2024-2025学年高中数学第3章空间向量与立体几何章末综合提升教学用书教案新人教A版选修2-1

PAGE第3章空间向量与立体几何[巩固层·学问整合][提升层·题型探究]空间向量的基本概念及运算【例1】(1)已知|a|＝3eq\r(2)，|b|＝4，a与b的夹角为135°，m＝a＋b，n＝a＋λb．若m⊥n，则λ＝()A．eq\f(2,3) B．－eq\f(2,3)C．eq\f(3,2) D．－eq\f(3,2)(2)如图，在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2．给出以下结论：①eq\o(SA,\s\up7(→))＋eq\o(SB,\s\up7(→))＋eq\o(SC,\s\up7(→))＋eq\o(SD,\s\up7(→))＝0；②eq\o(SA,\s\up7(→))＋eq\o(SB,\s\up7(→))－eq\o(SC,\s\up7(→))－eq\o(SD,\s\up7(→))＝0；③eq\o(SA,\s\up7(→))－eq\o(SB,\s\up7(→))＋eq\o(SC,\s\up7(→))－eq\o(SD,\s\up7(→))＝0；④eq\o(SA,\s\up7(→))·eq\o(SB,\s\up7(→))＝eq\o(SC,\s\up7(→))·eq\o(SD,\s\up7(→))；⑤eq\o(SA,\s\up7(→))·eq\o(SC,\s\up7(→))＝0．其中正确结论的序号是________．(1)D(2)③④[(1)由题意知，m·n＝(a＋b)·(a＋λb)＝|a|2＋λa·b＋a·b＋λ|b|2＝18＋λ×3eq\r(2)×4×cos135°＋3eq\r(2)×4×cos135°＋λ×16＝6＋4λ．因为m⊥n，所以6＋4λ＝0，所以λ＝－eq\f(3,2)．(2)简单推出eq\o(SA,\s\up7(→))－eq\o(SB,\s\up7(→))＋eq\o(SC,\s\up7(→))－eq\o(SD,\s\up7(→))＝eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))＝0，所以③正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以eq\o(SA,\s\up7(→))·eq\o(SB,\s\up7(→))＝2·2·cos∠ASB，eq\o(SC,\s\up7(→))·eq\o(SD,\s\up7(→))＝2·2·cos∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是eq\o(SA,\s\up7(→))·eq\o(SB,\s\up7(→))＝eq\o(SC,\s\up7(→))·eq\o(SD,\s\up7(→))，因此④正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④．]1．空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时可结合已知和所求，依据图形，利用向量运算法则表示所需向量．2．空间向量的数量积(1)空间向量的数量积的定义表达式a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉及其变式cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)是两个重要公式．(2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如a2＝|a|2，a在b上的投影eq\f(a·b,|b|)＝|a|·cosθ等．eq\O([跟进训练])1．已知P是正六边形ABCDEF外一点，O是正六边形ABCDEF的中心，则eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→))＋eq\o(PC,\s\up7(→))＋eq\o(PD,\s\up7(→))＋eq\o(PE,\s\up7(→))＋eq\o(PF,\s\up7(→))等于()A．eq\o(PO,\s\up7(→)) B．3eq\o(PO,\s\up7(→))C．6eq\o(PO,\s\up7(→)) D．0C[∵O是正六边形ABCDEF的中心，∴O是对角线AD的中点，也是对角线BE的中点，还是对角线CF的中点．∴eq\o(PO,\s\up7(→))＝eq\f(\o(PA,\s\up7(→))＋\o(PD,\s\up7(→)),2)，eq\o(PO,\s\up7(→))＝eq\f(\o(PE,\s\up7(→))＋\o(PB,\s\up7(→)),2)，eq\o(PO,\s\up7(→))＝eq\f(\o(PC,\s\up7(→))＋\o(PF,\s\up7(→)),2)，∴eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→))＋eq\o(PC,\s\up7(→))＋eq\o(PD,\s\up7(→))＋eq\o(PE,\s\up7(→))＋eq\o(PF,\s\up7(→))＝6eq\o(PO,\s\up7(→))，故选C．]空间向量的坐标运算【例2】(1)已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝eq\f(1,2)x－2a，则x＝()A．(0,3，－6) B．(0,6，－20)C．(0,6，－6) D．(6,6，－6)(2)已知向量a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，a∥b，b⊥c．①求向量a，b，c；②求a＋c与b＋c所成角的余弦值．(1)B[由b＝eq\f(1,2)x－2a得x＝4a＋2b，又4a＋2b所以x＝(0,6，－20)．](2)解：①∵向量a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，且a∥b，b⊥c，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x,1)＝\f(1,y)＝\f(2,－2),3＋y－2z＝0))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1，,z＝1，))∴向量a＝(－1,1,2)，b＝(1，－1，－2)，c＝(3,1,1)．