河北省邯郸市三龙育华中学2024-2025学年高二上学期第三次月考数学试卷（实验班）

2024-2025学年度第一学期第三次月考数学卷（实验班）考试时间：120分钟；满分：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．，，若，则的值为（）．A．4 B．5 C．6 D．72．已知直线过定点，则定点的坐标为（）．A． B． C． D．3．已知抛物线，则抛物线的焦点到准线的距离是（）．A．4 B． C．2 D．4．方程表示椭圆的充要条件是（）．A． B．或C． D．5．已知圆，求圆关于直线的对称圆方程（）．A． B．C． D．6．已知过椭圆中心的直线交椭圆于、两点，是椭圆的一个焦点，则的周长的最小值为（）．A．7 B．8 C．9 D．107．数学家欧拉1765在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程是（）．A． B．C． D．8．设椭圆的左、右焦点分别为，，直线过点．若点关于的对称点恰好在椭圆上，且，则的离心率为（）．A． B． C． D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．9．设直线，的交点为，则（）．A．恒过定点 B．C．的最大值为 D．点到直线的距离的最大值为510．已知椭圆，，分别为它的左右焦点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（）．A．椭圆离心率为 B．C．若，则的面积为9 D．最小值为11．已知曲线，则下列说法正确的是（）．A．B．曲线关于直线对称C．曲线围成的封闭图形的面积不大于D．曲线围成的封闭图形的面积随的增大而增大第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知双曲线的渐近线方程为，两顶点间的距离为6，则双曲线的方程是________．13．抛物线的焦点为，准线为，过焦点且斜率为的直线与交于点，为上一动点，则周长的最小值为________．14．过椭圆上一点作圆的两条切线，切点为，，当最大时，点的纵坐标为________．四、解答题15（13分）．已知直线，圆．（1）求与直线平行且与圆相切的直线方程；（2）设直线，且与圆相交于，两点，若，求直线的方程．16（15分）．已知抛物线的焦点为．（1）求抛物线的焦点坐标和准线方程；（2）过焦点的直线与抛物线交于、两点，若，求线段的长．17（15分）．如图，平面平面，为正方形，是直角三角形，且，、、分别是线段、、的中点．（1）求证：面面；（2）求异面直线与所成角的余弦值；（3）求点到面的距离．18（17分）．已知双曲线的离心率为，实轴长为6，为双曲线的左顶点，设直线过定点，且与双曲线交于，两点．（1）求双曲线的方程；（2）证明：直线与的斜率之积为定值．19（17分）．已知椭圆的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为，斜率为的直线与椭圆相交于两个不同点、．（1）求椭圆的方程；（2）若坐标原点到直线的距离为，求的面积的最大值；（3）若线段的垂直平分线过点，求的取值范围．

高二数学第三次月考答案参考答案：题号12345678910答案ADBBDDCBABDBCD题号11答案ABD1．A【分析】根据空间向量的平行性质，列出方程组，解出，的值，即可得答案．【详解】根据，则存在一个常数使得，所以可得，解之可得．故选：A2．D【分析】利用直线过定点可得结果．【详解】易知直线恒过定点．故选：D3．B【分析】根据抛物线方程求出，由抛物线定义可得解．【详解】由抛物线可得，所以，，故抛物线的焦点到准线的距离是．故选：B4．B【分析】借助椭圆的标准方程与充要条件的定义计算即可．【详解】若表示椭圆，则，解得或．故选：B．5．D【分析】设对称圆的圆心，解方程组即得解．【详解】圆的圆心为，设对称圆的圆心为，依题意得，解得，又圆的半径与对称圆的半径相等，所以对称圆的方程为．