（讲评用卷）2023年河南新乡一模·数学

数学试卷第页（共页）2023年河南新乡一模·数学全卷总分:120分考试时间:100分钟一、选择题1.下列各组数中互为相反数的是()A.

-12与B.-1与-(＋1)C.-(-3)与-3

D.2与|-2|1.C2.《全国防沙治沙规划(2021－2030年)》正式印发实施，提出到2030年，规划完成沙化土地治理任务1.86亿亩．数据“1.86亿”用科学记数法表示为()A.

1.86×107

B.

1.86×108

C.

0.186×108

D.

18.6×1062.B3.如图是几个相同的小立方块所搭的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则这个几何体的主视图是()3.B4.下列运算正确的是()A.

3a2－2a2＝1

B.

(a－b)2＝a2－b2C.

（－3D.

2－1＝

14.D5.将一次函数y＝2x＋1的图象向下平移2个单位长度后，所得新图象的函数表达式为()A.

y＝2x－1

B.

y＝2x－3C.

y＝2x

D.

y＝2x＋35.A6.在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，AC＝

5，过点A作直线m∥BC，将△ABC绕点B顺时针旋转到如图所示位置，此时点C的对应点C′恰好落在直线m上，则∠CBC′的度数为()A.

30° B.

45° C.

60° D.

75°6.A7.夏至是二十四节气之一，俗语道“不过夏至不热”，如图是我省某地夏至后某一周的最高气温折线统计图，则这一周最高气温的众数是()A.35

℃ B.

30

℃ C.

33

℃ D.

37

℃7.C【解析】由图可知这组数据中33出现次数最多，∴这组数据的众数是33℃.8.若关于x的一元二次方程ax2－x＋1＝0没有实数根，则a的值可以是()A.

－2

B.

0

C.

14

8.D【解析】由题意得，b2-4ac＝(－1)2－4a＜0，a≠0，解得a＞

14，∴a的值可以是9.如图，正方形ABCD的顶点均在坐标轴上，且点B的坐标为(1，0)，以AB为边构造菱形ABEF，将菱形ABEF与正方形ABCD组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点F的对应点F2023的坐标为()A.

(－2，－1)

B.

(1，－2)

C.

(2，－1)

D.

(－1，2)9.B【解析】∵360°÷90°＝4，∴每旋转4次是一个循环，∴2023÷4＝505……3，即第2023次旋转结束时，点F2023坐标与第3次旋转结束时点F3的坐标相同．F3的位置如图所示，过点F3作F3M⊥y轴于点M，连接OF，OF3.易证△AOF≌△MF3O.∵B(1，0)，∴OB＝1.∵四边形ABCD为正方形，∴OA＝OB＝1.∴AB＝

2.

∵四边形ABEF是菱形，∴AF＝AB＝

2.∵△AOF≌△MF3O，∴MF3＝OA＝1，OM＝AF＝

2，∴点F3的坐标为(1，－

2)，则点F2023的坐标为(1，－

2)．10.如图①，在矩形ABCD(AB＞AD)中，动点P从点B出发，沿B→C做匀速运动，到达点C后停止运动，动点Q从点D出发，沿D→C以同样的速度做匀速运动，到达点C后也停止运动．已知点P，Q同时开始运动．连接AP，AQ，设DQ＝x，AP－AQ＝y，其中y关于x的函数图象如图②所示，则图中m的值为()A.

35－32B.

10－2C.

410－2D.

210－210.B【解析】根据函数图象可知AB－AD＝

2.∵点P，Q的速度相同，∴当x＝

2，点P与点C重合，此时BC＝DQ＝

2，AP－AQ＝m.∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝

2，AB＝CD，∴AB＝CD＝AD＋

2＝2

2.当x＝

2时，在Rt△ABP中，AP＝

（2）2＋（22）2＝

10，在Rt△ADQ中，AQ＝

（2）2＋（二、填空题11.分式方程2x－3＝1的解11.x＝5【解析】去分母得，x－3＝2，解得x＝5.经检验，x＝5是原分式方程的解．12.新定义：对于任何实数m，符号[m]表示不大于m的最大整数．已知[x]＝a，则a≤x＜a＋1.例如：若[x]＝4，则4≤x＜5.如果[x－1]＝2021，那么x的取值范围是

．12.2022≤x＜2023【解析】由题意可得，2021≤x－1＜2022，解得2022≤x＜2023.13.现有4张卡片的正面分别写有数字1，2，3，4，除此之外完全相同，现将这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则所抽卡片上的数字之和为偶数的概率是

．13.1【解析】画树状图如下，由图可知，共有12种等可能的结果，其中所抽卡片上的数字之和为偶数的结果有4种，∴P(所抽卡片上的数字之和为偶数)＝

412＝

114.在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，已知△ABC的三个顶点均在格点上，且∠BAC＝90°，点M为AC上一点，以点A为圆心，AM的长为半径作圆与边BC相切于点N，已知

