大学资料HUST-Invictus-矩阵论-矩阵论 杨明 华中科技大学 课后习题答案

习题一

1.判断下列集合对指定的运算是否构成R上的线性空间

(1)Vl={A=(a..)ftXfl|£%=0),对矩阵加法和数乘运算；

»=1

nKr

(2)V2={A\AeR\A=-A}f对矩阵加法和数乘运算;

(3)匕=内；对中向量加法和如下定义的数乘向量：ya£R3,kwR,ka=0；

(4)V；={/(x)|f(x)>0},通常的函数加法与数乘运算。

解：

(1)、(2)为R上线性空间

(3)不是，由线性空间定义，对VawO有la=a,而题(3)中1。=0

(4)不是，若k<0,则妙(幻《(),数乘不满足封闭性。

2.求线性空间V={AG/T”|Ar=A}的维数和一组基。

解：一组基

dimW=n(n+l)/2

3.如果5和5都是线性空间V的子空间，若dimUi=dimU2,而且〃1七，证明：0产5。

证明：因为dimU产dimS，故设

{«,火，…，令}为空间必的一组基，{4血，…血}为空间S的一组基

V/Gt/2，有

y=(片A……4)Xy

而

(qa?«.)=(,4A…仇)C,c为过渡矩阵，且可逆

于是

7=(4A........4)Xy=(%心•,…a,)。"=(4%.........%)ZGU\

由此，得

%"

又由题设GqU2，证得3=3。

口1P

4.设4=213,讨论向量。=(2,3,为71是否在R⑷中。

、315，

」11|2、<111|2、

解：构造增广矩阵(A|0=213|3->0-11I-1

、31514,No0I0;

矩阵4与其增广矩阵秩相同，向量a可由矩阵4的3个列向量线性表示，a在列空间R(4)

中。

32y2

5.讨论线性空间P4[x]中向量P,=x+x4-x+l,P]=2x-x+3x,

/>=4x3+x2+5x+2的线性相关性。

U02、

/、一135

解：([P2£)=(lxf丁)

1—I1

J24,

而

所以向量组2产2/3线性相关。

6.设A€R'，，x，',证明dim/?(4)+dimA/(4)=no

证明：R(A)=L[Ai9A29•,4},N(A)={X|AX=O,XER”}

假定dimR(4)=r,且设A，A2,,4.为R(4)的一组基

则存在品&，…&G=r+l,­,n),其中&，&2"…&不全为零

使即A+04++kriAi.+4=0(z=r+1,

显然

上述n-r个向量线性无关，而化,《7,1,0,•0)\s<r不为N(A)中的向量，否则与

A，…,4线性无关矛盾，故

d'\mN(A)=n-r

所以

dim/?(^)+dim/V(4)=n

‘1-130、

7.设A=-21-21,求矩阵A的列空间R(4)和零空间M4)。

CT52，

解：通过矩阵的行初等变换将矩阵人化为行阶梯形

矩阵4的秩为2,从A中选取1、2列(线性无关)作为/?伊)的基，于是

R(A)=£](1-21-if)

由AX=O,X=a，/，孙”4)，，rank(4)=2,有

x1-x2=-3X3

一々二—4.q-x4

分别取为=1,£=0和七=O,,q=1,求得齐次方程AX=0解空间的一组基

(141Of,(110if

所以4的零空间为

N(A)=U(141Of,(110ifj

10.设a,=(1,2,1,0/,a2=(-1,1,1,1/,=(2,-1,0,1/,#2=(LT，3,7尸，

Wi=span{ax,a2],W2=span{/3},/72},求叱c吗和叱+吗。

解：设/EWICW”则

/=为%+x2a2且/=当4+xJ3?

