浙江省温州市温州中学2024届高三第一次模拟考试数学试题及解析

浙江省温州中学2024届高三第一次模拟考试数学学科一、选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，则复数的虚部为（）A. B. C.0 D.12.某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班比赛得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的分位数为（）A.93 B.93.5 C.94 D.94.53.已知直线与圆有公共点，则b的取值范围为（）A. B.C. D.4.三棱锥中，平面，为等边三角形，且，，则该三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.5.已知等比数列的首项，公比为q，记（），则“”是“数列为递减数列”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件6.已知函数，其中.若在区间上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.7.在直角梯形，，，，，，分别为，的中点，点在以A为圆心，为半径的圆弧上变动（如图所示），若，其中，则的取值范围是（）A. B. C. D.8.已知，则的大小关系为（）A. B. C. D.二、多选题：本大题共4小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.9.下列选项中，与“”互为充要条件的是（）A. B.C. D.10.设A，B是一次随机试验中的两个事件，且，，，则（）A.A，B相互独立 B. C. D.11.在三棱锥中，，，是棱的中点，是棱上一点，，平面，则（）A平面 B.平面平面C.点到底面的距离为2 D.二面角的正弦值为12.设为抛物线的焦点，直线与的准线，交于点．已知与相切，切点为，直线与的一个交点为，则（）A.点在上 B.C.以为直径的圆与相离 D.直线与相切三、填空题：本大题共4小题13.已知，（a为实数）．若q的一个充分不必要条件是p，则实数a的取值范围是________.14.已知正项数列满足，则_______.15.直三棱柱的底面是直角三角形，，，，．若平面将该直三棱柱截成两部分，将两部分几何体组成一个平行六面体，且该平行六面体内接于球，则此外接球表面积的最大值为______．16.对任意，函数恒成立，则a的取值范围为___________．四、解答题：木大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在中，内角的对边分别为，，，且，，.（1）求角及边的值；（2）求的值.18.已知数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，其前项和为，求使得成立的最小值．19.如图，正三棱锥的三条侧棱、、两两垂直，且长度均为2．、分别是、的中点，是的中点，过作平面与侧棱、、或其延长线分别相交于、、，已知．（1）求证：⊥平面；（2）求二面角的大小．20.甲、乙、丙为完全相同的三个不透明盒子，盒内均装有除颜色外完全相同的球.甲盒装有4个白球，8个黑球，乙盒装有1个白球，5个黑球，丙盒装有3个白球，3个黑球.（1）随机抽取一个盒子，再从该盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黑球的概率；（2）已知（1）中摸出的球是黑球，求此球属于乙箱子的概率.21.设椭圆，是上一个动点，点，长的最小值为．（1）求值：（2）设过点且斜率不为0的直线交于两点，分别为的左、右顶点，直线和直线的斜率分别为，求证：为定值．22已知.（1）若过点作曲线的切线，切线的斜率为2，求的值；（2）当时，讨论函数的零点个数.浙江省温州中学2024届高三第一次模拟考试数学学科一、选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，则复数的虚部为（）A. B. C.0 D.1【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法运算，得到复数的代数形式，由此求得复数的虚部.【详解】因为，所以虚部为1.故选：D．2.某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的分位数为（）A.93 B.93.5 C.94 D.94.5【答案】B【解析】【分析】利用百分位数的定义即可得解.【详解】将比赛得分从小到大重新排列：85，87，89，90，91，91，92，93，94，96，因为，所以这组数据的分位数第8个数与第9个数的平均值，即.故选：B.3.已知直线与圆有公共点，则b的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由圆心到直线距离小于等于半径，得到不等式，求出答案.【详解】由题意得，圆心到直线距离，解得，故的取值范围是.故选：A4.三棱锥中，平面，为等边三角形，且，，则该三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先作图构造外接球的球心，再根据几何关系求外接球的半径，最后代入三棱锥外接球的表面积公式.【详解】如图，点为外接圆的圆心，过点作平面的垂线，点为的中点，过点作线段的垂线，所作两条垂线交于点，则点为三棱锥外接球的球心，因为平面，且为等边三角形，，所以四边形为矩形，，，所以，即三棱锥外接球的半径，则该三棱锥外接球的表面积为.故选：B5.