MN⌒为该圆的一部分．则图中由线段CN、CM及

MN⌒所围成的阴14.17【解析】如图，连接AN.根据网格线可得，AB＝

12＋42＝

17，AC＝

12＋42＝

17，∴AB＝AC.∵边BC与

MN⌒所在的圆相切于点N，∴AN⊥BC，∴∠CAN＝

12∠BAC＝45°.在Rt△ACN中，AN＝

22AC＝

342，∴S△ACN＝

12AN·CN＝

12×

342×

342＝

174，∴S扇形AMN＝

45π×（34215.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，点P在边BC上，且BP＝

34BC，连接AP，将△ABP沿AP折叠，若点B的对应点Q落在矩形ABCD的边上，则PC的长为

15.1或

2【解析】①当点Q在AD边上时，如图①，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝90°，∵将△ABP沿AP折叠，点B的对应点Q落在AD边上，易得四边形ABPQ为正方形，∴AB＝BP＝3，∴BC＝

43BP＝4，∴PC＝1；②当点Q落在CD边上时，如图②，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.设PC＝x，∵BP＝

34BC，∴BC＝4x，BP＝3x.由折叠可知PQ＝BP＝3x，∠AQP＝∠B＝90°，AQ＝AB＝3，在Rt△PCQ中，CQ＝

PQ2−PC2＝2

2x，∠PQC＝∠DAQ＝90°－∠AQD，∠D＝∠C＝90°，∴△ADQ∽△QCP，∴

AQPQ＝

ADCQ，即

33x

三、解答题16.(1)计算：(－

13)0－|－3|－

1(2)化简：(

1－2xx＋16.解：(1)原式＝1－3－

12＝－

5(2)原式＝

1－2x＝

1－xx＝－

xx17.为庆祝党的二十大胜利召开，培养学生的爱国情怀，某校组织七、八年级学生参加“学习二十大，永远跟党走”主题知识竞赛(百分制，成绩不低于80分即为掌握情况良好)，并将测试成绩分为四个分数段：60＜x≤70，70＜x＜80，

80＜x≤90，90＜x≤100，抽样和分析过程如下：【收集数据】从两个年级中各随机抽取20名学生，测试成绩(单位：分)如下：七年级：95，75，80，90，70，80，95，75，100，90，78，80，80，95，65，100，88，85，85，80八年级：83，79，98，69，95，87，75，66，88，77，76，94，79，79，82，82，96，81，71，79整理以上数据，绘制了频数分布表：

分数段频数年级60＜x≤7070＜x≤8080＜x≤9090＜x≤100七年级2855八年级2864【分析数据】根据以上数据，得到以下统计量：平均数中位数众数七年级84.3a80八年级81.880b根据以上信息，回答下列问题：(1)表格中的a＝

，b＝

；(2)根据上述数据，你认为哪个年级的测试成绩更好，并说明理由；(3)请对该校七年级学生“学习二十大，永远跟党走”知识的掌握情况作出合理的评价．17.解：

(1)82.5，79；【解法提示】七年级的测试成绩从小到大排列，处在第10，11位的数分别是80，85，∴七年级的中位数a＝

80＋852＝82.5.八年级的测试成绩中出现次数最多的为79分，∴(2)七年级的测试成绩更好．理由：∵84.3＞81.8，82.5＞80，∴七年级测试成绩的平均数、中位数都高于八年级，∴七年级的测试成绩更好；(3)由数据可知七年级测试成绩不低于80分的学生有15人，占七年级所抽取人数的

1520×100%＝75%，说明该校七年级大部分学生对“学习二十大，永远跟党走”知识的掌握情况较好．(答案不唯一，合理即可18.如图，直线AB：y1＝kx＋b(k≠0)交坐标轴于点C，D，且与反比例函数y1＝

nx(x＞0)的图象相交于点A(m，3)，B(m＋4，1)(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)连接OA，在x轴上找一点M，使△AOM是以OA为腰的等腰三角形，求出点M的坐标．18.(1)解：∵A(m，3)，B(m＋4，1)，∴n＝3m＝(m＋4)×1，解得m＝2，∴n＝3×2＝6，∴点A的坐标为(2，3)，点B的坐标为(6，1)，∴反比例函数的表达式为y2＝6x∵A(2，3)，B(6，1)在y1＝kx＋b上，∴

