（详解详析）2024年河南洛阳二模·数学

数学试卷第页（共页）2024年河南洛阳二模·数学详解详析一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。1.D【解析】∵﹣5＜﹣1＜0

＜5，∴最大的数是

52.B3.C【解析】54.32万＝543200＝5.432×105.4.D【解析】如图，∵AB∥OF，∴∠1+∠OFB＝180°，∵∠1＝155°，∴∠OFB＝25°，∵∠POF＝∠2＝35°，∴∠3＝∠POF+∠OFB＝35°+25°＝60°．5.B【解析】A.不是同类项，不能合并，故错误，不符合题意；B.(3a)2＝9a2，正确，符合题意；C.(a+b)2＝a2+2ab+b2，故错误，不符合题意；D.a6÷a2＝a4，故错误，不符合题意．6.C【解析】x−2＜3①3x+1≥2x②，解不等式①，得x＜5，解不等式②，得x≥7.C【解析】根据题意，得b2-4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（m﹣2）≥0，解得m≤3.8.D【解析】如图所示，设AC与BD交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，∠ABD

=12∠ABC＝30°，∴BO

=3AO，∵

AOB9.D【解析】∵慢马先行12天，快马x天可追上慢马，∴快马追上慢马时，慢马行了（x+12）天．根据题意得，240x＝150（x+12）．10.A【解析】如图所示，当S＝6时，DP

=6，∵∠C＝90°，CD

=2，∴CP＝2，即BC＝2，∴抛物线经过点(2，6)，∵抛物线的顶点坐标为(4，2)，∴设抛物线的解析式为S＝a(t﹣4)2+2（a≠0），∴6＝4a+2，解得，a＝1，∴s＝(t﹣4)2+2．当s＝18时，18＝(t﹣4)2+2，解得t1＝0（不合题意，舍去），t2＝8，∵点P的运动速度为1个单位，∴点P的运动路程为8，∴AB＝8﹣2＝二、填空题（每小题3分，共15分）11.x≥5【解析】由题意得x﹣5≥0且x≠0，解得x≥5.12.1【解析】a2a+13.1【解析】设《歌唱祖国》、《我的祖国》、《走进新时代》、《十送红军》分别对应A、B、C、D，画树状图如图所示，可得一共有12种等可能的结果，其中该班恰好选中前面两首歌曲的可能有2种，∴该班恰好选中前面两首歌曲的概率为

21214.2【解析】如图，连接OC，∵CD为⊙O的切线，∴∠DCO＝90°，∵∠ACD＝120°，AO=CO，∴∠A＝∠OCA＝∠120°﹣90°＝30°，∴∠BOC＝2∠A＝60°，在Rt△OCD中，tan∠BOC=CDOC=tan60°，CD＝23，∴

23OC=3，解得OC＝2，∴阴影部分的面积＝S△OCD15.1或9【解析】如图①，当点E在DF上时，连接AF，∵∠AEF＝∠B＝90°，AE＝AB，AF＝AF，∴Rt△ABF≌Rt△AEF（HL），∴BF＝EF，设BF＝EF＝x，则CF＝5﹣x，由旋转得，AE＝AB＝3，∵EF⊥AE，∴∠AED＝∠AEF＝90°，∵AD＝5，∴DE=AD2−AE2=4，在Rt△DCF中，由勾股定理得，CF2+CD2＝DF2，∴(5﹣x)2+32＝(x+4)2，解得x＝1，∴BF＝1；如图②，当点E在FD的延长线上时，同理可得，EF＝BF，DE＝4，设EF＝BF＝a，则DF＝a﹣4，CF＝a﹣5，∴（a﹣5）2+32＝（a﹣4）2，解得a＝9，∴BF＝9，综上所述，

答案图①

答案图②三、解答题（本大题共8小题，共75分）16.解：（1）

|

=3

=3（2）（2a﹣b）（2a+b）﹣a（a﹣3b）

＝4a2﹣b2﹣a2+3ab

＝3a2﹣b2+3ab．17.解：（1）149，160；【解法提示】（1）乙班10名男生的跳绳成绩按从小到大排序为100

132

133

146

146

152

164

173

197

210，∵中间的两个数据为146和152，∴中位数a

=146+1522=149，∵甲班10名男生的跳绳成绩中，160出现的次数最多，∴（2）甲班成绩较好，∵甲、乙两班样本的平均数相同，但甲班的中位数均高于乙班，∴甲班成绩较好．（3）

240×答：该校满分人数约为132人．18.解：（1）如图①即为所作；答案图①（2）证明：如图②，连接OE，OF，∵OP是⊙O′的直径，∴∠PEO＝∠PFO＝90°，∴OE⊥PE，OF⊥PF，∵OE、OF为⊙O的半径，∴PE，PF是⊙O的切线；答案图②（3）65°或115°；【解法提示】如图③，当点D在优弧EF上时，连接DE、DF，∵∠OEP＝∠OFP＝90°，∴∠EOF+∠EPF＝180°，∵∠EPF＝50°，∴∠EOF＝130°，∴∠EDF

=12∠EOF＝65°；如图④，当D′在劣弧EF上时，连接D'E、D'F，∵∠ED′F+∠EDF＝180°，∴∠ED′F＝180°﹣65°＝115°，综上，∠EDF的度数为65°或

