初中数学《圆》重难点四大题型汇编含答案解析

PAGE2PAGE2考 归圆的重难点模型汇编二考 归题型 点圆最值问题题型 定弦定角题型 圆题型 瓜豆原理考 精讲考 精讲题型 点圆最值问题A点坐标为,于点Q则当Q最小时P点的坐标为( )

⊙A的半径为1P为xQ切⊙A.A

B.

C.

或

.30PQAP短的性质进行分析求解．QP．根据切线的性质定理PQ=2-2∴2-2P⊥x轴于P此时P点的坐标是40．故选A．段最短的性质进行分析是解题的关键．如图正方形ABD的边长为4E是边D的中点F是边AD上一动点连接BF将△ABF沿BF翻折得到△GBF连接GE．当GE的长最小时的长为( )A.25-2 B.25-4 C.45-6 D.6-25【答案】DBGBG=A=4G在以B4为GEB最小．【详解】解：∵正方形ABCD的边长为4，∴∠C=∠A=90°BC=D=4，∵点E是边CD的中点，∴CE=DE=2，∴BE=BC2+CE2=25，∵将△ABF沿BF翻折得到△GBF，∴BG=BA=4，∴点G在以B为圆心，4为半径的圆上运动，GEBDFx，∵S梯形ABED=S△EDF+S△ABF+S△EBF，∴1(2+4)×4=1×2×x+1×4×(4-x)+1(4-x)×252 2 2 2x625GEB三点共线时，GE最小是解题的关键，同时注意运用面积法求垂线段的长度．变式1-如图在矩形纸片BD中B=2D=3点E是B的中点点F是D边上的一个动点将沿所在直线翻折得到△A'EF则A'C的长的最小值是( )A．132D

B．3 C．13-1 D．10-1ECEA'CE'E=1RtBE中利用勾股定理可求出EE-'E即可求出结论．ECEACE示，根据折叠可知：A'E=AE=1AB=1．2在RtBEBE=1B=1BC=3∠B=90°，2∴CE=BE2+BC2=10，∴A'C的最小值=CE-A'E=10-1．故选D．A'CA的位置是解题的关键．ABD的边长为8G是边DE是边BCAE△ABE沿AE翻折得到△AE连接GF．当GF最小时BE的长是 ．【答案】45-4/-4+45GFA最由翻折知F=A=8F在以B8GFAF最小，连接GE，再勾股定理求出AG的长，然后利用等面积法即可求出BE．【详解】解：∵正方形ABCD的边长为8，∴∠C=90°B=D=BC=8，△ABEAEAE，∴AF=BA=8，∴点F在以B为圆心，8为半径的圆上运动，GFAGE∵点G是边CD的中点，∴DG=CG=1CD=4，2由勾股定理得，AG=AD2+DG2=82+42=45，∵S正方形ABCD=S△AGD+S△ABE+S△AEG+S△GCE∴AB⋅AD=1AD⋅DG+1AB⋅BE+1AG⋅BE+1GC⋅CE2 2 2 2∴8×8=2

×8×4+2

×8BE+2

×45BE+12

×4×8-BEBE454．54．⊙OAB=4AB至CBC=OBD在⊙ODD绕点C顺时针旋转90°得到CE连接OE则线段OE的最大为 ．【答案】42+2C作CF=OFE≌△DE=DE的最大值转化为求DC作CF=OF，∴∠DCE=∠OCF=90°，∴∠OCE=∠FCD，∵CD绕点D顺时针旋转90°得到CE，∴CD=CE，在△OCE和△FCD中，CD∠OCE=∠FCD，CF=CO∴△OCE≌△FCDSAS，∴OE=FD，连接OO交圆于点HH即为D最大值，∵B=4BC=B，∴CF=CO=4，∴OF=42，∴FH=OH+OF=42+2，∴OE最大值=DF最大值=FH=42+2，故答案为：42+2．OE转化为其他线段进而求最大值．一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面梯子猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点模型如图∠ABC=90°点M，N分别在射线ABC上N长度始终保持不变N=52E为N的中点点D到ABC的距离分别为4和3．在此滑动过程中猫与老鼠的距离的最小值为 ．【答案】2.4BEBBDBEEBDBEB∵点D到ABC的距离分别为4和3BD=32+42=5，Rt△MBNEMN的中点，∴BE=1MN=2.6，2∴点E的运动轨迹是以B为圆心，2.6为半径的弧上，∴根据点圆模型的最值情况可知，当点E落在线段BD上时，DE的值最小，BE52.62.4，E的位置．题型 定弦定角一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？如图1AB是⊙OAOB=100°12分别是优弧AB和劣弧ABAB= °AB= °．如图2AB是⊙OAOB=mm<180°P是⊙O上不与AB弦AB所对的圆周角∠APB的度数(用m的代数式表示) ．【问题解决】如图3ABC在ABAB=135°C()．【实际应用】如图4在边长为12的等边三角形ABC中点EF分别是边ACBC上的动点连接AFBE交于点P若始终保持AE=F当点E从点A运动到点C时点P运动的路径长是 ．50302