已知等比数列的首项，公比为q，记（），则“”是“数列为递减数列”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，结合等差数列的前项和公式、充分性和必要性的定义进行判断即可.【详解】由题意，，，当时，对于不一定恒成立，例如；当为递减数列时，且对于恒成立，又因为，所以得，因此“”是“数列为递减数列”必要不充分条件，故选：C.6.已知函数，其中.若在区间上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用余弦函数的单调性求出单调递增区间，可得，解不等式即可得出答案.【详解】由题意得，函数的增区间为，且，解得.由题意可知：.于是，解得.又，于是.故选：A.7.在直角梯形，，，，，，分别为，的中点，点在以A为圆心，为半径的圆弧上变动（如图所示），若，其中，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】结合题意建立直角坐标系，得到各点的坐标，再由得到，，从而得到，由此可求得的取值范围.【详解】结合题意建立直角坐标，如图所示：.则，，，，，，则，，，，∵，∴，∴，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，故，即.故选：A.8.已知，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意可得，构建函数，利用导数分析可知在上单调递增，进而结合对数函数单调性分析判断.【详解】因为，两边取对数得：，令，则，令，则，可知在上单调递增，因为，则，可知恒成立，则，即，可得，则在上单调递增，可得，可得，即，又因为在上单调递增，所以.故选：D.【点睛】关键点睛：对题中式子整理观察形式，构建函数，利用导数判断其单调性.二、多选题：本大题共4小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.9.下列选项中，与“”互为充要条件的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】求解各不等式判断即可.【详解】对A，则，即，，解得，故A错误；对B，则，故，解得，故B正确；对C，则，解得，故C正确；对D，，则，解得，故D错误.故选：BC10.设A，B是一次随机试验中的两个事件，且，，，则（）A.A，B相互独立 B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用独立事件、对立事件、互斥事件的定义与概率公式可判定A、B，利用条件概率的定义与公式可判定C、D.【详解】由题意可知，事件互斥，且，所以，即，故A正确；则，故B正确；由条件概率公式可知：，故C错误；，即，故D正确.故选：ABD11.在三棱锥中，，，是棱的中点，是棱上一点，，平面，则（）A.平面 B.平面平面C.点到底面的距离为2 D.二面角的正弦值为【答案】ABD【解析】【分析】根据线面平行的判定定理可判断A；根据面面垂直的判定定理可判断B；取的中点，过点作交于点，利用线面垂直的判定定理可得平面，求出可判断C；以为正交基底建立空间直角坐标系，求出平面、平面的一个法向量，由线面角的向量求法可判断D．【详解】对于A，因为平面，平面，所以．因为，且直线平面，所以．因为平面，平面，所以平面，A正确；对于B，平面，平面，所以平面平面，B正确；对于C，取的中点，连接，过点作交于点，因为，所以．因为平面，平面，所以，因为，，平面，所以平面，，C错误；对于D，如图，以为正交基底建立空间直角坐标系，因为是的中点，，所以，因为，所以，即，所以，设平面一个法向量，则，即，令，得，所以平面的一个法向量，设平面的一个法向量，则，即，令，得，所以平面的一个法向量，所以，设二面角为，所以，所以二面角的正弦值为，故D正确．故选：ABD．【点睛】方法点睛：二面角的通常求法，1、由定义作出二面角的平面角；2、作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角；3、利用向量法求二面角的平面.12.设为抛物线的焦点，直线与的准线，交于点．已知与相切，切点为，直线与的一个交点为，则（）A.点在上 B.C.以为直径的圆与相离 D.直线与相切【答案】BCD【解析】【分析】A选项，联立直线与抛物线方程，根据根的判别式得到点在上；B选项，作出辅助线，结合抛物线定义得到相等关系，再由大边对大角作出判断；C选项，证明出以为直径的圆与轴相切，得到C正确；D选项，设出直线方程，与抛物线方程联立求出点坐标，从而求出直线方程，联立抛物线，根据根的判别式得到答案.【详解】对于A，联立直线与的方程，消去得，因为与相切，所以，即，所以点在上，A错误．对于B，过点作垂直于的准线，垂足为，由抛物线定义知，因为，所以，所以在中，，由大边对大角得，B正确．对于C，，由A选项与相切，切点为，可得，其中，则的中点坐标为，且，故半径为，由于半径等于以为直径的圆的圆心横坐标，故以为直径的圆与轴相切，所以与相离，C正确；对于D，设直线方程为，与联立得，所以，解得，则，因为，所以直线方程为，联立直线与曲线的方程得，因为，所以直线与相切，D正确．故选：BCD．【点睛】抛物线的相关结论，中，过焦点的直线与抛物线交于两点，则以为直径的圆与轴相切，以为直径的圆与准线相切；中，过焦点的直线与抛物线交于两点，则以为直径的圆与轴相切，以为直径的圆与准线相切.三、填空题：本大题共4小题13.已知，（a为实数）．若q的一个充分不必要条件是p，则实数a的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】利用小范围是大范围的充分不必要条件转换成集合的包含关系求解.