9.2三角形的内角和外角第二课时七年级数学下册课件（冀教版）

9.2三角形的内角和外角第2课时目录课前导入新课精讲学以致用课堂小结课前导入情景导入

如图给我们展示了一个三角形的钢架，在实际生活中这样的例子很多，这主要是利用三角形的稳定性，除此之外，你还知道三角形的哪些性质呢?新课精讲探索新知1知识点三角形的外角定义

三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.

如图，∠ACD是△ABC的一个外角.探索新知例1如图，△CEF的外角为__________________．图中△CEF的三边的延长线只有EF的延长线FA，CE的延长线EB，延长线FA

与边FC构成的角为∠AFC；延长线EB与边EF构成的角为∠BEF.由三角形外角的概念可以判断∠AFC，∠BEF是△CEF的外角.导引：∠AFC，∠BEF探索新知总

结

判定一个角是三角形的外角的三个条件：一是顶点在三角形的一个顶点上；二是一边是三角形的一条边；三是另一边是三角形的另一条边的延长线．典题精讲如图，下列关于△ABC的外角的说法正确的是(

)A．∠HBA是△ABC的外角B．∠HBG是△ABC的外角C．∠DCE是△ABC的外角D．∠GBA是△ABC的外角1D典题精讲关于三角形的外角，下列说法中错误的是(

)A．一个三角形只有三个外角B．三角形的每个顶点处都有两个外角C．三角形的每个外角是与它相邻内角的邻补角D．一个三角形共有六个外角2A探索新知2知识点三角形的外角性质

现在我们讨论三角形的外角及外角和.

如图，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角.探索新知

三角形的外角与内角有什么关系呢？

在图中，显然有∠CBD(外角)+∠ABC(相邻的内角)=180°.

那么外角∠CBD与其他两个不相邻的内角又有什么关系呢？

依据三角形的内角和等于180°，

我们有∠ACB

+∠BAC

+∠ABC=180°.探索新知

由上面两个式子，可以推出∠CBD

=180°－∠ABC，

∠ACB+∠BAC=180°－∠ABC.

因而可以得到你与你的同伴所发现的结论：∠CBD=∠ACB+∠BAC.探索新知归纳由此可知，三角形的外角有两条性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内

角的和.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻

的内角.探索新知如图，∠BCD=92°，∠A=27°，∠BED=44°.求：(1)∠B的度数；(2)∠BFD的度数．例2探索新知(1)在△ABC中，∵∠BCD=∠A+∠B(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和).∴∠B=∠BCD－∠A

=92°－27°=65°.(2)在△BEF中，∵∠BFD=∠A+∠BED(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和).∠BED=44°(已知)，∠B=65°(已求).∴∠BFD=44°+65°=109°.解：探索新知总

结

利用三角形的外角的性质求角的度数常与内角的度数相结合来应用.典题精讲如图，点D在△ABC的边AB的延长线上，∠DBC=112°，∠A=35°.求∠C.1因为∠DBC是△ABC的一个外角，所以∠DBC＝∠A＋∠C，所以∠C＝∠DBC－∠A＝112°－35°＝77°.解：典题精讲如图，