②∵a＋c＝(2,2,3)，b＋c＝(4,0，－1)，∴(a＋c)·(b＋c)＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5，|a＋c|＝eq\r(22＋22＋32)＝eq\r(17)，|b＋c|＝eq\r(42＋02＋－12)＝eq\r(17)，∴a＋c与b＋c所成角的余弦值为eq\f(a＋c·b＋c,|a＋c||b＋c|)＝eq\f(5,17)．熟记空间向量的坐标运算公式,设a＝x1，y1，z1，b＝x2，y2，z2，1加减运算：a±b＝x1±x2，y1±y2，z1±z2.2数量积运算：a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.3向量夹角：cos〈a，b〉＝.4向量长度：设M1x1，y1，z1，M2x2，y2，z2，,则.提示：在利用坐标运算公式时留意先对向量式子进行化简再运算.eq\O([跟进训练])2．在空间直角坐标系中，已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC肯定是()A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形C[∵eq\o(AB,\s\up7(→))＝(3,4，－8)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(5,1，－7)，eq\o(BC,\s\up7(→))＝(2，－3,1)，∴|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝eq\r(32＋42＋－82)＝eq\r(89)，|eq\o(AC,\s\up7(→))|＝eq\r(52＋12＋－72)＝eq\r(75)，|eq\o(BC,\s\up7(→))|＝eq\r(22＋－32＋1)＝eq\r(14)，∴|eq\o(AC,\s\up7(→))|2＋|eq\o(BC,\s\up7(→))|2＝|eq\o(AB,\s\up7(→))|2，∴△ABC肯定为直角三角形．]利用空间向量证明平行、垂直问题【例3】在底面是矩形的四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，点E，F分别是PB，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2．求证：(1)EF∥平面ABD；(2)平面PAD⊥平面PDC．[证明](1)以点A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)．因为点E，F分别是PB，PD的中点，所以Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))，eq\o(FE,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1，0))，eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，2，0))，eq\o(FE,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up7(→))，即EF∥BD，又BD⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，所以EF∥平面ABD．(2)由(1)可知eq\o(PB,\s\up7(→))＝(1,0，－1)，eq\o(PD,\s\up7(→))＝(0,2，－1)，eq\o(AP,\s\up7(→))＝(0,0,1)，eq\o(AD,\s\up7(→))＝(0,2,0)，eq\o(DC,\s\up7(→))＝(1,0,0)，因为eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(DC,\s\up7(→))＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，eq\o(AD,\s\up7(→))·eq\o(DC,\s\up7(→))＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，所以eq\o(AP,\s\up7(→))⊥eq\o(DC,\s\up7(→))，eq\o(AD,\s\up7(→))⊥eq\o(DC,\s\up7(→))，即AP⊥DC，AD⊥DC．又AP∩AD＝A，所以DC⊥平面PAD．因为DC⊂平面PDC，所以平面PAD⊥平面PDC．利用空间向量证明空间中的位置关系1线线平行：证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量.2线线垂直：证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直.3线面平行：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；③利用共面对量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示.4线面垂直：①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题.5面面平行：①证明两个平面的法向量平行即是共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题.6面面垂直：①证明两个平面的法向量相互垂直；②转化为线面垂直、线线垂直问题.eq\O([跟进训练])3．如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面相互垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点．求证：(1)BM∥平面ADEF；(2)BC⊥平面BDE．[证明]∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AD⊥ED，∴ED⊥平面ABCD．