2023年河南开封二模·数学

数学试卷第页（共页）2023年河南开封二模·数学全卷总分:120分考试时间:100分钟一、选择题1.－2023的绝对值是（）A．－2023B．12023C．−1D．20231.D【解析】|－2023|＝2023.2.“一片甲骨惊天下”，甲骨文是我国目前发现最早的文字，其图画性强的特点非常明显．下列甲骨文图画是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2.D【解析】选项A、B、C的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．选项D的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．3.世界最大的单口径球面射电望远镜被誉为“中国天眼”，在其新发现的脉冲星中有一颗毫秒脉冲星的自转周期为0.00519秒．数据0.00519用科学记数法可以表示为（）A．5.19×10－2 B．5.19×10－3C．0.519×10－2 D．0.519×10－33.B【解析】0.00519＝5.19×10－3．4.下列运算正确的是（）A．4=±2 B．（ab2）3＝a3bC．5a2－3a2＝2a2 D．（a－b）2＝a2－b24.C【解析】4=2，故A选项不符合题意；（ab2）3＝a3b6，故B选项不符合题意；5a2－3a2＝2a2，故C选项符合题意；（a－b）2＝a2－2ab+b2，故D选项不符合题5.将一块含30°角的直角三角板按如图所示摆放在直尺上，若∠1＝30°，则∠2等于（）A．55° B．60° C．65° D．70°5.B【解析】如图所示，∵∠ACE＝∠1+∠CDE，∠ACE＝90°，∠1＝30°，∴∠CDE＝60°，∵AB∥DE，∴∠2＝∠CDE＝60°．6.不等式组

−x+2＞0A．B．C．D．6.A【解析】−x+2＞0①3x−2≤7②，解①得x7.下列条件中能判定一个平行四边形为矩形的是（）①对角线互相平分②对角线互相垂直③对角线相等④一组邻边相等⑤一个角为直角A．①④ B．②④ C．①② D．③⑤7.D【解析】①两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；②两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③对角线相等的平行四边形是矩形；④一组邻边相等的平行四边形是菱形；⑤一个角是直角的平行四边形是矩形．∴能判定一个平行四边形为矩形的是③⑤.8.若关于x的一元二次方程（k－1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜5 B．k＞5C．k≤5，且k≠1 D．k＜5，且k≠18.D【解析】根据题意得k－1≠0且b2-4ac＝42－4（k－1）×1＞0，解得k＜5，且k≠1．9.如图，在平面直角坐标系中，按如图所示放置正方形OABC，D为OA上一点，其坐标为D（1，2）．将正方形OABC绕坐标原点O顺时针旋转，每秒旋转90°，旋转2023秒后点D的对应点D'的坐标为（）A．（2，1） B．（－2，1） C．（－1，－2） D．（－1，2）9.B【解析】∵正方形OABC绕坐标原点O顺时针旋转，每秒旋转90°，∴旋转4秒恰好旋转360°．∵2023÷4＝505……3，∴旋转2023秒，即点D旋转了505圈后，又旋转了3次．∵3×90°＝270°，∴此时点D对应的位置即如图中点

D′所在的位置，过点D，D'分别作DE⊥x轴于点E，D'F⊥x轴于点F，∴∠D′FO＝∠OED＝90°，∴∠EOD+∠EDO＝90°，∵四边形OABC是正方形，∴∠AOC＝90°，∴∠FOD′+∠DOE＝90°，∴∠D′OF＝∠ODE．在△D′OF和△DOE中，

∠D′FO=∠OED∠D′OF=∠ODEOD=OD′，∴△D′FO≌△OED（AAS），∵点D的坐标为（1，2），∴OF＝DE＝2，D10.如图，等边△ABC的边长为1，D是BC边上的一动点，过点D作AB边的垂线，交AB于点G，设线段AG的长度为x，△GBD的面积为y，则y关于x的函数图象正确的是（）A．