2k解得

k=∴一次函数的表达式为y1＝－12x＋4(2)∵点A的坐标为(2，3)，∴OA＝22＋32①当OM＝OA＝13时，点M的坐标为(13，0)或(－13，0)；②如图，当AM＝OA时，作AP⊥x轴于点P，则MP＝OP＝2，∴OM＝4.∴点M的坐标为(4，0)．综上所述，当△AOM是以OA为腰的等腰三角形时，点M的坐标为(13，0)，(－13，0)或(4，0)．19.中原大佛，位于河南省平顶山市鲁山县．某校数学活动小组到景区测量这尊佛像的高度，如图，他们从点B处测得佛像顶部A的仰角为35°，然后向前走89m后到达点C，点C处测得佛像顶部A的仰角为45°，已知点B、C、D在同一水平直线上，且佛像底座ED高100m，求佛像AE的高度．(结果精确到1m，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70)19.解：由题意得，∠ACD＝45°，∠ADC＝90°，DE＝100

m，BC＝89

m，∴∠CAD＝45°.∴CD＝AD.设AD＝CD＝xm，则BD＝(x＋89)

m.在Rt△BDA中，tan35°＝

xx+解得x≈207.7，∴AE＝AD－ED＝207.7－100≈108m．答：佛像AE的高度为108m．20.某公司决定为优秀员工购买A、B两种奖品，已知购买3个A种奖品比购买2个B种奖品多花140元，购买4个A种奖品与购买5个B种奖品所需钱数相同．(1)求两种奖品每个的价格；(2)商家推出了促销活动，A种奖品打九折．若该公司打算购买，两种奖品共30个，且B种奖品的个数不多于A种奖品个数的一半，则该公司最少花费多少钱？20.解：(1)设每个A种奖品的价格为x元，每个B种奖品价格为y元，根据题意得，

3x－2y∴每个A种奖品的价格为100元，每个B种奖品的价格为80元；(2)设购买A种奖品a个，则购买B种奖品(30－a)个，根据题意得，30－a≤

12a，解得a设购买奖品的总花费为w元，根据题意得，w＝0.9×100a＋80(30－a)＝10a＋2400，∵10＞0，∴w随着a的增大而增大，∴当a＝20时，w取得最小值，w最小＝10×20＋2400＝2600.答：该公司最少花费2600元．21.如图，点D为⊙O上一点，BE为⊙O的直径，延长BE到点A，连接BD，AD，并过点B作BC⊥AD，交⊙O于点F，交AD的延长线于点C，已知BD恰好为∠CBA的平分线．(1)求证：AC为⊙O的切线；(2)若BC＝2，AB＝6，求线段BF的长．21.(1)证明：如图①，连接OD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵OD＝OB，∴∠ABD＝∠BDO，∴∠BDO＝∠CBD，∴BC∥OD，∵BC⊥AD，∴∠BCA＝90°，∴∠ODA＝∠BCA＝90°，∴OD⊥AC，∵OD是⊙O的半径，∴AC为⊙O的切线；答案图①(2)解：如图②，连接EF，∵∠BCA＝90°，BC＝2，AB＝6，∴sin∠CAB＝

26＝

1设OB＝OD＝r，则OA＝6－r，∵AC是⊙O切线，∴∠ADO＝90°，∴sin∠CAB＝sin∠DAO＝

ODOA＝∴

r6－r＝

13，解得r∴OB＝OD＝

32，BE＝3∵BE为⊙O直径，∴∠BFE＝90°，∴FE∥CA，∴∠FEB＝∠CAB，∴sin∠FEB＝

13，即

BFBE∴BF＝1.答案图②22.根据《平顶山市志》记载，中兴路湛河桥是“市区第一座横跨湛河的大桥”．已知该桥的桥拱为抛物线形，在正常水位时测得水面AB的宽为50米，最高点G距离水面10米，如图所示以AB所在的直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系．(1)求该抛物线的表达式；(2)某次大雨后水面上涨至EF，测得最高点G距离EF的高度为3.6米，求桥拱下水面EF的宽度．22.解：(1)由题意得，OA＝

12AB＝

12×50＝25m，点G的坐标为(0，∴A的坐标为(－25，0)．设抛物线的表达式为y＝ax2＋10(a≠0)，将A(－25，0)代入，得625a＋10＝0，解得a＝－2125∴该抛物线的表达式为y＝－2125x2＋10(2)∵点G的坐标为(0，10)，∴OG＝10

m.由题意得，GD＝3.6

m，∴OD＝OG－GD＝10－3.6＝6.4m，由题意得，y＝－2125x2＋10＝6.4解得x1＝15，x2＝－15.∴点E的坐标为(－15，6.4)，点F的坐标为(15，6.4)，∴EF＝15－(－15)＝30m．答：桥拱下水面EF的宽度为30m．23.已知点C为△ABC和△CDE的公共顶点，将△CDE绕点C顺时针旋转α(0°＜α＜360°)，连接BD，AE，请完成如下问题：(1)问题发现：如图①，若△ABC和△CDE均为等边三角形，①线段BD与线段AE的数量关系是

；②直线BD与直线AE相交所夹锐角的度数是

；(2)类比探究：如图②，若∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD＝60°，其他条件不变，则(1)中的结论是否都成立？请说明