山东省日照市2024届高三下学期一模数学解析

2021级高三模拟考试数学试题考生注意：1．答题前，考生务必将自百的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意求集合A，再根据交集运算求解.【详解】由题意可得：，所以.故选：D.2.已知数列是公比为2的等比数列，且，则等于（）A.24 B.48 C.72 D.96【答案】B【解析】【分析】由等比数列通项公式的性质得出结果.【详解】因为数列是公比为2的等比数列，且，所以，故选：B.3.已知样本空间含有等可能的样本点，且，，则（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】根据题意分别求得，，，结合独立事件的定义，可判定事件与相互独立，再结合对立事件的概念关系可运算得解.【详解】由题意，，，，，所以事件与相互独立，则与也相互独立，.故选：A.4.已知l，m是两条不同的直线，为平面，，下列说法中正确的是（）A.若l与不平行，则l与m一定是异面直线B.若，则l与m可能垂直C.若，且，则l与m可能平行D.若，且l与不垂直，则l与m一定不垂直【答案】B【解析】【分析】根据空间中线、面位置关系分析逐项分析判断.【详解】对于选项A：若l与不平行，则l与的位置关系有：相交或直线在平面内，且，则l与m的位置关系有：平行、相交或异面，故A错误；对于选项B：若，则l与m可能垂直，如图所示：，可知：，故B正确；对于选项C：若，且，，则l与m异面，故C错误；对于选项D：若，且l与不垂直，则l与m可能垂直，如图，取为平面，，符合题意，但，故D错误；故选：B.5.今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他的同学一行四人决定去看这三部电影，则恰有两人看同一部影片的选择共有（）A.9种 B.36种 C.38种 D.45种【答案】B【解析】【分析】先安排2人看同一部影片，再安排剩余2人，利用排列组合知识进行求解.【详解】从4人中选择2人看同一部影片，再从3部影片中选择一部安排给这两人观看，剩余的2人，2部影片进行全排列，故共有种情况.故选：B6.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不死分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据幂函数以及正弦函数的性质，结合充分、必要条件分析判断.【详解】若，例如，则，可知，即充分性不成立；若，例如，则，满足题意，但，即必要性不成立；综上所述：“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.7.已知函数，则（）A.B.不是周期函数C.在区间上存在极值D.在区间内有且只有一个零点【答案】D【解析】【分析】对于A，由诱导公式即可判断；对于B，由三角函数周期可得，由此即可判断；对于C，由复合函数单调性即可判断；对于D，令，解方程即可得解.【详解】对于A，，所以，故A错误；对于B，，所以是以为周期的函数，故B错误；对于C，由复合函数单调性可知在区间上分别单调递增、单调递减，所以在区间上单调递增，所以不存在极值，故C错误；对于D，令，得，所以，即该方程有唯一解（函数在内有唯一零点），故D正确.故选：D.8.过双曲线的右支上一点P，分别向和作切线，切点分别为M，N，则的最小值为（）A.28 B.29 C.30 D.32【答案】C【解析】【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线的左右焦点为，，连接，，，，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．【详解】由双曲线方程可知：，可知双曲线方程的左、右焦点分别为，，圆的圆心为（即），半径为；圆的圆心为（即），半径为．连接，，，，则，可得，当且仅当P为双曲线的右顶点时，取得等号，即的最小值为30.故选：C.【点睛】关键点点睛：根据数量积的运算律可得，结合双曲线的定义整理得，结合几何性质分析求解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题正确的是（）A.复数虚部为B.设z为复数，，则C.若复数为纯虚数，则，D.复数在复平面内对应的点在第二象限【答案】AC【解析】【分析】对于ACD：根据复数的相关概念和几何意义分析判断；对于B：根据复数的除法运算可得，进而结合共轭复数的概念和复数的模长运算求解.