或180°-m2见详解(4)833π【分析】(1)根据圆周角定理及圆内接四边形对角互补即可得到答案；根据圆周角定理及圆内接四边形对角互补即可得到答案；根据圆内接四边形对角互补可得对角为45°90°心角即可得到圆心与半径再画圆弧即可得到答案；根据题意易得ΔBE≌ΔF∠B=20°【详解】(1)解：∵∠AOB=100°，1∴∠APB=1∠AOB=50°，12∵四边形AP1BP2是圆内接四边形，∴∠2B=80°∠B=30°，5030；2)P在优弧B上点为1B上的点为2，∵∠AOB=m°m<180°，∴∠AP1B=1∠AOB=m，2 2∵四边形AP1BP2是圆内接四边形，2∴∠2B=80°∠B=80°-m，2AB∠APB的度数为2

或180°-m；2(3)解：∵∠ACB=135°，∴B所在直线的下方点M∠B=80°-35°=45°，ABPM四点共圆，作AB垂直平分线交AB于点N，NANOOOA为半径画圆弧；⏜如图所示，满足条件的点C所组成的图形为以O为圆心、OA为半径的AB．(4)解：由题意可，∵三角形ABC是等边三角形，∴∠C=∠B=60°B=C=BC，∵AE=CF，∴ΔABE≌ΔCAF(SAS)，∴∠EBA=∠FAC，∴∠B=80°-60°=20°，∴点P的路径是以AB为弦的圆弧，∴弦B所对圆周角为60°圆心角为20°半径为 6 =43，sin60°∴Pπ×4180°

=83π．3ABD的边长为4EF分别从点ADE从点A向点DF从点D向点CE运动到DEF停止运动．连接BEAF相交于点GCGDGS()A.4+455

B.8+85

5 C.6+455

D.7+2 55【答案】ARtΔF≅RtΔES)BE⊥FG点轨迹为以B中点OBGODDGGMNADADMNRtΔOADRtΔGMDMGNG【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠F=∠E=90°B=D．EFAD以相同速度同时出发，∴AE=DF，∴RtΔADF≅RtΔBAE(SAS)，∴∠AFD=∠AEB．∵∠AFD+=90°，∴∠AEG+∠GAE=90°，AGE90°，BEAF，∴∠AGB=90°，GABOGODDG最小．GMNADADMBCN点，∵RtΔDD=4O=1B=2，2∴OD=AD2+AO2=25，∵OG=OA=2，∴DG=-OG=25-2，∵∠D=∠D=90°∠O=∠G，∴RtΔOAD∼RtΔGMD，∴MGAO2

=DG，OD=25-2，25255解得=2- 255∴N=N-G=4-2

=10+25，2555255∴SΔBCG=1BC⋅GN=

×4×10+25

=4+45．2 2 5 599故答案为：A．G的轨迹是解题关键．△ABCD为ACE为BCAD=EAEBD，

S△ABF的长度最小时，S△ABC

的值为 ．【答案】13ABC为等边三角形，∴AB=CA,∠BAD=∠ACE=60°，AB∵∠BAD=∠ACE=60°，AD=CE∴△BAD≌△ACESAS∴∠ABD=∠CAE，∵∠BFE=∠ABD+∠BAF，∴∠BFE=∠BAE+∠CAE=∠BAC=60°，∴∠AFB=120°，作B∠BO=30°O，FOBOCOH，当F与点H重合时，CF最小，∵OA=OB,CA=CB，OCABQ，∠HQB90°,∠HBQ30°，设QH=x则BH=2BQ= BH2-QH2=3x，∴AB=2BQ=23x，∴CQ=3x，∴

1AB·QH2 2 21AB·CQ 2

=1，3故答案为：1．3PAGE20PAGE20定弦定角问题，熟练掌握三角形的全等的证明是解题的关键．如图在Rt△ABCAB⊥BCAB=6BC=4P是△ABCC=∠PBC过点P作PD⊥BC交BC于点D当线段CP最短时的面积为 ．【答案】125∠B=80°-P+

