河北省部分学校2024-2025学年高三上学期联考数学试题（解析版）

第1页/共1页数学试卷班级_________姓名_________注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效，3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数满足（为虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算计算即可求得结果.【详解】，即，则，所以，，故选：A.2.已知表示不大于的最大整数，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据表示不大于的最大整数化简集合A；利用绝对值不等式化简集合B，然后根据交集定义求解即可【详解】因为表示不大于的最大整数，且，所以，，所以，故选：C3.已知平面向量满足，则向量与的夹角为（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】C【解析】【分析】根据题意得，然后代入向量夹角公式求解即可【详解】由，得，代入，得，所以，即向量与的夹角为，故选：C4.《志愿军：存亡之战》和《浴火之路》是2024年国庆档的热门电影.某电影院在国庆节的白天、晚上分别可以放映5场和3场电影，若上述两部影片只放映一次，且不能都在白天放映，则安排放映这两部电影不同的方式共有（）A.17种 B.32种 C.34种 D.36种【答案】D【解析】【分析】分两种情况考虑，均在晚上播放，或者白天一场，晚上一场，求得结果.【详解】若均在晚上播放，则不同的安排方式有种，若白天一场，晚上一场，则有种，故放映这两部电影不同的安排方式共有种，故选：D5.如图，正方体中，点在上，且，点在上，且，过点的平面将正方体分成上、下两部分，则上、下这两部分的体积比等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意分析可得过点的平面即平面，截面将正方体分成上、下两部分，其中下部分为一个四棱锥和一个四棱锥，及三棱柱，结合体积公式分析运算【详解】如图，设正方体的棱长为，在上取点，使得，在上取点，使得，连接，易得四边形为平行四边形，则，，在上取点，连接，使得，易得四边形为平行四边形，所以，，所以，，所以过点的平面即平面，在上取点，使得，则，连接，在上取点，使得，则，连接，所以过点的平面分正方体下部分的体积为一个四棱锥和一个四棱锥，及三棱柱，所以，，所以.故选：A.6.已知定义在上的函数满足且是奇函数，则下列结论正确的是（）A.一定不是奇函数 B.一定不是偶函数C D.【答案】D【解析】【分析】可以根据条件构造函数，验证各选项是否正确即可.【详解】设函数，则，，所以.又为奇函数.所以满足题意.又为奇函数，故A错误；为偶函数，故B错误；，故C错误；是奇函数，则，，又因为，所以，故D正确.故选：D7.已知是方程的两个根，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用韦达定理和正切的两角差公式，先求出的值，再利用弦化切思想来求的值即可.【详解】因为是方程的两个根，即也是方程的两个根，所以，且可知，又由，则，再由两角差的正切公式可得：，因为，所以，即，则，故选：D.8.已知直线，椭圆，直线与椭圆交于点、，点在第三象限，与交于点，设是坐标原点，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】需要联立直线和椭圆的方程来求解交点坐标.根据已知条件，通过求出相关线段对应的坐标关系来确定的值.【详解】联立与，将代入可得：，则，所以点坐标为.求直线与椭圆交点、的坐标（设）联立与椭圆，将代入可得：因为在第一象限，所以，，即.由椭圆对称性和可得.即，转化成坐标即.即，解得.故选：B.【点睛】关键点睛：本题解题的关键是由椭圆对称性和得到.从而将线段长度之比转化为坐标关系即可1求解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.有个样本数据满足，去掉后，新样本的数字特征可能比原数据变小的是（）A.平均数 B.中位数 C.标准差 D.