于是，有

+x2a2-大郃、-X4/32=0

[01-1-7J10000

取％=1,得

%=-l,x2=4,X3=-3,X4=1

所以

叱c吗=L{—1%+4%}=4—3"+用}

由于rank{/4)=3

则叱+叱

11.在矩阵空间RM中，子空间

（x（10]

1

={A=-\xi-x2+x3-x4=0},V2=L{B}yB2],其中4二

<x3"J123,

fO一21,

民=八，，求

■loU

（1）%的基和维数：

（2）乂+K和he匕的维数。

x-x+xX,11、-10u0、

解：（1）匕中，A=234十%

玉玉、00,<01,

」rf-10、rl0、

令A=，4=,可验证4,4,小线性无关，它们构成空间

、oo,0><0"

%的一组基，空间VI的维数dimVi=3。

（2）匕=乂片，4｝中，81与82线性无关，它们是心的一组基,故dim吻=2,而

Ui+U2=L{4AA}+“81,82}=L{4/2/3,81,82}

在R2X2的标准基％,E12,£21，&2下，4/2,48,82对应的坐标为必用*4为排成矩阵

^-1110、"1-1110

1000-201-1-1-2

(Xx2X3x4x5)=f

0102000132

,00131,,0000-1

于是dim（次十U2）=4,由维数定理

dim(匕c匕)=dimV]+dimV2—dim(V^+%)=3+2—4=1

12.设叱和VV2为匕的子空间，叱=｛a=（M,々z）,IZXi=0｝，

；=!

r㊉

W2={a=(x^x2,,xn)\xi=x2==x”},证明匕=叱叱。

证明：对W1，由Xl+/+―+X”=0，解得

X产勺（一11000）「+&（T010--0）/+000

显然Wi的维数dimW产不1,而向最组

a,=(-l100...010...0)[.・&7=(一1000-if

为W1的一组基。

对W/?，由-V)=%2==Xq,解得

X2=k(l1I1•・・小

%的基为夕=(1111if,dimW2=l

于是

叱+叱=L{aI,a2,---,aH_1}+L{^}=L{ap

这里

-1-1・・-11

1001

0101工0

00...11

所以%,%，，%.1，4为W1+W2的基，则dim（Wi+W2）=n,由维数定理可知

dim（叱c吗）=0,故有

匕=叱㊉吗

13.R”中,a=（%%，•'4）,，。=（0\,仇,,仇了，判别下面定义的实数Q0是否

为内积。

⑴（«,/?）=XMh

1=1

（2）（/万）=》%£；

/=1

（3）（a,0=a74,其中4为正定矩阵。

解：⑴不是/?"上的内积。设a=（4%…%=（〃；&…4y

夕=3b2•­•b，S

于是

他+%万）=£|（q+q'）M=EkA+^l4£|M|+石岫卜（“/）+（生/）

r=li=l

内枳的线性性不满足。

（2）与（3）是川上的内积。可验证对称性、线性性及正定性都满足。

13.设｛［，邑，,4｝是火的标准正交基，又％=与+/，4=与一/+J，

%=2々+邑+?，求W=〃%，%,4｝的标准正交基。

解：W的标准正交基

14.在欧氏空间R，中，求子空间卬=〃(11,-1』)7',(1,-1,-1,1)7'}的正交补子空间W二

1

解：设X=(xx2七xjeW-

令4=(ii-i-1-ii)r

由

Xla},Xia,

得

x+x-x+x=0

Vt234

x(-x2-x3+x4=0

解得

00

X=,

10

所以

W，=U(101o)r,(-l00i)r|

15.判断下列变换哪些是线性变换

(1)R2中，丁(%,％)7=&+1名尸；

rT

(2)R3中，T(xt,x2,x3)=(^+x2,xt-X2,2X3)；

(3)R〃x”中，A为给定n阶方阵，PXsR，7(X)=AX+A；

(4)R2X2中，T(A)=4,A•为A的伴随矩阵。

解：(1)不是，该变换为非线性变换

设

%二(•£*2)，,%=(凹乃)/

则

T(al+a2)=T(x]+y1再+功,=(百+、+1&+砌'巾+1()丁+()1+10=啊)+啊)

(2)是线性变换

(3)不是，因有丁(0)工0

(4)是线性变换

(abA

VA二,8=

3oJ

而

%+A«+b-a-b

7(A+B)=r6+44422-«2=A*+8*=T(A)+T(B)

6+&-4+6)E4,

T(M)=TkM*=kTiA)

16.设R3中，线性变换7"为:「生=力，卬,3,其中a=(1,0,—1)1%=(2,1,1)"

a3=(1,1,1/,4=(0,1,1)"^2=(-1,1,0/,氏=(1,2,1)、求

(1)7•在基｛%,%,四｝工的矩阵；

(2)r在标准正交基卜的矩阵。

a。2。3)=(片PlA)