B．

C．

D．10.A【解析】当

12≤x≤1时，BG＝1－x，DG

=3（1－x），y

=12BG•DG

=12•（1－x）•

3（1－x）

=32x2

二、填空题11.请写出一个小于

5的正整数

．11.1（答案不唯一）【解析】∵

4＜5＜9，∴2

＜5＜3，∴12.化简（a

−b2a）÷a+12.a－b【解析】（a

−b2a）÷a+ba=13.如图是两个可以自由转动的转盘A、B，转盘分成3个大小相同的扇形，甲乙两个人做游戏，游戏规则：转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜：数字之和为奇数时乙获胜，若指针落在分界线上，则需要重新转动转盘，甲获胜的概率是

．13.5【解析】画树状图如下，由图可知，共有9种等可能的结果，其中指针所在区域的数字之和为偶数的结果有5种，∴甲获胜的概率是

5914.如图，扇形AOB的圆心角∠AOB＝60°，半径OA＝4，点P为扇形内一点，且OP⊥BP，延长OP交

AB⏜于点C，当AP+BP取最小值时，则图中阴影部分的周长为14.6－2

3+【解析】如图，由题意可知，当A、P、B共线时，AP+PB取最小值，∵OP⊥BP，OA＝OB，∴AP＝BP，∠BOP

=12∠AOB＝30°，∵AO＝4，∴

BC⏜的长

=30π×4180=23π，∵∠AOB＝60°，AO＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝4，OP

=32AO，∴OP＝2

3，PB

=12AB＝2，∴PC＝OC－PO＝4－2

3，∴阴影的周长

15.如图，Rt△ABC中∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D为边AC上的中点，点E为边BC上一个动点，将∠C沿DE折叠，点C的对应点为点F，DF交△ABC

的直角边于点G，当点G为直角边的中点时，则BE长为

．15.32或

【解析】分两种情况：①如图①，当点G是直角边AB的中点，∵点D是AC的中点，∴DG是△ABC的中位线，∴DG∥CB，∴∠FDE＝∠CED，∵△FDE是由△CDE折叠得到的，∴∠CDE＝∠FDE，∴CE＝CD，∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，∴由勾股定理，得AC

=AB2+BC2=3∴BE＝BC－CE＝BC－CD＝4

−52=32；②如图②，当点G是直角边BC的中点，则CG＝BG

=12BC＝2，∵点D是AC的中点，∴DG是△ABC的中位线，∴DG

=12AB

=32，DG∥AB，∵∠B＝90°，∴∠DGC＝90°，∴∠FGE＝90°，△EFG是直角三角形，∴DF＝CD

=52，EF＝EC＝CG－EG＝2－EG，∴FG＝DF－DG

=52−32=1，在Rt△EFG中，由勾股定理，得EF2＝EG2+FG2，即（2－EG）2＝EG2+12，解得EG

=34，答案图①

答案图②三、解答题16.（1）计算：

|1（2）解方程：

1x16.解：（1）原式=

2−1－2

×

=2−1

＝2；（2）

1x

1x+

3＝2x－3（x+1），

x＝－6，检验：当x＝－6时，3（x+1）≠0，∴x＝－6是原方程的根．17.为弘扬劳动精神，提升劳动技能，某校开展了“劳动教育”主题活动，活动结束后，随机抽取20名学生每周的劳动时间情况进行了调查统计，并将统计结果进行收集、整理和分析，给出部分信息如下：收集数据：学生每周参与劳动时间t（单位：分钟）：15，25，20，80，90，95，25，30，35，40，45，50，60，45，40，50，50，60，70，75．整理数据：列出频数分布表如下：分组范围频数A0≤t＜201B20≤t＜405C40≤t＜607D60≤t＜804E80≤t＜100根据以上信息，解答下列问题：（1）请把上面的频数分布表中的空白处和频数分布直方图补充完整；（2）在本次调查中，众数为

，中位数为

；（3）若该年级有500名学生，试估算调查中每周劳动时间不低于1小时的人数；（4）若要求学生每周劳动时间不低于1小时．请根据以上信息提出一条合理化建议．17.解：（1）E组频数为：20－1－5－7－4＝3，补全频数分布直方图如下：频数分布表中的空白处为3；（2）50，47.5；【解法提示】本次调查中，50出现的次数最多，∴众数为50，把随机抽取20名学生每周的劳动时间从小到大排列，排在中间的两个数是45和50，∴中位数为

