2024-2025学年广东省广州四中等三校联考高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省广州四中等三校联考高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集U=R，集合A={x|x2−2x<0}，B={x|2A.A∩B=⌀ B.A∪B=A C.A⊆B D.B⊆A2.已知复数z=5−5i2+i，则对应的点在(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.直线x+y−1=0与2x+2y+3=0的距离是(

)A.524 B.24 4.已知角α的终边过点P(3,−32)，则sinA.33 B.63 C.5.已知a=sin1，b=22sin1，c=log2(sin1)，则a，b，A.c<a<b B.a<b<c C.c<b<a D.b<a<c6.已知点P(0,−1)关于直线x−y+1=0对称的点Q在圆C：x2+y2+mx+4=0A.4 B.92 C.−4 D.7.过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1,−7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=(

)A.26 B.8 C.48.已知曲线y=1+4−x2与直线y=k(x−2)+4有两个相异的交点，那么实数kA.(512,43] B.(二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知圆C：x2+y2−4x−14y+45=0及点A.点C的坐标为(2,7)

B.点Q在圆C外

C.若点P(m,m+1)在圆C上，则直线PQ的斜率为14

D.若M是圆C上任一点，则|MQ|的取值范围为10.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，以顶点AA.CC1⊥BD B.AA1⋅BD1=36

C.B11.如图，点P是棱长为2的正方体ABCD−A1B1CA.当P在平面BCC1B1上运动时，四棱锥P−AA1D1D的体积不变

B.当P在线段AC上运动时，D1P与A1C1所成角的取值范围是[π3,π2]

C.使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.过点A(3,1)，且与直线2x+y−5=0垂直的直线方程是______．13.已知向量a=(4,3,2)，b=(1,−1,1)，则|a−214.已知圆C：x2+y2−2x−4y−4=0，P为直线l：x+y+2=0上一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，∠A=30°，D是边AB上的点，CD=5，CB=7，DB=3．

(1)求cosB与△CBD的面积；

(2)求边AC的长．16.(本小题15分)

在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在线段CC1上，且CC1=4CE，点F为17.(本小题15分)

已知直线l的方程为：(2m+1)x+(m+1)y−7m−4=0．

(1)求证：不论m为何值，直线必过定点M；

(2)过点M引直线l1交坐标轴正半轴于A、B两点，当△AOB面积最小时，求△AOB的周长．18.(本小题17分)

如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AB//CD，PQ//CD，AD=CD=DP=2PQ=2AB=2，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点．

(1)求证：EF//平面CPM；

(2)求平面QPM与平面CPM夹角的正弦值；

(3)若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角为π6，求N到平面CPM的距离．19.(本小题17分)

已知圆C：(x−a)2+(y−2+a)2=1，点A(3,0)，O为坐标原点．

(1)若a=1，求圆C过A点的切线方程；

(2)若圆C与直线x+y−1=0交于M，N两点，点E为线段MN中点，直线OE的斜率为−75，求△MON的面积；

(3)若圆C上存在点P，满足参考答案1.C

2.D

3.A

4.A

5.A

6.B

7.C

8.B

9.ABD

10.ABD

11.ABC

12.x−2y−1=0

13.2914.315.解：(1)在△CBD中，由余弦定理得cosB=BC2+BD2−CD22BC⋅BD=72+32−522×7×3=1114，

∵0<B<π，

∴sinB=1−cos216.解：(1)以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，

D1(0,0,4)，F(1,1,0)，E(0,2,1)，

EF=(1,−1,−1)，ED1=(0,−2,3)，

∴点D1到直线EF的距离为d=|D1E|⋅1−(ED1⋅EF|ED1|⋅|EF|)2=13⋅1−(1317.(1)证明：由(2m+1)x+(m+1)y−7m−4=0，可得m(2x+y−7)+x+y−4=0，

令2x+y−7=0x+y−4=0⇒x=3y=1．

所以直线l过定点M(3,1)；

(2)解：由(1)知，直线l1恒过定点M(3,1)，

由题意可设直线l1的方程为y−1=k(x−3)(k<0)，设直线l1与x轴，y轴正半轴交点为A，B，

令x=0，得yB=1−3k；令y=0，得xA=3−1k，

所以△AOB面积S=12|(1−3k)(3−1k)|=12|(−9k)+(−1k)+6|

≥12(2(−9k)(−1k18.解：(1)证明：连接EM，因为AB/​/CD，PQ/​/CD，所以AB/​/PQ，

又因为AB=PQ，所以四边形PABQ为平行四边形，

因为点E和M分别为AP和BQ的中点，所以EM/​/AB且EM=AB，

因为AB/​/CD，CD=2AB，F为CD的中点，所以CF/​/AB且CF=AB，

可得EM//CF且EM=CF，即四边形EFCM为平行四边形，

所以EF/​/MC，又EF⊄平面MPC，CM⊂平面MPC，

所以EF/​/平面MPC．

(2)因为PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，

故以D为原点，分别以DA，DC，DP所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

依题意可得D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,1,0)，C(0,2,0)，

P(0,0,2)，Q(0,1,2)，M(1,1,1)，

PM=(1,1,−1),PQ=(0,1,0),CM=(1,−1,1),PC=(0,2,−2)，

设n=(x,y,z)为平面PQM的法向量，

则n⋅PM=0n⋅PQ=0，即x+y−z=0y=0，取n=(1,0,1)，

设m=(a,b,c)为平面PMC的法向量，

则m⋅PC=0m⋅CM=0，即2b−2c=0a−b+c=0，取m=(0,1,1)，

所以cos<m,n>=m⋅n|m|⋅|n|=12，

设平面PQM与平面PMC夹角为θ，

所以sinθ=1−(12)2=32，

即平面PQM与平面PMC夹角的正弦值为32．

(3)设QN=λQC(0≤λ≤1)，即QN=λQC=(0,λ,−2λ)，

则N(0,λ+1,2−2λ)．

从而DN=(0,λ+1,2−2λ)．

19.解：(1)a=1时，圆C：(x−1)2+(y−1)2=1，圆心为C(1,1)，半径r=1．

若过A(3,0)的直线与圆C相切，则切线的斜率k存在，

设切线的方程为y=k(x−3)，即kx−y−3k=0，

点C到切线的距离d=r，即|−1−2k|k2+1=1，解得k=0或−43，

所以切线方程为y=0或y=−43(x−3)，即y=0或4x+3y−12=0．

(2)若圆C与直线x+y−1=0交于M、N两点，且E为MN中点，

则该直线与CE垂直，