河南省驻马店市高一上学期期中考试数学试题（含答案解析）

普通高中2024－2025学年（上）高一年级期中考试数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列图象中，可以表示函数的为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由函数图象定义可得答案.【详解】由函数的定义可知定义域中任意一个自变量，都存在唯一确定的函数值与之对应，选项A，C，D的函数图象中存在，对应多个不同的函数值，故不可以表示函数，选项B符合题意.故选：B.2.函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由二次根式的被开方数非负与分式的分母不为零列不等式可求得结果.【详解】由题意得，解得且，故函数的定义域为.故选：C.3.下列各组函数中，表示同一函数的为（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】利用相同函数的定义，逐项分析判断.【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，它们的定义域不同，不是同一函数，A不是；对于B，的定义域为，的定义域为，它们不是同一函数，B不是；对于C，两个函数的定义域都是、且对应关系均相同，是同一函数，C是；对于D，，，两个函数的对应关系不同，不是同一函数，D不是.故选：C4.已知，，则（）A.27 B.9 C.3 D.【答案】A【解析】【分析】利用指数运算即可求出结果.【详解】因为，故.故选：A.5.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得，从而可求出集合，进而可求出.【详解】因为，所以.故选：D.6.“，”的一个充分条件可以是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】转化为，而是f1或（把看成的一次函数），所以只需满足f1或即可.【详解】若函数在上恒成立，则只需，解得，即的取值范围是1,+∞，故“，”的一个充分条件可以是“”.故选：B7.已知函数是奇函数，则（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】由，可得，验证后可得答案.【详解】因为是奇函数，所以，所以，又，所以.此时可知，满足，所以奇函数，所以.故选：C.8.已知实数x，y满足，则和的最大值分别为（）A.2， B.2，1 C.4， D.4，【答案】D【解析】【分析】由可得，再结合可求出的取值范围，由已知得，则，求得，从而可求出的取值范围.【详解】因为，所以因为，所以，解得.又因为，所以，所以，即，即，解得，所以，所以，故的最大值为4，的最大值为.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知集合，，则下列说法正确的有（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根据指数不等式化简A，再由集合的交集、并集、补集运算逐项判断即可.【详解】由题意可得，，故，则，，故A错误，B正确；，故，故C错误；，故，故D正确.故选：BD.10.已知正数x，y满足，则下列说法正确的有（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根据基本不等式判断A，由立方和公式化简结合A选项判断B，由基本不等式判断C，“1”的变形技巧及基本不等式判断D.【详解】对于A，因为正数x，y满足，所以，因为，所以，当且仅当时取等号，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，当且仅当时取等号，故C错误；对于D，，当且仅当时取等号，故D正确.故选：AD.11.已知函数满足对任意，都有，则（）A. B.可能为增函数C. D.为偶函数【答案】ACD【解析】【分析】A：取计算并判断；B：令计算并判断；C：由的计算结果判断；D：先以代换，在新等式中以代换，分析所得等式结合定义域作出判断.【详解】对于A：取，所以，所以，所以，故正确；对于B：令，则，令，则，所以，所以不可能为增函数，故错误；对于C：由B可知，成立，故正确；对于D：因为，故以代换可得，再以代换可得，即，所以，且定义域为关于原点对称，所以为偶函数，故正确；故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.命题“任何正数的立方根都是正数”的否定为_____，否定后的命题是_____命题（填“真”或“假”）.【答案】①.存在正数的立方根不是正数②.假【解析】【分析】根据全称命题的否定及真假判断即可.【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题的否定为“存在正数的立方根不是正数”，正数的立方根是正数所以是假命题.