极差【答案】ACD【解析】【分析】根据平均数的概念判断A，根据中位数的概念判断B，根据标准差的概念判断C，根据极差的概念判断D【详解】比如取个数为，，，10，则原数据的平均数为，去掉和10后，新数据的平均数为，所以平均数可能变小，故A对；当为偶数时，比如，原来和新数据的中位数均为，所以中位数不变，当为奇数时，比如，原来和新数据的中位数均为，所以中位数不变，故B错；去掉后，数据波动性变小，所以标准差变小，故C对；由于，所以原来的极差为，新数据的极差为，所以极差变小，故D对；故选：ACD10.已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A. B.C.函数图象关于直线对称 D.函数在上单调递增【答案】BCD【解析】【分析】首先根据图象确定的值，再通过两个点，算出，结合周期公式求出的值，最后根据函数性质判断各个选项.【详解】由图象可知，函数的振幅，已知函数，图象过点，将，代入函数，得到，即，因为，且在处的增长趋势知道，所以，则，图象还过，则，即，解得.由图象可知，函数的周期，根据周期公式，可得，令满足题意.故.因此，A错误，B正确.当，函数，则取得最小值.所以函数图象关于直线对称，C正确.，则，则，所以函数在上单调递增，D正确.故选：BCD.11.在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数，它是工程数学中重要的函数，也是一类很重要的初等函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数．已知双曲正弦函数的解析式为，双曲余弦函数的解析式为（其中为自然对数的底数），则下列说法正确的是（）A.B.函数为奇函数C.若直线与函数和的图象共有三个交点，这三个交点的横坐标分别为，则D.若存在，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为【答案】BCD【解析】【分析】根据双曲函数的加法公式、函数的奇偶性、函数图象过交点以及不等式能成立问题逐项分析即可求得结果.【详解】对于A，，，化简后得，故A错误；对于B，的定义域为R，，所以是偶函数；的定义域为R，，所以是奇函数，所以函数为奇函数，故B正确；对于C，因为直线与函数和的图象共有三个交点，在R上单调递增，即直线与函数只有一个交点，所以直线与函数有两个交点，因为，当且仅当时，等号成立，所以，即，，解得，所以，则，故C正确；对于D，，，令，则，所以在上单调递增，则，又，当且仅当时，等号成立，所以最小值为1，因为存在，关于的不等式恒成立，所以，所以的取值范围为，故D正确；故选：BCD.【点睛】本题考查了双曲函数的定义及相关性质、函数的奇偶性、函数的单调性、函数图象交点问题，以及运用基本不等式和求导求解，关键点有：（1）判断奇偶性前先判断函数的定义域是否关于原点对称；（2）运用基本不等式要注意“一正二定三相等”；（3）根据导函数判断函数的单调性，求最值；（4）恒成立问题与能成立问题作区分.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知△的内角的对边分别为，且成等差数列，，则角__________．【答案】【解析】【分析】由等差中项列出方程，再由正弦定理可得，结合余弦定理代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可得，又，不妨设，则，由余弦定理可得，且，所以.故答案为：13.已知数列满足，设为数列的前项和，则_________．【答案】【解析】【分析】利用等差数列的定义求出，再由错位相减求和可得答案.【详解】由，得，又，所以是首项为1公差为1的等差数列，可得，所以，，，两式相减得，所以.故答案为：.14.若袋子中有大小且形状完全相同的黑球个，白球个，现从中随机抽取3个球，表示抽到2个黑球1个白球的概率，则取得最大值时__________．【答案】【解析】【分析】根据题意表示出，进而利用导函数研究最值即可.【详解】由题意，，，，设函数，则，令，即，解得，，易知，，因此，当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减；又，且，，，则，因此，当时，有最大值，此时取最大值；故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.为了解某校男生1000米测试成绩与身高的关系，从该校2000名男生中随机抽取100人，得到测试成绩与身高的数据如下表所示：身高范围（cm）测试成绩合格312182215不合格29559（1）该校2000名男生中身高在175cm及以上的人数约为多少？