∠DAC，∠EBA，∠FCB分别是∠ABC的三个外角，求∠DAC+∠EBA+∠FCB的度数.2典题精讲因为∠DAC，∠EBA，∠FCB分别是△ABC的三个外角，所以∠DAC＝∠ABC＋∠ACB，∠EBA＝∠BAC＋∠ACB，∠FCB＝∠BAC＋∠ABC.所以∠DAC＋∠EBA＋∠FCB＝∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＋∠ACB＋∠BAC＋∠ABC＝2∠ABC＋2∠BAC＋2∠ACB.又因为∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＝180°，所以∠DAC＋∠EBA＋∠FCB＝2∠ABC＋2∠BAC＋2∠ACB＝360°.解：典题精讲如图，在△ABC中∠BAD=∠CAD，∠B=64°，∠C=55°，请各用两种方法求∠ADB和∠ADC的度数.3典题精讲方法一：在△ABC中，∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∠B＝64°，∠C＝55°，所以∠BAC＝180°－64°－55°＝61°，因为∠BAD＝∠CAD，所以∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝30.5°.在△ABD中，∠BAD＋∠B＋∠ADB＝180°，所以∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－64°－30.5°＝85.5°.在△ACD中，∠CAD＋∠C＋∠ADC＝180°，所以∠ADC＝180°－∠C－∠CAD＝180°－55°－30.5°＝94.5°.解：典题精讲方法二：在△ABC中，∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∠B＝64°，∠C＝55°，所以∠BAC＝180°－64°－55°＝61°.因为∠BAD＝∠CAD，所以∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝30.5°.因为∠ADB是△ACD的一个外角，∠ADC是△ABD的一个外角，所以∠ADB＝∠CAD＋∠C＝30.5°＋55°＝85.5°，∠ADC＝∠BAD＋∠B＝30.5°＋64°＝94.5°.典题精讲三角形，一个外角等于与它相邻的内角的4倍，又等于与它不相邻的一个内角的2倍，求这个三角形各内角的度数.4如图，由已知，得∠ACD＝4∠ACB＝2∠B，所以∠ACD＋∠ACB＝4∠ACB＋∠ACB＝5∠ACB＝180°，解得∠ACB＝36°，所以∠ACD＝36°×4＝144°，∠B＝2×36°＝72°.又因为∠ACD＝∠A＋∠B，所以∠A＝∠ACD－∠B＝144°－72°＝72°，所以这个三角形各内角的度数分别为36°，72°，72°.

解：典题精讲已知：如图，点E在BA的延长线上，∠EAD=∠CAD，∠B=∠C.对AD∥BC进行说理.5典题精讲因为∠EAC是△ABC的一个外角，所以∠EAC＝∠B＋∠C(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和)．因为∠EAC＝∠EAD＋∠CAD，所以∠EAD＋∠CAD＝∠B＋∠C，又因为∠EAD＝∠CAD，∠B＝∠C(已知)，所以∠EAD＝∠B，所以AD∥BC(同位角相等，两直线平行)．解：典题精讲如图，∠1是哪个三角形的外角？∠2是哪个三角形的外角？利用三角形的外角与内角的关系，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.6典题精讲∠1是△FCE的外角，∠2是△BDL的外角．因为∠1是△FCE的一个外角，∠2是△BDL的一个外角，所以∠1＝∠C＋∠E，∠2＝∠B＋∠D，所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝∠A＋∠1＋∠2＝180°.解：探索新知例3如图，请确定∠1与∠2的大小关系，并说明理由．要判断∠1与∠2的大小关系，而这两个角之间没有直接关系，则需找出一个角作为桥梁将这两个角联系起来，而∠3能担当这种角色；用三角形外角的性质，先判断∠3与∠1的大小关系，再判断∠3与∠2的大小关系，进而判断∠1与∠2的大小关系．导引：探索新知∠1>∠2.理由如下：∵∠1是△ABC的一个外角，∴∠1>∠3.∵∠3是△FGC的一个外角，∴∠3>∠2.∴∠1>∠2.解：探索新知总

结

“三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角”是说明有关角的不等关系的一条重要定理，用它可判断与三角形有关的角的大小问题．本题通过∠3把∠1和∠2联系在一起．典题精讲如图，∠A＝50°，∠C＝70°，则外角∠ABD的度数是(

)A．110°

B．120°C．130°D．140°如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°,∠ACE＝60°,则∠A＝(

)A．35°

B．95°C．85°D．75°1BC2典题精讲如图，∠A，∠1，∠2的大小关系是(

)A．∠A＞∠1＞∠2B．∠2＞∠1＞∠AC．∠A＞∠2＞∠1D．∠2＞∠A＞∠13B典题精讲如图，AB∥CD，∠A＝50°，∠C＝30°，则∠AEC等于(

)A．20°

B．50°C．80°D．100°如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠，使点A落在边BC上的E处，折痕为CD，则∠EDB＝________．4C510°探索新知3知识点三角形按角分类1.一个三角形的内角最多有几个直角，最多有几个钝角？2.一个三角形能不能三个内角都是锐角？探索新知