【详解】对于选项A：复数的虚部为，故A正确；对于选项B：因为，则，所以，故B错误；对于选项C：若复数为纯虚数，则，，故C正确；对于选项D：复数在复平面内对应的点为，在第四象限，故D错误；故选：AC.10.从标有1，2，3，…，8的8张卡片中有放回地抽取两次，每次抽取一张，依次得到数字a，b，记点，，，则（）A.是锐角的概率为 B.是直角的概率为C.是锐角三角形的概率为 D.的面积不大于5的概率为【答案】ACD【解析】【分析】A选项，先得到种情况，数形结合得到要想为锐角，则点应在直线下方，共有28个点满足要求，得到是锐角的概率；B选项，求出直线，要想为直角，则点在上，列举出满足要求的点的个数，B正确；C选项，要想为锐角三角形，则点落在直线与直线之间，列举出满足要求的点，得到概率；D选项，要想的面积不大于5，则点在上，或的下方，即，列举出满足要求的点，得到答案.【详解】A选项，标有1，2，3，…，8的8张卡片中有放回地抽取两次，每次抽取一张，共有种情况，设与直线垂直，因为，则直线，其中个点中，有8个落在直线上，剩余56个点中，一半在上方，一半在下方，要想为锐角，则点应在直线下方，其中满足要求的有28个点，故是锐角的概率为，A正确；B选项，过点作直线⊥，则点落在直线上，满足为直角，其中，故直线的斜率为1，直线的方程为，即，落在上的点的坐标有，共6个，故是直角的概率为，B错误；C选项，要想为锐角三角形，则点落在直线与直线之间，根据点的坐标特征，应落在上，满足要求的点有，共7个，故是锐角三角形的概率为，C正确；D选项，直线的方程为，，设直线，设直线与直线的距离为，则，令，解得，故要想的面积不大于5，则点在上，或的下方，即，满足要求的点有，，，共个，的面积不大于5的概率为，D正确.故选：ACD11.如图是数学家GerminalDandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）．在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球，球切于点E，F（E，F是截口椭圆C的焦点）．设图中球，球的半径分别为4和1，球心距，则（）A.椭圆C的中心不在直线上B.C.直线与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为D.椭圆C的离心率为【答案】ACD【解析】【分析】根据给定的几何体，作出轴截面，结合圆的切线性质及勾股定理求出椭圆长轴和焦距作答.【详解】依题意，截面椭圆的长轴与圆锥的轴相交，椭圆长轴所在直线与圆锥的轴确定的平面截此组合体，得圆锥的轴截面及球，球的截面大圆，如图，点分别为圆与圆锥轴截面等腰三角形一腰相切的切点，线段是椭圆长轴，可知椭圆C的中心（即线段的中点）不在直线上，故A正确；椭圆长轴长，过作于D，连，显然四边形为矩形，又，则，过作交延长线于C，显然四边形为矩形，椭圆焦距，故B错误；所以直线与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为，故C正确；所以椭圆的离心率，故D正确；故选：ACD.【点睛】关键点点睛：涉及与旋转体有关的组合体，作出轴截面，借助平面几何知识解题是解决问题的关键.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.有一组按从小到大顺序排列的数据：3，5，7，8，9，10，则这组数据的分位数为______．【答案】7【解析】【分析】根据百分位数的定义分析求解.【详解】因为该组数据共6个，且，所以这组数据的分位数为第三位数，即为7.故答案为：7.13.设满足：对任意，均存在，使得，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】令，由题意，利用二次函数性质求得最值列不等式求解即可.【详解】令.因为对任意，均存在，使得，所以的值域是值域的子集，所以，即，解得，即的取值范围是.故答案为：14.已知正四棱锥的所有棱长都为2；点E在侧棱SC上，过点E且垂直于SC的平面截该棱锥，得到截面多边形H，则H的边数至多为______，H的面积的最大值为______．【答案】①.5②.##【解析】【分析】数形结合，作平面与平面平行，即可解决；令，用表示相关长度，整理得，结合二次函数即可解决.【详解】取中点且，平面，可知平面，根据平面的基本性质，作平面与平面平行，如图至多为五边形.令，则，可得，则，可得，所以，又因为与的夹角为与夹角，而与垂直，则，可得，可知：当时，S取最大值.故答案为：；.【点睛】关键点点睛：根据平面的性质分析截面的形状，结合几何知识求相应的长度和面积，进而分析求解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在锐角中，角A，B，C．