=90°P在以BB的中点为OC⊙O于PPP=B=1B=32C=B2+BC2=5C=2D∽△DD=6S△BCP=1BC×D5 2算求解即可．【详解】解：由题意知，∠ABP+∠PBC=∠ABC=90°，∵∠PAB=∠PBC，∴∠ABP+∠PAB=90°，∴∠B=80°-∠BP+∠B=90°，∴点P在以AB为直径的圆上运动，B的中点为OC⊙O于PP最短，OB=1AB3，2由勾股定理得，OC=OB2+BC2=5，∴PC=2，∵∠D=∠D∠C=90°=∠BC，∴△PCD∽△OCB，∴PD

=PC

=2，OB OC 3 5解得，PD=6，5∴S△BCP=1BC×PD=

×4×

=12，2故答案为：12．5

2 5 5P的运动轨迹是解题的关键．D在半圆OOB=5AD=4C在弧BDACH⊥ACH连接BH点C在移动的过程中的最小值是 ．【答案】222-2HBHHADEEAED=1AD=1

×4=22 2由题意得，点H的运动轨迹在以点E为圆心，EA为半径的圆上BEEHBH2BD∵AB为半圆O的直径∴∠ADB=90°∴BD=B2-D2= 5+52-42=221∴BE=BD2+ED2= (221)2+22=222∴BH=BE-EH=222-2故答案为：222-2．H的运动轨迹，BHH的位置是解题关键．y=ax2+bx-3交x轴于点A(-1,0)B(3,0)DP是抛物线上的动P的横坐标为m(0≤m≤3)AE⎳D交直线ly=1x+2于点EAP交E于点Fy轴2于点Q．求抛物线的表达式；设△F的面积为S1△AF的面积为S2S1=S2P的坐标；连接BQM在抛物线的对称轴上(位于第一象限内)BQ=45°P从点B运动到点C的过程中，点M也随之运动，直接写出点M的纵坐标t的取值范围．y=2-2x-32P5,-7322≤t≤3+7．2 4 2)运用待定系数法将-0)B30)代入y=x2+x-3利用配方法可求得抛物线顶点坐标D,-4)E⎳D得F∽△FF与PDFFAPEDEe1e+22

Pmm2-2m-3)tP与点BQ与点Ot的值最大，如图2B为斜边在第一象限内作等腰直角O'BO'O'为半径作⊙O'M)O'作O'H⊥y轴于点HP与点CQ与点Ct3BCOB为半径作⊙O交抛物线对称轴于点M，xE)∵抛物线y=x2+x-3交x轴于点-10)B30)，A

a-b-3=0，9a+3b-3=0解得：{a=1，b=-2∴抛物线的表达式为：y=x2-2x-3；如图，∵D是抛物线的顶点，抛物线的表达式为：y=x2-2x-3=(x-1)2-4，∴D,-4)，∵AE⎳PD交直线l：y=1x+2于点E，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为m(0≤m≤3)，2AEFPDFEe1e+22

Pmm2-2m-3)，又∵△F的面积为S1F的面积为S2S1=S2，∴△AEF≌△PDF，AFPFDFFAPED的中点，又∵-10)Pmm2-2m-3)Ee,1e+22

D,-4)，m-1=e+1∴由中点坐标公式得： 2 2 ，2 m2-m-3+0=1e+2-2 2 22m1=0E⎳)m2=5，22∴e=1，22∴P5,-

，E1,9；2 4 24PBQOt2，OB△O'OB，则O'3,3O'=O'B=32，22 2以O'O'为半径作⊙O'M)，过点O'作O'H⊥y轴于点H∠O'HM=90°O'H=1O'M=O'=32，∴H=M2-H2

322-

2 22=17，222∴t=222

+2

=3+17，2PCQCt3，BCOOM，∵OB=OC=3，OC，xE则M=B=3E=1，∵∠MEO=90°，∴E=M2-E2=32-2=22，∴t=22，3+172综上所述2≤t≤3+172次方程的解及圆的相关知识题型 圆ABDAB=BCBD平分ACAC⊥DAC=AB．(1)证明：∠BAD+∠BCD=180°；(2)若AB=30°AD+D=43BD的长．【答案】(1)见解析(2)BD=4)由题意推出∠BA=∠BABCD2)首先根据已知信息求出DRtBD中求解BD即可．【详解】(1)证：∵AB=BC，∴=∠BCA，∵=∠ADB，∴∠BCA=∠ADB，ABCD四点共圆，∴∠BAD+∠BCD=180°；(2)解：∵AC⊥CD，∴∠ACD=90°，∵∠B=30°BD平分∠C，∴∠C=60°∠D=30°∴在Rt△ACD中，AD=2CD，∵AD+CD=43，833433∴AD= =833433ABCD四点共圆，∴∠ACD=∠ABD=90°，Rt△ABDAD·cos∠ADB833

