2024-2025学年北京市西城区第一五九中学高二上学期期中考试数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市西城区第一五九中学高二上学期期中考试数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知直线l:3x−y=0，则直线l的倾斜角为A.π6 B.π3 C.2π32.圆心为−1,−2，且半径为2的圆的方程是(

)A.x−12+y−22=2 B.x−123.已知两个向量a=2,−1,3，b=4,m,n，且a//bA.1 B.2 C.4 D.84.圆x2+y2−2x+4y+a=0的圆心和A.1,−2;a<5 B.−1,2;a>5 C.2,−4;a≤55.一个椭圆的两个焦点分别是F1−3,0，F23,0，椭圆上的点P到两焦点的距离之和等于8A.x264+y228=1 B.6.“a=1”是“直线l1：ax+y+2=0与直线l2：x+ay+2=0平行”的(

)A.充要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件7.正方形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD.若PA=AB，则平面PAB与平面PCD所成的角的度数为(

)A.30° B.45° C.60° D.90°8.已知空间四点A4,1,3，B2,3,1，C3,7,−5，Dx,−1,3共面，则xA.4 B.1 C.10 D.119.已知α,β是不重合的平面，m,n是不重合的直线，下列命题中不正确的是(

)A.若m//α,m//β，则α//β B.若m//n,m⊥α，则n⊥α

C.若m⊥α,m⊥β，则α//β D.若m⊥α,m⊂β，则α⊥β10.已知曲线C的方程是x2+①曲线C恰好经过4个整点(即横､纵坐标均为整数的点)；②曲线C有4条对称轴；③曲线C上任意一点到原点的距离都不小于1；④曲线C所围成图形的面积大于4．其中，所有正确结论的序号是(

)A.①② B.②③ C.①②④ D.②③④二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.直线l的倾斜角为α，且sinα=35，若l过点(1,0)，则直线l的方程为

12.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，则点13.已知⊙O1:x2+y2=114.已知F为椭圆C:x2a2+y2b2=1的右焦点，O为坐标原点，P为15.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M,N分别是棱A1B1,A1D1①当点E是BD中点时，直线EF/​/平面CDD②直线B1D1到平面CMN③存在点P，使得∠B④▵PDD1面积的最小值是其中所有正确结论的序号是

．三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题12分)平面直角坐标系中，已知▵ABC三个顶点的坐标分别为A(−1,2),B(−3,4),C(0,6)．(1)求BC边上的高所在的直线方程；(2)求▵ABC的面积．17.(本小题12分)如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)平面BEF⊥平面PCD．18.(本小题12分)已知圆C1的圆心为坐标原点，且与直线3x+4y−10=0(1)求圆C1(2)若直线l过点M1,2，直线l被圆C1所截得的弦长为2319.(本小题12分)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0经过点M1,3(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点P在第一象限，且PF1⋅P20.(本小题12分)如图，在四棱锥P−ABCD中，AD⊥平面PAB,AB//DC,E为棱PB的中点，平面DCE与棱PA相交于点F，且PA=AB=AD=2CD=2，再从下列两个条件中选择一个作为已知．条件①：PB=BD；条件②：PA⊥BC．(1)求证：AB//EF；(2)求点P到平面DCEF的距离；(3)已知点M在棱PC上，直线BM与平面DCEF所成角的正弦值为23，求PMPC21.(本小题12分)已知半径为83的圆C的圆心在y轴的正半轴上，且直线12x−9y−1=0与圆C(1)求圆C的标准方程．(2)已知A0,−1,P为圆C上任意一点，试问在y轴上是否存在定点B(异于点A)，使得PBPA为定值？若存在，求点B参考答案1.B

2.D

3.C

4.A

5.B

6.D

7.B

8.D

9.A

10.D

11.3x−4y−3=0或3x+4y−3=0

12.413.2<r<4或−4<r<−2

14.3−1或15.①②③

16.解：(1)直线BC的斜率kBC=6−40−(−3)=23，

则BC边上高所在直线斜率k=−32，

则BC边上的高所在的直线方程为y−2=−32(x+1)，即3x+2y−1=0．

(2)BC的方程为y=23x+6，即2x−3y+18=0．

点17.(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，平面PAD∩底面ABCD=AD，PA⊂平面PAD，所以PA⊥底面ABCD．(2)∵AB//CD，CD=2AB，E为CD中点，∴AB//DE,AB=DE，则四边形ABED平行四边形，∵AB⊥AD，所以四边形ABED为矩形，∴BE⊥CD，AD⊥CD．∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD．又∵PA,AD⊂平面PAD，且PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，∵PD⊂平面PAD，∴CD⊥PD．∵E和F分别是CD和PC的中点，∴PD//EF，∴CD⊥EF．又∵CD⊥BE，EF∩BE=E，EF,BE⊂平面BEF，∴CD⊥平面BEF，∵CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．

18.(1)设圆C1的半径为r，则r=所以C1的标准方程为x(2)设圆心到直线l的距离为d，则2r2当直线l的斜率不存在时，l:x=1，此时圆心到l的距离为1，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线l的方程为：y−2=kx−1化简得：kx−y−k+2=0，则d=2−kk即l:3x−4y+5=0．综上，直线l的方程为x=1或3x−4y+5=0．

19.(1)由已知得2c=23，∴F1−3同理MF∴2a=M∴a=2，∴b=∴椭圆C的标准方程为x2(2)设Px,y(x>0,y>0)，且x24+

∴PF由椭圆方程可得−3−整理得3x2≤9即点P的横坐标的取值范围是0,

20.解：(1)证明：选择条件①：因为AB//DC,AB⊄平面DCEF,DC⊂平面DCEF，所以AB//平面DCEF，又因为AB⊂平面PAB，平面PAB∩平面DCEF=EF，所以AB//EF

；选择条件②：解法同上；(2)选择条件①：因为AD⊥平面PAB，PA,AB⊂平面PAB，所以AD⊥PA,AD⊥AB

，又因为PB=BD,PA=AB=AD=2CD=2，所以▵PAB≌▵DAB，因此∠PAB=∠DAB=90∘，即如图，以A为原点，AB,AD,AP的方向分别为x轴，所以D0,2,0由(1)，得AB//EF，且E为棱PB的中点，所以点F为棱PA的中点．E1,0,1故FP=0,0,1设平面DCEF的一个法向量为n=则DF取y=1，则x=0,z=2，即n=0,1,2所以点P到平面DCEF的距离d=FP⋅选择条件②：因为AD⊥平面PAB，PA,AB⊂平面PAB所以AD⊥PA,AD⊥AB，又因为PA⊥BC,BC与AD相交，BC,AD⊂平面ABCD，所以PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，即AB,AD,AP两两垂直，以A为原点建立空间直角坐标系及以下步骤同上；(3)选择条件①：设PMPC则PM=λPC所以BM=BP设直线BM与平面DCEF所成角为θ，所以sin θ=|cos BM化简得9λ2−6λ+1=0即PMPC选择条件②：解法同上．

21.(1)由题意设圆心坐标为(0,b)(b>0)，则圆C的方