45+50（3）500×7答：调查中每周劳动时间不低于1小时的人数约175名；（4）建议学校多组织有关劳动教育的活动，提高劳动技能．（答案不唯一）．18.家用电灭蚊器的发热部分使用了PTC发热材料，电阻R（单位：kΩ）随温度t（单位：℃）（在一定范围内）变化而变化，通电后该表记录了发热材料温度上升到30℃的过程中，发现电阻与温度有如下关系：t（℃）10152030R（kΩ）6432（1）根据表中的数据，在图中描出实数对（t，R）的对应点，猜测并确定R与t之间的函数表达式并画出其图象；（2）当t≥30时，R与t间的函数表达式为R

=415t－6．在图中画出该函数（3）根据以上信息，家用电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内发热材料的电阻不超过6kΩ．18.解：（1）由题意得，当10≤t≤30时，设R和t的函数的表达式为R=把（10，6）代入R=kt

中，解得k∴反比例函数的表达式为R=画出其图象如下：（2）∵当t≥30时，R与t间的函数表达式为R

=415t－∴当t＝30时，R＝2；当t＝45时，R＝6．∴（30，2），（45，6）在函数R

=415t－∴画出函数图象如图所示；（3）根据图上信息，家用电灭蚊器在使用过程中，温度在10°C≤t≤45°C

时发热材料的电阻不超过6kΩ．19.开封电视塔位于黄河大街中段，是河南省第二座建成的电视塔，是市内最高建筑物．某数学活动预测量电视塔的高度，设计了如下的测量方案：课题测量电视塔AB的高度实物图

测量工具卷尺、测角仪……测量示意图

说明AB表示电视塔，点C，E，B在同一直线上，测角仪的高度CD＝EF＝1.5m测量数据测量项目第一次第二次平均值∠ADF的度数33.05°32.95°33°∠AFG的度数45.07°44.93°45°D，F之间的距离143.60m143.40m143.50m参考数据sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65请帮助该小组的同学根据该表中测量数据的平均值，计算出电视塔的高度．（结果精确到0.1m）19.解：如图，延长DF交AB于点G，由题意得，CD＝EF＝1.5m，DF＝143.50m，四边形EFGB为矩形．∵∠AGD＝90°，∠AFG＝45°∴∠FAG＝45°＝∠AFG，∴FG＝AG，在Rt△ADG

中，∠AGD＝90°，∠ADG＝33°，tan∠ADG

=A∴DG

≈A∵DF＝DG－FG，∴

AGtan∴AG

≈266.50m，∴AB＝AG+BG＝266.50+1.5=268.0m，答：电视塔的高度AB约为268.0m．20.花生糕是开封市的一种名吃，香甜利口，含口自化，令人回味无穷，深受老百姓喜爱．已知甲，乙两店都以20元/盒的价格销售同一种花生糕，且同时做优惠活动.甲店：办理本店会员卡（50元/张），可享受每盒七折销售；乙店：购买一定数量的花生糕后，超过的部分打折销售．活动期间，若游客购买花生糕x盒，在甲，乙两店所需费用分别为

