湖南省岳阳市临湘市第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）

2024年上期临湘市一中高二数学期中考试时量:90分钟满分:120分一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.已知集合，，则（）A．B．C．D．2.若复数，则（）A．B．C．D．3.设，，若向量，满足，，且，则（）A．B．C．D．4.若函数在单调递增，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．5.若椭圆：与双曲线：的离心率之和为，则（）A．B．C．D．6.设圆：和不过第三象限的直线：，若圆上恰有三点到直线的距离均为，则实数（）A．B．C．D．7.设且，命题甲：为等比数列；命题乙：.则命题甲是命题乙的（）A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8.若，且，，则（）A．B．C．D．二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．若成等差数列(公差不为零)的一组样本数据，，…，的平均数为,标准差为，中位数为；数据，，…，的平均数为，标准差为，中位数为，则（）A．B．C．D．10.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，是上一点，则（）A．B．的最大值为C．的取值范围是D．的取值范围是11．已知为坐标原点，点，，，，则（）A．B．C．D．三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12.已知为正整数，若，则.13.已知，，，则的最小值为.14.已知椭圆：，双曲线：．若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆与双曲线的离心率之和为__________________.四、解答题（本大题共3个小题，共47分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.(13分)不透明的盒中有四个除所标数字外均相同的球，它们分别标有数字，，，，现从中随机取个球.(1)求取到个标有数字的球的概率；(2)设为取出的个球上的数字之和，求的分布列和数学期望.16.(17分)从4名男生和3名女生中各选2人.(1)共有多少种不同的选法？(2)如果男生甲与女生乙至少要有1人被选中，那么有多少种不同选法？(3)选出的4人参加百米接力赛，男生甲和女生乙同时被选中参赛，且甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒，有多少种不同的安排方法？（用数字作答）17.(17分)已知等比数列的前项和为，且满足，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.附加题（注：不作考试要求，不计入总分）18．（单选题）点、分别是函数，图象上的点，若点、关于原点对称，则称点、是一对“关联点”.已知，，则函数，图象上的“关联点”有（）对A．B．C．D．19．（单选题）若函数与的图象存在公切线，则实数的最小值为（）A．B．C．D．20．(多选题)如图，已知四边形中，为边上的一列点，连接交于，点满足，其中数列是首项为的正项数列，是数列的前项和，则下列结论正确的是（）A．B．数列是等比数列C．D．21．（多选题）已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则关于函数，下列说法正确的是（）A．为偶函数B．在上单调递增C．在上恰有三个零点D．的最大值为22．若实数，，，满足，则的最小值为．23．在锐角中，若，则的最小值为__________.2024年上期临湘市一中高二数学期中考试答案时量:90分钟满分:120分一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.已知集合，，则（B）A．B．C．D．2.若复数，则（A）A．B．C．D．3.设，，若向量，满足，，且，则（C）A．B．C．D．4.若函数在单调递增，则实数的取值范围是（B）A．B．C．D．5.若椭圆：与双曲线：的离心率之和为，则（A）A．B．C．D．6.设圆：和不过第三象限的直线：，若圆上恰有三点到直线的距离均为，则实数（C）A．B．C．D．7.设且，命题甲：为等比数列；命题乙：.则命题甲是命题乙的（D）A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8.若，且，，则（D）A．B．C．D．二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．若成等差数列(公差不为零)的一组样本数据，，…，的平均数为,标准差为，中位数为；数据，，…，的平均数为，标准差为，中位数为，则（ABCD）A．B．C．D．10.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，是上一点，则（CD）A．B．的最大值为C．的取值范围是D．的取值范围是11．已知为坐标原点，点，，，，则（AC）A．B．C．D．三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12.已知为正整数，若，则.13.已知，，，则的最小值为______.14.已知椭圆：，双曲线：．若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆与双曲线的离心率之和为______.四、解答题（本大题共3个小题，共47分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.(13分)不透明的盒中有四个除所标数字外均相同的球，它们分别标有数字，，，，现从中随机取个球.(1)求取到个标有数字的球的概率；(2)设为取出的个球上的数字之和，求的分布列和数学期望.解：(1)抽到个标有数字的球的可能情况共有种，从个球中任取个共有种取法，∴取到个标有数字的球的概率.(2)的所有可能取值为，，，，，，，，所以的分布列为∴.16.(17分)从4名男生和3名女生中各选2人.(1)共有多少种不同的选法？(2)如果男生甲与女生乙至少要有1人被选中，那么有多少种不同选法？(3)选出的4人参加百米接力赛，男生甲和女生乙同时被选中参赛，且甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒，有多少种不同的安排方法？（用数字作答）解:（1）根据题意，从4名男生和3名女生中各选2人，男生有种选法，女生有种选法，故选法有种.（2）根据题意，分3种情况讨论：男生甲被选中，女生乙没有被选中，有种．男生甲没有被选中，女生乙被选中，有种，男生甲和女生乙被选中，有种，则共有种选法.（3）男生甲和女生乙同时被选中的选法为种，4人参加百米接力赛的总安排方法为种，甲跑第一棒的安排方法为种，乙跑最后一棒的安排方法为种，甲跑第一棒且乙跑最后一棒的安排方法为种，甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒的安排方法为种．17.(17分)已知等比数列的前项和为，且满足，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.解：(1)等比数列的公比为，则，，两式相除得，所以，，所以.(2)由(1)得，所以，所以.18．（单选题）点、分别是函数，图象上的点，若点、关于原点对称，则称点、是一对“关联点”.已知，，则函数，图象上的“关联点”有（C）对A．B．C．D．解析：（法一）根据题意，设为，图象上的“关联点”，则，即.设，则，解得或（舍去）由，得，其，则方程有个不同实根，故函数，图象上的“关联点”有对.（法二）令，则，该方程表示圆心为，半径为的半圆（轴上方）.先作出这个半圆，再作出函数的图象，由图可知，满足条件的“关联点”有对.19．（单选题）若函数与的图象存在公切线，则实数的最小值为（A）A．B．C．D．解析：（法一）设公切线与，图象分别切于点，，则图象在处的切线方程为：，即，图象在处的切线方程为：，即，由上述两直线重合得，消元可得：，令，则，得在上单调递增，在上单调递减，即有，得，故选.（法二）由图象易知：，分别为上凸和下凸函数，要使，存在公切线，只需在上恒成立即可，即恒成立，则.20．(多选题)如图，已知四边形中，为边上的一列点，连接交于，点满足，其中数列是首项为的正项数