故答案为：存在正数的立方根不是正数；假.13.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】为使函数在R上单调递增，则函数分别在，1,+∞上递增，且函数在处的函数值小于或等于函数的函数值，据此可得答案.【详解】为保证分段函数在整个定义域内单调递增，需同时满足，解得，所以的取值范围是.故答案为：14.已知函数，，且在定义域内恒成立，则的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】先证明在上单调递增，进而可知在上的值域，由题意可列出两个不等式，利用整体的思想及结合不等式的性质求解即可.【详解】且，，因，所以，所以，即，所以在上单调递增,所以,,所以,由对恒成立,得,,故,故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知幂函数，.（1）求的解析式；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）运用幂函数定义计算即可；（2）运用幂函数单调性求解.【小问1详解】由幂函数的定义可得，解得，则，故.【小问2详解】易知在上单调递增，又，所以，即，解得，故的取值范围为.16.近年来，国家发展改革委、国务院、工信部、生态环境部等有关部门纷纷出台污水处理领域指导、支持及规范类政策，该相关政策的落实不仅促进了环境保护，同时也带动了一批企业的发展.已知某企业每年生产某种智能污水处理设备的最大产能为100台，其年度总利润（单位：万元）与产能（单位：台）的函数关系为（1）当产能不超过40台时，求每年生产多少台时，平均每台设备的年利润最大？（2）当产能为多少台时，该企业所获年度总利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）14台（2）35台，最大利润为2050万元【解析】【分析】（1）由题意可得平均每台设备的年利润为，化简后利用基本不等式可求得答案；（2）分和两种情况分别结合二次函数性质和基本不等式可求得的最大值.【小问1详解】因为当时，.则平均每台设备的年利润为，，当且仅当时取等号，由于，，且，故当生产14台时，平均每台设备的年利润最大.【小问2详解】当时，，对称轴为，所以当时，取最大值，（万元）；当时，（万元），当且仅当时等号成立.因为，故当产能为35台时，所获年度总利润最大，最大利润为2050万元17.按照要求解答下列问题.（1）已知函数在区间上不单调，求实数的取值范围；（2）求函数，的最小值.【答案】（1）（2）3【解析】【分析】（1）运用二次函数的性质，结合图像可解；（2）先去绝对值，写出分段函数，再结合指数函数单调性，一次函数单调性，求解最值即可.【小问1详解】根据题意得到，解得，故的取值范围是.【小问2详解】由题意可得，当时，函数和单调递增，故函数在上单调递减，故；当时，函数在上单调递增，故；当时，，可知.综上可知的最小值为3.18.已知函数.（1）求的值；（2）判断的单调性，并用定义法进行证明；（3）证明：【答案】（1）3（2）在上单调递减，证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由解析式可得答案；（2）证明对，，且，即可；（3）由单调性可得，然后由恒等变形可证.【小问1详解】【小问2详解】在上单调递减.证明如下：取，，且，因为故，即，，则，即，故，即，所以在上单调递减；【小问3详解】证明：由（2）可得，又因为，故，故.19.已知函数的定义域为，给定，设，，若存在使得，则称为函数的一个“点”.（1）若为R上的单调函数，证明：不存在“点”；（2）若，讨论的“点”个数，并在存在“点”的前提下，求出所有的“点”；（3）若，证明：“为函数的一个‘点’”的充要条件是“”.【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）分在上单调递增和在上单调递减两种情况结合“点”的定义进行判断证明即可；（2）分和两种情况结合“点”的定义分析判断即可；（3）由题得在时有解，化简变形后将问题转化为“为函数的一个‘点’”的充要条件是“在时有解且满足”，再结合函数的性质和不等式的性质可求出的范围.【小问1详解】证明：若在上单调递增，则时，对，有，则，不存在“点”；若在上单调递减，则时，对，有，则不存在“点”.综上所述，不存在“点”.【小问2详解】当时，在上单调递增，则不存在“点”；当时，则使在时有解的个数即为的“点”的个数，整理得，由得，故，即存在唯一“点”.综上所述，当时，不存在“点”；当时，存在唯一“点”，.【小问3详解】证明：由题得在时有解，即，等式两边平方后有，即，又，故等式两边平方得，且此时，即“为函数的一个‘点’”的充要条件是“在时有解且满足”.又在时，单调递增，故，解得，由得，即，恒成立，故；的正数解为且在此时成立，得，解得，则“为函