故选：D．6．D【分析】根据椭圆的定义求出，再由，即可求解．【详解】由椭圆的对称性可知，，两点关于原点对称，设椭圆的另一个交点为，则四边形为平行四边形，由椭圆的定义可知：，又，，所以，又直线过原点，所以，所以的周长的最小值为：．故选：D7．C【分析】求出重心坐标，求出边上高和边上高所在直线方程，联立两直线可得垂心坐标，即可求出欧拉线方程．【详解】由题可知，的重心为，可得直线的斜率为，则边上高所在的直线斜率为，则方程为，直线的斜率为，则边上高所在的直线斜率为2，则方程为，联立方程可得的垂心为，则直线斜率为，则可得直线方程为，故的欧拉线方程为．故选：C．8普．B【分析】利用点差法求得，关系，再利用椭圆的离心率公式可得答案．【详解】设，两点坐标分别为，，因为且的中点为，所以，，因为，在椭圆上，所以①，两式相减，得，根据，，上式可化简为，整理得，又，所以，即，所以．故选：B．8实．B【分析】利用椭圆的定义结合余弦定理求解出，结合求解出离心率的值．【详解】如图，由已知可得，，，由椭圆定义，得，在中，由余弦定理得，所以，又，整理得，又椭圆的离心率，所以，解得或（舍去），所以的离心率．故选：B．9．ABD【分析】由直线过定点即可判断A，由两直线垂直列出方程即可判断B，联立两直线方程求出交点坐标，代入计算即可判断C，结合题意可知点到直线的距离的最大值即为点到定点的距离，即可判断D．【详解】对于选项A，因为直线，即，令，解得，所以恒过定点，故A正确；对于选项B，因为直线，满足，所以，故B正确；对于选项C，联立两直线方程，解得，所以，则，令，则，所以，，且在上单调递增，当时，，所以，故C错误；对于选项D，由A可知，直线恒过定点，则点到直线的距离的最大值即为点到定点的距离，即，故D正确；故选：ABD10．BCD【分析】由椭圆方程得到，，的值，根据离心率的公式可判断A，根据椭圆的定义可判断B，根据勾股定理和椭圆的定义可得到，从而由三角形面积公式可判断C，由基本不等式可判断D．【详解】由椭圆方程可知，，，，所以椭圆的离心率，故A错误；由椭圆定义知，故B正确；又，因为，所以，∴，解得，所以的面积为，故C正确；∵，∴，当且仅当时取等号，∴最小值为，故D正确．故选：BCD．11普．ABD【分析】对A，根据双曲线方程结合离心率为，列式求解；对B，根据两渐近线垂直斜率关系列式求解；对C，由双曲线定义结合勾股定理列式运算；对D，结合双曲线定义求出的周长，利用基本不等式求解判断．【详解】对于A，由题可得，，，∴，解得，所以实轴长为2，故A正确；对于B，双曲线的渐近线为，两渐近线垂直，则，解得，故B正确；对于C，因为，所以，又，则，两式相减可得，，故C错误；对于D，由，，两式相加得，又，所以的周长为，当且仅当，即时等号成立，故D正确．故选：ABD．11实．ABD【分析】利用曲线的方程得到关于的不等式可判断A；利用点关于直线的对称点判断得曲线的对称性，从而判断B；分析曲线与曲线上的两个横坐标相同的点的纵坐标大小关系，从而得到曲线围成的封闭图形的面积情况，从而判断CD．【详解】对于A，因为曲线，所以，解得，故A正确；对于B，因为曲线，可化为，设点是曲线上任一点，则其关于对称的点为，将代入曲线方程，得，所以曲线关于直线对称，故B正确；对于CD，因为，所以，则，设点是曲线上任一点，则，点是曲线上的一点，则，则，，故，易知当时，在其定义域内单调递减，所以（当且仅当或时，等号成立），故，又在上单调递增，所以，故当增大时，横坐标相同的点的纵坐标的绝对值会大于或等于原来的，又曲线围成的图形为封闭图形，所以该图形会比原来的大，即曲线围成的封闭图形的面积随的增大而增大，故D正确，又当时，曲线为，即其图形是半径为1的圆，此时其面积为，则曲线围成的封闭图形的面积不小于，故C错误．故选：ABD．【点睛】关键点点睛：本题CD选项解决的关键在于，分析得两曲线与上的点的情况，从而得到其围成的封闭图形的面积情况，由此得解．12．或【分析】根据双曲线的性质，利用待定系数法求双曲线方程．