答案图③

答案图④19.解：（1）∵A点坐标(3，4)，四边形OABC是菱形，∴C（5，0），B（8，4），∴

D(∴k＝13．（2）如图，∵E在AB的垂直平分线上，∴E点横坐标为112将x=112

代入y

=13∴

E(过A作AH⊥x轴于H，AB的垂直平分线交x轴于F，则S△AOE＝S△AOH+S梯形AHFE﹣S△FOE

=120.解：小聪说法不正确，理由如下，如图，过C作CD⊥AB

于D，垂足为D，由题意得，∠CAD＝90°﹣53°＝37°，∠CBD＝45°，AC＝5km，在Rt△ACD中，CD＝AC•sin37°≈5×0.6＝3（km），AD＝AC•cos37°≈5×0.8＝4（km），在Rt△BCD中，BD＝CD＝3km，AB＝AD+BD＝7km，∴北岸健康步道的长度为

12×73π×3

=72π

≈7∵11＞10，∴小聪的说法不正确．21.解：（1）设A饰品每件的进价是a元，B饰品每件的进价是b元．根据题意，得

9a解得

a∴A饰品每件的进价是20元，B饰品每件的进价是25元．（2）①购进B种饰品的数量是（400﹣x）件．根据题意，得150≤x≤300．当150≤x≤250时，y＝（30﹣20）x+（30﹣25）（400﹣x）＝5x+2000；当250＜x≤300时，y＝（30﹣20）×250+（30﹣20﹣3）（x﹣250）+（30﹣25）（400﹣x）＝2x+2750；∴y

=5②当150≤x≤250时，y＝5x+2000，∵5＞0，∴y随x的增大而增大，∵150≤x≤250，∴当x＝250时，y值最大，y最大＝5×250+2000＝3250；当250＜x≤300时，y＝2x+2750，∵2＞0，∴y随x的增大而增大，∵250＜x≤300，∴当x＝300时，y值最大，y最大＝2×300+2750＝3350；∵3350＞3250，∴当购进A种饰品300件、B种饰品100件时获利最大，最大利润是3350元．22.解：（1）（3，3）；【解法提示】（1）∵点G（﹣3，﹣3）是反比例函数

y1=kx图象上的一个“梦之点”，∴﹣3

=k−3，解得k＝9，∴反比例函数为y1

=9x，令y1＝x，则x

=9x，解得x＝3或x＝﹣3，经检验，x＝3或x＝﹣3是原方程的解，∴该函数图象上的另一个“梦之点（2）△ABC是直角三角形，理由如下：∵y

=−12x2+x

+92=−1∴抛物线的顶点C（1，5），在y

=−12x2+x

+92中，令y＝x得x

=−1解得x＝3或x＝﹣3，∴B（﹣3，﹣3），A（3，3），∴AB2＝72，AC2＝8，BC2＝80，∴AB2+AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴△ABC是直角三角形；（3）﹣1＜m＜2；【解法提示】在y＝x2﹣2mx+m2+m中，令y＝x得x＝x2﹣2mx+m2+m，解得x＝m或x＝m+1，∴二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m的图象的“梦之点”为（m，m）或（m+1，m+1），∵0＜x＜2，∴0＜m＜2或0＜m+1＜2，∴0＜m＜2或﹣1＜m＜1，∴当﹣1＜m＜2时，二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m的图象上至少存在一个“梦之点”.23.解：（1）①CG＝CB＝CD，②（2a﹣x）2+a2＝（x+a）2，③

23a【解法提示】（1）根据证明过程得：①CG＝CB＝CD，②在Rt△AEH中，由勾股定理得AH2+AE2＝EH2，即（2a﹣x）2+a2＝（x+a）2，③解方程得x

=23a，即DH

=（2）结论正确；理由：∵先将矩形纸片ABCD对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为EF，∴E、F分别是AB，CD的中点，∴BE

=12∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴△BEG∽△DCG，∴

BG∴

BG∵MN∥AD，∴

BM∴点M为AB边的三等分点；【拓展提升】设AC交BD于点O，如图①，∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，∴OA＝OC

=12AC＝4，OB＝OD

=12BD＝3，AC⊥BD，AB＝AD＝CD＝BC，∠ADB＝∠ABD在Rt△AOB中，AB

=OA∴AD＝AB＝5，分两种情况：①当BE

=13BD＝2时，则DE＝如图②，连接

AD'，AE，D′E，D'E与AB交于点F，过点A作

AG⊥D′E

于点G，由对称性可知，D′E＝DE＝4，AD′＝AD＝5，∠AD′E＝∠ADB＝∠ABD，∠AED＝∠AEF，∵∠AD′F＝∠EBF，∠AFD'＝∠EFB，∴△AFD′∽△EFB，∴

EF设EF＝2x，则AF＝5x，在△AEO和△AEG中，

∠∴△AEO≌△AEG（AAS），∴OE＝EG＝1，∴GF＝2x﹣1，AG＝AO＝4，在Rt△AGF中，AF2＝AG2+GF2，即（5x）2＝42+（2x﹣1）2，解得x1＝﹣1

（舍），x2

=17∴EF＝2x

=34∴D′F＝D′E﹣EF＝4

−34②如图③，当DE

=13BD＝2时，连接AD′，AE，AD'与BD交点G，延长ED′交BC于由对称性可知，D′E＝DE＝2，∠AD′E＝∠ADB＝∠ABD，∠EGD'＝∠AGB，∴△EGD'∽△AGB，∴