解：(1)由丁(1a2%)=(«z%)A及r(a

得

(%4%)A=(月AA)

于是

，12i’0-ii、，011

A二(四生生尸(4AA)=o1i112-1-3-2

-111。b244

/\

(2)W中标准基正交基4=0oo"=(o10)「,%=(001)7

由

丁(q4%)=(q4少

=Pi»i=1,2,3

得

丁4=7(%4(S)(1oT),=(q

1)7=佃%e)Aa=P

Ta2=T(q44)(2i322

1)『=(6e?e)Aa=/J

Tay=T(q%ej(l333

因为

(q4q)=4

故有

人心44)=("PiA)

于是

A=9AA)(«.a?

17.设线性变换R4fR\有

TT

T(X^X2,X3,X4)=(X-x2+x3+z，X|+2X2-X4,X}+X2+3X3-x4),求N(T)和R(T)。

解：由N（r）={X|T（X）=0,X=（N，w，XpX4）7},得下述齐次方程组

X1-x2+x3+x4=0

，xA4-2X2-x4=0

x}+%+3&-x4=0

解得X=&(一2314)「

所以

N⑺={X=k(-2314)7}

由/?(T)={y|y=7XX),X=(%,X2，X3，W)T)，得

西一石+占+%

Y=X+2X2-X4=x.

或R(T)=ia=k]

18.在欧氏空间父中，设有两组基…,4，与注，62,…,瓦，满足关系式

（凡儿，，凡）=（%，%，，%）P，PER”"

证明：（1）若药,与四,四，…,凡都是标准正交基，则P是正交阵;

（2）若即见，…，%是标准正交组，P是正交阵，则用,4,…，瓦是标准正交组。

证明：（1）将矩阵P按列分块，有

（片、B?、…，见）=%a”）（Pl，〃2，…，P”）

其中

Pi=（«）&…a,）Pi,i=l,2,…，〃

于是

（力血）="氏=P-（药…4）/（四4）1.=2=｛；'；二;

故矩阵p为正交矩阵。

（2）与（1）证明过程类似，可证明片，尸2,•一，片是标准正交基。

习题二

1.设A、8为〃阶方阵，4,4,，・•,4,是A的特征值，证明

(1)tr(AB)=tr(BA)；

(2)=(不)=力膘:

r=l

(3)若尸则〃-(A)=〃(6)=X4。

1=1

证明：(1)设A=(%)，B=g,则

\JJnxr\J/n^n

"(AB)=£=力力力%=tr(BA)

i=lL>'J>1Li=l-

22

(2)因为AXj=4Xj,AX,=A(AX,)=AiAXi=^X.,…,A*Xf=^Xf

故M，若,,若为配的特征值，于是

〃•(1)=£彳

r=l

(3)由结论(1),得

tr(B)=次(kAP)=次［k(叫］="(")p］=tr(A)

2.设，阶方阵A=且豆⑷<1，上12M证明力的每一个特征值;I的绝对值内<lo

j=i

证明：设有4X=2X,X=(xx2…x〃),，并设⑷=max(|xj\x2\…同)

对AX=2X中第k个方程

J=I

于是

⑷闻=£%U应%同

j=l7=1

即有

nr.ln

;=!\xkIj=l

3.设三阶方阵

‘1-11、

A=x4y

1-3-35>

的二重特征值4=2对应有两个线性无关特征向量,

(1)求x与y；

(2)求P,使。"4尸=八。

解：(1)因齐次方程(2/-A)X=O的解空间维数为2,则矩阵(2/—A)的秩为1

而

r1

（2/-A）=-x

、3

因rank（21—>4）=1

故有x=2,y=-2。

‘1-11'

（2）A=24-2

3—35j

人的特征多项式|2/-/|=(/1-2)2(^-6)

特征值4=4=2,4=6

由（2/-A）X=0,求得特征向量4=（1-10），4=（1o1）7

由（6/—A）X=0,求得特征向量%=（1-23）’

于是

；111]

P=-10-2

、。13;