【详解】当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的方程为，则解得，则双曲线的方程为；当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的方程为，则解得双曲线的方程为．综上，双曲线的方程是或．故答案为：或13．【分析】过作直线的垂线，垂足为，分析出为正三角形，求出；再通过轴对称求出，即可得周长的最小值．【详解】设准线交轴于点，过作直线的垂线，垂足为，连接，由题知，焦点，，．因为，直线的斜率为，所以为正三角形，所以，，记关于直线的对称点为，则．当，，三点共线时，，所以周长的最小值为．故答案为：14．【分析】根据给定条件，利用圆的切线长定理、结合四边形及三角形面积转化为求最大值问题．【详解】圆的圆心，半径，由，切圆于点，知，，则，因此最大，当且仅当最大，设，，则，当且仅当时取等号，所以点的纵坐标为．故答案为：15．（1）或；（2）或【分析】（1）根据题意假设所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求得，从而得解；（2）根据题意假设直线的方程，利用圆的弦长公式求得圆心到直线的距离，进而利用点线距离公式列式即可得解．【详解】（1）依题意，设所求直线方程为，因为所求直线与圆相切，且圆心为，半径为，∴，解得或，∴所求直线方程为或；（2）依题意，设直线的方程为，因为直线与圆相交于，两点，，∴圆心到直线的距离为，∴，解得或，∴直线的方程为或．16．（1）焦点坐标，准线方程为；（2）．【分析】（1）由题意，根据所给抛物线的方程进行求解即可；（2）先根据定义求出点的横坐标，进而可得点的纵坐标，设出直线的方程，将直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和焦半径公式求解即可．【详解】（1）因为，解得，则抛物线的焦点坐标，准线方程为；（2）不妨设，，因为，所以，当时，解得，不妨令，，此时直线的方程为，联立，消去并整理得，由韦达定理得，则．17．（1）见解析（2）（3）【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线线垂直即可得线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直；（2）利用向量法求异面直线所成角的余弦值；（3）根据点面距离的向量公式求解即可．【详解】（1）因为平面平面，交线为，，平面所以平面，又，平面，所以，，故，，两两垂直，以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，．∵，，，∴，，∴，，又∵，平面，且，∴平面，又平面，∴平面平面．（2）∵，，∴，故异面直线所成角的余弦值为．（3）设平面的法向量为则，令，则，，所以，又，所以点到面的距离．18普．（1）（2）【分析】（1）根据题意求解双曲线方程即可；（2）联立直线和双曲线方程，通过判别式大于0，及，求解即可．【详解】（1）双曲线的中心在原点，焦点在轴上，设双曲线的方程为由，可得，由双曲线过点，可得，解得，则双曲线的标准方程为；（2）联立直线与双曲线方程，化简得，则，假设，，则，解得．18实．（1）（2）证明见详解【分析】（1）由实轴长为6，得，由离心率为，得，再由得，即可得到双曲线的方程；（2）设，，直线，直线与双曲线联立方程得，根据韦达定理得，，根据斜率公式得，最后代入化简计算即可得证．【详解】（1）因为双曲线的实轴长为6，所以，因为双曲线的离心率为，所以，解得，由，得，则的方程为．（2）设，，因为直线过定点，显然直线不垂直于轴，则设直线，联立方程组，消去得，由，得，则，，因为为双曲线的左顶点，所以，直线的斜率，直线的斜率，所以，即直线与的斜率之积为定值．【点睛】关键点点睛：第二问的关键在于设出直线的方程，然后直曲联立，利用韦达定理，代入的表达式，化简即可得到定值．19．（1）（2）（3）【分析】（1）由离