×cos30°=83

×32

=4，∴BD=4．1A,B,C,EAE,BCDBCAD⊥BC则tan∠AED的值是( )A.255D

B.2 C.55

D.12A,D,B,EOtan∠AEDtan∠ABD．O1为半径作⊙OD．∵A,B,C,E在格点上．∴AC=OA=OE=OB=1∴A,B,E在⊙O上∵AD⊥BC∴∠ADB=90°又∵⊙O的直径是AB∴AB=2∵OA=OB∴OD=1AB=12∴点D在⊙O上∴∠AED=∠ABD∴tan∠AED=tan∠ABD=AC=1AB 2故选：D．DA,D,B,EO为半径的同圆上．如图已知AB=AC=ADAD=20°则BD的度数是( )A.10° B.15° C.20° D.25°【答案】A【详解】如图，AB=AC=AD∵∠CAD=20°∴∠CBD=1∠CAD=

×20°=10°，2 2故选A．如图等边△ABC中在BC上在AC上=CE连BEAD交于F在上且DT=EAF=50TE=16则FT= ．【答案】17BD≌△BE∠E=60°E至点GG=AGT，得到GABDTT≌△EA)【详解】∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC，∠ABD=∠BCE=60°，在△ABD和△BCE中，AB∠ABD=∠BCE=60°，BD=CE∴△ABD≌△BCE(SAS)，∴∠BAD=∠CBE，∵∠ADC=∠CBE+∠BFD=∠BAD+∠B，∴∠BFD=∠B=∠AFE=60°；延长E至点GG=AGT，∵∠AFE=60°，∴△AFG是等边三角形，∴G=F=G=50∠F=∠G=60°，∵∠BAF+∠EAF=∠CAG+∠EAF=60°，∴∠BAF=∠CAG，∵DT=CE，∴=∠BTD，∵=∠CBE，∴=∠BTD，ABDT四点共圆，∴=，∴=∠GAE，在△FAT和△GAE中，∠FAT=∠GAEF=G ∠AFG=∠AGF=60°∴△FAT≌△GAE(ASA)，∴FT=GE，∵G=50TE=6，∴FT=1(FG-TE)=17．2故答案为：17．GAE是解本题的关键．题型 瓜豆原理Rt△ABCBC22PABPC的中PABM运动的路径长．【答案】点M运动的路径长为π．ABOACEBCFOCOPOEOF直角三角形的性质得到B=2BC=4C=1B=2P=1B=22 2得M⊥C∠O=90°M在以CP点在A点M点在EP点在BM点在FF为正方得到F=C=2M点M运动的路径长．B的中点OC的中点EBC的中点FCPMEFF，∵在等腰Rt△ABC中，AC=BC=22，∴AB=2BC=4．∴OC=OP=1AB=2．2∵M为PC的中点，∴OM⊥PC．∴∠CMO=90°．∴点M在以OC为直径的圆上，PAMEPBMF为正OC2，∴点M运动的路径为以EF为直径的半圆．M2

⋅2π⋅1=π．M为直径的半圆．如图A是⊙B上任意一点点C在⊙B外已知AB=2BC=4△AD是等边三角形则△BD的面积的最大值为( )A.43+4 B.4 C.43+8 D.6【答案】ABCBCMDM△DCMACB得到M=B=2D的运动轨迹是以点MM长为半径的圆，DBC【详解】解：如图，以BC为边向上作等边三角形BCM，连接DM，∵∠DCA=∠MCB=60°，DCA∠ACM∠MCB∠ACM∠DCM∠ACB，△DCM△ACB中，DC∠DCM=∠ACB，MC=BC∴△DCM≌△ACBSAS，∴DM=AB=2，DM△BCDD的最大距离，∵△BCM是边长为4的等边三角形，∴点M到BC的距离为23，∴点D到BC的最大距离为23+2，BCD2

×4×23+2

=43+4，故选A．D求出圆上一点到定线段距离的最大值．如图正方形ABD的边长为4E为BC上一点且BE=1F为AB边