△ABC1中，cos∠BAC1＝eq\f(|AB|,|AC1|)＝eq\f(2,\r(22＋12＋12))＝eq\f(2,\r(6))＝eq\f(\r(6),3)，又|eq\o(AC1,\s\up6(→))|＝eq\r(6).∴|eq\o(AC1,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→))〉＝eq\r(6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(6),3)))＝－2.10．空间四边形OABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，eq\o(MN,\s\up6(→))在基底{a，b，c}下的坐标为(－eq\f(2,3)，eq\f(1,2)，eq\f(1,2))．解析：∵OM＝2MA，点M在OA上，∴OM＝eq\f(2,3)OA，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MO,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))＝－eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c＝(－eq\f(2,3)，eq\f(1,2)，eq\f(1,2))．11．如图，在三棱锥P­ABC中，∠ABC为直角，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M为PC的中点，N为AC中点，以{eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))}为基底，则eq\o(MN,\s\up6(→))的坐标为(eq\f(1,2)，0，－eq\f(1,2))．解析：eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(BN,\s\up6(→))－eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)(eq\o(BP,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BP,\s\up6(→))，即eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，－\f(1,2))).三、解答题12．已知ABCD­A1B1C1D1是棱长为1的正方体，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出A，B，C，D，A1，B1，C1，D1各点的坐标，并写出eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(DC1,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))，eq\o(DA1,\s\up6(→))，eq\o(DB1,\s\up6(→))的坐标表示．解：∵正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，∴A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，D1(0,0,1)．∴eq\o(DA,\s\up6(→))＝(1,0,0)，eq\o(DB,\s\up6(→))＝(1,1,0)，eq\o(DC,\s\up6(→))＝(0,1,0)，eq\o(DC1,\s\up6(→))＝(0,1,1)，eq\o(DD1,\s\up6(→))＝(0,0,1)，eq\o(DA1,\s\up6(→))＝(1,0,1)，eq\o(DB1,\s\up6(→))＝(1,1,1)．13．如图，已知平行六面体ABCD­A′B′C′D′，点E在AC′上，且AEEC′＝12，点F，G分别是B′D′和BD′的中点，求下列各式中的x，y，z的值．(1)eq\o(AE,\s\up6(→))＝xeq\o(AA′,\s\up6(→))＋yeq\o(AB,\s\up6(→))＋zeq\o(AD,\s\up6(→))；(2)eq\o(BF,\s\up6(→))＝xeq\o(BB′,\s\up6(→))＋yeq\o(BA,\s\up6(→))＋zeq\o(BC,\s\up6(→))；(3)eq\o(GF,\s\up6(→))＝xeq\o(BB′,\s\up6(→))＋yeq\o(BA,\s\up6(→))＋zeq\o(BC,\s\up6(→)).解：(1)∵AEEC′＝12，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC′,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，∴x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(1,3)，z＝eq\f(1,3).(2)∵F为B′D′的中点，∴eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\o(BD′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(A′D′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(2eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，∴x＝1，y＝eq\f(1,2)，z＝eq\f(1,2).(3)∵G、F分别为BD′、B′D′的中点，∴eq\o(GF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BB′,\s\up6(→))，∴x＝eq\f(1,2)，y＝0，z＝0.——实力提升类——14．设O­ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若eq\o(OG,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，则x，y，z分别为(A)A.eq\f(1,4)，eq\f(1,4)，eq\f(1,4) B.eq\f(3,4)，eq\f(3,4)，eq\f(3,4)C.eq\f(1,3)，eq\f(1,3)，eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)，eq\f(2,3)，eq\f(2,3)解析：∵eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OG1,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AG1,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)×eq\f(2,3)[eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))]＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)[(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))]＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4