所对的边分别为a，b，c．已知且，（1）求角B及边b的大小；（2）求的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理边换角即可得，再利用余弦定理即可得；（2）利用余弦定理求得，再结合同角三角函数关系和两角和的正弦公式即可得到答案.【小问1详解】依题意，，由正弦定理得，由于锐角三角形中，所以，而是锐角，所以.由余弦定理得.【小问2详解】由余弦定理得，而是锐角，所以，所以..16.己知各项均为正数的数列的前n项和为，且，，成等差．（1）求及的通项公式；（2）记集合的元素个数为，求数列的前50项和．【答案】（1），（2）2497【解析】【分析】（1）根据等差中项可得，结合与之间的关系分析可知数列为等差数列，再利用等差数列通项公式运算求解；（2）根据题意可得，结合基本不等式可得，结合等差数列求和公式运算求解.【小问1详解】因为，，成等差，则，且，当时，可得，解得或（舍去）；当时，可得，两式相减得，整理得，且，则；可知数列是以首项为1，公差为1的等差数列，所以.【小问2详解】因为，由（1）可得，即，因为，当且仅当，即时，等号成立，可知；当时，因为，所以；综上所述：.所以数列的前50项和为.17.随着科技的不断发展，人工智能技术的应用领域也将会更加广泛，它将会成为改变人类社会发展的重要力量．某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对该交互软件进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则软件正确应答的概率为；若出现语法错误，则软件正确应答的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为．（1）求一个问题能被软件正确应答的概率；（2）在某次测试中，输入了个问题，每个问题能否被软件正确应答相互独立，记软件正确应答的个数为X，的概率记为，则n为何值时，的值最大？【答案】（1）0.75（2）7或8【解析】【分析】（1）根据题意结合全概率公式运算求解；（2）由题意可知：且，结合数列单调性分析求解.【小问1详解】记“输入的问题没有语法错误”为事件A，“回答正确”为事件B，由题意可知：，则，所以.【小问2详解】由（1）可知：，则，可得，令，则，令，解得，可知当，可得；令，解得，可知当，可得；令，解得，可得；所以当或时，最大，即n为7或8时，的值最大.18.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，若方程有三个不相等的实数根，且，证明：．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，分和两种情况，结合导数符号判断函数单调性；（2）根据题意分析可知：在内单调递增，在内单调递减，，利用极值点偏离证明和，即可得结果.【小问1详解】由题意可知：的定义域为，，且，令，可得，当，即时，可知在内恒成立，即在内恒成立，所以在内单调递增；当，即时，由解得或，由可知，若，；若，；所以在内单调递增，在内单调递减；综上所述：当时，在内单调递增；当时，在内单调递增，在内单调递减.【小问2详解】当时，可得，，由（1）可知：在内单调递增，在内单调递减，由题意可得：，因为，令，则，可知在内单调递增，则，可得内恒成立，因，则，且，内单调递减，则，即；令，则，可知在内单调递增，则，可得在内恒成立，因为，则，且，在内单调递增，则，即；由和可得.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形；（2）构造新的函数；（3）利用导数研究的单调性或最值；（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．19.已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为经过点且倾斜角为的直线l与椭圆交于A，B两点（其中点A在x轴上方），且的周长为8．将平面沿x轴向上折叠，使二面角为直二面角，如图所示，折叠后A，B在新图形中对应点记为，．（1）当时，①求证：；②求平面和平面所成角的余弦值；（2）是否存在，使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）①证明过程见解析；②（2），理由见解析【解析】【分析】（1）①根据椭圆定义得到，结合离心率得到，求出，得到椭圆方程，联立直线方程和椭圆，得到，得到⊥，结合二面角为直二面角，得到线面垂直，证明出结论；②建立