y1元、

y2元，

y2与x间的函数图象如图（1）分别求出

y1、

y2与x间的函数（2）当游客购买多少盒花生糕时，两家店花费一样；（3）若游客准备购买18盒花生糕，你认为在哪家店购买更划算？20.解：（1）由题意得

y1＝50+0.7×20x＝14x+50由图可知，当0≤x≤10时，设

y2＝kx（k

≠将（10，200）代入上式，200＝10x，解得x＝20，∴

y2＝20x当x＞10时，设

y2＝k'x+b'（k'≠0由题意得

10k解得

k’∴

y2＝12x+80综上，

y1与x间的函数关系式为

y1＝14x+50，y2与x间的函数关系式为

（2）由题意得，14x+50＝20x或14x+50＝12x+80，解得

x=253

或x∵x为整数，∴x＝15，故当顾客购买15盒花生糕时，在两家店的花费一样；（3）当x＝18时，

y1＝14×18+50＝302y2＝12×18+80＝296∴

y2＜

y∴在乙店购买更划算．21.如图①是清明上河园中的日晷，它是古代的计时仪器．日晷的表面是以点O为圆心的圆形，OA为某时刻晷针的影长，示意图如图②所示，AO的延长线交⊙O于点E，与DB交于点B，BD与⊙O相切于点D，连接DE，过点O作OC∥DE交⊙O于点F．交BD的延长线于点C．（1）求证：∠A＝∠C；（2）若点F为OC的中点，⊙O的半径为2，求BE的长．21.（1）证明：如图，连接OD，∵直线BC与⊙O相切于点D，∴OD⊥BC，∠CDO＝∠BDO＝90°，∴∠EDO+∠EDB＝90°．∵AE为圆O直径，∴∠EAD+∠AED＝90°．∵EO＝DO，∴∠ODE＝∠DEO．∴∠DAE＝∠BDE，∵DE∥OC，∴∠C＝∠BDE．∴∠A＝∠C；（2）解：∵BC是⊙O的切线，点F是OC的中点，OD＝2，在Rt△ODC中，OD＝2，OC＝4，由勾股定理得，

DC∵sin∠C

=O∴∠C＝∠DAE＝∠BDE＝30°．∵∠ADE＝90°，∠DAE＝30°，∴∠DEA＝60°．∵OE＝OD＝2，∴DE＝OE＝OD＝2．∵∠DEA＝∠B+∠BDE，∴∠B＝30°,∴∠B＝∠EDB．∴BE＝ED＝2．即BE的长为2．22.如图，抛物线y＝－x2－bx+c与x轴，y轴分别交于点A（5，0），B（0，5），点C为抛物线的顶点．（1）求抛物线的表达式及顶点C的坐标；（2）设点B关于抛物线对称轴的对称点为点D，平移原抛物线，设新抛物线的顶点为点M，使点M始终在射线CB上，过点D作DE∥y轴交x轴于点E，若新抛物线的对称轴为直线x＝m，当新抛物线与线段DE有交点时，求m的取值范围．22.解：（1）将点A（5，0）、B（0，5）代入

y＝－x2－bx+c

中，得

−25解得

b=∴该抛物线的表达式是

y＝－x2+4x+5＝－（x－2）2+9，∴抛物线的顶点C的坐标为（2，9）；（2）∵抛物线的顶点C的坐标为（2，9），B（0，5），设直线BC的表达式为y＝kx+b1(k≠0)，将点C（2，9），B（0，5）代入y＝kx+b1中，2k解得k=∴直线BC的表达式为y＝2x+5，∵抛物线的顶点坐标在射线CB上，∴设平移后的新抛物线的顶点M的坐标为（m，2m+5）（m

≤2则平移后的新抛物线的表达式为y＝－（x－m）2+2m+5，由题意得，点D、E坐标分别为（4，5），（4，0），∴平移后的新抛物线与线段DE只有一个交点，∴当经过点D时，－（4－m）2+2m+5＝5，解得m＝2或m＝8（舍去），当经过点E时，－（4－m）2+2m+5＝0，解得

m=5−14∴m的取值范围为

5−23.下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一条线段的垂直平分线讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．活动探究小明：如图①，可以用尺规作图；①分别以点A，B为圆心，以大于

12AB长为半径作弧，两弧相交于C②作直线CD，CD就是所求作的直线．小刚：我认为小明的作图方法很好，但是这四条弧可以半径不一样，如图②；①分别以点A，B为圆心，以大于

12AB长为半径作弧，两弧在AB②分别以点A，B为圆心，改变半径的大小，仍保证大于

12AB的长为半径作弧，两弧在AB的下方相交于Q③作直线PQ．PQ就是所求作的直线．（1）小刚作图得到的直线PQ是线段AB的垂直平分线吗？请作出判断，并说明理由．拓展应用（2）如图③，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，分别以A，D为圆心，以大于

12AD长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，分别交AB，AD，AC于点E，O，F，连接DE，DF．求证：四边形AEDF问题解决（3）小刚在作图中发现（如图④所示），像这样满足PA＝PB，QA＝QB的有两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．如图⑤在Rt△ABC中，