且有

’200、

piAP=020

06,

4.设%与生是Ai的两个不同特征值，且有

“4/一4)+r(2/-A)=n

证明矩阵4可对角化。

证明：设rank(a}I-A)=i\rank(a2l-A)=n-r

对于(4/一A)X=0有〃-r个线性无关特征向量

对于(生/-4)X=0有，个线性无关特征向量

于是矩阵4有〃个线性无关特征向量，所以矩阵人可对角化。

r3

5.设N中，a=(xpx2,^)G/?,线性变换了

丁（工],%T

2，.）'=0+2X2+2X3,2xt+x2+2X3,2xt+2x2+x3）

求一组基，使丁在此基下的矩阵为对角阵，并求出此对角阵。

解：取二中的一组标准基0，々，小，则有

1

（七、'X+2X2+2xy]f22YX,

X=2

=（£]£2?）A12xi+x2+2X3

X

<3>k2x）+2X2+马

得线性变换了在基与,£2*3下的矩阵

I22、

A=212

221,

4的特征多项式忆/->4|=(2+l)2(/l-5)

特征值4=4=7,4=5

由(―/—4)X=0,解得特征向量%=(-110)',4=(-101)

由(5/—A)X=0,解得特征向量%=(111),

于是

矩阵P为从基马,与，三到所求基。刍,当的过渡矩阵，于是

—-1r

信务&)=(■无3=।o।

1011J

J1]

线性变换了在基。42，4下的矩阵为T。

、5,

6.求可逆矩阵P及人使尸=其中

「2-1-1

A=2-1-2

、T12,

解：4的特征多项式./一川=—(4-1)3

特征值为4=4=4=1

1

再由(/-A)X=-22

i1-1

解得特征子空间匕=1的一组基1二(110)/，％=(01-if

特征向量a=+攵2a2=(Kk\+k?-k2f

,k2、

由(/-A)[=a=k[+k2

<k)

r-l11

得增广矩阵—222

」-1-1

若方程组(/一4)4=。有解(相容，rank(I-A)=rank(/-A|a)),则有k产k?。

取代=幻=1，得二=(12—l)7

由(/一⑷4二(12-if

解得广义特征向量4=(100)7

(\11]

取。二(?a0)=120

、0-10,

则有

q、

P]AP=11=J

7.设卬=乂，,此',产炉,/'}为函数向量产,此,»2",021生成的4维空间，7为导数变换,

(1)求7"在基下的矩阵；

(2)找一组基，使7•在此基下为Jordan标准形。

解：(1)T=—,于是

dx

\100、

T(e'xe'x2e'*)=("d+M2xe'+?e'2e2i)=(e'xe'e21}0120

If1'I700I0

、0002,

U1()()、

0120

7■在基"，此',炉?炉,/?x下的矩阵人二00]0

,0002,

0

0o'

0

000

(2)P-'AP=

000

2

0

0

值2a1)=(e'x"X“/”二卜wlx2^e[

(\0

00

线性变换7■在基2看3，1下的矩阵为

000

<00

8.在多项式空间6口］中，7•为是匕次］的一个导数变换，证明了在任一基下的矩阵不可对角

化。

证明：T=L于是

’01

00

r(lXV/)='(1Xr-k)=(0I2x5-1)婷)=(1A-X2.f)0

’0

002

0

0

、0

矩阵A的特征值为4=4=…=4=0

而小〃"(4)=〃-1,故A仅有一个特征向量,所以A不可对角化C

‘2-1-1、

9.设A=2-1-2,求A00。

「112，

解：由题(6),有

取g(4)=7°°

nW)100

J=l屋⑴]/、

g⑴厂〔1，

于是

r101-100-100、

A100=200-199-200

、一100100101)

10.设A为〃阶方阵,证明:

(1)若A2-A-/=O,则4可对角化:

(2)若A*=/,k为大于1的整整数，则人可对角化。

证明：(1)因为*一4一/=0,则A的化零多项式0a)=；l2-/l+2=(4+2)(/l-l)

无重根，人的最小化零多项式可整除任意A的化零多项式，故人的最小多项式无重根，于是

A可对角化。

(2)因为4"=/,得4的化零多项式0(/1)二万一1

即

°(71)=Ak—1=(/1—1)(/1*1+A*2H---1-A+1)

而0(团=0无重根,干是人的最小多项式无重根,所以矩阵A可对角化c

习题三

22

1.设A=4-46

(6-78

(1)求A的LOU分解;