（2）根据表中数据，依据小概率值的独立性检验，分析体育成绩合格与身高在范围内是否有关．附：．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）1020（2）有关.【解析】【分析】（1）利用样本的频率估计总体概率，计算相应的频数即可.（2）列出列联表，计算，进行判断即可.【小问1详解】样本中，身高在175cm及以上的频率为：，用该频率估计该校男生身高在175cm及以上的概率，则该校2000名男生中身高在175cm及以上的人数约为：（人）.【小问2详解】列列联表如下：身高在身高不在合计合格403070不合格102030合计5050100所以，因为，所以依据小概率值的独立性检验，体育成绩合格与身高在范围内有关.16.已知抛物线的焦点为，过点的直线交于、两点，点在抛物线上，且，直线交直线于点（其中是坐标原点）．（1）求抛物线的方程；（2）求证：．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义，抛物线上一点到焦点的距离等于到准线的距离.利用已知条件建立方程求出，从而得到抛物线方程.（2）方程联立求出交点坐标，再求出直线MF的方程，进而得到点N的坐标，最后通过计算各线段的长度或表达式来证明等式，变形即可.小问1详解】已知抛物线，其焦点的坐标为.因为点在抛物线上，所以.根据两点间距离公式，，.由可得.把代入上式，.两边同时平方，展开括号得.即，化简得，解得.所以抛物线的方程为.【小问2详解】在抛物线中，所以焦点的坐标为.不妨设A，B在第一象限，设过点的直线的方程为（存在且不为），当时，没有交点，不满足题意.将代入，得到，即，需满足；设，，根据韦达定理，，.根据两点间距离公式，，.因为，，所以（这里利用了，所以与同号）.由点在抛物线上，得，运用抛物线对称性，可取来证明.，则直线MF的方程为.直线的方程为，因为，所以的方程为.联立与，可得点纵坐标.根据两点间距离公式及坐标运算，，.（因为，所以）.综上所得，知道，即.原命题得证.17.如图，正六边形的边长为2，将梯形沿翻折至，是的中点．（1）若平面平面，求三棱锥的体积；（2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质找到三棱锥的一个高，根据锥体的体积公式得到结果；（2）根据二面角以及正六边形的性质建立空间直角坐标系，即可求得结果.【小问1详解】取的中点，连接，，因为正六边形的边长为2，所以，则，所以，因为平面平面，，平面平面，所以平面，所以是三棱锥的一个高，所以，所以三棱锥的体积为1；【小问2详解】过点作，以点为原点，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系如图所示：，因为正六边形边长为2，是的中点，二面角的大小为60°，所以，则,,，设平面的法向量为，则，令，则，所以，，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.18.已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围；（3）证明：．【答案】（1）在和上都是减函数；（2）；（3）证明见解析．【解析】【分析】（1）求导数得，对的分母再引入函数，求导确定单调性与极值，确定定义域内，得的单调性；（2）不等式变形为，引入新函数，求得导数，然后按，，分类讨论确定的正负，得的单调性，从而完成证明；（3）在（2）恒成立的不等式中令，得，再令，并让分别取，相加即可得证．【小问1详解】定义域是，时，，则，令，则，时，，递增，时，，递减，所以，即，所以在和上都是减函数；【小问2详解】对任意恒成立，即在上，恒成立，设，则，当时，，，是增函数，所以，当时，时，递减，，与已知矛盾，当时，，，单调递减，则，与已知矛盾，综上所述，的取值范围是；【小问3详解】由（2）知时，，即，令，则，，让从1取到，所得个不等式相加得：，所以【点睛】方法点睛：不等式恒成立求参数范围问题，一般有两种思路，一是分离参数，不等式转化为，求得的最大值即可得，另一种，是直接对求导，然后根据参数的不同范围计算的正负，得出的单调性极值，观察不等式是否恒成立确定出单调性，这类题中证明不等式问题，一般是题设已证的结论上，令参数为某个特定值，再令取一些特殊值，相加后可得到证明．19.若数列对任意都有成立，则称数列为“等距”数列，设为数列的前项和．（1）写出一个满足，且