【详解】因为q的一个充分不必要条件是p，所以是的一个真子集，则，即实数a的取值范围是.故答案为：.14.已知正项数列满足，则_______.【答案】【解析】【分析】由递推公式可得，再由累乘法即可求得结果.【详解】由可得，由累乘可得.故答案为：15.直三棱柱的底面是直角三角形，，，，．若平面将该直三棱柱截成两部分，将两部分几何体组成一个平行六面体，且该平行六面体内接于球，则此外接球表面积的最大值为______．【答案】【解析】【分析】可能是的中垂面，的中垂面，的中垂面.截下的部分与剩余的部分组合成为长方体,用公式求出外接球直径进而求解.【详解】平行六面体内接于球，则平行六面体为直四棱柱，如图有如下三种可能.截下的部分与剩余的部分组合成为长方体，则或或，所以．故答案为：16.对任意，函数恒成立，则a的取值范围为___________．【答案】【解析】【分析】变形为，构造，求导得到单调性进而恒成立，故，分当和两种情况，结合单调性和最值，得到，得到答案.【详解】由题意得，因为，所以，即，令，则恒成立，因为，令得，，单调递增，令得，，单调递减，且当时，恒成立，当时，恒成立，因为，所以恒成立，故，当时，，此时满足恒成立，当，即时，由于在上单调递增，由得，令，，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故在处取得极大值，也是最大值，，故，即，所以，a的取值范围是.故答案为：【点睛】导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现指数函数与对数函数，通常使用同构来进行求解，本题难点是两边同时乘以，变形得到，从而构造进行求解.四、解答题：木大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在中，内角的对边分别为，，，且，，.（1）求角及边的值；（2）求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理得到，求出，由正弦定理得到；（2）由二倍角公式求出，由差角公式求出答案.【小问1详解】因为，由余弦定理得，因为，所以，因为，，所以，由正弦定理得，即，解得；【小问2详解】由（1）得，，18.已知数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，其前项和为，求使得成立的的最小值．【答案】（1）；（2）10.【解析】【分析】（1）根据关系及递推式可得，结合等比数列定义写出通项公式，即可得结果；（2）应用裂项相消法求，由不等式能成立及指数函数性质求得，即可得结果.【小问1详解】当时，，所以，则，而，所以，故是首项、公比都为2的等比数列，所以.【小问2详解】由，所以，要使，即，由且，则.所以使得成立的的最小值为10.19.如图，正三棱锥的三条侧棱、、两两垂直，且长度均为2．、分别是、的中点，是的中点，过作平面与侧棱、、或其延长线分别相交于、、，已知．（1）求证：⊥平面；（2）求二面角的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角形中位线定理结线面平行的判定可得∥平面，再由线面平行的性质可得∥，由等腰三角形的性质可得⊥，从而可得⊥，再由已知可得⊥平面，则⊥，然后利用线面垂直的判定定理可证得结论；（2）作⊥于，连，则由已知条件可证得平面，从而可得就是二面角的平面角，过作⊥于，则可得∥，设，然后利用平行线分线段成比例定理结合已知条件可求得，在中可求出的长，从而可求得，进而可直角三角形中可求得结果.【详解】（1）证明：因为、分别是、的中点，所以是的中位线，所以∥，因为平面，平面，所以∥平面，因为平面，平面平面，所以∥．因为、分别是、的中点，所以，因为，所以，因为是的中点，所以⊥，所以⊥．因为⊥，⊥，，所以⊥平面，因为平面，所以⊥，因为因此⊥面．（2）作⊥于，连．因为，因为⊥平面，因为平面，所以，因为，所以平面，因为平面，所以⊥，所以就是二面角的平面角．过作⊥于，则∥，则是的中点，则．设，由得，，解得，则，在中，，则．所以在中，，故二面角为．20.甲、乙、丙为完全相同的三个不透明盒子，盒内均装有除颜色外完全相同的球.甲盒装有4个白球，8个黑球，乙盒装有1个白球，5个黑球，丙盒装有3个白球，3个黑球.（1）随机抽取一个盒子，再从该盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黑球的概率；（2）已知（1）中摸出的球是黑球，求此球属于乙箱子的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设出事件，运用全概率公式求解即可.（2）利用条件概率公式求解即可.【小问1详解】记取到甲盒子为事件，取到乙盒子为事件，取到丙盒子为事件，取到黑球为事件B：由全概率公式得，故摸出的球是黑球的概率是.【小问2详解】由条件概率公式得，故此球属于乙箱子的概率是21.设椭圆，是上一个动点，点，长的最小值为．（1）求的值：（2）设过点且斜率不为0的直线交于两点，分别为的左、右顶点，直线和直线的斜率分别为，求证：为定值．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设出点坐标，并求出长，再结合二次函数探求最小值即得解.（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，设出点的坐标，利用斜率坐标公式，结合韦达定理计算即得.【小问1详解】依题意，椭圆的焦点在轴上，设焦距为，设，则，而，则，而，则，即，因此，由，得当时，，即，化简得，又，解得，所以．【小问2详解】由（1）知，椭圆的方程为，点，设，则，即，斜率不为0的直线过点，设方程为，