(2)设〃=(10Z)71，用LDU分解求解方程组AX=b°

解：⑴

r2210022；10022100

(*/)=4-46010->0-22：10.0210

、6800(0-42；010-2

100、2-12

令，P=-210,则PA=0-22

1-2b00-2j

这里矩阵P为行初等变换矩阵=PiP2A=PA

22100100

令U=PA=0-22-210210

1°0-911一2(32

于是

I1

10())(2-12、"10()丫22

A=LU=2100-22=21001=LDV

2IJI。。2<321]

3-2J001

(2)[t]AX=b

得LDVX=b

令DVX=Z,则有

LZ=b

令vx=y,则有

DY=Z

由LZ=〃

100、41

即2I0z?0

3212

解得

(Zlz2Z3)，=(l-23)，

T(\

(y%%)1_3)

再由vx=y

解得

x七),2

(ia

2.求下列矩阵的满秩分解

’()0P」23()

(1)211,i二口⑵021-1

12-0)

J02I

解：⑴

0

1

0

矩阵第1列和第3列线性无关，于是满秩分解为

r0or

2ii2

2()人。0I

(2)

」021、

U230、<1230、,1230、11

021-1021-1T021-1T01-——

22

21-2-10000

J°z10z、0000,

于是满秩分解为

」230](\

021-1=0

J021J

(X丫]

3.设AeC'"〃，A的分块为从二,其中XwC』rank(A)=rank(X)=r,

(zW)

W=ZX-[Y,证明A有如下形式的满秩分解

A='IJXV),4=(zx-〃(XY)

X

证明：因为⑶成(A)=%成(X)=r,矩阵八的前r个列是4的极大无关列，人的后

3「X、

n-r个列可由线性表示，即

YXYXH

H，

J。

故有

XYXY、X

A=,亿IX'y)

【Z4zM(Zzxr>

X

11

A=(/r|X^YzxWX'3"”一)

13

4.阵A=3-53的谱分解。

I6-6

解；矩阵4的特征多项式fGli2)2(24)

对应特征值4=4=-2的特征向量，由下述方程求得

‘3-31°〕

（A+27）X=0,即3-30

、6-6

解得特征向量4=(110)7,%=（-10I）,

对应特征值4=4的特征向量，由下述方程求得

'-3-3

（A-4/）X=0,即3-9

、6-6

解得特征向量%=(112)丁

3V

」-11'2~2

于是尸=10110

、012）

<222>

故有矩阵人的谱分解

5.明反对称矩阵Aw/T^A7'=—A)和反Hermite矩阵8£二一3)的特征值为0

和纯虚数。

证明：设AT=—A,4为矩阵人的特征值，即有

AX=AX

XTAT=AXr

-XTAX=AXTX

-AXTX=AXTX

得

—A=A,»所以为=0

设出一B,2为矩阵8的特征值，即有

BX=AX

XHBH=AXH

-XHBX=AXHX

-A,XHX=AXhX

得

—A,令2=a+ib

则有-a-ib=a-ib,得a=0

所以4为纯虚数。

6.4与B为正规矩阵，证明4与8酉相似的充分必要条件是A与B的特征值相同。

证明：

（1）充分性

设4与8为正规矩阵，且特征值相同，则对4与8分别存在西矩阵U1和。2,使

二c〃ag（4,4，，4t）

U?BU2=diag（A，4,…&）

故有U：BU2=U：AU\

即B=U2U^AU=

所以4与8相似

（2）必要性

设幺与8相似，则有

B=UHAU

于是

|2Z-B|=|2Z-UHAU\=\AUHU-UHAU\=|t7h'||2Z-川叫=|2Z-A|

故4与8的特征值相同。

7设斗£丁

（1）证明A〃A与AA〃的非零特征值相同；

（2）设A〃A的非零特征值4,办,…,儿.对应的正交特征向量为则AA”的

特征值4,4，，4对应的特征向量为4%，A%，,.且它们也是正交向量组。

证明：（1）

AHX一A")

取,有

1()I,一I。J(07

AHZ〃AA〃00

因为

、A0叩.0

I。中7

于是

"AHA0、r00、

<A0,

故有

AHA01r00

AAAH

即

若义/0,则有

H

o\AIm-AA\=0

所以A"A与A4"的非零特征值相同。

(2)设A，"%=4%，i=h2,,r

于是

(AAH)Aa,=4(A%)