一个三角形最多有一个内角是直角.因为假设它有两个内角是直角，那么这个三角形的内角和就大于180°了，这与三角形的内角和等于180°矛盾，所以一个三角形最多有一个内角是直角.同样，一个三角形最多有一个内角是钝角.一个三角形的三个内角有可能都是锐角.探索新知归纳

我们把三个内角都是锐角的三角形叫做锐角三角形(acutetriangle)，有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形(righttriangle)，有一个内角是钝角的三角形叫做钝角三角形(obtusetriangle).探索新知如果一个三角形三个内角度数的比为2:3:5，那么这个三角形是(

)A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形例4导引：设三角形三个内角的度数分别为2x，3x，5x，由三角形的内角和等于180°，可列出方程2x＋3x＋5x＝180°，解得x＝18°，∴三角形最大的内角是5x＝90°，故这个三角形是直角三角形.A探索新知总

结

利用方程思想解决问题，用未知数分别表示出三个内角的度数，再利用三角形内角和定理列出方程，解方程求出未知数的值，进一步求出最大内角，再进行判断即可．典题精讲1已知某三角形的一个外角是55°，这个三角形是锐角三角形、直角三角形，还是钝角三角形？因为三角形的一个外角是55°，所以这个三角形中与它相邻的内角的度数为180°－55°＝125°，所以这个三角形是钝角三角形．解：典题精讲2小熊和小猫想把一个三角形纸片折一次后，折痕把原三角形分成两个直角三角彤，能做到吗？如果使折痕把原三角形分成两个锐角三角形呢？如果能，说明折的方法；如果不能，说明理由.典题精讲能分成两个直角三角形，折的方法是沿三角形的一条高折；不能分成两个锐角三角形.如图.与原来的三角形纸片一边相交的折痕把原来的三角形纸片分成了两部分，形成了两个新三角形纸片，因为∠1和∠2是邻补角，它们的和是180°，所以如果其中一个角是直角，那么另一个角也一定是直角；如果其中一个角是锐角，那么另一个角一定是钝角.解：典题精讲3如果三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形一定是(

)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．任意三角形下列条件：①∠A＋∠B＝∠C；②∠A:∠B:

∠C＝1:2:3；③∠A＝90°－∠B；④∠A＝∠B＝∠C.能确定△ABC是直角三角形的条件有(

)A．1个B．2个C．3个D．4个4CD易错提醒如图，在△ABC的边BC的延长线上取点D，E，连接AD，AE，则下列式子中正确的是(

)A．∠ACB＞∠ACDB．∠ACB＞∠1＋∠2＋∠3C．∠ACB＞∠2＋∠3D．以上都正确易错点：忽略外角的性质中“不相邻”这一条件.C学以致用小试牛刀下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是(

)C1小试牛刀2如图，在△ABC中，D是三角形内一点，试说明：∠BDC＞∠A.如图，延长BD交AC于点E.因为在△ABE中，∠BEC＞∠A，在△CDE中，∠BDC＞∠BEC，所以∠BDC＞∠A.解：小试牛刀3如图，在△ABC中，点D是∠ACB与∠ABC的平分线的交点，BD的延长线交AC于点E.(1)若∠A＝70°，求∠BDC的度数；(2)若∠EDC＝50°，求∠A的度数；(3)请直接写出∠A与∠BDC之间的数量关系(不必说明理由)．小试牛刀(1)∵∠A＝70°，∴∠ABC＋∠ACB＝110°.∵BD，CD分别为∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB.∴∠DBC＋∠DCB＝(∠ABC＋∠ACB)＝55°.∴∠BDC＝180°－(∠DBC＋∠DCB)＝125°.解：小试牛刀(2)∵∠EDC＝50°，∴∠DBC＋∠DCB＝50°.∵BD，CD分别为∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB.∴∠ABC＋∠ACB＝2(∠DBC＋∠DCB)＝100°.∴∠A＝80°.(3)∠BDC＝90°＋∠A.小试牛刀如图，在△ABC中，D为BC的延长线上一点，∠A＝60°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点O，求∠O的度数．由题意得∠OBC＝∠ABC，∠DCO＝∠ACD，∴∠O＝∠DCO－∠OBC＝∠ACD－∠ABC＝(∠ACD－∠ABC)＝