以D为原点，eq\o(DA,\s\up7(→))，eq\o(DC,\s\up7(→))，eq\o(DE,\s\up7(→))分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系．则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,4,0)，E(0,0,2)，F(2,0,2)．(1)∵M为EC的中点，∴M(0,2,1)，则eq\o(BM,\s\up7(→))＝(－2,0,1)，eq\o(AD,\s\up7(→))＝(－2,0,0)，eq\o(AF,\s\up7(→))＝(0,0,2)，∴eq\o(BM,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AF,\s\up7(→))，故eq\o(BM,\s\up7(→))，eq\o(AD,\s\up7(→))，eq\o(AF,\s\up7(→))共面．又BM⊄平面ADEF，∴BM∥平面ADEF．(2)eq\o(BC,\s\up7(→))＝(－2,2,0)，eq\o(DB,\s\up7(→))＝(2,2,0)，eq\o(DE,\s\up7(→))＝(0,0,2)，∵eq\o(BC,\s\up7(→))·eq\o(DB,\s\up7(→))＝－4＋4＝0，∴BC⊥DB．又eq\o(BC,\s\up7(→))·eq\o(DE,\s\up7(→))＝0，∴BC⊥DE．又DE∩DB＝D，∴BC⊥平面BDE．利用空间向量求空间角【例4】如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB＝BE＝2．(1)求证：EG∥平面ADF；(2)求二面角O­EF­C的正弦值；(3)设H为线段AF上的点，且AH＝eq\f(2,3)HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．[解]依题意，OF⊥平面ABCD，如图，以O为原点，分别以eq\o(AD,\s\up7(→))，eq\o(BA,\s\up7(→))，eq\o(OF,\s\up7(→))的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得O(0，0,0)，A(－1,1,0)，B(－1，－1,0)，C(1，－1,0)，D(1,1,0)，E(－1，－1,2)，F(0，0,2)，G(－1,0,0)．(1)证明：依题意，eq\o(AD,\s\up7(→))＝(2,0,0)，eq\o(AF,\s\up7(→))＝(1，－1,2)．设n1＝(x，y，z)为平面ADF的法向量，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·\o(AD,\s\up7(→))＝0，,n1·\o(AF,\s\up7(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＝0，,x－y＋2z＝0.))不妨设z＝1，可得n1＝(0,2,1)．又eq\o(EG,\s\up7(→))＝(0,1，－2)，所以eq\o(EG,\s\up7(→))·n1＝0．又因为直线EG⊄平面ADF，所以EG∥平面ADF．(2)易证，eq\o(OA,\s\up7(→))＝(－1,1,0)为平面OEF的一个法向量．依题意，eq\o(EF,\s\up7(→))＝(1,1,0)，eq\o(CF,\s\up7(→))＝(－1,1,2)．设n2＝(x′，y′，z′)为平面CEF的法向量，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2·\o(EF,\s\up7(→))＝0，,n2·\o(CF,\s\up7(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＋y′＝0，,－x′＋y′＋2z′＝0.))不妨设x′＝1，可得n2＝(1，－1,1)．因此cos〈eq\o(OA,\s\up7(→))，n2〉＝eq\f(\o(OA,\s\up7(→))·n2,|\o(OA,\s\up7(→))||n2|)＝－eq\f(\r(6),3)，于是sin〈eq\o(OA,\s\up7(→))，n2〉＝eq\f(\r(3),3)．所以，二面角O­EF­C的正弦值为eq\f(\r(3),3)．(3)由AH＝eq\f(2,3)HF，得AH＝eq\f(2,5)AF．因为eq\o(AF,\s\up7(→))＝(1，－1,2)，所以eq\o(AH,\s\up7(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)，－\f(2,5)，\f(4,5)))，进而有Heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(3,5)，\f(4,5)))，从而eq\o(BH,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)，\f(8,5)，\f(4,5)))，因此cos〈eq\o(BH,\s\up7(→))，n2〉＝eq\f(\o(BH,\s\up7(→))·n2,|\o(BH,\s\up7(→))||n2|)＝－eq\f(\r(7),21)．所以，直线BH和平面CEF所成角的正弦值为eq\f(\r(7),21)．用向量法求空间角的留意点(1)异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为0°<θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解．(2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n与直线a的方向向量a夹角的余弦cos〈n，a〉，易知θ＝〈n，a〉－eq\f(π,2)或者eq\f(π,2)－〈n，a〉．(3)二面角：如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则平面α与β所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补，所以首先应推断二面角是锐角还是钝角．eq\O([跟进训练])4．在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．(1)已知G，H分别为E