所以A/(/=1,2,,r)为AA”的特征向量。

(A%)”(A%)=a"AHAaj=a：(乙％)=入产:%=0,(Jwj)

故特征向量组为人囚，人见，，Aar正交向量组。

8.求下列矩阵的奇异值分解

'()00、

40、000

(1)01(2)100

<1L001

解：⑴

01=

lo11J112；

\11/

矶一(；；]=(小)("3)

特征值4=3,4=1,奇异值为O]=J3,4=1

由

((2⑼/、/

3/-।0=n解得特征向量％=(11)

((2@/、丁

1/-1O二八解得特征向量％=(1-1)

由此得正交矩阵

，11

_fL

五

1

V=

&1

J

1&

于是

—

1

fz2质

</z、

-l(rlo

1o11oi—

----

w血

l0il1%Ill—

\_&LkF

,。

k

I斯

设夕-a

由，_L1和尸1%,得

%+W+2&=0

菁一&=()

解得尸=(11-if

1

标准化后，得〃3=

耳「I

奇异值分解为

111

一

6一r

r\(G、

o)1VW2V13O_fL-L

i一o1

-一

6石V12

lOO

I1一

7I上

2。/I

一

一72

V6>/3

2

rzooo

rzoolO\ooo/loOA

"

oooO1ooooO

■一

oII一oI

ooIoo1o7

xk/L

rloO、

ooO2\2

-=-7

ooI

I，

特征值4=i，4=o，奇异值为0=1,%=o

由

解得特征向量a=(01of

解得特征向量%=(io0）二%=（001）,

00、

V=001

\010;

fo00、

00

00

01

r

设分=（Mx,.x4）

由6-L«1,/，〃2，得

£=0

x4=0

解得〃3=(1000)',u4=(010of

奇异值分解为

fo00"1z、/、

八八八(0010Y100、/

000<100

八八0001010

100=001

八八1000000

001Io10

(0100人00

\/

9.证明一个正规矩阵若是三角阵，则一定是对角阵。

证明：设矩阵Aw尸""为上三角阵，则有

由因矩阵4为正规矩阵，则有=

即

矩阵A"A,A4"第/行第i列元素为

j=i

(“%=1町+f|%|

得知=0(i工力

所以4为对角阵。

10.设A£C""的奇异值是外巴,…,。〃，证明|det(A)|二立,。

证明：矩阵4的奇异值分解为

&、

A=UqVH

<巴"

这里UW为。阶酉矩阵

|det(C/)|=1,|det(Vw)|=1

于是

|det(X)|=|det(U)||det(diag(cr”…,b")||det(V")|="5

i=i

习题四

r-102i、

l.A=3+i51+i0,x=

<2/2-4,

计算：ML，MU加周国2』项。

解：Ml1=max13+Vio64+V251=3+Vio

ML=max{4VW+V2+59}=7104-V2+5

Ar=(27-i-2+6Z)7

加|L=2+V50+x/40

IIM=夜

闷L=病

2.设4,4，…，。〃均为正实数，向量X=(芭X2…X”)建,证明由

1

(〃Y

||x||=-定义的非负实数是父空间的一个向量范数。

\1=1>

证明：

(1)正定性：||x||>0,若国=0,则有x=O

（2）齐次性：闷=产之西一=网性谪2=闷国

\i=l7\*=17

（3）三角不等式：

卜+W=Z4a+%）2=（片+2%戊+£）«Z%a：+y；）+2

i=\i=\:=\/=1

=卜『+阴+2%/»

i=\

由Cauchy不等式，得

22

复"•=£（向0（向K）工力（百可）吃（肉丫）2="『13『

1=11=1<=|1=1

所以

k+W«M+llW+2|WI|IH=（Hl+||y||）2

故有

1归+引引4+帆

3.判别下列定义的实函数是否为C"""的矩阵范数。

,,x>>

(1)设A=(%)€C,定义实函数值Mil=max同；

1,JU

(2)设4=（%）£C"X"，定义实函数值MH=J嬴max\ah|o

T10L0、1000

000L0000

解：（1）取4=，B=

MMMLM

<000L0>